Bài giảng Cơ học kết cấu - Chương 5: Phương pháp lực và cách tính hệ phẳng siêu tĩnh

Chương 5 
PHƯƠNG PHÁP LỰC VÀ CÁCH TÍNH
HỆ PHẲNG SIÊU TĨNH
BỘ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO
TRƯỜNG Cð CN& QT SONADEZI
-------------------
BÀI GiẢNG: CƠ HỌC KẾT CẤU
ThS. VÕ XUÂN THẠNH
1
I/. Khái niệm về kết cấu siêu tĩnh:
1/. ðịnh nghĩa: hệ siêu tĩnh là hệ mà trong trạng 
thái khơng biến dạng nếu ta chỉ dùng các 
phương trình cân bằng tĩnh học thì khơng thể
xác định được tất cả các phản lực liên kết và nội 
lực trong hệ
2/. Bậc siêu tĩnh 
Bậc siêu tĩnh chính bằng số liên kết thanh 
thừa trong hệ ngồi số liên kết cần để hệ BBH
2
II/. Tính kết cấu siêu tĩnh bằng phương pháp lực 
1/. Cơng thức tính bậc siêu tĩnh 
Trường hợp nối đất 
1T+2K+3H+Co>3D
Cơng thức tính bậc siêu tĩnh n theo số chu vi kín 
n=3V-K
V: số chu vi kín
K : số khớp đơn cĩ trong hệ
n= 1T+2K+3H+Co-3D
3
Ví dụ
V= 2 
K = 5
(B) khớp bội = 2 khớp đơn
(C) khớp đơn = 1 
(D) khớp đơn = 1
(D’) khớp đơn =1
---------------- ----------------
cộng = 5 khớp đơn 
n= 3V – K = 3x2 – 5 =1
A
B
C
D
D’
4
2/. Nội dung của phương pháp lực 
a/. Hệ cơ bản:
Hệ cơ bản là hệ BBH được suy ra từ hệ siêu 
tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ đi tất cả hoặc một 
số liên kết thừa
P P x1
x2x3
“hệ siêu tĩnh “ “hệ cơ bản “
5
ðiều kiện để hệ cơ bản tương đương với hệ
thực là : chuyển vị tại các vị trí của liên kết thừa 
Xk bị loại bỏ phải bằng khơng 0=∆k
b/. Phương trình chính tắc 
0
0
0
2211
22222222121
11111212111
=∆+∆+∆+∆+δ++δ+δ
=∆+∆+∆+∆+δ++δ+δ
=∆+∆+∆+∆+δ+δ+δ
∆
∆
∆
nznnPnPnnnnn
ztPnn
ztPnn
X...XX
..........................................
X...XX
X...XX
6
Chú ý : khi chọn hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh chịu 
các chuyển vị cưỡng bức Z tại các gối tựa ta cần 
chú ý:
+ đối với các liên kết thừa khơng cĩ chuyển vị 
cưỡng bức cĩ thể loại bỏ và thay thế bằng các 
lực Xk
+ đối với liên kết thừa cĩ chuyển vị cưỡng bức ta 
qui định: chỉ được phép cắt bỏ và thay thế cặp lực 
Xk ngược chiều nhau và khơng được phép loại bỏ
7
X1
X1
X1
8
+ đối với thanh hai đầu khớp (khơng cĩ ngoại lực 
tác dụng ), được cắt thanh và thay thế cặp lực Xk 
ngược chiều nhau mà khơng được loại bỏ
X1 X1
≠∝EA
9
ðối với những trường hợp cĩ thể áp dụng cách “
nhân biểu đồ”, ta cĩ :
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ∑
∑
+++=δ
+++=δ
j j
jk
jkkkkkkkkk
j j
jm
jkmkmkmkkm
c
R
RQQNNMM
c
R
RQQNNMM
b/. Cách tính các số hạng kmkP δ,∆
10
jkkkk R,Q,N,M Là lực uốn, dọc, cắt và phản lực tại 
gối đàn hồi thứ j do lực xk =1 gây ra 
trong hệ cơ bản 
jmmmm R,Q,N,M Là lực uốn, dọc, cắt và phản lực tại 
gối đàn hồi thứ j do lực xm =1 gây 
ra trong hệ cơ bản 
jC Hệ số đàn hồi thứ j
11
Chú ý:
Các đại lượng 1/EJ; 1/EF; 1/GF tuy khơng viết 
trong biểu thức nhưng cần hiểu ngầm là vẫn tồn 
tại , khi tính phải thêm các đại lượng đĩ vào 
Trong biểu thức khơng viết dấu ∑
nhưng cũng cần hiểu là phải nhân biểu đồ trong 
tồn hệ
12
( )( ) ( )( ) ( )( ) ∑+++=∆
j j
jp
jk
o
pk
o
pk
o
pkkp
c
R
RQQNNMM
o
p
o
p
o
p Q,N,M Là các biểu đồ nội lực do riêng tải 
trọng gây ra trên hệ cơ bản
* Tải trọng 
13
* Thay đổi nhiệt độ
( ) ( ) ( )∑∑ Ωα+Ω−α=∆ kcmkmmkt NtMtth 12
* Chế tạo chiều dài thanh khơng chính xác 
i
i
ikk N ∆=∆ ∑∆
iki N;∆ độ dơi của thanh thứ i khi thanh được chế
tạo dài hơn chiều dài thiết kế và lực dọc 
trong thanh thứ i do Xk=1 gây ra trong hệ 
cơ bản
14
Ví dụ 1 : 
3EJ
EJ
A
BC
A
BC
X1
"HCB”
A
BC
90
q=5KN/m
EJEJEJ 3
160464
3
14
3
244
2
11
11 =×××+×××××=δ
EJEJp
2404690
3
1
3
1
1
−
=××××
−
=∆
6m
4m
KNX
EJ
X
EJ
5,4
0
240
3
160
1
1
=
=−×
o
pM
lh
3
1
=ω lxc 4
1
=
A
BC
4
4
1M
x1=1
15
B4x4,5=18
90
o
pM11 XM × pM
18
72
3EJ
EJ
A
BC
q=5KN/m
6m
4m
+
-
+
Q N
kNQ
Q
kNQ
CB
CA
AC
5,4
4
180
0
2
65
6
)72(18
30
2
65
6
)72(18
−=
−
=
=
×
−
−−
=
=
×
+
−−
=
4,5
30
4,5
16
2kN/m
2EJ 2EJ
EJ
6m 6m
4m
Ví dụ 2 
2kN/m
2EJ 2EJ
EJ
6m 6m
4mX1 X2
Hệ cơ bản 
17
EJ
180
2211 == δδ
EJ
144
2112
−
== δδ
Ví dụ 2 
EJp
864
1 =∆
EJEJEJp
1026643615,4636
3
1
2
1
2
−
=





×××+××××−=∆
2kN/m
2EJ 2EJ
EJ
6m 6m
4m
x1=1
x2=1
36
6 6
lh
3
1
=ω
lxc 4
1
=
1M 2M
o
pM
X1 X2
18
Phương trình chính tắc 
0
1026180144
0
864144180
21
21
=−+
−
=+−
EJ
X
EJ
X
EJ
EJ
X
EJ
X
EJ
kNXkNX
XX
XX
6
31
;
3
2
057108
02445
21
21
21
=
−
=
=−+−
=+−
19
X1=1
X2=1
36
6x(-2/3)
6x31/6
4 5
1
1M
2M opM pM
2kN/m
2EJ 2EJ
EJ
6m 6m
4m
pQ
2/3 41/6
31/6
pN
+
20
Ví dụ 3:
3m 3m
6m
12m
EJ
4EJ
EJ
X1
X2
X3
Hệ cơ bản
21
X1=1
X2=1
6
6
X3=1
1
1
X1
X2
X3
M1
M2 M3
6m
6m
22
3m 3m
6m
12m
EJ
4EJ
EJ
60 60
22,5
37,5
11,28
o
pM
-
+
+
-
Q
Mp
P=20kN P
20
5,36
23
4/. Phép đơn giản hố khi tính hệ siêu tĩnh theo 
phương pháp lực 
a/. Hệ cơ bản đối xứng 
24
•Với hệ đối xứng, chịu tải trọng đối xứng . 
Ta chọn hệ cơ bản đối xứng và sẽ cĩ cập ẩn 
lực phản đối xứng bằng khơng. Các biểu đồ M 
và N đối xứng, Q phản đối xứng 
P/2 P/2
X1 X2
P/2 P/2
X’1 X’1X’2
X’2X’2=0Ta cĩ : 
P/2 P/2
aa
25
•Với hệ đối xứng, chịu tải trọng phản đối 
xứng , ta vẫn chọn hệ cơ bản đối xứng, lúc 
nầy cặp ẩn lực đối xứng bằng khơng . Các 
biểu đồ M và N phản đối xứng, Q đối xứng 
P/2
X1 X2
X’1 X’1X’2
X’2
X’1=0Ta cĩ : 
a
P/2
P/2
a
a
P/2
26
•ðối với tải trọng bất kỳ trên hệ đối xứng ta cĩ
thể phân ra tải trọng đối xứng và phản đối xứng
a
P
P/2
aa
P/2
P/2
aa
P/2
27
2kN/m
2EJ 2EJ
EJ
6m 6m
4m
x1 x2
“HCB”
X’1
“HCB” chọn 
X’1 X’2
X’2
Ví dụ:
28
X’1=1
X’1=1
X’2=1
X’2=1
'
1M
0'21
'
12 == δδ
'
2M
Lúc nào ta cũng cĩ : 
12
6
6
36
0
PM
Tính 
EJ
72
=4×6×6×
2
1
×
EJ2
1
2=δ '11
EJ
648
=12×4×12×
EJ
1
+4×6×6×
2
1
×
EJ2
1
2=δ '22 29
X’1=1
X’1=1
X’2=1
X’2=1
'
1M
'
2M
12
6
6
36
0
PM
EJ
1890
12436
EJ
1
54636
3
1
EJ2
1
P2 =×××+××××+= ,
'
∆
EJ
162
-=5,4×6×36×3
1
×
EJ2
1
-=∆
'
P1
30
Phương trình chính tắc 
0=
EJ
1890
+X
EJ
648
0=
EJ
162
-X
EJ
72
'
2
'
1
Giải hệ
-2,92kN=X
kN25,2=X
'
2
'
1
Vậy ta cĩ : 
5,17kN-
67,0
'
2
'
12
'
2
'
11
==
=+=
XXX
kNXXX
31
b/. Vận dụng tính đối xứng của hệ
Trong phương pháp lực , với các hệ cĩ các yếu 
tố đối xứng , ta cĩ thể lợi dụng tính đối xứng để 
đơn giản trong tính tốn 
Người ta nhận thấy là : 
32
•Trong các hệ đối xứng, chịu tải trọng tác dụng 
đối xứng : 
Biểu đồ mơ men uốn M và lực dọc sẽ đối xứng, 
biểu đồ lực cắt Q sẽ phản đối xứng 
33
•Trong các hệ đối xứng, chịu tải trọng phản xứng:
Biểu đồ mơmen và lực dọc phản xứng, biểu đồ lực 
cắt đối xứng 
34
Dựa vào nhận xét trên, ta cĩ thể thay thế
việc tính trên hệ đối xứng bằng cách tính trên 
nửa hệ
Ta xét cụ thể các dạng sơ đồ đối xứng và các 
trường hợp tải trọng tác dụng 
35
b.1/.hệ đối xứng, cĩ 1 thanh trùng với trục đối 
xứng của hệ. Tải trọng tác dụng đối xứng 
A C B
C
Chọn nửa hệ để tính theo 
sơ đồ :
Nút C khơng cĩ chuyển vị
xoay, chuyển vị ngang và 
đứng 
36
b.2/. Hệ đối xứng tải trọng đối xứng, hệ khơng cĩ
thanh nằm trên trục đối xứng 
A C B
l/2 l/2
Tại C khơng cĩ chuyển vị
xoay, chuyển vị ngang, cĩ
chuyển vị đứng 
C
Chọn nửa hệ để tính theo 
sơ đồ :
37
b.3/. Hệ đối xứng, tải trọng đối xứng, cĩ khớp nằm 
trên trục đối xứng 
A C B
l/2 l/2
C khơng chuyển vị ngang, 
cĩ chuyển vị thẳng theo trục 
đối xứng, và các tiết diện hai 
bên khớp C cĩ chuyển vị 
xoay tương đối với nhau 
C
38
b.4/. Hệ đối xứng chịu tải phản xứng 
A C B
l/2 l/2
Tại tiết diện đối xứng cĩ
M=N=0 cịn Q khác khơng 
C
39
b.5/. Hệ đối xứng, cĩ trục thanh giữa trùng với 
trục đối xứng, chịu tải trọng phản xứng 
A C B
l/2 l/2
2J 2J
J J J
A C
l/2
2J
J J/2
40
5/.Tính dầm liên tục bằng phương pháp ba mơ men
a/. ðịnh nghĩa: 
Dầm liên tục là một thanh thẳng, đặt trên nhiều 
gối tựa , trong đĩ số gối tựa lớn hơn 2
b/. Bậc siêu tĩnh 
Hệ luơn luơn cĩ: D=1 ; T=0 ; K=0 ; H=0
Vậy : n = Co-3
41
c/. Hệ cơ bản 
Hoặc loại bỏ các gối tự thừa và thay tác dụng 
của chúng bằng các ẩn lực thừa X1, X2, X3
X1 X2
M1
__
42
Hoặc đặt khớp vào các tiết diện ở trên gối tựa 
trung gian và thêm vào các cặp ẩn lực X1, 
X2, ..Xn. Các cặp ẩn lực đĩ chính là các mơ 
men nội lực tại tiết diện gối tựa trung gian 
X1 X2
Với hệ cơ bản nầy là hợp lý nhất vì khi nhân biểu 
đồ sẽ thu được nhiều hệ số phụ 0δ km =
M1
__
43
d/. Phương trình ba mơ men của dầm liên tục 
-ðánh số thứ tự các gối 0,1,2,3,từ trái sang phải . 
Tên nhịp gọi theo tên gối bên trái nhịp , cụ thể tương 
ứng độ cứng EJ1, EJ2, , EJn
Trên hệ cơ bản , ký hiệu các ẩn lực thừa M1,M2,M3
0 1 2 3
EJ1 EJ2 EJ3
M4
4
5
EJ4 EJ5
M1 M2 M3
“HCB”
1l 2l 3l 4l 5l
,...l,l,l 321
44
0 1 2 3
M1=1
4 5
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
5
1l1 l2 l3 l4 l5
EJ1 EJ3 EJ4 EJ5
M2=1
M3=1 5
0 1 2 3 4 5
1l1 l2 l3 l4 l5
EJ1 EJ3 EJ4 EJ5EJ2
a2 b2 a3 b3
EJ2
P
0M
1M
2M
3M 45
0 1 2 3
M1=1
4 5
0 1 2 3 4 5
1l1 l2 l3 l4 l5
EJ1 EJ3 EJ4 EJ5
M2=1
2
22
2
21
EJ6
l
3
1
2
1l
EJ
1
=×
×
= )(δ
46
0 1 2 3 4 5
M2=1
3
3
2
23
3
2
2
22
EJ3
l
EJ3
l
3
2
2
1l
EJ
1
3
2
2
1l
EJ
1
+=×
×
+×
×
= )()(δ
47
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
5
M2=1
M3=1
5
3
33
3
23
EJ6
l
3
1
2
1l
EJ
1
=×
×
= )(δ
48
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
1l1 l2 l3 l4 l5
EJ1 EJ3 EJ4 EJ5
M2=1
33
33
22
22
3
3
3
32
2
2
2
p2
EJl
b
EJl
a
l
b
EJ
1
l
a
EJ
1 ωω
ωω∆ +=+=
EJ2
a2 b2
a2 b2
1
a3 b3
a3 b3
49
1
2
2 M
EJ6
l
2
3
3
2
2 M
EJ3
l
EJ3
l )+( 3
3
3 M
EJ6
l
33
33
22
22
EJl
b
EJl
a ωω ++ + + =0
0
EJl
b
EJl
a
M
EJ6
l
M
EJ3
l
EJ3
l
M
EJ6
l
1i1i
1i1i
ii
ii
1i
1i
1i
i
1i
1i
i
i
i
i
i =+++++
++
++
+
+
+
+
+
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
1)-( )(
ωω
Tại gối 2
Tại gối i 
1ii ll +, : chiều dài các nhịp ở hai bên gối i
1ii +ωω ,
ia
1ib +
: diện tích biểu đồ Mp ở trên nhịp thứ i và i+1o
:Khoảng cách từ trọng tâm diện tích đến gối 
trái nhịp thứ i,
: K/c từ trọng tâm đến gối phải nhịp i+1
iω
1i+ω
50
Nếu dầm cĩ n bậc siêu tĩnh ( hay n gối trung gian ) 
ta viết viết được n phương trình ba mơ men 
Chú ý: 
* Với dầm cĩ độ cứng EJi = const , khi đĩ 
phương trình ba mơ men tại gối i cĩ dạng 
0
l
b
l
a
6MlMll2Ml
1i
1i1i
i
ii
1i1iiiii =+++++
+
++
+++ )()(
)(
)()(
)()(1)(i)1-(
ωω
51
* Trường hợp dầm liên tục cĩ đầu thừa
o 1 2
a b
q P
Qui về dầm liên tục đơn giản 
o
1 2
PQo=qa
2
qa
M
2
o -= -Pa=2M
52
* Trường hợp dầm liên tục cĩ đầu ngàm cứng
o 1 2
Qui về dầm liên tục 
đơn giản 
1 2-1
3
o 3
lo
‡=EJ
53
e/.Vễ biểu đồ Mp, Qp
Mp = Mp +Mgo
Mg : biểu đồ mơ men gối do các gối Mi gây ra 
trên hệ cơ bản 
Cĩ biểu đồ Mp ta suy ra biểu đồ Qp
54
f/. Trình tự tính tốn: 
Sau khi xác định bậc siêu tĩnh ( hay gối trung gian ) 
và chọn hệ cơ bản ta tiến hành các bước: 
+ Bước 1: viết phương trình ba mơmen cho các 
gối trung gian thứ i 
+ Bước 2: Vẽ biểu đồ Mp do tải trọng gây ra 
trên hệ cơ bản . ðể vẽ Mp xem mỗi nhịp như 
một dầm đơn gian 
o
o
55
+ Bước 3: tính 1ii11i ba ++ ,,,ωω
Nếu trường hợp biểu đồ khĩ xác định diện tích và
trọng tâm , ta chia nhỏ biểu đồ trong mỗi nhịp 
thành những hình đơn giản và áp dụng cơng thức 
sau:
j1i
n
1j
j1i1i1i
ij
n
1j
ijii
bb
aa
)()( +
=
+++
=
×=×
×=×
‡”
‡”
ωω
ωω
56
+ Bước 4: giải hệ phương trình ba mơ men 
để xác định M1, M2, M3,,Mn. ðĩ là các 
mơ men gối
+ Bước 5: Vẽ biểu đồ mơ men gối Mg. Trên trục 
hồnh song song trục dầm, tại vị trí các gối thứ i 
đặt các tung độ Mi ( đã tính ở bước 4), nối các 
tung độ Mi ta được biểu đồ Mg 
57
+ Bước 6: Vẽ biểu đồ Mp = Mp+ Mgo
+ Bước 7: Vẽ biểu đồ Qp
58
2m
P=18kN q=2kN/m
6m 8m
2m
P=18kN
q=2kN/m
6m 8m
M1
“HCB”
EJ EJ
0 1 2
0 2
Ví du 1
59
2m
P=18kN
q=2kN/m
4m 8m
M1
“HCB”0
1
2
24 16
MP
o
(2x2)/3
(2+4/3) b2=4
0
l
b
l
a
6Mll2
2
22
1
11
121 =+++ )()( ωω
3
11 kNm192
3
4
2
2
244
3
22
2
242
a =+
×
+
××
= ))(()(ω
3
22 kNm
3
4256
4816
3
2
b
×
=×××=ω
60
0
8
1
3
4256
6
192
6M862 1 =×
×
+++ )()(
Suy ra: M1 = -16kNm
61
24 16
MP
o
b2=4
16 Mg
2m q=2kN/m
6m 8m
“HCB”
0
1
2
P=18kN
16/3 8
18,67
16
8
9,33
10
8,67 6
Q
62
q=3kN/m
4m3m
EJ 2EJ
0 1
2m
Ví du 2
6m
P=16kN
3m
q=3kN/m
4m3m
EJ 2EJ
0
1
6m
P=16kN
3m
M1
2
3
2
3
M3=-6
2EJ
2EJ
63
q=3kN/m
4m3m
EJ 2EJ
0
1
6m
P=16kN
3m
M1
2 3
M3=-6
24 13,5
2EJ
7 2,5
6
20,5
7
2,5
9,25
6
Mpo
Mg
Mp
Qp 6,82
9,17
1,75
8,42
9,58
6
M2
64
Ví dụ 3 q=2kN/m
m=6kN.m
P=8kN P=8kN
6m 4m 2m 4m 2m
0 1 2 3
0 1
2 3
-1
2EJ EJ 3EJ
q=2kN/m
Mo M1 M2
2EJ EJ 3EJ
6m 4m 2m 4m 2m
65
0 1
2 3
-1
q=2kN/mMo M1 M2
2EJ EJ 3EJ
6m 4m 2m 4m 2m
9
6
M=6kN.m
P=8kN P
16
9,5 1,01
3,9
1,01
3,99,5 4,75 13,8 15,03
7,75
4,25 1,23
8,49 0,49
7,51
Mp
Mg
Mp
Qp
o
66