Bài giảng Các phương pháp số - Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn - Trường ĐH Kiến trúc Hà Nội

(x), N4(x) còn được đặt tên là các hàm
H1(x), H2(x), H3(x), H4(x) . Đây là các hàm nội suy Hermite bậc 3.
(3.4)
27
 
1
2 2
3 2 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
A
3 / l 2 / l 3 / l 1/ l
2 / l 1/ l 2 / l 1/ l

 
 
 
   
 
 
    
1 2 3
2 2
3 2 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
N P(x) A 1 x x x
3 / l 2 / l 3 / l 1/ l
2 / l 1/ l 2 / l 1/ l

 
 
         
 
 
 
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
1 2 3 4
3x 2x 2x x 3x 2x x x
(1 ) (x ) ( ) ( )
l l l l l l l l
N (x) N (x) N (x) N (x)
 
        
 

2 3 2 3
1 1 2 22 3 2
2 3 2 3
3 3 4 42 3 2
3x 2x 2x x
H (x) N (x) (1 );H (x) N (x) (x )
l l l l
3x 2x x x
H (x) N (x) ( );H (x) N (x) ( )
l l l l
       
      
3.4. HÀM CHUYỂN VỊ - HÀM DẠNG
Hàm chuyển vị của dầm chịu uốn:
Đồ thị các hàm dạng xấp xỉ
của độ võng
28
  
4
1
( ) i ie
i
v x N N

   
3.5. XÂY DỰNG PT CÂN BẰNG - MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PT
1. Biến dạng và ứng suất tại một điểm trong PT
• Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:
: ma trận chứa đạo hàm của hàm dạng
• Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:
:ma trận đàn hồi, chứa các đặc trưng đàn hồi của kết
cấu
 B
 D
29
                  
e e
u N B     B N 
            
e
D D B
3.5. XÂY DỰNG PT CÂN BẰNG - MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PT
2. Thê ́ năng toàn phần của PT
• Thê ́ năng toàn phần của PT
• Thê ́ năng biến dạng của PT
• Công của ngoại lực
• Ta có:
• Thê ́ năng toàn phần của PT
=
e
e  e = Ue - We 
eU
eW
        
TT
e e e e
V
1
U W B D B dV
2
 
     
 
          
TT T
ne e e
S
P N q dS
 
   
 
e
30
            
 
      
 
 
TT T
e e e
V V
1 1
U dV B D B dV
2 2
       
T T
e ne e
S
W P u q dS   
              
T TT T
e e e
u N u N N      
         
TT T
e ne e e
S
W P N q dS    
3.5. XÂY DỰNG PT CÂN BẰNG - MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PT
3. Ma trận độ cứng của PT
• Đặt (3.5) gọi là ma trận độ cứng của
PT
• Ma trận độ cứng của PT chứa các đặc trưng cơ học va ̀ hình
học của PT
• là ma trận đối xứng nên tích cũng đối xứng.
• là ma trận vuông đối xứng, kích thước bằng tổng các
thành phần chuyển vị tại các nút của PT.
 
e
K
      
T
e
V
K B D B dV 
 D     
T
B D B
 
e
K
31
3.5. XÂY DỰNG PT CÂN BẰNG - MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PT
4. Vectơ tải trọng nút của PT
• Đặt (3.6)
gọi là vectơ tải trọng nút của PT.
• được xây dựng bởi ngoại lực đặt tại nút PT va ̀ ngoại
lực đặt trong PT quy vê ̀ nút
 
e
F
           
T
n n qe e e e
S
F P N q dS P P   
 
e
F  n eP
 q eP
     
T
q e
S
P N q dS 
32
3.5. XÂY DỰNG PT CÂN BẰNG - MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PT
5. Thiết lập phương trình cân bằng
• Công thức tính thê ́ năng toàn phần của PT:
• Theo nguyên lý dừng thê ́ năng toàn phần
• Áp dụng phép lấy đạo hàm riêng, thu được phương trình cân
bằng của PT thứ e:
(3.7)
              
T T
e e e e ee
1
K F
2
 

    
 
e
e
e
0 0
 
 
 
 
  
  
   
 
 
 
e
1
e e
2e
0
...
     
e ee
K F 0         e eeK F
33
3.6. PHÉP CHUYỂN TRỤC TỌA ĐỘ
• Hê ̣ tọa độ riêng (hê ̣ tọa độ địa phương ) : HTĐR (x,y,z)
• Hê ̣ tọa độ chung (hê ̣ tọa độ tổng thê ̉ của kết cấu): HTĐC (x’, y’,
z’ )
• Trong HTĐR xyz với PT thứ e : {F}e ,[K]e, {}e lần lượt là vectơ
tải trọng nút, ma trận độ cứng và vectơ chuyển vị nút PT .
• Trong HTĐC x’y’z’ với PT thứ e : {F’}e ,[K’]e, {’}e lần lượt là
vectơ tải trọng nút, ma trận độ cứng và vectơ chuyển vị nút PT
• Thiết lập mối quan hệ giữa {}e và {’}e:
{}e =[T]e {’}e
trong đó : [T]e - là ma trận chuyển đổi các thành phần chuyển vị
nút từ hệ toạ độ chung x’y’z’ về hệ toạ độ riêng xyz (gọi tắt là ma
trận biến đổi toạ độ).
34
3.6. PHÉP CHUYỂN TRỤC TỌA ĐỘ
• Vectơ tải trọng nút {F}e phù hợp về thứ tự, phương và dấu với
vectơ chuyển vị nút {}e nên có thể viết:
{F}e =[T]e {F’}e
• Thế năng biến dạng toàn phần của PT e sẽ là:
• Ma trận độ cứng trong HTĐC
• Vectơ tải trọng nút trong HTĐC
{F’}e =[T]
T
e {F}e
              
T T
e e e e ee
1
K F
2
                     
T TT T
e e e ee e e e e
1
' T K T ' ' T T F'
2
             
T T
e e e ee
1
' K ' ' ' F '
2
[K’]e = [T]
T
e [K]e [T]e [T]
T
e [T]e = [I] [T]
T
e = [T]
-1
e
35
3.6. PHÉP CHUYỂN TRỤC TỌA ĐỘ
Ma trận biến đổi toạ độ [T]e của PT thanh 2 đầu nút cứng
chịu uốn ngang phẳng va ̀ kéo nén
Vectơ chuyển vị nút của PT trong HTĐR Vectơ chuyển vị nút của PT trong HTĐC
Xét quan hệ chuyển vị nút tại đầu i giữa HTĐC của kết cấu và HTĐR của
PT:
   
T
i i i k k ke
u v u v       
T
i i i k k ke
' u' v ' ' u' v ' '   
ui = u’i .cos + v’i.sin 
vi = - u’i .sin + v’i.cos 
i = ’i 
  
i i
'
i i i i
i i
u cos sin 0 u
v sin cos 0 v L
0 0 1
      
              
           
36
3.6. PHÉP CHUYỂN TRỤC TỌA ĐỘ
Ma trận biến đổi toạ độ [T]e của PT thanh 2 đầu nút cứng
chịu uốn ngang phẳng và kéo nén
Xét với cả PT i-k, quan hệ giữa {}e và {’}e được biểu diễn:
(3.8)
   
   
        
              
             
        
        
        
     
            
i i i
i i i
ii i i
kk k k
k k k
k k k
u u ucos sin 0 0 0 0
v v vsin cos 0 0 0 0
L 0 0 0 1 0 0 0
0 Lu u u0 0 0 cos sin 0
v v v0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1






 
e
cos sin 0 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
T
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
  
 
  
 
 
  
  
   
 
 
k i k i
2 2
k i k i
x x y y
cos c ;sin s ;
l l
l (x x ) (y y )
    
     
      
37
3.6. PHÉP CHUYỂN TRỤC TỌA ĐỘ
Ma trận biến đổi toạ độ [T]e của PT thanh đầu i
nút cứng đầu k khớp chịu uốn ngang phẳng và kéo nén
Vectơ chuyển vị nút của PT trong HTĐR va ̀ HTĐC:
(3.9) (3.9)
   
T
i i i k ke
u v u v      
T
i i i k ke
' u' v ' ' u' v '  
 i
cos sin 0
L sin cos 0
0 0 1
  
 
   
 
  
 k
cos sin
L
sin cos
  
  
   
   
   
        
                     
           
               
               
i i i
i i i
i
i i i
k
k k k
k k k
u u ucos sin 0 0 0
v v vsin cos 0 0 0
L 0
0 0 1 0 0
0 L
u u u0 0 0 cos sin
v v v0 0 0 sin cos
 
  
 
  
 
  
 
  
    
e
cos sin 0 0 0
sin cos 0 0 0
T 0 0 1 0 0
0 0 0 cos sin
0 0 0 sin cos 38
3.6. PHÉP CHUYỂN TRỤC TỌA ĐỘ
Ma trận biến đổi toạ độ [T]e của PT thanh đầu i khớp
đầu k nút cứng chịu uốn ngang phẳng và kéo nén
Vectơ chuyển vị nút của PT trong HTĐR và HTĐC:
(3.10)
     
T
i i k k ie
u v u v      
T
i i k k ke
' u' v ' u' v ' '
 
  
 
   
 
  
k
cos sin 0
L sin cos 0
0 0 1
 
  
  
   
i
cos sin
L
sin cos
   
   
        
                     
           
                
               
i i i
i i i
i
k k k
k
k k k
k k k
u u ucos sin 0 0 0
v v vsin cos 0 0 0
L 0
u u u0 0 cos sin 0
0 L
v v v0 0 sin cos 0
0 0 0 0 1
 
  
 
  
 
  
 
  
    
e
cos sin 0 0 0
sin cos 0 0 0
T 0 0 1 0 0
0 0 0 cos sin
0 0 0 sin cos 39
3.6. PHÉP CHUYỂN TRỤC TỌA ĐỘ
Ma trận biến đổi toạ độ [T]e của PT thanh hai đầu khớp
chịu uốn ngang phẳng và kéo nén
(3.11)
 
  
  
   
i
cos sin
L
sin cos
 
  
 
  
  
  
 
   
e
cos sin 0 0
sin cos 0 0
T
0 0 cos sin
0 0 sin cos
 
  
  
   
k
cos sin
L
sin cos
40
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ - VÉC TƠ 
TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
• Hệ kết cấu được rời rạc hoá thành m PT, có m phương trình
cân bằng cho tất cả m PT trong hệ toạ độ riêng của từng PT.
• Khi chuyển về HTĐC của toàn kết cấu, gộp các phương trình
cân bằng của từng PT trong cả hệ, thu được phương trình cân
bằng cho toàn hệ kết cấu trong HTĐC:
[K’]{’} = {F’} (3.12)
• Lưu ý xếp đúng vị trí của từng thành phần trong [K’]e và {F’}e
vào [K’] và {F’}
41
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Áp dụng cách đánh số mã
Mỗi thành phần trong vectơ chuyển vị nút và trong vectơ tải trọng
nút tương ứng được dùng 2 số mã để đặt tên:
• Số mã cục bộ là số mã từ 1 đến ne (với ne là số bậc tự do của
PT e). Đây chính là thứ tự sắp xếp trong vectơ {’}e và {F’}e của
PT e.
• Số mã toàn thể là số mã từ 1 đến n (với n là số bậc tự do của
hệ). Đó chính là thứ tự sắp xếp trong vectơ {’} và {F’} của toàn
hệ kết cấu.
42
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Áp dụng cách đánh số mã
- Mỗi thành phần của [K’]e và {F’}e tương ứng với một số mã cục
bộ của chuyển vị nút cụ thể. Căn cứ vào số mã toàn thể của
chuyển vị nút cụ thể này mà sắp xếp vị trí của thành phần của
[K’]e và {F’}e vào đúng vị trí trong ma trận [K’] và vectơ {F’} của
toàn hệ kết cấu.
43
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Áp dụng cách đánh số mã
Ví dụ 1. Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [K’] và vectơ tải trọng
nút{F’} của toàn hệ kết cấu của hệ sau:
Lập bảng số mã
Phần tử Số mã cục bộ 
TT Loại  1 2 3 4 5 6 
 Số mã toàn thể 
1 0 1 2 3 4 5 
2 0 3 4 5 6 7 
3 -90o 3 4 8 9 
44
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Với mỗi PT, lập ma trận độ cứng [K’]e và vectơ tải trọng nút {F’}e trong
HTĐC: CB 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 TT
CB 1 2 3 4 5
3 4 5 6 7 TT 45
   
11 1
21 22 2
31 32 33 311
41 42 43 44 4
51 52 53 54 55 5
a d1 1 1
a a (dx) d2 2 2
K ' ; F'a a a d3 3 3
a a a a d4 4 4
a a a a a d5 5 5
   
   
    
    
   
   
      
   
11 1
21 22 2
31 32 33 322
41 42 43 44 4
51 52 53 54 55 5
b e1 3 3
b b (dx) e2 4 4
K ' ; F'b b b e3 5 5
b b b b e4 6 6
b b b b b e5 7 7
   
   
    
    
   
   
      
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Với mỗi PT, lập ma trận độ cứng [K’]e và vectơ tải trọng nút {F’}e trong
HTĐC:
CB 1 2 3 4
3 4 8 9 TT
46
   
11 1
21 22 2
33
31 32 33 3
41 42 43 44 4
c f1 3 3
c c (dx) f2 4 4
K ' ; F'
c c c f3 8 8
c c c c f4 9 9
   
   
     
   
     
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Ma trận độ cứng tổng thể và ma trận tải trọng tổng thê ̉
1 2 3 4 5 6 7 8 9
47
 
 
   
     
11
21 22
31 32 33 11 11
41 42 43 21 21 44 22 22
51 52 53 31 54 31 55 33
41 42 43 44
51 52 53 54 55
31 32 33
41 42 43 44
a 1
a a dx 2
a a a b c 3
a a a b c a b c 4
K ' a a a b a b a b 5
0 0 b b b b 6
0 0 b b b b b 7
0 0 c c 0 0 0 c 8
0 0 c c 0 0 0 c c 9
 
 
 
  
 
    
    
 
 
 
 
 
 
 
        
T
1 2 3 1 1 4 2 2 5 3 4 5 3 4F' d d d e f d e f d e e e f f     
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Xử lý điều kiện biên
Hê ̣ phương trình cân bằng của hê ̣ khi chưa gán điều kiện biên có dạng:
- Hệ phương trình trên suy biến, không xác định được nghiệm do [K’] là
ma trận đối xứng nên có det [K’] =0
- Vê ̀ mặt cơ học là hê ̣ biến hình
- Để hệ là bất biến hình cần gán cho hệ các điều kiện biên (cho một số
chuyển vị nút nào đó bằng 0 hay bằng một gia ́ trị xác định). Lúc này
phương trình cân bằng của toàn hê ̣ không suy biến va ̀ có dạng:
(3.13)
    K' ' F' 
     K * * F *
48
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Các trường hợp điều kiện biên
• Trường hợp 1: Thành phần chuyển vị tại một nút của PT bằng 0 do
tương ứng với các thành phần chuyển vị này là các liên kết với đất
• Trường hợp 2: Thành phần chuyển vị nút cho trước một giá trị xác
định, thí dụ m = a (hay liên kết tương ứng với các thành phần chuyển
vị nút m chịu chuyển vị cưỡng bức có giá trị bằng a)
Trường hợp 1: Thành phần chuyển vị tại một nút của PT bằng 0
Xử lý bằng cách:
• Cách 1: Không cho số mã của chuyển vị nút đó, hay ghi 0. Việc đánh
số mã toàn thể của chuyển vị nút theo thứ tự và vectơ chuyển vị nút
của toàn hệ chỉ bao gồm các chuyển vị nút còn lại.
49
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
• Cách 2: Các hàng và cột tương ứng với số mã chuyển vị nút bằng
không đều ghi số 0. Trong ma trận độ cứng tổng thể [K’] và vectơ tải
trọng nút tổng thể {F’} loại bỏ hàng, cột tương ứng với số mã chuyển
vị nút bằng không.
• Ví dụ 2: Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [K’] và vectơ tải trọng nút
{F’} của toàn hệ kết cấu (có xét tới điều kiện biên).
50
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Lập ma trận độ cứng [K’]e và vectơ tải trọng nút {F’}e của
từng PT trong HTĐC:
51
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Căn cứ vào bảng số mã, thu được ma trận độ cứng và vectơ tải
trọng nút tổng thể (có xét tới điều kiện biên) như sau:
 
 
   
     
        
33 11 11
43 21 21 44 22 22
53 31 54 32 55 33
T
3 1 1 4 2 2 5 3
a b c (dx) 1
K * a b c a b c 2
a b a b a b 3
1 2 3
F * d e f d e f d e
  
 
     
    
     
52
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Trường hợp 2. Thành phần chuyển vị nút cho trước một giá
trị xác định
Ví dụ m = a (hay liên kết tương ứng với các thành phần chuyển vị
nút m chịu chuyển vị cưỡng bức có giá trị bằng a).
Có thể xử lí theo 2 cách sau:
• Cách1: Trong ma trận độ cứng tổng thể [K’] và vectơ tải trọng
nút tổng thể {F’} gán một số A có độ lớn bằng vô cùng lần lượt
vào các vị trí : kmm - thay bằng (kmm +A); fm - thay bằng (kmm
+A).a
• Cách 2: coi các chuyển vị cưỡng bức là các nguyên nhân gây
ra tải trọng tại các đầu nút của các PT chịu trực tiếp chuyển vị
cưỡng bức.
53
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
- Các số mã PT, nút, chuyển vị nút vẫn chọn như trước, nhưng
chuyển vị nút tương ứng với chuyển vị cưỡng bức được coi =
0.
- Vectơ tải trọng nút lúc này là do chuyển vị cưỡng bức các liên
kết tựa,
được tổng hợp từ các vectơ tải trọng nút {P’}e của mỗi PT có liên
kết tựa chuyển vị cưỡng bức
nhận được bằng phản lực liên kết nút do chuyển vị cưỡng
bức gối tựa với dấu ngược lại.
     
T
e ee
P T P  
 
e
P
54
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Ví dụ 3. Thiết lập phương trình cân bằng của toàn hệ và xác định
chuyển vị nút của hệ, l = 4m.
Cách 1:
Lập bảng số mã khi xét tới điều kiện biên:
Vectơ chuyển vị nút của toàn hệ kết cấu trong HTĐC:
{*} = {1 2 3}
T = {vB B C }
T
Phần tử Số mã cục bộ 
TT Loại  1 2 3 4 5 6 
Số mã toàn thể 
1 0o 0 0 1 2 
2 0o 1 2 0 3 
3 0o 0 3 0 0 
55
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Vì 1 = a, nên trong ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải trọng
nút ta gán một số A có độ lớn bằng vô cùng lần lượt vào các vị trí :
k11 - thay bằng (k11 +A); f1 - thay bằng (k11 +A).a
  3 2 21
2
0 0
0 0EJ
K '
12EJ/ l 6EJ/ l 1 l 3 6 1
6EJ/ l 4EJ/ l 2 6 16 2
          
   
       
    
        
   
        
 
   
   
    
         
   
   
3 2 2
2
22
2
1 3 6 6 112EJ / l 6EJ / l 6EJ / l
2 6 16 8 26EJ / l 4EJ / l 2EJ / l EJ
K '
0 l 0
3 6 8 16 36EJ / l 2EJ / l 4EJ / l
  23
0 0
4EJ/ l 3 16 3EJ
K '
0 l 0
0 0
          
   
     
    
          
   
          
56
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Ma trận độ cứng và vectơ tải trọng nút tổng thể (có xét tới điều kiện biên)
Phương trình cân bằng của toàn hệ kết cấu:
Giải phương trình:
 
 
    
 
 
  
 
  
  
2 2
2 2
2 2 2
T
2
6EJ / l A 0 6EJ / l 1
K * 0 32EJ / l 8EJ / l 2
6EJ / l 8EJ / l 32EJ / l 3
1 2 3
F * 6EJ / l A a 0 0
 2 2 2
1
2 2
2
2 2 2
3
6EJ/ l A 0 6EJ/ l (6EJ/ l A)a
0 32EJ/ l 8EJ/ l 0
6EJ/ l 8EJ/ l 32EJ/ l 0
      
    
      
          
1 B
2 B
3 C
v a
0,05a
0,2a
    
   
       
        57
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Cách 2:
Hệ được chia thành các PT và được
đánh số nút như hình ve ̃
Lập bảng số mã khi xét tới điều
kiện biên:
Vectơ chuyển vị nút của
toàn hệ kết cấu trong HTĐC:
{*} = {1 2 }
T = { B C }
T
Xác định ma trận độ cứng toàn hệ kết cấu trong HTĐC (có xét tới điều
kiện biên)
Lập ma trận độ cứng [K’]e của từng PT trong HTĐC:
Phần tử Số mã cục bộ 
TT Loại  1 2 3 4 5 6 
Số mã toàn thể 
1 0o 0 0 0 1 
2 0o 0 1 0 2 
3 0o 0 2 0 0 
  21
0 0
0 0EJ
K '
0 l 0
4EJ/ l 1 16 1
          
   
       
    
          
   
        
58
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Ma trận độ cứng (có xét tới điều kiện biên):
Xác định vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu trong HTĐC (có xét tới điều
kiện biên)
  22
0 0
4EJ/ l 2EJ/ l 1 16 8 1EJ
K '
0 l 0
2EJ/ l 4EJ/ l 2 8 16 2
          
   
   
    
          
   
      
  23
0 0
4EJ/ l 2 16 2EJ
K '
0 l 0
0 0
          
   
     
    
          
   
          
  2
32 8 1EJ
K *
l 8 32 2
 
  
 
59
3.7. GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ - MA TRẬN ĐỘ CỨNG TỔNG THỂ -
VÉC TƠ TẢI TRỌNG NÚT CỦA TOÀN HỆ
Vectơ tải trọng nút toàn hệ kết cấu trong HTĐC (có xét tới điều kiện biên):
Phương trình cân bằng của toàn hệ kết cấu:
Giải phương trình cân bằng:
 
T
3 2 3 22
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
P a
l l l l

 
  
 
  2
0 1EJ
F *
l 6a 2
 
  
  1
2 2
2
32 8 0EJ EJ
l 8 32 l 6a
    
         
B1
C2
0,05a
0,2a
   
    
   
60