Bài giảng Cơ học Môi trường liên tục - Chương VI: Bài toán phẳng trong tọa độ Descartes - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

rên bề mặt S của vật thể cho trước các chuyển vị uo , vo hay các đạo 
hàm của các chuyển vị theo các biến số tọa độ. Nghiệm chuyển vị của bài 
toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo . 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.3. Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy 
I. Phép giải theo ứng suất : 
 - Chọn ẩn số chính là các ứng suất : σx, σy, Txy. 
 Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (6.1) . 
 = - fx 
 = - fy 
 Nghiệm của (6.1) sẽ là tổng của nghiệm tổng quát phương trình thuần 
nhất (6.8) 
 = 0 
 = 0 (6.8) 
 và nghiệm riêng của phương trình (6.9) 
 = - fx 
 = - fy (6.9) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
- Nghiệm riêng của phương trình (6.8) tìm được không khó khăn, nó phụ 
thuộc vào dạng cụ thể của các lực thể tích. 
 Ví dụ nghiệm riêng có thể lấy là : 
 * σx = 0 ; σy = 0 ; Txy = -Px khi fx = 0 ; fy = P = hằng số. 
 * σx = + bx ; σy = Txy = 0 khi fx = ax + b ; fy = 0 
 * σx = 0 ; σy = -a ; Txy = khi fx = axy , fy = 0. 
II. Hàm ứng suất Airy : 
 Để giải hệ (6.1) ta đưa ra một hàm ẩn mới gọi là hàm ứng suất Airy. 
 Xét hệ phương trình phương trình vi phân thuần nhất (6.8): 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) 
tức p(x,y)dx + q(x,y)dy là vi phân toàn phần của 1 hàm u(x,y) nào đó thì giữa 
p và q phải có quan hệ : . 
 - Phương trình thứ (1) của hệ (6.8) ⇔ 
 Tức (σx.dy - Txy.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó. Nên 
ta có quan hệ σx = ; Tyx = - (a) 
 Tương tự, phương trình thứ 2 : 
 ⇒ (σy.dx - Txy.dy) là vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) nào đó : 
 → Ta có quan hệ : σy = ; Txy = - (b) 
 So sánh (a) và (b) ta có : = (c) 
 ⇒ (A.dy + B.dx) là vi phân toàn phần của 1 hàm ϕ(x,y) nào đó : 
 → Ta có quan hệ : A = ; B = (d) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Thay (d) vào (a) và (b) ta có: 
 σx = ; σy = ; Txy = - (6.10) 
 Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng 
theo ứng suất. 
III. Phương trình hàm ứng suất Airy : 
 - Trong chương 5 ta có hệ phương trình (5.5) Beltrmi là hệ phương 
trình giải bài toán đàn hồi theo ứng suất đã tổng hợp các điều kiện về mặt 
tĩnh học, hình học, và vật lý của môi trường. 
 Sử dụng (5.5) để tính cho biểu thức ứng suất phẳng. 
 (1 + µ)∇2σx + = 0 
 + (1 + µ)∇2σy + = 0 
 (1 + µ)∇2σz + = 0 
 (1+µ)∇2S +∇2S = 0 
 ⇔ ∇2S = 0 
 Với S = σx+ σy+ σz. 
 Vì trong bài toán ứng suất phẳng σz=0 nên S= σx + σy 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Trong bài toán biến dạng phẳng : 
 S= σx + σy + σz = σx + σy +µ(σx + σy) =(1+µ)(σx + σy). 
 Nên trong bài toán đàn hồi phẳng ta đều có : 
 ∇2S = ∇2(σx + σy) = 0 (6.11) 
 (6.11) : Phương trình LêVy. 
 Thay các ứng suất bởi hàm ϕ thay (6.10) vào (6.11) ta có : 
 ⇔ (6.12) 
 ⇔ ∇2(∇2ϕ) = ∇4ϕ = 0 (6.13) 
 Phương trình (6.13) : phương trình trùng điều hòa. 
 Hàm ϕ = ϕ(x,y) : là hàm trùng điều hòa . 
 Kết luận : 
 - Bài toán đàn hồi phẳng giải theo ứng suất dẫn đến việc giải phương 
trình (6.12) sau đó tìm các ứng suất theo (6.10). 
 + Nếu fx, fy ≠ 0 ⇒ Cộng thêm các nghiệm riêng. 
 - Theo (6.10) : Việc thêm hay bớt hàm ϕ một lượng A+ Bx+Cy thì các 
ứng suất không thay đổi. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
- Các hệ số tích phân được xác định theo điều kiện biên tĩnh học : 
 (6.14) 
 Nếu (6.13) đủ để xác định các hằng số tích phân thì các ứng suất theo 
(6.10); (6.12) & (6.14) hoàn toàn không liên quan đến các hệ số đàn hồi của 
vật liệu. Những bài toán như thế là bài toán có liên kết bên ngoài tĩnh định. 
 ⇒ Định lý LeVy-Michell : Trong biểu thức đàn hồi phẳng tĩnh định, chịu 
các ngoại lực tác động trên biên thì sự phân bố ứng suất không phụ thuộc 
vào các hằng số đàn hồi và như nhau đối với tổng cả các vật liệu. 
6.4. Điều kiện biên của hàm ứng suất Airy. 
 Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường 
trình trùng điều hòa (6.12). 
 Nghiệm của phương trình này là hàm ứng suất ϕ phải thỏa mãn điều 
kiện biên. 
 (6.15) 
 Xét trường hợp fx = fy = 0 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Xét trường hợp fx = fy = 0 
 Thay (6.10) vào (6.11) ta có 
 (6.16) 
 Theo (H.6.3) ta có : 
 l = cos(n, x) = cos(900 + α) = - sinα = - 
 m = cos(n, y) = cosβ = 
 (6.15) ⇔ - = - - 
 = - . (6.17) 
 + = . 
 Lấy điểm so bất kỳ trên chu tuyến làm gốc : 
 (6.17) ⇔ 
 (6.18) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Trong đó : 
 A&B : Các hệ số tùy ý, biểu diễn giá trị của đạo hàm 
 của chu vi . 
 X(S) , Y(S) : Ký hiệu mang ý nghĩa tĩnh học sẽ nói đến dưới đây. 
 Để rõ ràng ta đưa ra sự tương tự như 
sau : 
 Thay chu vi vật thể khảo sát bằng 
thanh có cùng dạng và cắt tại điểm S0 
(H.6.4). 
 Tại đó ta đặt các lực : A // S0x 
 B // S0y 
 Và ngẫu lực C như hình vẽ 
 Như vậy : X(S) & Y(S) : Chính là tổng hình chiếu của các ngoại lực tác 
dụng lên đoạn S0S chiếu lên trục x & y. 
 + Nếu chúng ta lấy trục t ≡ trục tiếp tuyến ngoài tại điểm S 
 n ≡ pháp tuyến ngoại tại điểm S. 
 Thì : N(S) (6.19) 
 = Q(S) (6.20) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
N(S) : Lực dọc cũng tại điểm S của thanh, 
 được xem là dương → nếu là lực kéo. 
 Q(S) : Lực cắt tại điểm s của thanh. 
 So sánh quan hệ giữa nội lực là moment uốn và lực cắt trong sức bằng 
vật liệu: 
 Q(s) 
 Q(s) ⇒ ϕ = M (6.21) 
 M(s) : Moment của lực đặt trên đoạn S0S của thanh đối với điểm s. Vậy 
tại điểm trên chu tuyến của vật thể ta có thể xác định giá trị của hàm ứng 
suất ϕ(x,y) và các đạo hàm theo phương pháp tuyến tại các điểm ở trên 
chu vi theo trọng đã cho dựa vào công thức (6.21) và (6.19) , quá trình ///đó 
giống như tìm moment uốn S lực dọc gây ra bởi tải trọng cho trước trên chu 
vi nếu tưởng tượng chu vi đó là ////mà cắt ra tại 1 tải diện bất kỳ. 
 ϕ có dạng bất kỳ : Chuỗ Taylor, Furiê, hàm phức,... chuổi đặc biệt. 
 ⇒ ϕ có dạng đa thức. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.5. Hàm ứng suất dưới dạng đa thức. 
 Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất là tìm một hàm ứng suất ϕ thỏa 
mãn 2 yêu cầu : 
 - Phương trình trùng điều hòa 
 - Điều kiện biên 
 + Tính ứng suất trên tấm công chịu lực tập trung đặt tại đầu tự do như 
hình vẽ 
 1. Dạng hàm ϕ 
 + Theo kết quả ở sức bền vật liệu: σx = 
 theo hàm ϕ : σx = 
 ϕ(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx3 + cx2y + fxy2 + gy3 + hx4 + ix3y + ix2y2 + 
kxy3 + ly4. (a) 
⇒ ϕ là hàm đa thức 
bậc 4 đối với x, y 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
ϕ phải thỏa mãn phương trình trùng điều hòa : 
 + + = 0 
 = h ; = j ; = l. 
 → h + 2j + l = 0 
 → h = j =l = 0 (1) 
 σx = = 2c + 2fx + 6gy + 6kxy. 
 σy = = 2c + 6dx + 6ey + 6ixy. (b) 
 Txy = - =-(b + 2ex+ 2fy + 3ix2 + 3ky2 
 2. Các điều kiện : Xét điều kiện biên theo ứng suất : 
 * Biên trên (y = : Txy = 0 , (c) 
 σy = 0 (d) 
 * Biên dưới (y =- : Txy = 0 , (e) 
 σy = 0 (f 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Từ (c) & (e) ta có : 
 2a +6dx +2e( )+6ix( ) = 0 
 2a + 6dx - 2e - 6ix = 0 ⇒ e = i = 0 e = i=f=0 (2) 
 Từ (d) & (f) ta có : a=d=0 (3) 
 * Biên trái (x = 0, ∀y ) ta có : 
 σx= 0 (g) 
 (h) 
 Từ (g) ⇒ c = g = 0 (5) 
 ⇒ Txy = - (- kt2 + 3ky2) = kt2 - 3ky2 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
⇒ 
 = 
 = 
 = ⇒ k = (6) 
 ⇒ Txy = 
 σx = 6kxy 
 σy = 0 
 σx = 6. .y 
 J3 = ⇒ σx = (6.22) 
 M3 = Px z : Trục trung hòa 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
 6.6- Hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác. 
Khi tải trọng biên phân bố không liên tục thì việc dùng hàm ứng suất dưới 
dạng đa thức bị hạn chế. 
Fillonne đề nghị chọn hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác như sau: 
 (6-23) với 
 (6-24) 
Đặt phương trình (6-23) vào phương trình điều hòa kép ta có. 
 (6-25) 
 (6-26) 
Nghiệm tổng quát của phương trình: 
 (6-27) 
Các ứng suất tương ứng: 
 ; ; (6-28) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Trong đó Fk được xác định theo phương trình (6-27) 
Với các Ci là các hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên. 
- Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái và bên phải (khi x=0 và 
x=L) thì 
- Ritbier đề nghị lấy hàm ứng suất: 
Điều kiện biên (khi x=0 và x=L) là 
Nghiệm tổng quát: 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.7 Giải bài toán phẳng bằng phương pháp sai phân hữu hạn 
Phương pháp SPHH là một phương pháp số cho phép giải gần đúng các bào toán 
phức tạp mà phương pháp giải tích không hiệu dụng. 
6.7.1 Đạo hàm và sai phân cấp 1 
Giả sử cho một hàm liên tục khả vi 
trong đoạn . 
: gọi là bước sai phân có thể đều hoặc 
không đều. 
- Đạo hàm của hàm bằng biểu thức 
gần đúng: 
 được gọi là sai phân cấp 1. 
Có thể định nghĩa sai phân theo cách khác 
 sai phân lùi ; sai phân tiến; sai phân trung 
tâm 
Khi đó dạo hàm cấp 1 là: 
 (6-29)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.7.2 Đạo hàm và sai phân cấp cao 
Đại hàm cấp n có thể lấy gần đúng là: 
Đạo hàm cấp 2,4 tại điểm i: 
Như vậy sai phân cấp 2 
6.7.3 Đạo hàm và sai phân của hàm 2 biến. 
Giả sử cho một hàm liên tục khả vi trong miền S, ta chia miền này bằng lưới 
với bước lưới là , . 
(6-30)
(6-31)
(6-32)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Ta có thể viết các đạo hàm tại điểm O như sau: 
6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân. 
(6-33)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.7.4 Phương trình lưỡng điều hòa sai phân. 
Sau khi đơn giản ta được 
Các ứng suất tại điểm O xác định theo công thức: 
6.7.5 Giá trị và đạo hàm của nó trên biên 
Để xác định giá trị hàm trên biên ta xét một phân tố ds theo biên của tấm có pháp 
tuyến v(l,m) chịu tải trọng (như hình vẽ) 
(6-34)
(6-35)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Ta có: 
l=cos(v,x)=-dy/ds 
m=cos(v,y)=dx/ds 
Sau khi biến đổi ta có công thức cuối cùng: 
6.7.6 Giá trị của hàm tại những điểm ngoài biên. 
1) Đối với các điểm ở trên của biên chu tuyến 
Ta có suy ra: 
2) Đối với các điểm ở dưới của biên chu tuyến 
Ta có suy ra: 
(6-36)
(6-37a)
(6-37b)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
3) Đối với các điểm ở bên trái của biên chu tuyến 
Ta có suy ra: 
4) Đối với các điểm ở bên phải của biên chu tuyến 
Ta có suy ra: 
* Chú ý: 
- Trên đây chỉ giới thiệu một dạng lưới đơn giản nhất. Trong nhiều bào toán khác nha, tùy 
theo hình dạng của vật thể mà người ta có thể dung lưới tam giác, lục giác, 
- Để nghiệm của phương pháp sai phân hữu hạn thu được càng chính xác thì người ta 
chia lưới càng dày. Khi đó số phương trình thu được khá nhiều. Tuy nhien khó khăn này 
được giải quyết dễ dàng bằng máy tính điện tử. 
(6-37c)
(6-37d)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
 Ví dụ : Xác định ứng suất tại điểm K ở giữa tấm lưới hình vuông chịu tải trọng như 
hình vẽ bằng phương pháp lưới: 
Bài giải : 
Ta chi tấm bởi lưới hình vuông với bước lưới ∆x = ∆y=a . Do tính chất đối xứng của bài 
toán nên ta chỉ xét một nửa tấm và đánh số nút lưới như hình vẽ. Chọn điểm gốc A 
trùng với điểm nút 1. Phương trình sai phân tại điểm nút K là : 
 20ϕk - 8(ϕ1 + ϕ5 +ϕ3 ) +2(2ϕ2 +2ϕ4)+ϕ6 +2ϕ7 +ϕ8 =0(1) 
giá trị của hàm ϕ và các đạo hàm của nó tại những điểm trên biên được ghi lại trong 
bảng 
giá trị của hàm ϕ tại những điểm ngoài biên 
ϕ6 = ϕk- 2a
∂ϕ
∂y(1) =ϕk 
ϕ7 = ϕk + 2a 
∂ϕ
∂x(3) = ϕk + 2qa
2 
ϕ8 = ϕk+ 2a
∂ϕ
∂y(5) = ϕk 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Thay các giá trị này vào phương trình (1) ta được : 
20ϕk - 8(0 -2.qa
2
8
+ 3qa
2
8
 ) +2(-2qa
2
8
-2qa
2
8
)+ϕk +(2ϕk+ 2qa2) +ϕk =0 
Hay : 24ϕk - qa2 -qa2 + 4qa2 =0 
 Suy ra là : ϕk = - 
1
12 qa
2
 ~ -0,083qa2 
 1 2 3 4 5 
∂ϕ
∂x= ΣFy 
0 qa qa qa 0 
∂ϕ
∂y = -ΣFx 
0 0 0 0 0 
ϕ = ΣMB 0 - qa
2
8
 - qa
2
8
 - qa
2
8
 -3qa
2
8
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Ứng suất tại điểm K sẽ là:
( ) qq
a
qaqa
ay
K Kx 458,024
11
0
12
2
8
3
2)( 2
22
2
15
2
2
≈=




+



−−
=
+−
=
∂
∂
=
ϕϕϕϕ
σ
( ) qq
a
qaqaqa
ax
K Ky 083,012
1812
2
82)( 2
222
2
33
2
2
≈−=




−



−−−
=
+−
=
∂
∂
=
ϕϕϕϕ
σ
( ) 0)( 2 2244
2
=
−+−
=
∂∂
∂
−=
ayx
Kxy
ϕϕϕϕϕ
τ
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6.8 Giải bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp số đặc biệt có 
hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V. 
Tuy nhiên, phương pháp PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên 
toàn miền V mà chỉ trong miền con Ve (phần tử thứ e) thuộc miền xác định V. 
Do đó phương pháp này thích hợp với hàng loạt bài toán vật lí và kĩ thuật, trong 
đó miền cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ 
có đặc tính vật lí, hình học khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Sự 
ra đời và phát triển phương pháp PTHH đã đáp ứng những đòi hỏi trong việc 
giải quyết các bài toán thiết kế các kết cấu phức tạp trong lĩnh vực hàng không, 
hàng hải, khai thác dầu khí, và trong lĩnh vực xây dựng... 
Trong phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các 
miền con Ve, gọi là phần tử (PT). Các PT này được nối với nhau tại các điểm 
định trước thường tại đỉnh PT (thậm trí tại các điểm trên biên PT) gọi là nút. 
Trong phạm vi mỗi một PT, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một 
hàm đơn giản được gọi là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ được biểu diễn qua các 
giá trị của hàm và có thể cả các giá trị của đạo hàm của nó tại các điểm nút 
của PT. Các giá trị này gọi là các bậc tự do của PT và được xem là ẩn số cần 
tìm của bài toán. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm xấp xỉ 
có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau: 
1. Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm xấp xỉ 
biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong PT. 
2. Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của 
ứng suất hay nội lực trong PT. 
3. Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố 
độc lập riêng biệt. Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả 
chuyển vị lẫn ứng suất trong PT. 
Trong phạm vi của cuốn sách này sẽ chỉ đề cập tới nội dung cơ bản của 
phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị và ứng dụng của nó vào tính toán hệ 
thanh phẳng với vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. Trong phần 
lý thuyết cơ bản chỉ lấy các ví dụ là các bài toán với hệ thanh phẳng. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
• Nội dung phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị 
Trong phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị, thành phần chuyển vị được 
xem là đại lượng cần tìm. Chuyển vị được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn 
giản gọi là hàm xấp xỉ (hay còn gọi là hàm chuyển vị). Trình tự phân tích bài 
toán theo phương pháp PTHH - mô hình chuyển vị gồm các bước sau: 
1. Rời rạc hoá miền khảo sát 
Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve hay còn gọi là các PT có 
hình dạng hình học thích hợp. Các PT này được coi là liên kết với nhau tại các 
nút nằm tại đỉnh hay biên của PT. Số nút của PT không lấy tuỳ tiện mà phụ 
thuộc vào hàm chuyển vị định chọn. 
2. Chọn hàm chuyển vị 
Giả thiết hàm chuyển vị sao cho đơn giản đối với việc tính toán nhưng phải 
thoả mãn điều kiện hội tụ. Thường chọn dưới dạng hàm đa thức. Biểu diễn 
hàm chuyển vị theo tập hợp giá trị các thành phần chuyển vị và có thể cả đạo 
hàm của nó tại các nút của PT {δ}e. 
Tập hợp các hàm chuyển vị sẽ xây dựng nên một trường chuyển vị xác định 
một trạng thái chuyển vị duy nhất bên trong PT theo các thành phần chuyển vị 
nút. Từ trường chuyển vị sẽ xác định một trạng thái biến dạng, trạng thái ứng 
suất duy nhất bên trong PT theo các giá trị của các thành phần chuyển vị nút 
của PT. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
3. Xây dựng phương trình cân bằng trong từng PT, thiết lập ma trận độ cứng 
[K]e và vectơ tải trọng nút {F}e của PTthứ e. 
Dựa vào nguyên lí dừng thế năng toàn phần, xây dựng phương trình cân 
bằng trong từng PT, được biểu diễn dưới dạng sau: 
 (6.38) 
trong đó: {F}e- vectơ tải trọng nút của PT thứ e xét trong hệ toạ độ riêng 
(HTĐR); 
{δ}e - vectơ chuyển vị nút của PT thứ e xét trong HTĐR; 
[K]e - ma trận độ cứng của PT thứ e xét trong HTĐR. 
4. Ghép nối các PT xây dựng phương trình cân bằng của toàn hệ. 
Trên cơ sở mô hình chuyển vị, ghép nối các PT thu được phương trình cân 
bằng của toàn hệ, biểu diễn dưới dạng: 
 (6.39) 
trong đó: {F’}- vectơ tải trọng nút của toàn hệ trong hệ toạ độ chung (HTĐC); 
{δ’} - vectơ chuyển vị nút của toàn hệ trong HTĐC; 
[K’] - ma trận độ cứng của toàn hệ trong HTĐC. 
Khi ghép nối cần lưu ý xếp đúng vị trí của các thành phần trong từng [K]e và 
{F}e vào [K’] và {F’}. Lúc này sẽ có hiện tượng lặp tại một số nút. Trong hệ 
phương trình (6.39) đã khử sự trùng lặp. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Để giải được hệ phương trình (6.39), định thức của ma trận [K’] cần phải 
khác 0 (det [K’] khác 0), tức là phương trình không suy biến. Với bài toán kết 
cấu, điều này chỉ đạt được khi điều kiện biên được thoả mãn (kết cấu phải bất 
biến hình). Đó là điều kiện cho trước một số chuyển vị nút nào đó bằng 0 hay 
bằng một giá trị xác định. Sau khi đưa các điều kiện biên vào, phương trình cân 
bằng mới được biểu diễn như sau: 
[K*]{δ*} ={F*} (6.40) 
trong đó: {F*}- được xây dựng từ {F’}sau khi loại bỏ các hàng tương ứng với 
thành phần chuyển vị bằng 0; 
{δ*}- được xây dựng từ {δ’}sau khi loại bỏ các thành phần chuyển vị 
bằng 0; 
[K*] - được xây dựng từ [K’] sau khi loại bỏ các hàng và cột tương 
ứng với thành phần chuyển vị bằng 0. 
5. Giải hệ phương trình cân bằng 
Với bài toán tuyến tính, việc giải hệ phương trình đại số là không khó. Kết 
quả tìm được là chuyển vị của các nút. 
{δ*} = [K*]-1{F*} (6.41) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
6. Xác định nội lực, ứng suất, biến dạng 
Từ kết quả thu được, kết hợp với các điều kiện biên xác định được vectơ 
chuyển vị nút của từng PT trong HTĐR. Từ đó xác định được nội lực, cũng như 
biến dạng, ứng suất của điểm bất kì trong PT nhờ các quan hệ đã có trong Cơ 
học kết cấu và Lí thuyết đàn hồi. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Bài 6.1 Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều bằng a, 
Hãy xác định ứng suất tại điểm K của tấm trên hình.
Bài 6.2 Cho tấm hình chữ nhật có bề dày bằng một đơn vị chịu nén bởi áp 
lực q như hình vẽ, biết: Chuyển vị thao phương z vuông góc với mặt phẳng 
tấm bằng không.Các chuyển vị trong mặt phẳng là:
Bài tập Chương VI
( ) ( ) y
E
qvvx
E
qvvu
21;1 −−=+=
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
Y
X
H
q
Hãy kiểm tra các điều kiện biên của bài toán?
Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng 
riêng p, chịu tác dụng lực như hình vẽ. Hãy xác 
định trạng thái ứng suất trong tường. Chọn hàm 
ứng suất là đa thức bậc ba:
 với a, b, c, d là hằng số
x
y
h
O
q=γh
α
3223),( dycxyybxaxyx +++=ϕ
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES
HẾT CHƯƠNG VI