Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyêt đàn hồi - Chương 2: Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ - Trần Minh Tú

July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
1
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
 I T LI T 
L T T I
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
®
¹
i
h
ä
c
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
2
Chương 2
Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
3
2.1. Hệ thống ký hiệu2.1. Hệ thống ký hiệu
2.2. Qui ước về chỉ số2.2. Qui ước về chỉ số
2.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng2.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng
2.4. Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không2.4. Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không
2.5. Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất2.5. Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất
2.6. Ten xơ hạng hai2.6. Ten xơ hạng hai
2.7. Ten xơ hạng n2.7. Ten xơ hạng n
Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
4
Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ
• Nghiên cứu Cơ học môi trường liên tục và Lý thuyết đàn
hồi => Công cụ toán học => tenxơ
• Thường gặp các đại lượng toán học, vật lý có các tính
chất khác nhau.
Vô hướng: khối lượng Vec tơ: vận tốc Tenxơ: ứng suất
Mở đầuMở đầu
][aA = ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
a
a
a
Ai
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Aij
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
5
Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ
- Đại lượng vô hướng: là những đại lượng mà với một đơn vị đo
đã chọn nó được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ, 
khối lượng, 
- Đại lượng vec tơ : là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo
đơn vị đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng
hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, 
- Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho một trạng thái xác định nào
đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, 
Ten xơ là một đại lượng tổng quát. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm
chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng.
Ten xơ bậc cao
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
331321311
231221211
131121111
aaa
aaa
aaa
Aijk
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
6
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
Các ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn: 
, , , ...i j ijka a a
qui ước: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3 
ia 1 2 3, ,a a abiểu thị một trong 3 phần tử
ija 11 12 13 21 22 23 31 32 33, , , , , , , ,a a a a a a a a abiểu thị một trong 9 phần tử
ijka 111 112 333, ,...,a a abiểu thị một trong 27 phần tử
2.1.2. Qui ước về chỉ số
2.1.1. Hệ thống ký hiệu
Chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số
như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác
1 1 2 2 3 3i i k ka b a b a b a b a b= + + =
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3 
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
7
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng
ij jia a=
ijaTrong hệ thống
nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ
thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là
=> hệ thống này là hệ thống đối xứng
Kí hiệu Kronecker
ij
1 0 0
0 1 0
0 0 1
δ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
ij jia a= − => hệ thống phản đối xứng
Ký hiệu Levi-Chivita
2 chi so bat ky bang nhau
chieu quay theo thu tu 123
chieu quay theo thu tu 321
ijk
0
1 ijk
1 ijk
ε
⎧⎪= ⎨⎪−⎩
1
2
3
ij
1 i=j
0 i≠ jδ
⎧= ⎨⎩
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
8
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không
( )1 2 3, , ,x x x tϕ
1 2 3( , , )x x x
Trường vô hướng là một hàm vô hướng
: toạ độ các điểm trong miền không gian ; t là tham số thời gian
Gradient của trường vô hướng
1 2 3
1 2 3
grad e e e
x x x
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ∂ ∂ ∂= ∇ = + +∂ ∂ ∂
JG JJG JG
ie
JG
là vec tơ đơn vị của hệ trục toạ độ Oxi
Ký hiệu ∇ đọc là “nabla”
- nếu trường vô hướng là nhiệt độ
thì gradient là thông lượng nhiệt
(flux of thermal energy)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
9
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
gradϕ onstcϕ =
Ý nghĩa hình học:
là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình
. 
2 2 2
2
2 2 2
1 2 3x x x
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂Δ = ∇∇ = ∇ = + +∂ ∂ ∂
Ký hiệu Δ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien
gradient
Contours (đường)
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
10
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất
Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, đặc trưng bởi trị số và
hướng, biểu diễn trong không gian ba chiều bằng đoạn thẳng có hướng
gọi là vec tơ
O
x1
x3
x2
a2
a
a1
a31 2 3a a a a= + +
G JG JJG JJG
2 2 2 2
1 2 3 ia a a a a a= = + + =
G
il- cosin chỉ phương của các vec tơ là
/i il a a=i=1,2,3 với và
- Biểu diễn vec tơ:
1 1 2 2 3 3a a e a e a e= + +
G JG JJG JG
hoặc: ei – vec tơ đơn vị E3`
e1
e2- Độ dài vec tơ: 
2 2 2
1 2 3 1l l l+ + =
a. Các thành phần vectơ
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
11
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
b. Các phép tính vec tơ
),cos( baba ba=⋅
a
b
),( ba
• Nhân vô hướng
• Nhân có hướng
1 2 3
1 2 3
i j k
a b a a a
b b b
× =
a
bba×
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
12
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
c. Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ
ie
JGHệ trục toạ độ vuông góc ban đầu Oxi - vec tơ đơn vị là
'
iOx
'
ie
JGHệ trục vuông góc mới - vec tơ đơn vị là Phép xoay
x1
x3
x2
e3`
e1
e2
O
x1
x3
x2
e1e3
e2
Các cosin chỉ phương cij là góc hợp bởi trục mới'
ix và trục cũ xj :
[ ]
'
1 1 111 12 13
'
2 21 22 23 2 2
'
31 32 333 3 3
e e ec c c
e c c c e C e
c c ce e e
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
JG JJG JJG
JJG JJG JJG
JG JJG JJG
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
13
2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
x1
x3
x2
e3`
e1
e2
O
x1
x3
x2
e1e3
e2
[ ]11 12 13
21 22 23
31 32 33
' '' ' '
1 1 1
' ' ' ' '
2 2 2
' ' ' ' '
3 3 3
'
e e ec c c
e c c c e C e
c c ce e e
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
JJG JG JG
JJG JJG JJG
JJG JG JG
Ma trận các cosin chỉ phương [C] và [C’] là
các ma trận trực giao
[ ] [ ] [ ]1' TC C C−= =
2.1.6 Ten xơ hạng hai:
Là hệ thống aij gồm 32=9 thành phần: trạng thái ứng suất, trạng thái biếndạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính đối với các
trục đi qua điểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, 
2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống aijkl gồm 3n thành phần
July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email: tpnt2002@yahoo.com
14