Bài giảng môn Xác suất và thống kê (Phần 2)

− 40 40− 42 42− 44
Số thai phụ 7 10 59 41 4
Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non.
Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được
thời gian mang thai thấy có 16 thai phụ sinh non. Giá trị thống kê t để kiểm
định giả thuyết H: “tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc và không hút
thuốc là như nhau” là:
A. t = 2,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ không hút thuốc lớn hơn với
mức ý nghĩa 5%.
B. t = 2,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc lớn hơn với mức
ý nghĩa 5%.
C. t = 1,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ không hút thuốc lớn hơn với
mức ý nghĩa 5%.
D. t = 1,4753; tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc lớn hơn với mức
ý nghĩa 5%.
Bài tập 8.16. Khảo sát thời gian (tuần) mang thai của thai phụ không hút
thuốc. Tiến hành lấy mẫu, người ta có số liệu cho như bảng sau:
Thời gian 34− 36 36− 38 38− 40 40− 42 42− 44
Số thai phụ 7 10 59 41 4
8.6 Bài tập chương 8 135
Những thai phụ có thời gian mang thai dưới 36 tuần là thai phụ sinh non.
Khảo sát thời gian mang thai của 100 thai phụ có hút thuốc và tính được thời
gian mang thai thấy có 16 thai phụ sinh non. Trong kiểm định giả thuyết H:
“tỷ lệ sinh non của thai phụ có hút thuốc và không hút thuốc là như nhau”,
mức ý nghĩa tối đa để giả thuyết H được chấp nhận là:
A. 1,32%. B. 2,32%. C. 3,32%. D. 4,32%.
Đáp án câu hỏi trắc nghiệm
8.3 A
8.4 B
8.5 C
8.6 D
8.7 D
8.8 C
8.9 B
8.10 A
8.11 A
8.12 A
8.13 D
8.14 C
8.15 B
8.16 A
Chương 9
Tương quan, hồi qui
9.1 Mở đầu
9.1.1 Số liệu trong phân tích tương quan, hồi qui
Quan trắc n đối tượng và ở mỗi đối tượng chúng ta “đo” 2 đại lượng X, Y. Số
liệu cụ thể của n đối tượng cụ thể như sau:
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)
Ví dụ 9.1. Khảo sát chiều cao Y (cm) của 10 đứa trẻ tuổi X(tháng tuổi).
Mỗi đứa trẻ ta ghi nhận một cặp (X; Y ) và các giá trị như sau:
(18; 76, 0) (19; 77, 0) (19; 76, 3) (20; 77, 3) (21; 77, 7)
(22; 78, 8) (22; 78, 2) (23; 79, 0) (24; 80, 2) (25; 80, 6)
Thông thường các giá trị trên còn được xếp thành bảng như sau
X 18 19 19 20 21 22 22 23 24 25
Y 76,0 77,0 76,3 77,3 77,7 78,8 78,2 79,0 80,2 80,6
9.1.2 Biểu đồ tán xạ
Khi quan sát một đối tượng ta có cặp giá trị (xi; yi). Để có được hình ảnh về
sự phân tán của các cặp giá trị (xi; yi) ta có thể biểu diễn các cặp giá trị này
trên hệ trục 0xy. Để minh họa, với số liệu ..... ta có biểu đồ tán xạ như sau
9.2 Hệ số tương quan 137
18 19 20 21 22 23 24 25
76
77
78
79
80
age
he
ig
ht
18 19 20 21 22 23 24 25
76
77
78
79
80
age
he
ig
ht
Hình a Hình b
Ta nhận thấy hai đứa trẻ bất kỳ mặc dù cùng tuổi nhưng có chiều cao khác
nhau (ngẫu nhiên) tuy nhiên xu hướng ở đây là chiều cao tăng theo độ tuổi
(tất nhiên) hay chiều cao Y thay đổi một cách có hệ thống theo độ tuổi X.
Biểu đồ trên đây gợi ý cho thấy mối liên hệ giữa độ tuổi (X) và chiều cao
(Y ) là một đường thẳng (tuyến tính - như hình b). Để “đo lường” mối liên hệ
này, chúng ta có thể sử dụng hệ số tương quan
9.2 Hệ số tương quan
Định nghĩa 9.1. Giả sử ta có mẫu n quan trắc (x1, y1), . . . , (xn, yn). Hệ số
tương quan Pearson được ước tính bằng công thức như sau
rxy =
xy − x · y
sˆxsˆy
Trong đó xy = 1
n
n∑
i=1
xiyi
Ý nghĩa hệ số tương quan
• rxy đo mức độ quan hệ tuyến tính giữa x; y và −1 ≤ rxy ≤ 1.
9.3 Tìm đường thẳng hồi qui 138
• rxy = 0 hai biến số không có quan hệ tuyến tính, rxy = ±1 thì hai biến
số có quan hệ tuyến tính tuyệt đối (các cặp (xi; yi) thuộc một đường
thằng).
• rxy < 0 quan hệ giữa x, y là nghịch biến (có nghĩa là khi x tăng thì y
giảm)
• rxy > 0 quan hệ giữa x, y là đồng biến (có nghĩa là khi x tăng cao thì y
tăng)
Ví dụ 9.2. Nghiên cứu đo lường độ cholesterol (Y ) trong máu của 10 đối
tượng nam của người độ tuổi (X). Kết quả đo lường như sau:
X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49
Y 1,9 4 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4
x¯ =
1
n
n∑
i=1
xi =
451
10
= 45, 1; y¯ =
1
n
n∑
i=1
yi =
35, 6
10
= 3, 56
⌢
sx = 11, 785;
⌢
sy = 0, 8333
xy =
1
n
n∑
i=1
xiyi =
1695, 4
10
= 169, 54
rxy =
xy − x.y
⌢
sx.
⌢
sy
=
169, 54− 33, 9 · 3, 56
11, 785 · 0.8333 = 0, 914
9.3 Tìm đường thẳng hồi qui
Để tiện việc theo dõi và mô tả mô hình, gọi độ tuổi cho cá nhân ilà xivà
cholesterol là yi ở đây i = 1, 2. . . 10. Mô hình hồi tuyến tính phát biểu rằng:
yi = a + bxi + εi
Nói cách khác, phương trình trên giả định rằng độ cholesterol của một cá
nhân bằng một hằng số a cộng với một hệ số b liên quan đến độ tuổi, và một
sai số εi. Trong phương trình trên, alà chặn (intercept, tức giá trị lúc xi=0),
và b là độ dốc (slope hay gradient).
9.4 Sử dụng máy tính cầm tay 139
Các thông số a, b phải được ước tính từ dữ liệu. Phương pháp để ước tính các
thông số này là phương pháp bình phương nhỏ nhất (least squares method).
Như tên gọi, phương pháp bình phương nhỏ nhất tìm giá trị a, b sao cho tổng
bình phương sai số
n∑
i=1
[yi − (a+ bxi)]2
là nhỏ nhất. Sau vài thao tác toán, có thể chứng minh dễ dàng rằng, ước
lượng cho a, bđáp ứng điều kiện đó là
b =
xy − x¯.y¯
⌢
s
2
x
; a = y¯ − bx¯
Cuối cùng ta được đường hồi qui y = a+ bx
Chú ý:
y − y
⌢
sy
= rxy
x− x
⌢
sx
Ví dụ 9.3. xác định phương trình hồi qui mẫu giữa tuổi và cholesterol. Từ
y − y
⌢
sy
= rxy
x− x
⌢
sx
thay các giá trị y¯, x¯, ⌢sx,
⌢
sy, rxy được tính ở ví dụ trên vào ta có kết quả
y = 0, 9311 + 0, 05988x
9.4 Sử dụng máy tính cầm tay
Ví dụ 9.4. Bài toán cho dạng cặp (xi, yi) như sau:
X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49
Y 1,9 4 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4
Tìm hệ số tương quan rxy, đường hồi qui mẫu y = a+ bx.
a. Máy FX500MS (máy FX570MS tương tự)
9.4 Sử dụng máy tính cầm tay 140
– Bước 1: Nhấn phím Mod đến lúc màn hình xuất hiện REG; chọn
(REG); Chọn (Lin)
– Bước 2: Nhập liệu 20; ,; 1.9; M+ · · ·
– Bước 3: Xuất kết quả Shift; chọn (S-Var); chọn ( mũi tên phải 2
lần); 1(A =a); 2(B=b); 3(r=rxy)
b. Máy FX500ES(tương tự FX570ES)
– Bước 1: SHIFT; MODE; ↓; chọn (Stat); chọn (Off)
– Bước 2: MODE; chọn (stat); chọn (A+Bx); (nhập các giá trị của
X, Y vào 2 cột)
∗ Nhập giá trị của X 20= 52= · · ·
∗ Nhập giá trị của Y 1.9= 4= · · ·
– Bước 3: Xuất kết quả SHIFT; chọn phím (Stat); chọn (Reg); 1(A
=a); 2(B=b); 3(r=rxy).
Kết quả rxy = 0, 9729; y = 0, 9311 + 0, 0599x.
Phụ lục A
Các bảng giá trị xác suất
A.1 Giá trị hàm mật độ chuẩn đơn giản 142
A.1 Giá trị hàm mật độ chuẩn đơn giản f(z) = 1√
2pi
e−
z
2
2
z
f(z)
O
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3970
0,1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3911
0,2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3815
0,3 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3725 0,3712 0,3684
0,4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3522
0,5 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3334
0,6 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3125
0,7 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2899
0,8 0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0,2663
0,9 0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2422
1,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2181
1,1 0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1944
1,2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1716
1,3 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1499
1,4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1297
1,5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1111
1,6 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0942
1,7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0791
1,8 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0657
1,9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0541
2,0 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0441
2,1 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0,0356
2,2 0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0,0284
2,3 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0,0224
2,4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0,0176
2,5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0136
2,6 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0104
2,7 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,0079
2,8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,0060
2,9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,0044
3,0 0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0033
A.1 Giá trị hàm mật độ chuẩn đơn giản 143
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
3,1 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0,0024
3,2 0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0018 0,0017
3,3 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0,0012
3,4 0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0,0009
3,5 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006
3,6 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004
3,7 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
3,8 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
3,9 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001
Bảng A.1: Giá trị hàm mật độ chuẩn hóa
A.2 Giá trị hàm Laplace ϕ(x) của phân phối chuẩn đơn giản 144
A.2 Giá trị hàm ϕ(x) =
x∫
0
1√
2pi
exp
(−12z2)dz
ϕ(x)
O x
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
A.2 Giá trị hàm Laplace ϕ(x) của phân phối chuẩn đơn giản 145
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Bảng A.2: Giá trị hàm ϕ của phân phối chuẩn đơn giản
A
.3
G
iá
trịphân
vịcủa
luật
Student
146
A.3 Giá trị phân vị của luật Student (T ∼ Tn)
tnα-tnα
α/2 α/2
O
P (|T | > tnα) = α
H
H
H
H
HH
n
α
0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
1 4,474 4,829 5,242 5,730 6,314 7,026 7,916 9,058 10,579 12,706 15,895 21,205 31,821 63,657
2 2,383 2,495 2,620 2,760 2,920 3,104 3,320 3,578 3,896 4,303 4,849 5,643 6,965 9,925
3 1,995 2,072 2,156 2,249 2,353 2,471 2,605 2,763 2,951 3,182 3,482 3,896 4,541 5,841
4 1,838 1,902 1,971 2,048 2,132 2,226 2,333 2,456 2,601 2,776 2,999 3,298 3,747 4,604
5 1,753 1,810 1,873 1,941 2,015 2,098 2,191 2,297 2,422 2,571 2,757 3,003 3,365 4,032
6 1,700 1,754 1,812 1,874 1,943 2,019 2,104 2,201 2,313 2,447 2,612 2,829 3,143 3,707
7 1,664 1,715 1,770 1,830 1,895 1,966 2,046 2,136 2,241 2,365 2,517 2,715 2,998 3,499
8 1,638 1,687 1,740 1,797 1,860 1,928 2,004 2,090 2,189 2,306 2,449 2,634 2,896 3,355
9 1,619 1,666 1,718 1,773 1,833 1,899 1,973 2,055 2,150 2,262 2,398 2,574 2,821 3,250
10 1,603 1,650 1,700 1,754 1,812 1,877 1,948 2,028 2,120 2,228 2,359 2,527 2,764 3,169
11 1,591 1,636 1,686 1,738 1,796 1,859 1,928 2,007 2,096 2,201 2,328 2,491 2,718 3,106
12 1,580 1,626 1,674 1,726 1,782 1,844 1,912 1,989 2,076 2,179 2,303 2,461 2,681 3,055
13 1,572 1,616 1,664 1,715 1,771 1,832 1,899 1,974 2,060 2,160 2,282 2,436 2,650 3,012
14 1,565 1,609 1,656 1,706 1,761 1,821 1,887 1,962 2,046 2,145 2,264 2,415 2,624 2,977
15 1,558 1,602 1,649 1,699 1,753 1,812 1,878 1,951 2,034 2,131 2,249 2,397 2,602 2,947
A
.3
G
iá
trịphân
vịcủa
luật
Student
147
Bảng A.3: Giá trị phân vị của luật Student (tiếp theo)
H
H
H
H
HH
n
α
0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
16 1,553 1,596 1,642 1,692 1,746 1,805 1,869 1,942 2,024 2,120 2,235 2,382 2,583 2,921
17 1,548 1,591 1,637 1,686 1,740 1,798 1,862 1,934 2,015 2,110 2,224 2,368 2,567 2,898
18 1,544 1,587 1,632 1,681 1,734 1,792 1,855 1,926 2,007 2,101 2,214 2,356 2,552 2,878
19 1,540 1,583 1,628 1,677 1,729 1,786 1,850 1,920 2,000 2,093 2,205 2,346 2,539 2,861
20 1,537 1,579 1,624 1,672 1,725 1,782 1,844 1,914 1,994 2,086 2,197 2,336 2,528 2,845
21 1,534 1,576 1,621 1,669 1,721 1,777 1,840 1,909 1,988 2,080 2,189 2,328 2,518 2,831
22 1,531 1,573 1,618 1,665 1,717 1,773 1,835 1,905 1,983 2,074 2,183 2,320 2,508 2,819
23 1,529 1,570 1,615 1,662 1,714 1,770 1,832 1,900 1,978 2,069 2,177 2,313 2,500 2,807
24 1,526 1,568 1,612 1,660 1,711 1,767 1,828 1,896 1,974 2,064 2,172 2,307 2,492 2,797
25 1,524 1,566 1,610 1,657 1,708 1,764 1,825 1,893 1,970 2,060 2,167 2,301 2,485 2,787
26 1,522 1,564 1,608 1,655 1,706 1,761 1,822 1,890 1,967 2,056 2,162 2,296 2,479 2,779
27 1,521 1,562 1,606 1,653 1,703 1,758 1,819 1,887 1,963 2,052 2,158 2,291 2,473 2,771
28 1,519 1,560 1,604 1,651 1,701 1,756 1,817 1,884 1,960 2,048 2,154 2,286 2,467 2,763
29 1,517 1,558 1,602 1,649 1,699 1,754 1,814 1,881 1,957 2,045 2,150 2,282 2,462 2,756
30 1,516 1,557 1,600 1,647 1,697 1,752 1,812 1,879 1,955 2,042 2,147 2,278 2,457 2,750
40 1,506 1,546 1,589 1,635 1,684 1,737 1,796 1,862 1,936 2,021 2,123 2,250 2,423 2,704
60 1,496 1,535 1,577 1,622 1,671 1,723 1,781 1,845 1,917 2,000 2,099 2,223 2,390 2,660
80 1,491 1,530 1,572 1,616 1,664 1,716 1,773 1,836 1,908 1,990 2,088 2,209 2,374 2,639
100 1,488 1,527 1,568 1,613 1,660 1,712 1,769 1,832 1,902 1,984 2,081 2,201 2,364 2,626
1000 1,477 1,515 1,556 1,600 1,646 1,697 1,752 1,814 1,883 1,962 2,056 2,173 2,330 2,581
Bảng A.3: Giá trị phân vị của luật Student
Phụ lục B
Giải thích lý thuyết
B.1 Ước lượng khoảng
B.1.1 Ước lượng khoảng cho trung bình
Trường hợp X ∼ X(µ; σ2), biết σ
Từ 6.1 trang 99 ta có
X¯ ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
suy ra T =
X¯ − µ
σ√
n
∼ N(0; 1)
Gọi t1− α
2
là giá trị của T sao cho
P

t1− α
2
< T < t1− α
2

 = 1− α
Thay T vào ta được
P

X¯ − σ√
n
t1− α
2
< µ < X¯ +
σ√
n
t1− α
2

 = 1− α
Vậy ta có µ1 = X¯ − σ√
n
t1− α
2
và µ2 = X¯ +
σ√
n
t1− α
2
Các trường hợp còn lại giải tương tự.
B.2 Kiểm định giả thiết 149
B.1.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ
Từ 6.5 trang 100 ta có
X = X1 + . . .+Xn
.∼ N
(
np;
√
np(1− p)2
)
hay
X − np√
np(1− p)
.∼ N (0; 1)
(B.1)
Bỏi vì F = X/n là ước lượng điểm cho p cho nên
√
n(X/n)(1−X/n) sẽ xấp
xỉ cho
√
np(1− p), cho nên B.1 trở thành
T =
X − np√
n(X/n)(1−X/n)
.∼ N (0; 1)
Gọi t1− α
2
là giá trị của T sao cho
P

t1− α
2
< T < t1− α
2

 = 1− α
Thay T vào ta được
P

X/n−
√
X/n(1−X/n)
n
< t1− α
2
< p < X/n+
√
X/n(1−X/n)
n
< t1− α
2

 = 1−
Chú ý. Khi có mẫu cụ thể ta thay F = X/n bằng giá trị f, là tỷ lệ phần tử
A trên mẫu.
B.2 Kiểm định giả thiết
B.2.1 So sánh trung bình với một số
Gọi µ là trung bình của X, cần kiểm định giả thiết:{
Giả thiết không H0 : µ = µ0
Đối thiết H1 : µ = µ1
Bởi vì X¯ là ước lượng điểm cho µ, do đó ta sẽ chấp nhận giả thiết nếu X¯ và
µ0 không quá khác nhau. Do đó miền bác bỏ sẽ có dạng
C =
{
(X1, . . . , Xn) : |X¯ − µ0| > c
}
(B.2)
B.2 Kiểm định giả thiết 150
với c là một giá trị nào đó.
Nếu cho trước mức ý nghĩa α, chúng ta sẽ xác định giá trị tới hạn c trong
(B.2) sao cho sai lầm loại I bằng với α. Do đó, c phải thoải
P
(|X¯ − µ0| > c|H0) = α hay P (|X¯ − µ0| > c|µ = µ0) = α (B.3)
Ở đây chỉ xét trường hợp à X ∼ N(µ; σ2) và đã biết σ. Khi µ = µ0 thì theo
(6.1) trang 99 ta có
T =
X¯ − µ
σ√
n
=
X¯ − µ0
σ√
n
∼ N(0; 1)
Bây giờ (B.3) trở thành
P
(
|T | > c
√
n
σ
)
= α
Ta biết rằng T ∼ N(0; 1) thì P

|T | > t1− α
2

 = α. Cho nên ta chọn
c
√
n
σ
= t1− α
2
. Vậy ta bác bỏ H0 khi
T =
|X¯ − µ0|
σ√
n
> t1− α
2
B.2.2 So sánh tỷ lệ với một số
Giống như B.2.1, ở đây ta xem thống kê
X = X1+ . . .+Xn
.∼ N
(
np;
√
np(1− p)2
)
hay T =
X − np√
np(1− p)
.∼ N (0; 1)
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Phú Vinh. Xác Suất - Thống Kê Và Ứng Dụng
[2] Đinh Văn Gắng. (1999). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. NXB Giáo
dục.
[3] Tô Anh Dũng. (2007). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. NXB ĐHQG
TP.HCM.
[4] Nguyễn Bác Văn. (1999). Xác suất và xử lý số liệu thống kê. NXB Giáo
dục.
[5] Đặng Hấn. (1986). Xác suất thống kê. NXB Thống kê.
[6] Sheldon M. Ross. (1987). Introduction to probability and statistics for
engineers and scientists. A John Wiley & Sons Publication.
[7] F.M. Dekking. (2005). A modern introduction to Probability and Statis-
tics. Springer Publication.
[8] T.T. Song. (2004). Fundamentals of probability and statistics for engi-
neers. A John Wiley & Sons Publication.
[9] Ronald N. Forthofer. (2007). Biostatistics: Aguide to design, analysis,
and discovery. Academic Press.
[10] Y. Suhov. (2005). Volume I: Basic probability and statistics. Cambridge
University Press.
[11] Michaelr. Chernick. (2003). Introductory biostatistics for the health sci-
ences. A John Wiley & Sons Publication.
[12] E.L. Lehmann. (2005). Testing statistical hypotheses: Third Edition.
Springer Publication.