Bài giảng Cơ học Môi trường liên tục - Chương IV: Lý thuyết về chuyển vị và biến dạng - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
 CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
4.1. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ 
 Xét môṭ vật thể đàn hôì (S). Tại thời điểm 
ban đầu t=t0, vật thể chưa chịu lực có hình dáng 
nào đó. Giả sử lấy điểm M bất kì ∈ (S), trong hệ 
truc̣ (Oxyz) co ́toạ đô ̣là : M(x,y,z). Dưới tác duṇg 
cuả ngoại lực vật (S) bị biến dạng . Điểm M 
chuyển đến vị trí mới là M 1(x’,y’,z’). Ta goị véc 
tơ MM1 là véc tơ chuyển vị cuả điểm M khi biến 
dạng (Hình 4-1) 
 Các thành phần hình chiếu cuả véc tơ MM1 lên các truc̣ toạ đô ̣x,y,z tương ứng là 
u,v,w. 
൱� = � ′ − �� = �′ − �� = �′ − � (4.1) 
Hình 4-1 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Các thành phần u,v,w gọi là những thành phần dịch chuyển của véc tơ MM 1 và chúng là 
hàm của các tọa độ x,y,z. Ta có: 
൱� = �1(�, �, �)� = �2(�, �, �)� = �3(�, �, �) (4.2) 
Gọi δ là chuyển vị toàn phần của điểm M thì nó được xác định theo biểu thức sau : 
 (4.3) 
Định nghĩa: Sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất trong môi trường khi môi trường 
chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác gọi là chuyển vị. Có mấy dạng chuyển vị? 
Có 2 dạng: - Chuyển vị cứng: môi trường chuyển động như vật thể cứng sang trạng thái 
mới, khoảng cách giữa các phần tử vật chất không thay đổi . 
 - Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay đổi 
=> chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
4.2 Quan hệ vi phân giữa vị trí và biến dạng bé 
Phân tố MNPQ với các cạnh ban đầu là dx và dy sau 
biến dạng trở thành phân tố M1,N1 ,P1 ,Q1. Điểm M 
(x,y)có chuyển vị theo phương các trục tọa độ x,y 
tương ứng là: u(x,y); v(x,y). 
Điểm N (x+dx,y+dy) có các chuyển vị tương ứng là : 
 dx; 
Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x,y tương ứng 
là 
Biến dạng góc trong mặt phẳng (x,y) là . Từ hình 
vẽ ta có: =α+β; 
Với giả thiết biến dạng bé ta có thể coi rằng: 
 │ε ,x │<< 1;│ε ,y │<<1,│α│<<1;│β│<<1; 
 α~ tgα ~ sinα;cosα~ 1; β ~ tgβ ~ sinβ ; cosβ~ 1 ; 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Theo định nghĩa ta có (a) Trong đó :MN=dx; 
(b) 
Từ hình vẽ (3-4) ta thấy : (c) 
Thay vào (b),(c) ta được: (d) 
 Tương tự ta nhận được: (e) 
 Góc quay của cạnh MN sẽ là: α ~ tgα . 
(g) 
Trong biểu thức (g) ta đã bỏ qua lượng vô cùng bé│ε ,x │=│ │<<1 so với đơn 
vị . Bằng cách thức tương tự ta cũng nhận được : β ~ tgβ = 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Suy ra biến dạng góc γ ,xy trong mặt phẳng (x,y) sẽ là: 
4.3 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị. 
 Để có được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ,ta xét 
thêm sự thay đổi phương của các đường chéo phân tố gọi là các chuyển động quay.Ta 
xét góc quay của đường chéo phân tố hình hộp quay quanh các trục tọa độ x,y,z với giả 
thiết là: . Có 3 thành phần chuyển động quay kí hiệu tương ứng là : 
 Xét hình chiếu của phân tố trên mặt phẳng (x,y).Góc quay của đường chéo phân tố 
quay trục z bằng góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y)quanh điểm 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
M .Khi cạnh MN quay một góc nhỏ α như đã kí hiệu ở mục trên thì đường chéo MQ 
quay một góc ngược chiều kim đồng hồ là ; khi cạnh MP quay một góc nhỏ β thì 
đường chéo MQ quay một góc thuận chiều kim đồng hồ là . 
Hình 4-3 
 Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng (x,y) quanh điểm M sẽ bằng tổng đại 
số của hai góc quay thành phần là ω ,1 và ω ,2 : 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Một cách tương tự ta cũng nhận được các biểu thức góc quay của đường chéo phân tố 
trong 2 mặt phẳng còn lại .Viết gộp lại ta được: 
Ví dụ 4-1: Cho trường hợp chuyển vị: u=ayz ; v=azx ; w=axy. Trong đó a=const. Hãy 
tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1). 
Bài giải : Theo công thức (4-4) ta có : 
*Các biến dạng dài: ε x = 
∂u
∂x =0 ,ε
y = 
∂v
∂y =0 ,ε
z = 
∂w
∂z =0 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
*Các biến dạng góc: γ xy = 
∂v
∂x + 
∂u
∂y =az +az=2az; 
 γ yz = 
∂w
∂y + 
∂v
∂z =ax +ax =2ax; 
 γ zx = 
∂u
∂z + 
∂w
∂x =ay +ay=2ay; 
Tại điểm M (1,1,1)các biến dạng sẽ là: ε x = ε y = ε z =0; γ xy = γ yz = γ zx =2a; 
 Chú ý: Các công thức (4_4) và (4_5) cho thấy các hàm biến dạng εx, ε y, ε z , γ x , γ y , γ z 
và góc quay cứng ω x ,ω y ,ω z được biểu diễn tuyến tính qua đạo hàm riêng bậc nhât của 
các hàm chuyển vị u,v,w.Các đạo hàm riêng này được viết dưới dạng ma trận là: 
ەەۉ
ەەۈ
ەەۇ
𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕�𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕�𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� ەەەەەی
ەەۋ
ەەۊ
 (4-6) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Về mặt toán học ta có thể biểu diễn ma trận (3_6) dưới dạng tổng của hai ma trận 
như sau: 
ەەۉ
ەەۈ
ەەۈ
ەەۇ
�� 12 ��� 12 ���12 ��� �� 12 ���12 ��� 12 ��� �� ەەەەەیەەۋ
ەەۋ
ەەۊ =
ەەۉ
ەەۈ
ەەۈ
ەەۈ
ەەۇ
𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕�𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕�𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� 𝜕�𝜕� ەەەەەیەەۋ
ەەۋ
ەەۋ
ەەۊ + ൭ 0 �12 −�31−�12 0 −�23�31 �23 0 ൱ 
 Ma trận ở vế trái là ma trận đối xứng biểu thị biến dạng thuần túy .Ma trận thứ 
hai ở vế phải biểu thị sự quay cứng (không biến dạng). 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
4.4 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé: 
Ta xét đoạn thẳng vô cùng bé MN = ds nằm theo phương υ nào đó có các côsin trong hệ 
trục tọa độ (x,y,z) là (l,m,n) . Ở trạng thái ban đầu tọa độ các điểm M và N tương ứng là : 
M ( x,y,z); N ( x+ dx, y+dy; z+dz). 
Côsin chỉ phương của đoạn thẳng là : l = dxds ; m = 
dy
ds ; n = 
dz
ds (a) 
Sau khi biến dạng đoạn thẳng MN ở vị trí mới là M1N1 với các tọa độ tương ứng là : 
M1(x+u, y+v, z+w) ; N1(x+dx+u+du, y+dy+v=dv,z+dz+w+dw) 
Trong đó các thành phần vi phân của chuyển vị du, dv , dw là: 
ەەە
ۖ
ەە۔
ۖ
ەەەەۓ 𝑑� = 𝜕�𝜕� 𝑑� + 𝜕�𝜕� 𝑑� + 𝜕�𝜕� 𝑑�𝑑� = 𝜕�𝜕� 𝑑� + 𝜕�𝜕� 𝑑� + 𝜕�𝜕� 𝑑�𝑑� = 𝜕�𝜕� 𝑑� + 𝜕�𝜕� 𝑑� + 𝜕�𝜕� 𝑑� (b) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Gọi chiều dài của đoạn thẳng sau biến dạng là ds1 = M1N1 và biến dạng tương đối theo 
phương υ là εv , theo định nghĩa ta có : 
 Suy ra là : 
Ta nhận được hệ thức : (c) 
Trong hệ thức (c) nếu bỏ qua vô cùng bé bậc 2 ở vế phải (εv2 ) ta được : 
 (d) 
Ta có : ds2 = dx2 + dy2 + dz2 
ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2 +dy2+dz2) + 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2 
+dv2 + dw2) 
Suy ra là : 
 ds12 - ds2 = 2(dxdu+dydv+dzdw)+(du2 +dv2 + dw2) (e) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Thay (e) vào (d) ta được : 
Thay (b) vào (g) và chú ý tới hệ thức (a) ta được : 
εv =[(
∂u
∂xl+
∂u
∂ym+
∂u
∂zn)l+(
∂v
∂zl +
∂v
∂xm +
∂v
∂yn)m+(
∂w
∂x l+
∂w
∂ym+
∂w
∂z n)n] + 
1
2[(
∂u
∂xl+
∂u
∂ym+
∂u
∂z
n)2 +(∂v∂zl +
∂v
∂xm +
∂v
∂yn)
2+ (∂w∂x l+
∂w
∂ym+
∂w
∂z n)
2] (h) 
Với giả thiết biến dạng bé , đạo hàm của các chuyển vị u, v, w theo các tọa độ 
x,y,z là bé , ta có thể bỏ qua các số hạng chứa tích các đạo hàm này . Khi đó biểu thức 
(h)sẽ có dạng : 
εv =
∂u
∂xl
2 +∂v∂ym
2+∂w∂z n
2+(∂v∂x+
∂u
∂y)lm+(
∂w
∂y+
∂v
∂z)mn+(
∂u
∂z+
∂w
∂x )nl (4-7) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Dựa vào các liên hệ của Côsi ta viết lại biểu thức (4-7) dưới dạng : 
εv = εxl2 +εym2 +εzn2+2γxylm +2γyzmn +2γzxnl (4.8) 
Biểu thức (4-8) chứng tỏ rằng biến dạng theo phương υ bất kì tại một điểm được biểu 
diễn qua 9 thành phần biến dạng là ( εx , εy , εz, γxy ,γyz ,γzx ,γyx ,γzy ,γxz ). Nói cách khác là 
khi viết các thành phần của ma trận biến dạng : 
ەەۉ
ەەۈ
ەەۇ
�� 12 ��� 12 ���12 ��� �� 12 ���12 ��� 12 ��� �� ەەەەەیەەۋ
ەەۊ
 (4.9) 
Ta có thể tính được biến dạng theo phương υ bất kì . 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
4.5. Biến dạng chính, phương biến dạng chính 
Do có sự tương quan toán học giữa tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất tại một điểm bất 
kì của môi trường , tại điểm này tồn tại 3 trục chính vuông góc với nhau (tương ứng có 
3 mặt vuông góc với các trục chính trên đó không có biến dạng góc ). Các trục chính 
này gọi là phương biến dạng chính ε1 , ε2 , ε3 và quy ước là ε1 > ε2 > ε3 . Các biến dạng 
chính được xác định từ phương trình bậc 3 tương tự như phương trình xác định các ứng 
suất chính (3-20) là : 
𝑑𝑒�
ەەۉ
ەەۈ
ەەۇ
�� − � 12 ��� 12 ���12 ��� �� − � 12 ���12 ��� 12 ��� �� − �ەەەەەیەەۋ
ەەۊ = 0 (4-10) 
Khai triển phương trình (4.10) ta được: 
 ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (4.10’) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Trong đó : 
ەەە
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ەە۔
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ەەەەەەەەۓ
�1=�� + �� + ��
�2 = ൱ �� 12 ���12 ��� �� ൱+ ൱
�� 12 ���12 ��� �� ൱+ ൱
�� 12 ���12 ��� �� ൱ 
�3= ൱൱
�� 12 ��� 12 ���12 ��� �� 12 ���12 ��� 12 ��� �� ൱
൱ 
Phương trình (4-10’) bao giờ cũng tồn tại 3 nghiệm thực , đó là 3 biến dạng chính tương 
ứng ε1 , ε2 , ε3 . 
Ví dụ 3-2: Cho Tenxơ biến dạng 
�� = ൭4 0 10 1 01 0 4൱ 
Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Bài giải : *Phương trình xác định biến dạng chính là : 
 ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (1) 
Tính J1 , J2, J3: 
ەەە
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ەە۔
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ەەەەۓ
�1=�� + �� + �� = 9
�2 = ൱ �� 12 ���12 ��� �� ൱+ ൱
�� 12 ���12 ��� �� ൱+ ൱
�� 12 ���12 ��� �� ൱= 23 
�3= ൱൱
�� 12 ��� 12 ���12 ��� �� 12 ���12 ��� 12 ��� �� ൱
൱= 15
Thay vào phương trình (1) ta được : ε3 - 9ε2 + 23ε - 15 = 0 (1’) 
Giải phương trình (1’) đối với ε ta được :ε1 =5, ε2 =3, ε3 =1 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
*Xác định phương trình biến dạng chính : 
Thay εi vào 2 trong 3 phương trình : 
ەەە
ۖ
ەە۔
ۖ
ەەەەۓ ൱�� − �� ൱. � + 12 ��� . � + 12 ��� . � = 012 ��� . � + ൫�� − �� ൯. � + 12 ��� . � = 0�2 + �2 + �2 = 1 
- Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε1 = 5: 
Thay ε1 = 5 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được 
hệ phương trình sau : 
(4-5)l +0.m +n = 0 -l+n=0 
0.l +(1-5)m +0.n =0 Hay -4m =0 (4) 
l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Giải hệ phương trình (4) ta được : l1=± 
2
2 ; m1=0; n1=± 
2
2 
-Phương chính thứ 2 tương ứng với ε2 = 3: 
Thay ε2 = 3 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được 
hệ phương trình sau: 
(4-3)l+0.m+n =0 l+n=0 
 0.l +(l-3)m+0.n =0 Hay -2m=0 (5) 
 l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 
Giải hệ phương trình (5) ta được : l2=± 
2
2 ; m2=0; n2=± 
2
2 
-Phương chính thứ 3 tương ứng với ε3 = 1 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp 
với phương trình (3) ta được hệ phương trình sau: 
(4-1)l+0.m+n =0 3 l+n=0 
 0.l +(l-1)m+0.n =0 Hay 0m=0 (6) 
 l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 
Giải hệ phương trình (6) ta được : 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
4.6 Tenxơ lệch và tenxơ cầu biến dạng 
 Ta có: 
Trong đó: 
 : Tenxơ lệch biến dạng 
: Tenxơ cầu biến dạng 
: Biến dạng dài trung bình 
(4-11)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Như vậy trạng thái biến dạng được phân tích thành hai trạng thái: 
- Trạng thái thứ nhất tương ứng với tenxơ lệch biến dạng có biến dạng thể tích 
bằng không. 
- Trạng thái thứ hai tương ứng với tenxơ cầu biến dạng chỉ bao gồm các thành 
phần biến dạng dài theo 3 phương vuông góc nhau không có biến dạng góc nên 
phân tố chỉ có biến dạng thể tích. 
Ví dụ: Cho tenxơ biến dạng: 
Hãy xác định giá trị chính và phương chính của tenxơ lệch biến dạng. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Bài giải: 
Biến dạng dài trung bình : 
Tenxơ biến dạng lệch là: 
Phương trình xác định giá trị biến dạng chính của Tenxơ biến dạng lệch: 
ε3 - J1ε2 + J2ε - J3 = 0 (1) 
Tính J1 , J2, J3: 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
ەەە
ۖۖ
ەە۔
ۖۖ
ەەەەۓ
�1=�� + �� + �� = 0�2 = ൱1 00 −2൱+ ൱−2 00 1൱+ ൱1 11 1൱= −4 �3= = 0 
Thay vào phương trình (1) ta được : ε3 -4ε = 0 (1’) 
Giải phương trình (1’) đối với ε ta được :ε1 =2, ε2 =0, ε3 =-2 
*Xác định phương trình biến dạng chính : 
Thay εi vào 2 trong 3 phương trình : 
൱൱�� − �� ൱. � + 12 ��� . � + 12 ��� . � = 012 ��� . � + ൫�� − �� ൯. � + 12 ��� . � = 0�2 + �2 + �2 = 1 (2) 
- Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε1 = 2: 
(3) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Thay ε1 = 2 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được 
hệ phương trình sau : 
(1-2)l +0.m +n = 0 -l+n=0 
0.l +(-2-2)m +0.n =0 Hay -4m =0 (4) 
l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 
Giải hệ phương trình (4) ta được : 
- Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε2 = 0: 
Thay ε2 = 0 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được 
hệ phương trình sau : 
(1-0)l +0.m +n = 0 l+n=0 
0.l +(-2-0)m +0.n =0 Hay -2m =0 (5) 
l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Giải hệ phương trình (5) ta được : 
- Phương chính thứ nhất tương ứng với : ε3 = -2: 
Thay ε3 =-20 vào 2 phương trình đầu của (2) và kết hợp với phương trình (3) ta được 
hệ phương trình sau : 
(1+2)l +0.m +n = 0 3l+n=0 
0.l +(-2+2)m +0.n =0 Hay 0m =0 (6) 
l2 +m2 +n2 =1 l2 +m2 +n2 =1 
Giải hệ phương trình (6) ta được : 
Chú ý: Hệ phương trình (6) giá trị của m có thể lấy bất kỳ. Nếu lấy m=1 ta được hệ 
nghiệm tương ứng là: l3=0; m3=1; n3=0 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
4.7 Các phương trình liên tục 
- Xét một điểm trong môi trường liên tục, ta có chuyển vị được xác định là hàm của tọa 
độ điểm đó: 
Theo phương trình Navier-Cauchy (4-4) ta có 6 thành phần biến dạng được biểu diễn 
qua 3 thành phần chuyển vị (a). Do các hàm chuyển vị là liên tục, đơn trị nên các biến 
dạng cũng là hàm liên tục và đơn trị. 
Ta có: (b) 
Tương tự ta có: 
(a) 
(c) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Theo ba phương trình sau của (4-4) ta lại có: 
Công hai phương trình đầu rồi trừ đi cho phương trình thứ 3 ta được 
Tương tự hoán vọ vòng tròn ta có: 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Tập hợp các hệ thức (b), (c), (d), (e) ta được hệ phương trình biểu thị mối liên hệ giữa 
các biến dạng với nhau là: 
Các phương trình (4-12) gọi là các phương trình liên tục do Saint- Venant tìm ra , còn 
được gọi là các phương trình tương thích của biến dạng 
(4-12) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Chú ý: 
* Nếu biết được các hàm chuyển vị thì từ các phương trình Cauchy- Navier (4-4) ta tìm 
được các thành phần của biến dạng khi đó các phương trình liên tục (4-12) tự thỏa mãn 
* Nếu bằng cách nào đó biết trước các biến dạng , các phương trình liên tục phải được thỏa 
mãn đông thời và nó có ý nghĩa quan trọng khi giải quyết bài toán 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy. Trong đó a=const. 
Hãy tính các biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm M(1,1,1).
Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng:








=
401
010
104
εT
1- Hãy xác định các biến dạng chính và phương biến dạng chính.
2- Hãy xác định biến dạng chính và phương chính của tenxơ lệch biến 
dạng.
Bài tập Chương IV
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Bài 4.3 Cho tenxơ biến dạng của môi trường là








=
zxxy
xyy
xyyx
T
2/
2/
2
22
22
ε
1- Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không?
2- Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1)
y
z
x
Bài 4.4 Khi khảo sát xoắn của một thanh tròn (như 
hình vẽ) ta có các dịch chuyển là:
)( const
keybxw
fezaxxzv
cbzayyzu
=



+−−=
++−=
+++−=
ττ
τ
1- Hãy xác định hệ số a, b, c, d, e, f, k với điều kiện mặt cắt đầu thanh (z=0) 
ngàm cứng.
2- Tìm trị số các biến dạng.
3- Thử xem các biến dạng tìm được có thỏa mãn phương trình liên tục không?
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG IV – LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
HẾT CHƯƠNG IV