Bài giảng A1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục - Huỳnh Văn Kha

nhiên n ta có tương ứng duy nhất
một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là
một ánh xạ từ N vào R.
Dãy số {a1, a2, a3, . . . } được ký hiệu là
{an} hoặc {an}∞n=1
Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất
kỳ số tự nhiên nào khác.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 2 / 51
Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an.
Ví dụ 1.
1. Dãy
{
n
n + 1
}∞
n=1
có an =
n
n + 1{
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . . ,
n
n + 1
, . . .
}
2. Dãy
{
(−1)n √n − 3
}∞
n=3
có an = (−1)n
√
n − 3{
0, 1,−
√
2,
√
3, . . . , (−1)n √n − 3, . . .
}
3. Dãy {cos(npi/3)}∞n=0 có an = cos(npi/3)
{1, 1/2,−1/2,−1, . . . , cos(npi/3), . . . }
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 3 / 51
Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công
thức đơn giản như vậy.
Ví dụ 2
1. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp
a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2, n ≥ 3
2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số
pi thì các phần tử đầu tiên của dãy {an} là
{1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, . . . }
3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12
Năm n.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 4 / 51
Dãy số hội tụ
Xét dãy số an =
n
n + 1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 5 / 51
Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn.
Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là
1− n
n + 1
=
1
n + 1
.
Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn.
Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có
giới hạn là 1 và viết
lim
n→∞
n
n + 1
= 1.
Tổng quát, dãy {an} được nói là có giới hạn bằng L
nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu
lim
n→∞ an = L hoặc lim an = L.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 6 / 51
Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa
Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi
ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho
|an − L| < ε,∀n ≥ N.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 7 / 51
Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞
(tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại
số tự nhiên N sao cho an > M,∀n ≥ N (tương ứng
an < M,∀n ≥ N).
Khi đó ta cũng ký hiệu lim an =∞ (tương ứng
lim an = −∞) và nói dãy {an} có giới hạn bằng ∞
(hoặc −∞).
Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an} là dãy hội tụ.
Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn
tại thì ta nói {an} là dãy phân kỳ.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 8 / 51
Một số tính chất
Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . .
bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . của giới
hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim an và lim bn đều
tồn tại thì:
lim(an ± bn) = lim an ± lim bn
lim(anbn) = (lim an) (lim bn)
lim
an
bn
=
lim an
lim bn
(với bn 6= 0, lim bn 6= 0)
lim
√
an =
√
lim an (với an ≥ 0, lim an ≥ 0)
lim(an)
r = (lim an)
r .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 9 / 51
Tiêu chuẩn giới hạn kẹp
Nếu an ≤ bn ≤ cn, ∀n ≥ n0 và lim an = lim cn = L thì
lim bn = L.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 10 / 51
Dãy đơn điệu - Dãy bị chận
Dãy {xn} gọi là dãy tăng nếu: xn ≤ xn+1,∀n ∈ N.
Dãy {xn} gọi là dãy giảm nếu: xn ≥ xn+1,∀n ∈ N.
Nếu {xn} là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {xn} đơn điệu.
Ví dụ: xét tính đơn điệu của các dãy số sau.
xn = n
2, xn =
n + 1
n
, xn = (−1)n
√
n + 1
{xn} gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, xn ≤ M,∀n ∈ N.
{xn} gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, xn ≥ N,∀n ∈ N.
Nếu {xn} bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận.
Ví dụ: Xét tính bị chận của các dãy số trên.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 11 / 51
Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e
Tiêu chuẩn Weierstrass
Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ.
Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ.
Xét dãy: xn =
(
1+
1
n
)n
. Người ta chứng minh được nó
là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ.
Ta định nghĩa e = lim
n→+∞
(
1+
1
n
)n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 12 / 51
Các giới hạn cơ bản
1. Nếu a > 0 thì lim
n→∞
1
na
= 0, lim
n→∞ n
a = +∞.
2. Nếu |a| < 1 thì: lim
n→∞ a
n = 0.
Nếu a > 1 thì lim
n→∞ a
n = +∞.
3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim
n→∞
nα
an
= 0.
4. Nếu a > 0 thì lim
n→∞
n
√
a = 1
Đồng thời lim
n→∞
n
√
n = 1.
5. Giới hạn liên quan số e: lim
n→+∞
(
1+
x
n
)n
= ex
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 13 / 51
Tính giới hạn
Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất,
sử dụng giới hạn kẹp, . . . .
Ví dụ: Tính các giới hạn các dãy số sau.
1. lim
n→∞
4n2 + 1
3n2 + 2
a) 3/4 b) 4/3 c) 1/2 d) +∞
2. lim
n→∞
(√
2n + 3
√
n −√2n + 1
)
a) 3 b) 3/2 c) 3
√
2 d) 3/(2
√
2)
3. lim
n→∞
n
√
n
n
√
n2 + n
√
n + 1
a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) +∞
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 14 / 51
4. lim
n→∞
3 · 5n − 2n
4n + 2 · 5n
a) 3/4 b) -1/2 c) +∞ d) 3/2
5. lim
n→∞
n22n + n
3n + n2 + 1
a) +∞ b) 0 c) 3/2 d) 1
6. lim
n→∞
(
n − 1
n + 1
)2n
a) 1 b) e−2 c) e−4 d) e−
√
2
7. lim
n→∞
n sin
√
n
n2 + n − 1
a) 1 b) 0 c) +∞ d) Không tồn tại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 15 / 51
Giới hạn hàm số
Hàm số y = f (x) được nói là có giới hạn bằng L khi x
tiến về a nếu có thể làm cho giá trị của f gần L tùy ý
bằng cách cho x đủ gần a (nhưng khác a).
Ký hiệu: lim
x→a f (x) = L
Ví dụ: xét hàm số f (x) = x2 − x + 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 16 / 51
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 17 / 51
Các chú ý:
Giới hạn hàm số khi x → a chỉ liên quan tới giá trị
của f xung quanh a, không liên quan giá trị của f
tại a, thậm chí f có thể không xác định tại a.
Ví dụ: Xét lim
x→1
x − 1
x2 − 1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 18 / 51
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 19 / 51
Máy tính chỉ tính xấp xỉ nên giá có thể tính sai
trong một số trường hợp. Ví dụ:
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 20 / 51
Tính các giá trị xung quanh chỉ có tác dụng gợi ý về
giới hạn. Trong một số trường hợp không chính xác.
Ví dụ: Dự đoán giá trị lim
x→0
sin
pi
x
bằng cách tính giá trị
tại x =
1
2
, x =
1
3
, x = 0.1, x = 0.01, x = 0.001
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 21 / 51
Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa
Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số
Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở chứa a (có
thể ngoại trừ tại a). Ta nói giới hạn của f (x) khi x tiến
về a là bằng L nếu:
Với mọi ε > 0 cho trước, đều có số δ > 0 để cho:
nếu 0 < |x − a| < δ thì |f (x)− L| < ε
Tương tự, ta có các khái niệm giới hạn một phía:
Giới hạn trái của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá
trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là
x đủ gần a và x < a.
Ký hiệu giới hạn trái: lim
x→a−
f (x).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 22 / 51
Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về
bên trái a là bằng L nếu:
∀ε > 0,∃δ > 0 : a − δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε
Giới hạn phải của f khi x tiến về a là bằng L nếu
giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được,
miễn là x đủ gần a và x > a.
Ký hiệu giới hạn phải: lim
x→a+
f (x).
Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về
bên phải a là bằng L nếu:
∀ε > 0,∃δ > 0 : a < x < a + δ ⇒ |f (x)− L| < ε
Định lý: lim
x→a f (x) = L⇔ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 23 / 51
Ví dụ 1: Xác định các giá trị sau:
Ví dụ 2: Tính (a) lim
x→0+
|x |
x
(b) lim
x→0−
|x |
x
(c) lim
x→0
|x |
x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 24 / 51
Giới hạn hàm số (tt) - vô cùng
lim
x→a f (x) =∞ nếu: ∀M ∈ R,∃δ > 0 :
0 M.
lim
x→a f (x) = −∞ nếu: ∀N ∈ R,∃δ > 0 :
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < N.
lim
x→∞ f (x) = L nếu: ∀ε > 0,∃M ∈ R :
x > M ⇒ |f (x)− L| < ε.
lim
x→−∞ f (x) = L nếu: ∀ε > 0,∃N ∈ R :
x < N ⇒ |f (x)− L| < ε.
Tương tự cho các giới hạn:
lim
x→±∞ f (x) = ±∞ và limx→a± f (x) = ±∞
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 25 / 51
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 26 / 51
Tính chất giới hạn hàm số
lim
x→a f (x) = L
⇔ ∀{xn} nếu xn 6= a và lim xn = a thì lim f (xn) = L.
Cho c là hằng số. Nếu lim
x→a f (x) ∈ R và limx→a g(x) ∈ R thì:
1. lim
x→a[f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x)
2. lim
x→a[c f (x)] = c limx→a f (x)
3. lim
x→a[f (x) · g(x)] = limx→a f (x) · limx→a g(x)
4. lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
với lim
x→a g(x) 6= 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 27 / 51
Với n là số nguyên dương, ta có:
5. lim
x→a [f (x)]
n =
[
lim
x→a f (x)
]n
6. lim
x→a c = c và limx→a x = a
7. lim
x→a x
n = an
8. lim
x→a
n
√
x = n
√
a (a > 0 nếu n chẵn)
9. lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) ( limx→a f (x) > 0 nếu n
chẵn)
Như vậy nếu f là một đa thức hay hàm hữu tỉ và a nằm
trong miền xác định của nó thì:
lim
x→a f (x) = f (a)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 28 / 51
Ví dụ: Tính các giới hạn
1. lim
x→−2
(x2 − x − 2) (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 6
2. lim
x→4
x2 +
√
x − 1
x2 − 1 (a)
17
15 (b)
16
15 (c)
15
17 (d)
15
16
• Nếu f (x) = g(x),∀x 6= a thì lim
x→a f (x) = limx→a g(x).
3. lim
x→1
x − 1
x2 − 1 (a)
1
2 (b) 2 (c)
1
3 (d) 3
4. lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
(a) 16 (b) 1 (c) 6 (d) −6
5. Cho g(x) =
{
x + pi, nếu x 6= 1
2, nếu x = 1
. Tính lim
x→1
g(x).
(a) pi (b) pi + 1 (c) 2 (d) pi + 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 29 / 51
• Nếu giá trị của f ở bên trái và bên phải a khác nhau
thì ta tính lim
x→a+
f (x) và lim
x→a−
f (x).
Ví dụ:
6. Cho f (x) =
{ √
1+ x , nếu x > −1
1, nếu x < −1
lim
x→−1
f (x) = (a) 1 (b) 0 (c) −1 (d) Không tồn tại.
7. Cho g(x) =

√
x + 1− 1
x
, nếu x > 0√
x2 +
1
4
, nếu x ≤ 0
lim
x→0
g(x) = (a)
1
2
(b)
1
4
(c) 1 (d) Không tồn tại.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 30 / 51
Trong một số trường hợp ta cần dùng giới hạn kẹp.
Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ở xung quanh a (có thể ngoại
trừ tại a) và lim
x→a f (x) = limx→a h(x) = L
thì khi đó: lim
x→a g(x) = L
Chú ý: lim
x→a f (x) = 0⇔ limx→a |f (x)| = 0.
Ví dụ:
8. lim
x→0
x sin
pi
x
(a) 0 (b) 1 (c) pi (d) Không tồn tại
9. lim
x→0+
√
xesin
pi
x
(a) e (b) pi (c) 0 (d) Không tồn tại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 31 / 51
Giới hạn các hàm sơ cấp
Các hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác, lượng
giác ngược được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản.
Tổng, hiệu, tích, thương, hợp nối các hàm sơ cấp cơ
bản được gọi là các hàm sơ cấp.
Người ta chứng minh được kết quả sau.
Nếu a thuộc tập xác định của hàm sơ cấp f thì:
lim
x→a f (x) = f (a)
Như vậy nếu f là hàm sơ cấp thì khi tính giới hạn x → a
với a thuộc tập xác định thì chỉ cần thay a vào biểu thức
của f .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 32 / 51
Tính toán với ±∞ – dạng vô định
Khi gặp giới hạn có ±∞, ta tính như sau (∀a ∈ R)
1. a + (±∞) = ±∞, (±∞) + (±∞) = (±∞)
2. a · (±∞) =
{ ±∞, nếu a > 0 hoặc a = +∞
∓∞, nếu a < 0 hoặc a = −∞
3.
a
±∞ = 0,
1
0
=
{
+∞, nếu mẫu dương
−∞, nếu mẫu âm
4. Các biểu thức có dạng:
∞−∞, 0 · ∞, 0
0
,
∞
∞
là các dạng vô định.
Sẽ nói về cách khử dạng vô định ở phần sau.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 33 / 51
Ví dụ:
1. lim
x→∞(x
2 − x) (a) 0 (b) 1 (c) −∞ (d) +∞
2. lim
x→0
1
x2
(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không tồn tại
3. lim
x→0
1
x
(a) −∞ (b) 1 (c) +∞ (d) không tồn tại
4. lim
x→1+
1
1− x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃
5. lim
x→1−
1
1− x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃
6. lim
x→∞(
√
x − 3√x −√x)
(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1
2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 34 / 51
Tính toán với ±∞ – dạng vô định (tt)
5. Với α > 0: (+∞)α = +∞.
6. Với a > 1: a+∞ = +∞ và a−∞ = 0.
7. Với a > 1: loga(+∞) = +∞ và loga(0+) = −∞.
8. sin(±∞), cos(±∞), tan(±∞), cot(±∞) đều không
tồn tại.
tan
(
pi
2
−) = +∞, tan (−pi2+) = −∞
cot (0+) = +∞, cot (pi−) = −∞
9. arctan(+∞) = pi2 , arctan(−∞) = −pi2
10. Các biểu thức có dạng:
∞0, 00, 1∞
là các dạng vô định.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 35 / 51
Một số giới hạn quan trọng
1. lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
1− cos x
x2
=
1
2
2. lim
x→0
ex − 1
x
= 1, lim
x→0
ln(1+ x)
x
= 1
Ví dụ:
1. lim
x→0
ln
sin x
x
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) không ∃
2. lim
x→∞ cos e
−x2 (a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) không ∃
3. lim
x→1−
[
sin
(
e
1
1−x
)]
(a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 36 / 51
4. lim
x→1+
[
sin
(
e
1
1−x
)]
(a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃
5. lim
x→0
(1+ x)1/x
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) ∞
6. lim
x→0
(cos x)1/x
2
(a) 1 (b) 1√
e
(c) 1e (d)
1
e2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 37 / 51
Đại lượng VCB
Hàm số α(x) được gọi là đại lượng VCB khi x → x0 nếu
lim
x→x0
α(x) = 0
Tính chất:
Nếu α(x), β(x) là những VCB khi x → x0 thì
α(x)± β(x), α(x)β(x) là những VCB khi x → x0.
Nếu α(x) là VCB khi x → x0, β(x) bị chặn trong
lân cận nào đó của x0 thì α(x)β(x) cũng là VCB khi
x → x0
lim
x→x0
f (x) = a⇔ f (x) = a + α(x), với α(x) là VCB
khi x → x0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 38 / 51
So sánh các VCB
Các VCB α(x), β(x) (khi x → x0) được gọi là những
VCB so sánh được nếu tồn tại giới hạn: lim
x→x0
α(x)
β(x)
= c
(c có thể là ±∞). Khi đó nếu:
1. c 6= 0, c 6= ±∞ thì ta nói α(x), β(x) là những VCB
cùng cấp.
2. c = 0 thì ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x).
Ký hiệu: α(x) = o(β(x)) khi x → x0.
3. c = ±∞ thì ngược lại t/h 2.
Ví dụ: So sánh các VCB sau khi x → 0
1− cos x , x2, x ; và xm, xn với (m > n)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 39 / 51
VCB tương đương
Các VCB α(x), β(x) (khi x → x0) được gọi là các VCB
tương đương nếu: lim
x→x0
α(x)
β(x)
= 1.
Ký hiệu: α(x) ∼ β(x) khi x → x0
Một số VCB tương đương x → 0
1. sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ x
2. (1− cos x) ∼ 1
2
x2
3. ln(1+ x) ∼ (ex − 1) ∼ x
4. [(1+ x)α − 1] ∼ αx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 40 / 51
Các quy tắc khi dùng VCB
1. Nếu α(x) ∼ α1(x), β(x) ∼ β1(x) thì
[α(x)β(x)] ∼ [α1(x)β1(x)]
và lim
x→x0
α(x)
β(x)
= lim
x→x0
α1(x)
β1(x)
Như vậy khi tính giới hạn có thể thay các vô cùng bé
tương đương vào tích, thương.
2. Nếu α(x) = o(β(x)) thì α(x) + β(x) ∼ β(x).
Nghĩa là tổng 2 VCB khác cấp sẽ tương đương với VCB
cấp thấp hơn.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 41 / 51
Ví dụ: Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
sin 2x
ln(1− 3x) (a) −
2
3
(b)
2
3
(c)
1
3
(d) −1
3
2. lim
x→0
1− cos x2
x tan3 x
(a)
1
3
(b) 1 (c)
1
2
(d) 2
3. lim
x→0
(1− ex)(1− cos 2x)
x3 + sin4 x
(a) 2 (b) −2 (c) 1
2
(d) −1
2
4. lim
x→0
sin
(√
x + 1− 1)+ x2 + 3 tan2 x
sin x3 + 2x
(a) 2 (b) 4 (c)
1
2
(d)
1
4
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 42 / 51
3. Nếu α(x) và β(x) là các VCB cùng cấp khi x → x0,
với lim
x→x0
α(x)
β(x)
6= −1 và nếu α(x) ∼ α1(x), β(x) ∼ β1(x)
thì khi đó [α(x) + β(x)] ∼ [α1(x) + β1(x)].
Ví dụ:
5. lim
x→0
cos x + ln(1− tan2 x)− 1
sin2 x + cos(2x)− 1
(a) 3 (b) −2 (c) −1
2
(d)
3
2
6. lim
x→0
3
√
8+ x2 + sin(tan2 x)− 2
1− cos 3x + x3
(a)
7
18
(b)
13
18
(c)
13
54
(d)
7
54
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 43 / 51
Hàm số liên tục
Hàm số f được nói là liên tục tại a nếu f xác định tại a,
giới hạn khi x → a của f tồn tại, và lim
x→a f (x) = f (a).
Nếu f không liên tục tại a ta nói f gián đoạn tại a.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 44 / 51
Liên tục một phía
f được nói là liên tục trái tại a nếu lim
x→a−
f (x) = f (a).
f được nói là liên tục phải tại a nếu lim
x→a+
f (x) = f (a).
Ví dụ: Xét sự liên tục, liên tục trái, liên tục phải của
1. f (x) =
{
ex , nếu x > 0
x2, nếu x ≤ 0 tại x = 0
2. f (x) =
 x
2 − x − 2
x − 2 , nếu x 6= 2
3, nếu x = 2
tại x = 2
3. f (x) =
{ 1
x2
, nếu x 6= 0
1, nếu x = 0
tại x = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 45 / 51
Hàm số f gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm sơ cấp thì liên tục trên các khoảng xác định của nó.
Ví dụ: Tìm a để hàm số
1. f (x) =
 x
2 − x
x2 − 1 , nếu x 6= 1
a, nếu x = 1
liên tục tại x = 1
(a) 1 (b)
1
2
(c)
1
3
(d) không tồn tại
2. f (x) =
{
ln |x − 2|, nếu x 6= 2
a, nếu x = 2
liên tục tại x = 2
(a) 1 (b) 0 (c) −1 (d) không tồn tại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 46 / 51
3. f (x) =
 arcsin
(
1−√x
1− x
)
, nếu x > 0 và x 6= 1
a
3
+ 1, nếu x = 1
liên tục trên (0,∞)
(a) pi − 3 (b) pi + 3 (c) pi
3
− 2 (d) pi
2
− 3
4. f (x) =
{
ax2 + 2x , nếu x < 2
x3 − ax , nếu x ≥ 2 liên tục trên R
(a)
1
2
(b)
2
3
(c)
3
2
(d) không tồn tại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 47 / 51
Tìm a, b để các hàm số sau liên tục trên R
5. f (x) =

x2 − 4
x − 2 , nếu x < 2
ax2 − bx + 3, nếu 2 ≤ x < 3
2x − a − b, nếu x ≥ 3
(a) (a, b) = (
1
3
,
1
6
) (b) (a, b) = (
1
6
,
1
3
)
(c) (a, b) = (
1
2
,
1
6
) (d) (a, b) = (
1
6
,
1
2
)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 48 / 51
Một số tính chất
1. Nếu f và g đều liên tục tại a thì các hàm sau cũng
liên tục tại a:
f ± g , c f , f g , f
g
(với g(a) 6= 0).
2. Nếu f liên tục tại b và lim
x→a g(x) = b thì:
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
3. Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g(a) thì hàm hợp
nối (f ◦ g)(x) = f (g(x)) liên tục tại a.
(sinh viên tự đọc thêm)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 49 / 51
Hàm liên tục trên khoảng đóng
Định lý giá trị trung gian
Giả sử f liên tục trên khoảng [a, b], lấy N là con số bất
kỳ nằm giữa f (a) và f (b) (ở đây giả sử f (a) 6= f (b)).
Khi đó tồn tại số c ∈ (a, b) sao cho f (c) = N.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 50 / 51
HẾT
Chương 1
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 51 / 51