Bài giảng Cơ học Môi trường liên tục - Chương II: Một số khái niệm về Tenxơ - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ
Đại lượng vô hướng
Đại lượng có hướng
Đại lượng Tenxơ
Đại lượng 
trong toán học 
và trong cơ 
học
Là những đại lượng mà với 
một đơn vị đo đã chọn nó 
được đặc trưng bằng một 
con số như: nhiệt độ, khối 
lượng,  
Là đại lượng được đặc 
trưng bởi giá trị theo đơn vị 
đo, phương và chiều trong 
không gian xác định, chẳng 
hạn: lực, vận tốc, gia tốc 
của chất điểm, 
Đặc trưng cho một trạng 
thái xác định nào đó của 
vật thể: trạng thái biến 
dạng, trạng thái ứng suất, 
Ten xơ là một đại lượng tổng quát, mà các đại lượng vô hướng, đại 
lượng vec tơ là trường hợp riêng của nó. Các đại lượng ten xơ có đặc 
điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô 
tả chúng.
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VUÔNG GÓC.
2.1.1 Hệ thống ký hiệu
- Ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số là:
- Qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh i,j, k lấy các giá trị 1, 2, 3. Do 
đó:
ai biểu thị một trong ba phần tử a1 , a2 , a3
aij biểu thị một trong chín phần tử a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33
aIjk biểu thị một trong 27 phần tử a111 , a112 ,..., a333
Hệ thống các phần tử như ai chỉ phụ thuộc vào một chỉ số, gọi là hệ thống 
hạng nhất, bao gồm 3 phần tử; aij là hệ thống hạng hai bao gồm 3 phần tử. 
Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ số gồm 3 phần tử.
,...,, ijkiji aaa
2
n
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
2.1.2 Quy ước các chỉ số
Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 
3. Chỉ số như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác.
-Thí dụ: aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = akbk
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3.
-Thí dụ, ai là hệ thống gồm a1, a2, a3 
2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng
-Một hệ được gọi là đối xứng nếu: aibj =ajbi . Mở rộng ra cho các hệ thống nhiều 
chỉ số, chẳng hạn aijk = aikj thì hệ thống aijk đối xứng qua hai chỉ số j, k.
Kí hiệu Kronecker là trường hợp đặc biệt của hệ đối xứng. 


=
0
1
ijδ
với j=j
với i#j
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Ký hiệu Levi-Chivita eijk là hệ thống phản đối xứng với các thành phần như 
sau:
2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không
Trường vô hướng là một hàm vô hướng ( ϕ x1 , x2 , x3 , t ) của toạ độ các điểm 
trong miền không gian x1 , x2 , x3 xác định của hàm và t là tham số thời gian.
Với ei là vecto đơn vị trên trục oxi; Ký hiệu đọc là “∇ nabla” 
Ý nghĩa hình học: grad là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương ϕ
trình = ϕ const . Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν của mặt này tại một điểm nào đó 
trên bề mặt sẽ là.



−
=
1
1
0
ijke
khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị chẵn 1, 2, 3
khi hai chỉ số bất kỳ lập thành hoán vị lẻ 1, 2, 3
i
i
e
x
e
x
e
x
e
x
grad
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇= ϕϕϕϕϕϕ 3
3
2
2
1
1
(2-1)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Trong đó:
Ký hiệu ∆ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien với:
Phương trình: gọi là phương trình điều hòa. Nghiệm của phương 
trình điều hòa gọi là hàm điều hòa. 
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
grad
e
x
grad
e
x
grad
e
x
grad
gradv
3
3
2
2
1
1 ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
2
3
2
2
2
1




∂
∂
+



∂
∂
+



∂
∂
=
xxx
grad ϕϕϕϕ
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
xxx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇∇=∆ ϕϕϕϕϕϕ
02 =∇ ϕ
(2-2)
(2-3)
(2-4)
Phương trình: gọi là phương trình điều hòa kép. Nghiệm của 
phương trình điều hòa gọi là hàm điều hòa kép. 
Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm A(a,0,0); 
B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước trong hệ tọa độ vuông góc như hình vẽ. 
Bài giải:
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là:
Suy ra:
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
0422 =∇=∇∇ ϕϕ
1=++
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
++=ϕ
321
111 e
c
e
b
e
a
grad ++=ϕ
(Hình 2-1)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Do vậy:
 Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều)
222
321
111
111



+


+


++
==
cba
e
c
e
b
e
a
grad
gradv
ϕ
ϕ
322222222222221222222
e
accbba
abe
accbba
cae
accbba
bcv
++
+
++
+
++
=
1 2 3
1 1 1
v e e e
3 3 3
± ± ±
= + +
r uur uur uur
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT
2.3.1 Các thành phần vectơ
Giả sư ̉trong không gian thuộc hệ trục tọa độ Descartes vuông góc (Oxyz) có các vec tơ 
đơn vị là cho một vec tơ đặt tại điểm M .Gọi các hình chiếu của vec tơ trên các trục 
x,y,z tương ưńg là ax, ay, az .Ta có thể viết:
Các côsin chỉ phương của vec tơ ký hiệu là l,m,n. 
Ta có:
. . .x y za a i a j a k= + +
urr urur
y
x
z
a
ax
az
ay
2 2 2x y za a a a= + +
a
cos( , ); cos( , ); cos( , )l i a m j a n k a= = =
urr urur ur ur
2 2 2 1l m n++ =
(Hình 2-1)
(2-5)
(2-6)
(2-7)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
2.3.2 Biến đổi cać thaǹh phần của vec tơ khi xoay hê ̣trục tọa độ:
a,Bảng các cosin chỉ phương:
Giả sư ̉xoay hệ truc̣ (Oxyz) quanh O trở thành hệ trục mới (Ox’y’z’) có các vec 
tơ đơn vi ̣tương ưńg la:̀ như hình vẽ
Ta co ́bảng cosin chỉ phương giưã hai hê ̣trục tọa đô ̣như sau:
, ,i j k
urr ur
z
z'
x x'
y'
y
a
Hin`h (1-2)
x y Z
x’ l1 m1 n1
y’ l2 m2 n2
z’ l3 m3 n3
Trong đó là cosin góc hợp bởi các trục x’,y’,z’ với trục x,y,z.Từ 
điều kiện trưc̣ giao của các trục này ta có: 
Bảng 2-1
(Hình 2-3)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
 * Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’): 
 * Đối với hê ̣trục cu ̃(x,y,z): 
(2-8)
(2-9)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
b/ Sự thay đôỉ cuả các thành phâǹ vec tơ: 
 Goị ( ) la ̀hình chiếu cuả vec tơ trong hệ truc̣ cu ̃
(Oxyz);( ) la ̀hình chiếu của vec tơ trong hệ trục 
mới (Ox’y’z’) thì ta có: 
Theo định nghĩa ta lại có:
Hay là: Suy ra: 
Hệ thức biểu diêñ các hình chiếu của vec tơ trong hệ 
toạ đô ̣cũ (Oxyz). 
(2-10)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Một cách tương tư ̣ta có thể tìm được các hình chiếu của 
vec tơ trong hệ tọa độ mơí (Ox’y’z’) như sau: 
൞�� = ��′ . �1′ + ��′ . �1′ + ��′ . �1′�� = ��′ . �2′ + ��′ . �2′ + ��′ . �2′�� = ��′ . �3′ + ��′ . �3′ + ��′ . �3′ 
Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông 
cấp[3x3] gọi la ̀ma trận biến đổi hệ trục toạ độ,ký hiệu là 
(C): 
(2-11)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Các cosin chỉ phương lập thaǹh một ma trâṇ vuông cấp[3x3] gọi là ma 
trận biêń đổi hệ truc̣ tọa độ,ky ́hiêụ la ̀(C’):
Ma trận (C) và (C’) là hai ma trận trực giao.
Khi hệ trục tọa độ O’x1x2x3 quay một góc θ ngược
chiều kim đồng hồ quanh trục x3 tạo thành hệ trục tọa 
đồ mới O’x’1x’2x’3 lúc đó Ox3≡ Ox’3 lúc đấy ma trận biến
Đổi hệ trục tọa độ có dạng:
''' ,, iii nml
[ ] [ ] [ ]TCCC == −1'
[ ]








=
'
3
'
3
'
3
'
2
'
2
'
2
'
1
'
1
'
1
'
nml
nml
nml
C
[ ]








−=
000
0cossin
0sincos
θθ
θθ
C
(Hình 2-4)
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
Chú ý: khi biến đổi hệ trục tọa độ thì véctơ a không thay đổi chỉ có các thành 
phần của ve tơ a thay đổi.
Bài tập chương II
Bài 2.1 Xác định hàng cuối của ma trận cấp 3 (3x3) cho dưới đây để được một 
ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:
Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij:
Và véc tơ . Tìm véc các thành 
phần của vecto tổng trong phép biến
 đổi hệ trục tọa độ










−
333231
100
0
5
4
5
3
ccc












−
−
2
1
2
1
2
2
2
2
2
20
2
1
2
1
2
2( ) )1,1,2(,3,2,1 cb
cba +=
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ
Cơ học môi trường liên tục
HẾT CHƯƠNG II