Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 8: Dòng chuyển động qua cố thể, Lý thuyết lớp biên, Lực cản - Lý Hùng Anh

Chương 8 
Dòng chuyển động qua cố thể 
-Lý thuyết lớp biên 
- Lực cản 
Lý thuyết lớp biên 
1. Tổng quan về dòng chuyển động qua cố thể 
(external flow) 
2. Giới thiệu các phương pháp nghiên cứu dòng ngoại 
lưu 
3. Phương pháp động lượng tính gần đúng lớp biên 
của Karman 
4. Lý thuyết lớp biên Prandtl 
Dòng chuyển động có ma sát trong ống: lớp biên được hình 
thành từ thành ống, phát triển dọc theo chiều dài của ống, rồi 
hòa vào nhau thành một, và lớp biên chiếm toàn bộ không gian 
của ống. Đối với dòng chuyển động trong ống, ảnh hưởng của lực 
ma sát là chủ đạo. 
Dòng chuyển động bao quanh cố thể: 
- Ảnh hưởng của lực ma sát (tính nhớt) quan trọng gần bề 
mặt cổ thể và trong vùng hậu lưu của cố thể lý thuyết lớp biên 
- Ảnh hưởng của lực ma sát không đáng kể ở vùng không gian 
rất xa bề mặt cố thể dòng không ma sát (inviscid flow) 
Một số vấn đề thực tiễn về dòng chuyển động ngoại lưu: 
- Khí động lực học (aerodynamics): máy bay, tên lửa.. 
- Thủy động lực học (hydrodynamics): tàu thuyền, tàu ngầm.. 
- Giao thông (transportation) : xe hơi, xe tải 
- Năng lượng gió (wind engineering): nhà cao tầng, cầu đường, 
turbine gió 
Tổng quan về chuyển động ngoại lưu 
Dòng chuyển động qua cố thể - Lớp biên là gì? 
Khi cố thể được đặt trong một dòng chuyển động đều, một 
lớp biên mỏng hình thành sát bề mặt. Do tính nhớt, phân bố 
vận tốc trong lớp biên không còn đều như của dòng tự do i.e 
biến thiên vận tốc trong lớp biên lớn. 
Ngoài ra, khi dòng chuyển động tách ra khỏi bề mặt cố thể 
hình thành vết hậu lưu với những cấu trúc xoáy. 
b: điểm dừng 
c: điểm tách rời 
lớp biên 
Turbulent wake 
Vết hậu lưu sau hình trụ 
trong chuyển động rối 
Laminar wake 
Vết hậu lưu sau hình trụ 
trong chuyển động tầng 
Hiện tượng tách 
rời lớp biên 
Boundary Layer 
Separation 
 Flow control 
Phân bố vận tốc trong lớp biên 
Tách rời lớp biên 
Chuyển động ngược dốc áp suất 
Phương pháp nghiên cứu dòng 
qua cố thể 
Phương pháp tính toán số CFD: nhờ vào sự phát 
triển của máy tính, bộ vi xử lý và bộ nhớ, nhiều mô hình 
tính toán được thiết lập. Đây là phương pháp phổ biến 
hiện nay. 
Phương pháp thực nghiệm: là phương pháp phổ 
biến nhất trong nghiên cứu chuyển động ngoại lưu thông 
qua phương pháp phân tích thứ nguyên. 
 Phương pháp giải tích – lý thuyết lớp biên của 
Prandtl (1904): Ứng dụng phương trình Navier-Stokes 
cho lớp biên, dùng phép đơn giản hóa các biến số không 
quan trọng để đưa ra những hệ phương trình giải được 
và phù hợp với vùng không gian không nhớt bên ngoài. 
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng 
lớp biên của Karman (1921) 
Áp dụng phương 
trình động lượng 
cho thể tích kiểm 
soát giới hạn lưu 
chất giữa hai đường 
dòng trong vùng 
lớp biên 
1. Từ (0,0) đến (0,h): vận tốc đều U0 đầu vào 
2. Từ (0,h) đến (L,δ): 
vận tốc tiếp tuyến với đường dòng  
1. Từ (L,δ) đến (0,L): vận tốc u(y) đầu ra 
2. Từ (0,L) đến (0,0): 
(trên đường dòng sát bề mặt) 
0
(1) .V n U 
( 2 ) . 0V n 
(3 ) . ( )V n u y 
( 4 ) . 0V n 
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng 
lớp biên của Karman (1921) 
Giả thiết áp suất trên 
tấm phẳng là hằng số 
(p=pa)  không có 
lực áp suất, lực tác 
dụng trên tấm phẳng 
chỉ do ma sát nhớt với 
bề mặt 
Phương trình động lượng trên phương x 
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng 
lớp biên của Karman (1921) 
Xác định h Phương trình liên tục: 
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng 
lớp biên của Karman (1921) 
Lực cản ma sát : 
Lực cản ma sát theo chiều 
dày động lượng θ: 
Lực cản và ứng suất ma sát 
 Ứng suất ma sát và 
chiều dày động lượng 
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng 
lớp biên của Karman (1921) 
Chuyển động tầng, phân bố 
vận tốc theo parabol: 
Từ phân bố vận tốc, xác định bề dày động lượng θ: 
Và theo định luật Newton: 
Thay vào phương trình: 
và sắp xếp lại: 
0 0
1 5
x
d d x
U


   
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng 
lớp biên của Karman (1921) 
Chiều dày lớp biên tầng, với 
phân bố vận tốc parabol: 
(cao hơn 10% so với lời giải 
chính xác từ lý thuyết lớp 
biên) 
Hệ số ứng suất ma sát 
(skin-friction drag): 
Phương trình Navier-
Stokes cho chuyển động 
2D, bỏ qua trọng lực 
 Về lý thuyết, giải hệ 3 pt xác định được p, u, v theo 
các điều kiện biên (đầu vào, đầu ra, không trượt trên 
thành rắn) 
 Tuy nhiên, đây là hệ phi tuyến rất khó khăn để có 
lời giải trực tiếp 
Phương trình lớp biên Prandtl (1904) 
Pt liên tục 
Pt động lượng cho phương x 
Pt động lượng cho phương y 
Lớp biên trên tấm 
phẳng, chuyển động 
tầng, Re rất nhỏ δ≈L 
Lớp biên trên tấm 
phẳng, chuyển động 
rối, Re lớn δ<<L 
Phương trình lớp biên Prandtl 
Nếu số Reynolds rất lớn bề dày lớp biên là rất mỏng, 
Prandtl đề nghị các phép xấp xỉ đơn giản hóa như sau: 
Pt động lượng cho phương y: 
áp suất không thay đổi trên 
phương y, chỉ thay đổi theo 
chiều dài x 
Pt Bernoulli viết cho vị trí 
ngoài cùng của lớp biên 
Phương trình lớp biên Prandtl 
Ứng suất 
ma sát 
-Tầng 
- Rối 
 Hệ phương trình cho hai thành phần vận tốc u, v 
thỏa điều kiện biên 
-Thành rắn 
- Ngoài lớp 
biên 
: không trượt 
: đk liên tục 
miền ngoài 
Giải phương trình Prandtl cho lớp 
biên trên tấm phẳng 
- Lớp biên phát triển dọc theo chiều dài tấm phẳng bề 
dày lớp biên tăng dần δ(x). 
-Ban đầu lớp biên ở trạng thái tầng, bắt đầu từ x=0. 
- Tại một khoảng cách xcr (tương ứng với Recr), lớp biên 
thay đổi trạng thái từ tầng sang rối. 
- Ngoài vùng lớp biên là dòng đều tự do không có ảnh 
hưởng của tính nhớt i.e phân bố vận tốc đều. 
Giải phương trình Prandtl cho lớp 
biên trên tấm phẳng 
Số vô thứ nguyên đặc trưng cho trạng thái 
chuyển động 
ρ Khối lượng riêng lưu chất 
U∞ Vận tốc đặc trưng 
x Kích thước hình học đặc trưng 
 
Hệ số nhớt động lực học 
υ 
Hệ số nhớt động học 
Giải phương trình Prandtl cho lớp 
biên trên tấm phẳng 
Trạng thái chuyển tiếp từ tầng sang rối trên tấm 
phẳng xảy ra tại số Recr nằm trong khoảng: 
5 6
5 .1 0 R e 3 .1 0
c r
 
Số Reynolds tới hạn Recr 
xcr: khoảng cách từ cạnh 
trước đến vị trí diễn ra 
chuyển tiếp tầng-rối 
Đối với tấm phẳng: 
 x<xcr: lớp biên tầng 
 x>=xcr: lớp biên rối 
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
 lời giải Blasius (chuyển động tầng) (1908) 
Blasius đã chứng minh sự phụ thuộc của vận tốc vô thứ nguyên u/U 
trong lớp biên chỉ phụ thuộc vào một biến số kết hợp η như sau: 
Thay phân bố vận tốc vào 
phương trình lớp biên Prandtl: 
Với điều kiện biên: 
Theo lời giải Balsius: 
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
 lời giải Blasius (chuyển động tầng) (1908) 
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
 lời giải Blasius (chuyển động tầng) (1908) 
Và theo định luật Newton: 
12
2
0 .6 6 4
1
R e
2
w
f
x
c
U




Hệ số ứng suất ma sát 
(skin-friction drag): 
Xác định lực cản từ ứng 
suất ma sát 
Hệ số lực cản CD trên tấm 
phẳng có chiều dài L 
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
 chuyển động rối 
Phân bố vận tốc trong lớp 
biên theo qui luật logarith: 
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
 chuyểnlớp biên phát triển từ tầng sang rối 
Khi lớp biên tầng chiếm một khoảng cách đáng kể trên 
chiều dài tấm phẳng, hệ số lực cản trên tấm phẳng 
được tính kết hợp từ lớp biên tầng và lớp biên rối 
Tổng kết lực cản ma sát trên tấm phẳng 
Chiều dày 
lớp biên 
Hệ số ứng suất 
ma sát cf 
Hệ số lực cản CD 
Lớp biên 
tầng 
Động lượng 
Karman 
Blasius 
(chính xác) 
Lớp biên 
rối 
Tầng 
sang rối 
1 2
5
R e
x
x


1 2
5 .5
R e
x
x


1 7
0 .1 6
R e
x
x


1 7
0 .0 3 1
R e
D
L
C 
1 2
1 .3 2 8
R e
D
L
C 
1 2
0 .6 6 4
R e
f
x
c 
1 2
0 .7 3
R e
f
x
c 
Ví dụ 1: 
Tấm phẳng có chiều dài L=1m, chiều 
rộng b=3m đặt trong dòng chuyển động 
đều U=2m/s. 
1.Tính lực cản ma sát trên tấm phẳng 
2. Chiều dày lớp biên tại cạnh sau của 
tấm phẳng (x=L) 
Cho hai trường hợp lưu chất 
a. không khí và b. nước 
Ví dụ 1 : 
Ví dụ 1: 
Lý thuyết lớp biên được áp dụng khi nào? 
Thế nào là lớp biên mỏng? 
Giả thiết Prandtl: nếu số Reynolds rất lớn bề dày lớp 
biên là rất mỏngcác phép xấp xỉ đơn giản hóa pt NS. 
0 .1x 
1 2
50 .1 R e 2 5 0 0
R e
x
x
x   
 Khi Re<2500, lý thuyết lớp biên Prandtl sẽ không 
còn chính xác vì lớp biên dày sẽ có ảnh hưởng đáng kể 
đến phân bố áp suất bên ngoài lớp biên. 
Ví dụ 2: 
Xét dòng chuyển động có vận tốc U=1ft/s qua tấm 
phẳng có chiều dài 1ft. Xác định chiều dày lớp biên tại 
cạnh sau của tấm phẳng cho hai trường hợp lưu chất là 
nước và không khí ở 20OC. Lớp biên của dòng chuyển 
động vận tốc thấp trên một mô hình kích thước nỏ có 
thỏa mãn điều kiện lớp biên mỏng? 
ρ (kg/m3)  (m2/S) 
Không khí 1,23 1,46.10-5 
Nước 1000 1,02.10-6 
Ví dụ 2: 
Ví dụ 3: 
Nước chuyển động qua tấm phẳng có cạnh trước nhọn, 
chiều dài 2.55m, chiều rộng 1m với vận tốc U=2m/s. 
1.Xác định chiều dài lớp biên tầng trên tấm phẳng. 
Tính lực cản. 
2.Tính lực cản trên tấm phẳng nếu giả thiết lớp biên ở 
trạng thái rối hoàn toàn. Tính sai số cho trường hợp 
này. 
Ví dụ 3: 
Ví dụ 3: 
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
 chuyển động rối 
Phân bố vận tốc trong lớp 
biên theo qui luật logarith: 
Ngoài lớp biên: y=δu=U 
21
2
w
f
c
U



Từ định nghĩa hệ số cf: 
Trên mặt bản phẳng: 
Do đó: 
Theo điều kiện bài toán: 
Theo giả thuyết Newton ta có: 
5.2 Tại lớp biên chảy tầng của chất lỏng thực sát bản phẳng có vận tốc phân 
bố theo phương trình. 
v = (20y – 0,5y2)cm/s 
trong đó v – vận tốc chất lỏng tại khoảng y (cm) cách bản. 
Độ nhớt động lực của chất lỏng µ = 0,5 poazơ = 0,05Ns/m2 . Tính ứng suất tiếp 
tuyến trên mặt phẳng đó. 
Giải 
d v
d y
 
2 0
d v
y
d y
 
( 2 0 )y  
2 2
0 0
20 20 .0, 5 10 / 1 /
y
dyn cm N m  

    
Ví dụ 4: