Bài giảng Automata và ngôn ngữ hình thức - Chương 4: Văn phạm chính quy và các tính chất

1 
Văn phạm chính quy 
& các tính chất 
Nội dung: 
• Văn phạm chính quy (RG: Regular Grammar) 
• Sự tương đương giữa RG và FA 
• Bổ đề bơm cho tập hợp chính quy 
• Tính chất đóng của tập hợp chính quy 
Chương 4: 
2 
Văn phạm chính quy 
Văn phạm chính quy: là văn phạm mà tất cả các luật sinh 
của nó đều có dạng tuyến tính trái (hoặc tuyến tính 
phải) 
• Tuyến tính trái: dạng A  Bw hoặc A  w 
• Tuyến tính phải: dạng A  wB hoặc A  w 
Văn phạm chính quy, ngôn ngữ chính quy, biểu thức chính 
quy và tập hợp chính quy: 
• Văn phạm chính quy sinh ra ngôn ngữ chính quy 
• Ngôn ngữ chính quy có thể được ký hiệu đơn giản 
bằng một biểu thức chính quy 
• Tập hợp các chuỗi được ký hiệu bởi một biểu thức 
chính quy được gọi là tập hợp chính quy 
3 
Sự tương đương giữa RG & FA 
Định lý 4.1: Nếu L được sinh ra từ một văn phạm chính quy 
thì L là tập hợp chính quy 
Ý nghĩa: một văn phạm chính quy có thể được biểu diễn bởi 
một Automata hữu hạn. 
Ví dụ: xét văn phạm tuyến tính phải: S  0A ; A  10A | ε 
• Nếu A là một biến: δ([A], ε) = { | A   là một luật sinh} 
• Nếu a là một ký hiệu kết thúc: δ([a], a) = { [] } 
• Trạng thái bắt đầu [S], trạng thái kết thúc [ε] 
[0A] 
[A] [] 
0 Start 
 
[10A] 
[S] 
 
1 
 
4 
Sự tương đương giữa RG & FA 
Ví dụ: xét văn phạm tuyến tính trái: S  S10 | 0 
• Đảo ngược văn phạm tuyến tính trái  tuyến tính phải 
S  01S | 0 
 [S] 
[01S] 
[] 
Start 
 
[0] 
[1S] 
 
1 
0 
• Đảo ngược automata 
0 
[0] 
 Start 
 
[01S] 
[] 
0 1 
0 
[S] [1S] 
5 
Sự tương đương giữa RG & FA 
Định lý 4.2: Nếu L là một tập hợp chính quy thì L được sinh 
ra từ một văn phạm tuyến tính trái hoặc một văn phạm 
tuyến tính phải nào đó 
Ý nghĩa: một Automata hữu hạn có thể được biểu diễn bởi 
một văn phạm chính quy. 
Ví dụ: xét DFA cho 0(10)* 
A C B 0 
1 
0, 1 
Start 
D 
0 
1 1 0 
6 
Sự tương đương giữa RG & FA 
Tuyến tính phải: xét hàm chuyển trạng thái δ(p, a) = q 
• Ta có luật sinh: p  aq 
• Ngoài ra, nếu q là trạng thái kết thúc, ta có thêm luật 
sinh: p  a 
• Nếu q0 là trạng thái kết thúc, thêm vào: S  q0 | ε 
A  0B | 1D | 0 
B  0D | 1C 
C  0B | 1D | 0 
D  0D | 1D 
A  0B | 0 
B  1C 
C  0B | 0 
Do biến D không có ích: 
Tuyến tính trái: 
• Bắt đầu với một NFA cho LR 
• Đảo ngược chuỗi vế phải cho tất cả mọi luật sinh của 
văn phạm vừa thu được 
7 
Bổ đề bơm cho tập hợp chính quy 
Bổ đề 4.1: nếu L là tập hợp chính quy thì có tồn tại hằng số n 
sao cho nếu z là một từ bất kỳ thuộc L và |z| ≥ n thì ta có 
thể viết z=uvw với |uv| ≤ n, |v| ≥ 1 và i ≥ 0 ta có uviw  L 
Chứng minh: 
• L là ngôn ngữ chính quy  tồn tại DFA M=(Q, Σ, δ, q0, F) có 
n trạng thái chấp nhận L. 
• Xét chuỗi nhập z = a1a2am, m ≥ n 
• Với mỗi i=1,2,,m, ta đặt δ(q0, a1a2ai) = qi 
• Phải có ít nhất 2 trạng thái trùng nhau 
• z  L  qm  F  a1ajak+1am  L(M)  
a1aj(aj+1ak)
iak+1am  L(M), với i ≥ 0 
q0 
a1. . . aj 
qm qj=q
k 
ak+1. . am 
aj+1. . ak 
u 
v 
w 
8 
Bổ đề bơm cho tập hợp chính quy 
Ứng dụng của bổ đề bơm: dùng để chứng tỏ một tập hợp 
không là tập hợp chính quy 
Ví dụ: chứng minh tập hợp L = { | i là số nguyên, i ≥ 1} 
không làp tập hợp chính quy 
Chứng minh: 
• Giả sử L là tập chính quy → tồn tại DFA chấp nhận L. 
Gọi n là số trạng thái của DFA. 
• Xét chuỗi z = 
• Theo bổ đề bơm: z=uvw với 1≤ lvl ≤ n và uviw  L 
• Xét i = 2, ta phải có uv2w  L 
• Mặt khác: n2 = lzl = luvwl < luvvwl ≤ n2 + n < (n+1)2 
• Do n2 và (n+1)2 là 2 số chính phương liên tiếp nên 
luv2wl không thể là một số chính phương, hay uv2w 
không thuộc L (trái giả thiết). 
0 
n
2
0
i
2
9 
Tính chất đóng của tập hợp chính quy 
Một phép toán là đóng đối với tập chính quy khi áp dụng 
chúng vào tập hợp chính quy thì vẫn giữ được các tính 
chất của tập chính quy. 
Định lý 4.3: tập hợp chính quy đóng với các phép toán: hợp, 
nối kết và bao đóng Kleen. 
Định lý 4.4: tập hợp chính quy đóng với phép lấy phần bù. 
Định lý 4.5: tập hợp chính quy đóng với phép giao