Bài giảng Cơ học Môi trường liên tục - Chương VII: Bài toán phẳng trong tọa độ cực - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
CHƯƠNG VII – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC 
Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ 
độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng 
suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền 
cạnh lỗ tròn của tấm 
 Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán 
kính r. 
7.1. Các phương trình cơ bản 
 1. Các phương trình vi phân cân bằng : 
 Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta 
cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt. 
 - 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr. 
 - 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ. 
 - 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Hình 7.1 
 + Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét 
A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau: 
 - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: 
 + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σr, Trθ. 
 + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành 
phần ứng suấ: , 
 - fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp 
tuyến. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 : 
 Vì biến dạng bé nên 
 Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được: 
 (7.1) 
 Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được 
 (7.2) 
 + Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Trθ = Tθr (7.3) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
2. Các phương trình hình học: 
Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ 
là u, v. 
Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 
phương là: 
 và 
Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 
phương là: 
 và 
Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ Hình 7.2 
* Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng 
ABCD trở thành A’B’C’D’: 
+Các biến dạng dài tương đối: 
 ; 
 ; 
+Biến dạng góc: (a) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
* Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra 
khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng ABCD trở 
thành A’’B’’C’’D’’: 
 (Hình 7.3) 
+ Biến dạng dài: 
 = 
+ Biến dạng góc: 
 γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b) 
 = 
Có số hạng (NA”M) = trong γ2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối với 
điểm 0. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa 
độ cực: 
 (7.4) 
3. Các phương trình vật lý: 
Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke 
trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ: 
 a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: 
 εr = (σr – μσθ) 
 εθ= (σθ – μσr) (7.5a) 
 γrθ = Trθ = Trθ 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng: 
 σr = (εr – μεθ) 
 σθ = (εθ – μεr) (7.5b) 
 Trθ = G.γrθ 
 Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, μ bằng E1, μ1 theo cách đặt: 
 ; 
7.2. GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT. 
 - Phương trình LeVy 2(σx + σy) = 0 là phương trình giải bài toán phằng 
theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes. 
 Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực: 
 2(σx + σy) = 0 
 σx + σy = σr + σθ = S 
 2(σr + σθ) = 0 (7-6) 
* Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực: 
 r2 = x2 + y2 (a) 
 tgθ = (b) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
(a) = 2r = 2x = = cosθ 
 = 2r = 2y = = sinθ 
 (b) = . = - 
 = - . = - (c) 
 = = . = = . = 
* Như vậy, đối với hàm f(x,y) bất kỳ, trong tọa độ cực: 
 = . + . = .cosθ - . 
 = . + . = .sinθ - . 
 = cosθ - . 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
= sinθ - . 
Sau biến đổi ta nhận được: 
 = cos2θ - . + + + 
 = sin2θ - . + + + 
 Lấy tổng hai biểu thức ta được: 
 2f = + = + + 
 2 = + + (7.7) 
 Thay (7.7) vào (7.6) ta có : 
 (7.8) 
 Cũng tương tự như trong hệ tọa độ Descartes trong trường hợp lực thể 
tích bằng 0, lấy các ứng suất thỏa mãn phương trình cân bằng (7.1), (7.2): 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
 (7.9) 
 Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất trong tọa độ cực 
 Thay (7.9) vào (7.8) ta có: 
 = 0 
 2( 2φ) = 0 (7.10) 
 (7.10): Phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực. 
Ví dụ 1: Cho thanh cong mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh): Lấy b=1, chịu tác dụng 
bởi mômen Mo ở 2 mặt cắt đầu thanh và nằm trong mặt phẳng cong của thanh như 
hình vẽ. Hãy xác định trạng thái ứng suất trong thanh. 
Bài giải : 
 Đây là trường hợp thanh cong phẳng 
chịu uốn thuần túy . Do mômen uốn không 
đổi theo chiều dài thanh nên ứng suất không 
phụ thuộc vào góc cực. Ta chọn hàm ứng suất 
theo (7-8) , nghĩa là: 
 ϕ(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D 
Khi đó các ứng suất theo (7-9) sẽ là : 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
(Hình 7-5)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Các hằng số A,B,C được xác định từ điều kiện biên như sau : 
* Tại 2 biên cong : 
r = a ⇒ σr =0 
r = b ⇒ σθ =0 (a) 
 *Tại 2 đầu thanh : L ực dọc N: N = ⌡
⌠
 σθdF = ⌡
⌠
b
 a
 σθ1.dr = 0 (b) 
Mômen uốn M: M= ⌡
⌠
 σθrdF = ⌡
⌠
b
 a
 σθ.1.r.dr = -Mo (c) 
Thay (7-13) vào các điều kiện (a), (b), (c) ta được : 
 (d)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Giải hệ phương trình (d) đối với A, B, C ta được : 
 A = - 4Mo
K 
a2b2ln ba 
 B = - 2Mo
K 
(b2 - a2) (e) 
 C = Mo
K 
[(b2 - a2) +2(b2lnb - a2lna)] 
Trong đó : K = (b2 - a2) -4a2b2(lnba)
2 
Thay các giá trị của A, B,C ở (e) vào (7-13) ta được : 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
7.3. Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn 
hồi (Bài toán PhơLamăng) 
 Giả sử có một môi trường đàn hồi được giới hạn bằng một mặt phẳng gọi 
là không gian bán vô hạn đàn hồi. Trên mặt phẳng chịu tác dụng của tải trọng 
phân bố đều theo một đường thẳng. Để giải bài toán ta cắt ra một phân tố giới 
hạn bởi hai mặt phẳng song song và vuông góc với đường tải trọng và cách 
nhau một đơn vị. (H7.6) 
Hình 7.6 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng. 
 Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song 
song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi. 
 Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng. 
 Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên. Do tính 
đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ 
là hàm chẵn đối với θ. 
 Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11) 
 C là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn 
phương trình trùng điều hòa và điều kiện biên: 
 Theo (6.9) ta có: 
 (7.12) 
 Trθ = 0 
Qua (7.12) cho thấy trên mặt phẳng vuông góc với bán kính r chỉ có ứng suất 
pháp σr. 
 σθ = Trθ = 0. Mặt vuông góc với này cũng không có ứng suất. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Xác định hằng số C bằng cách tính tổng hình chiếu lên trục các lực pháp tuyến 
tác dụng lên nửa vòng tròn tâm 0. 
 Σx = 0 với dF = r.dθ.1 (1 là bề 
dày của tấm) 
 (7.13) 
 Thay (7.13) vào (7.12) ta có: 
 σθ = 0 (7.14) 
 Trθ = 0 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Từ (7.14) cho thấy: 
+Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞. Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt 
lực có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh 
điểm đặt lực bị chảy dẻo. 
+Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu 
vực nói trên. 
+ Tính chất nghiệm của σr: 
 d.cosθ = r (a) 
Từ (7.14) (7.15) 
Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng tròn 
đều như nhau. Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất. 
Hình 7.7 Ví dụ: cấu kiện chịu nén đúng tâm 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Tính bản trong hệ tọa độ Descartes: 
Ta có:
θ
yxτ
xσ
yσ
xyτ
rσ
β
y
x
n
f*y
f*x
y
x x
y
r
P
o
rσ
rσ rσxσ
rσ
xyτ
yxτ
θ
Hình 7.8
Mà: 
Ta có: 
Nhân 2 vế của phương trình với l 
Nhân 2 vế của phương trình với m 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
; 
(7-16)
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Thay σr = - cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có: 
 σx = - cos3θ = - . 
 σy = - sin2θcosθ = - . (7.17) 
 Txy = - sinθcos2θ = - . 
 Tính chất nghiệm của (7.17): 
 * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung như hình vẽ, để tính ứng suất 
tại 1 điểm ta có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính. 
 (7.18) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
x
o
P
y
x
maxσ
1y
2θ
P1
y
P2 Pn
yσ
xyτ
yxτ
1y
nθ
2y
3y
xσ
1y
Hình - 7.9
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 
δ 7.1.Hãy xác định ứng suất trong nêm có chiều dày 
=1 , góc ở đỉnh = 2α chịu tác dụng của lực tập 
trung P ở đỉnh làm với trục nêm 1 góc bằng β 
Chỉ dẫn : Chọn hàm ứng suất ϕ có dạng : 
ϕ(r,θ ) = Arθsinθ +Brθcosθ 
Trong đó A, B là các hằng số. 
7-2. Hãy xác định ứng suất trong nêm như trên hình 
nếu có mômen Mo tác dụng tại đỉnh nêm . Chọn hàm 
ứng suất dạng: 
ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ 
Trong đó A ,B là các hằng số. 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
7-3.Cho nêm chịu lực như hình 
Hãy xác định trạng thái ứng suất trong nêm γ=const. 
Lấy hàm ứng suất dạng :ϕ(r,θ )= r3 (Acos3θ + Bsin3θ + 
Ccosθ +D sinθ ) 
Trong đó A,B,C,D là các hằng số. HÌNH (7-18) 
Cơ học môi trường liên tục
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC
KẾT THÚC MÔN HỌC !