Bài giảng Đại số tuyến tính - Đoàn Vương Nguyên

   = − ⇒ =− ≠   −  
. 
 Suy ra ( )C là đường conic. 
 Mặt khác 
1 4
det 9 0
4 7
Q Q
 −  = ⇒ = − < −  
. 
 Vậy ( )C là đường hyperbol. 
Ví dụ 31. Xác định dạng của đường bậc hai ( )C cĩ phương trình 2 24 4 8 0x y x y− − + = . 
Giải. Ta cĩ: 
1 0 2
0 4 4 det 0
2 4 0
Q Q
 −    = − ⇒ =   −  
. 
 Suy ra ( )C khơng phải là đường conic. 
 Biến đổi ( )C : 
2 2 2 24 4 8 0 ( 2) 4( 1) 0x y x y x y− − + = ⇔ − − − = ( 2 )( 2 4) 0x y x y⇔ − + − = . 
 Vậy ( )C là tích của hai đường thẳng. 
Ví dụ 32. Trong Oxy , viết phương trình chính tắc của conic ( )C : 
2 25 8 4 32 56 80 0x y xy x y+ + − − + = . 
Giải. Xét dạng tồn phương 2 2( ; ) 5 8 4q x y x y xy= + + . 
 Ma trận của q là 
5 2
2 8
Q
  =    
. Ma trận Q cĩ trị riêng và vector riêng cơ sở tương ứng là: 
1 1
9, (1; 2)uλ = = và 
2 2
4, ( 2; 1)uλ = = − . 
Đoàn Vương Nguyên Chương 5. Dạng toàn phương 
 107 
 Trực chuẩn hĩa các vector riêng cơ sở, ta được ma trận trực giao 
1 21
2 15
P
 −  =    
. 
 Đổi biến: 
1 2
5 5
2 1
.
5 5
x x y
x x
P
y y
y x y
 ′ ′= −   ′      = ⇔    ′        ′ ′= +
 Thay vào phương trình của ( )C , ta được: 
2 2 144 89( ) 4( ) 80 0
5 5
x y x y′ ′ ′ ′+ − + + = 
2 2
8 1
9 4 36
5 5
x y
     ′  ′ ⇔ − + + =        
2 2
8 1
5 5
1
4 9
x y
     ′ ′ − +        
⇔ + = . 
 Đổi biến: 
8
5
x x′′ ′= − , 
1
5
y y′′ ′= + . 
 Vậy ( )C là đường elip cĩ phương trình chính tắc 
2 2( ) ( )
1
4 9
x y′′ ′′
+ = . 
4.2. Nhận diện mặt bậc hai 
4.2.1. Định nghĩa mặt bậc hai 
 Trong khơng gian Oxyz , mặt bậc hai là tập hợp tất cả các điểm ( ; ; )M x y z cĩ tọa độ thỏa phương 
trình 
2 2 2 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 0ax by cz d xy e xz f yz g x h y k z l+ + + + + + + + + =
 (2) 
trong đĩ , , , , ,a b c d e f khơng đồng thời bằng 0. 
Ví dụ 33. Trong 3ℝ , mặt ( )S cĩ phương trình sau là mặt bậc hai: 
2 23 3 10 2 14 13 0x y xy x y+ + − − − = . 
4.2.2. Sơ lược về luật quán tính Sylvester và dạng tồn phương xác định dấu 
a) Luật quán tính Sylvester 
 Gọi s là số các số hạng mang dấu “ + ” và p là số các số hạng mang dấu “ – ” trong dạng chính 
tắc. Khi đĩ, s và p là những đại lượng bất biến, khơng phụ thuộc vào phép biến đổi khơng suy biến 
để đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc. 

 Chú ý 
 i) Số s được gọi là chỉ số dương quán tính của dạng tồn phương. 
 ii) Số p được gọi là chỉ số âm quán tính của dạng tồn phương. 
 iii) Số s p− được gọi là chỉ số (hay ký số) của dạng tồn phương. 
Ví dụ 34. Trong 2ℝ , cho dạng tồn phương 2 2
1 2 1 2
( ) 3 2f x x x x x= − − . 
• Cách 1. Biến đổi 2 2
1 2 2
( ) ( ) 4f x x x x= − − . 
 Đổi biến 
1 1 2 2 2
,y x x y x= − = , ta được 2 2
1 2
( ) 4f y y y= − . 
Bài giảng Đại số Tuyến tính 
 108 
• Cách 2. Biến đổi 2 2
1 2 1
1 4
( ) ( 3 )
3 3
f x x x x= − + + . 
 Đổi biến 
1 1 2 2 1
3 ,z x x z x= + = , ta được 2 2
1 2
1 4
( )
3 3
f z z z= − + . 
 Nhận thấy qua 2 cách biến đổi trên, dạng chính tắc khác nhau nhưng đều cĩ 1s p= = . 
b) Dạng tồn phương xác định dấu 

 Định nghĩa 
 Trong nℝ , giả sử dạng tồn phương ( )q x cĩ ([ ])r q n= . 
• Dạng tồn phương ( )q x được gọi là xác định dương nếu ( ) 0, ( )nq x x x θ> ∀ ∈ ≠ℝ . 
• Dạng tồn phương ( )q x được gọi là xác định âm nếu ( ) 0, ( )nq x x x θ< ∀ ∈ ≠ℝ . 
• Dạng tồn phương ( )q x được gọi là nửa xác định dương (hay âm) nếu 
( ) 0, ( ( ) 0, )n nq x x hay q x x≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ℝ ℝ . 
• Dạng tồn phương ( )q x được gọi là khơng xác định dấu nếu nĩ nhận cả giá trị dương và giá trị âm; 
nghĩa là, ( )q x thay đổi dấu. 

 Chú ý 
 Trong nℝ , việc xét dấu dạng tồn phương q cĩ ([ ])r q n< (dạng suy biến) là khá phức tạp. 
 Ta khơng xét ở đây. 
Ví dụ 35. Trong 2ℝ , ta cĩ: 
• 
2 2
1 2 1 2
( ) 3 2q x x x x x= + − là xác định dương vì 2 2 2
1 2 2
( ) ( ) 2 0, ( )q x x x x x x θ= − + > ∀ ∈ ≠ℝ . 
• 
2 2
1 2 1 2
( ) 4 4f x x x x x= − − + là nửa xác định âm vì 2 2
1 2
( ) (2 ) 0,f x x x x= − − ≤ ∀ ∈ ℝ . 
• 
2 2
1 2 1 2
( )g x x x x x= − + là khơng xác định dấu vì (1; 1) 1 0g − = − . 

 Định lý Sylvester 
 • Trong nℝ , dạng tồn phương xác định dương khi và chỉ khi ma trận của nĩ cĩ tất cả các định thức 
con chính đều dương; nghĩa là 0
k
D > ( 1,..., )k n= . 
 • Trong nℝ , dạng tồn phương xác định âm khi và chỉ khi ma trận của nĩ cĩ các định thức con chính 
cấp chẵn dương, cấp lẻ âm; nghĩa là ( 1) 0k
k
D− > ( 1,..., )k n= . 
Ví dụ 36. Dùng định lý Sylvester, xét tính xác định dấu của dạng tồn phương trong 3ℝ sau: 
2 2 2
1 2 3 1 2
( ) 2 4 3 4q x x x x x x= − − − + . 
Giải. Ma trận của q là 
2 2 0
2 4 0
0 0 3
A
 −    = −    −  
 và ( ) 3r A = . 
 Ta cĩ các định thức con chính: 
1
2 0D = − < , 
2
2 2
4 0
2 4
D
−
= = >
−
, 
3
det 12 0D A= =− < . 
 Vậy ( )q x xác định âm. 
Đoàn Vương Nguyên Chương 5. Dạng toàn phương 
 109 
Ví dụ 37. Dùng định lý Sylvester, xét tính xác định dấu của dạng tồn phương trong 3ℝ sau: 
2 2 2( ; ; ) 7 2 5f x y z x y z xz= + − + . 
Giải. Ma trận của f là 
7 0 3
0 2 0
3 0 1
A
    =    −  
 và ( ) 3r A = . 
 Ta cĩ các định thức con chính: 
1 2 3
7 0, 14 0, 32 0D D D= > = > = − < . 
 Suy ra f khơng xác định dương và cũng khơng xác định âm. 
 Mặt khác 
(1; 0; 0) 7 0f = > và (0; 0; 1) 1 0f =− < . 
 Vậy dạng tồn phương f khơng xác định dấu. 
4.2.3. Phân loại mặt bậc hai 
a) Các dạng chính tắc của mặt bậc hai 
 1) 2 2 2 2x y z R+ + = (mặt cầu); 
2) 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + = (mặt elipsoid); 
 3) 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = (hyperbolic 1 tầng); 
4) 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = − (hyperbolic 2 tầng); 
5) 
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − = (nĩn eliptic); 
6) 
2 2
2 2
2
x y
z
a b
+ = (parabolic eliptic); 
7) 
2 2
2 2
2
x y
z
a b
− = (parabolic hyperbolic); 
8) 
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = (mặt trụ eliptic); 
9) 
2 2
2 2
1
x y
a b
− = ± (mặt trụ hyperbolic); 
10) 2y px= hoặc 2x py= (mặt trụ parabolic). 

 Chú ý 
 Các dạng 8), 9) và 10) được gọi là các mặt bậc hai suy biến. 
b) Phân loại 
 Cho ( )S là mặt bậc hai cĩ phương trình dưới dạng (2). 
 Đặt ma trận nhỏ và ma trận lớn như sau: 
a d e
Q d b f
e f c
    =     
 và 
a d e g
d b f h
Q
e f c k
g h k l
      =        
. 
Bài giảng Đại số Tuyến tính 
 110 

 Định lý 
 Mặt bậc hai ( )S là khơng suy biến khi và chỉ khi 
det 0Q ≠

 Tính chất 
Nếu mặt bậc hai ( )S khơng suy biến thì: 
 i) ( )S là mặt elipsoid (kể cả elipsoid ảo) khi và chỉ khi ma trận dạng tồn phương Q xác định 
dương hay xác định âm; 
 ii) ( )S là mặt hyperpolic (1 tầng hay 2 tầng) khi và chỉ khi ma trận dạng tồn phương Q cĩ chỉ 
số 1s p− = ± ; 
 iii) ( )S là mặt parabolic eliptic (hay parabolic hyperpolic) khi và chỉ khi det 0Q = . 
4.2.4. Rút gọn mặt bậc hai 
 Bằng cách xoay trục tọa độ và tịnh tiến, ta đưa (2) về dạng chính tắc. 
• Bước 1. Đưa dạng tồn phương 2 2 2( ; ; ) 2 . 2 . 2 .q x y z ax by cz d xy e xz f yz= + + + + + về dạng chính 
tắc 2 2 2( ) ( ) ( )x y zα β γ′ ′ ′+ + (khử các tích chéo) bằng phép biến đổi trực giao (phép quay). 
• Bước 2. Đổi biến: , ,x x a y y b z z c′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′= + = + = + (tịnh tiến hệ tọa độ) một cách thích hợp 
để phương trình ( )S cĩ dạng chính tắc. 
Ví dụ 38. Xác định dạng của mặt bậc hai ( )S cĩ phương trình: 
2 2 24 4 8 10 4 4 16 16 8 72 0x y z xy xz yz x y z+ − − + + − − − + = . 
Giải. Ta cĩ: 
4 5 2
5 4 2
2 2 8
Q
 −    = −    −  
 và 
4 5 2 8
5 4 2 8
2 2 8 4
8 8 4 72
Q
 − −    − −  =   − −    − − −  
. 
 Do ( ) 4r Q = nên ( )S khơng suy biến. 
 Mặt khác, det 0Q = nên ( )S là parabolic eliptic (hay parabolic hyperpolic). 
Ví dụ 39. Xác định dạng của mặt bậc hai ( )S cĩ phương trình sau đây rồi viết phương trình chính tắc: 
2 2 222 28 15 8 112 184 30 343 0x y z xy x y z+ + + − − − + = . 
Giải. Ta cĩ: 
22 4 0
4 28 0
0 0 15
Q
    =     
, 
22 4 0 56
4 28 0 92
0 0 15 15
56 92 15 343
Q
 −    −  =   −    − − −  
. 
 Do det 0Q ≠ nên ( )S khơng suy biến. 
 Theo định lý Sylvester, ma trận Q cĩ: 
1 2 3
22 0; 600 0; 9000 0D D D= > = > = > 
 nên Q xác định dương. 
 Suy ra ( )S là mặt elipsoid. 
Đoàn Vương Nguyên Chương 5. Dạng toàn phương 
 111 
 Ma trận Q cĩ trị riêng và vector riêng cơ sở tương ứng là: 
1 1 1
1
30, (1; 2; 0) (1; 2; 0)
5
u wλ = = ⇒ = , 
2 2 2
1
20, ( 2; 1; 0) ( 2; 1; 0)
5
u wλ = = − ⇒ = − , 
3 3 3
15, (0; 0; 1) (0; 0; 1)u wλ = = ⇒ = . 
 Suy ra, ma trận trực giao là 
1 2 0
1
2 1 0
5
0 0 5
P
  −    =       
. 
 Đổi biến: 
1 2 2 1
, ,
5 5 5 5
x x y y x y z z′ ′ ′ ′ ′= − = + = . 
 Khi đĩ, ( )S cĩ phương trình: 
2 2 2 480 4030( ) 20( ) 15( ) 30 343 0
5 5
x y z x y z′ ′ ′ ′ ′ ′+ + − − − + = 
( )
2 2
2
8 1
15 5
1
2 3 4
x y
z
     ′ ′ − −    ′  −    
⇔ + + = . 
 Đổi biến: 
8 1
, , 1
5 5
x x y y z z′′ ′ ′′ ′ ′′ ′= − = − = − . 
 Vậy ( )S là mặt elipsoid cĩ phương trình chính tắc 
2 2 2( ) ( ) ( )
1
2 3 4
x y z′′ ′′ ′′
+ + = . ■ 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG V 
Câu 1. Ma trận của dạng song tuyến tính trên 2ℝ xác định bởi 
1 1 1 2 2 1 2 2
( , ) 2 3 5f x y x y x y x y x y= − + + 
 trong cơ sở {(2; 1), (1; 1)}B = − là: 
 A. 
13 10
14 1
 −      
; B. 
13 14
10 1
    −  
; C. 
12 10
9 2
    −  
; D. 
12 9
10 2
 −      
. 
Câu 2. Ma trận của dạng tồn phương 2 2
1 2 1 1 2 2
( ; ) 2 6q x x x x x x= − + trong cơ sở 
 {(1; 1), ( 1; 1)}B = − là: 
 A. 
5 5
5 9
      
; B. 
5 5
5 9
    −  
; C. 
5 51
5 92
      
; D. 
5 51
5 92
    −  
. 
Bài giảng Đại số Tuyến tính 
 112 
Câu 3. Ma trận trực giao là: 
 A. 
3 2 2
1
0 1 2
6
3 1 2
 −         −  
; B. 
0 1 2
1
3 2 2
6
3 1 2
     −    −  
; 
 C. 
3 1 2
1
0 2 2
6
3 1 2
     −    −  
; D. 
3 1 2
1
3 2 2
6
0 1 2
     − −      
. 
Câu 4. Trong 3ℝ , dạng tồn phương sẽ suy biến khi ta đưa về dạng chính tắc là: 
 A. 2 2
1 2 3 1 3 1 2 2 3
( ; ; ) 4 2q x x x x x x x x x= − + + ; 
 B. 2 2
1 2 3 1 2 1 2 1 3 2 3
( ; ; ) 4 4 2 4q x x x x x x x x x x x= + + − − ; 
 C. 2 2
1 2 3 1 2 1 3
( ; ; ) 2q x x x x x x x= − + ; 
 D. 2 2
1 2 3 2 3 1 2
( ; ; ) 2 2q x x x x x x x= − + . 
Câu 5. Trong 2ℝ , cho dạng tồn phương 2
1 2 2 1 2
( ; ) 3 4q x x x x x= + . 
 Bằng phép chéo hĩa trực giao với ma trận 
2 11
1 25
P
 −  =    
, ta đưa q về dạng chính tắc là: 
 A. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 4q y y y y=− + ; B. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 4q y y y y= − ; 
 C. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 4q y y y y= − ; D. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 4q y y y y=− + . 
Câu 6. Trong 2ℝ , cho dạng tồn phương 2 2
1 2 1 2
( ) 7 2 8f x x x x x= − − − . 
 Dùng thuật tốn Lagrange với ma trận đổi biến 
1 0
2 1
P
  =  −  
, ta đưa f về dạng chính tắc là: 
A. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 2f y y y y= − ; B. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 2f y y y y=− + ; 
C. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 2f y y y y= − ; D. 2 2
1 2 1 2
( ; ) 2f y y y y=− + . 
Câu 7. Trong 2ℝ , cho dạng tồn phương ( )q x . Bằng phép chéo hĩa trực giao với 
2 11
1 25
P
  =  −  
, 
ta đưa q về dạng chính tắc 2 2
1 2 1 2
( ; ) 4q y y y y= − . Dạng tồn phương ( )q x đã cho là: 
 A. 2
1 2 2 1 2
( ; ) 3 4q x x x x x= − ; B. 2
1 2 1 1 2
( ; ) 3 4q x x x x x= − ; 
 C. 2
1 2 1 1 2
( ; ) 3 4q x x x x x=− + ; D. 2
1 2 2 1 2
( ; ) 3 4q x x x x x=− + . 
Câu 8. Trong 3ℝ , cho dạng tồn phương ( )f x . Bằng phép chéo hĩa trực giao bởi ma trận trực giao 
1 0 3
1
0 10 0
10 3 0 1
        −  
, ta đưa f về dạng chính tắc 2 2 2
1 2 3
( ) 2 2 8f y y y y=− + + . 
 Dạng tồn phương ( )f x đã cho là: 
Đoàn Vương Nguyên Chương 5. Dạng toàn phương 
 113 
 A. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( ; ; ) 7 2 6f x x x x x x x x= + − + ; 
 B. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3
( ; ; ) 7 2 6f x x x x x x x x= + − + ; 
 C. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2
( ; ; ) 7 2 6f x x x x x x x x= − + + ; 
 D. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 3
( ; ; ) 7 2 6f x x x x x x x x= − + + . 
Câu 9. Trong 3ℝ , cho dạng tồn phương ( )f x . Bằng phép chéo hĩa trực giao với cơ sở trực chuẩn 
( ) ( ) ( )1 1 12; 2; 2 , 1; 1; 2 , 3; 3; 0
6 6 6
W
   = − − − 
   
 ta đưa f về dạng chính tắc 2 2 2
1 2 3
( ) 3 6 8f y y y y= + + . Dạng tồn phương ( )f x đã cho là: 
 A. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ; ; ) 36 36 30 24 12 12f x x x x x x x x x x x x= + + − − − ; 
 B. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ; ; ) 36 36 30 12 24 12f x x x x x x x x x x x x= + + − − − ; 
 C. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ; ; ) 36 36 30 12 12 24f x x x x x x x x x x x x= + + − − − ; 
 D. 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ; ; ) 30 36 36 24 12 12f x x x x x x x x x x x x= + + − − − . 
Câu 10. Trong Oxy , cho đường bậc hai ( )C cĩ phương trình: 
2 25 8 4 32 56 80 0x y xy x y+ + − − + = . 
 Phân loại đường bậc hai, ta được ( )C là: 
 A. Đường parabol; B. Đường elip; 
 C. Đường hyperbol; D. Khơng phải là đường Conic. 
Câu 11. Trong Oxyz , cho mặt bậc hai ( )S cĩ phương trình: 
2 2 222 28 15 8 112 184 30 343 0x y z xy x y z+ + + − − − + = . 
 Phân loại mặt bậc hai, ta được ( )S là: 
 A. Mặt parabolic; B. Mặt elipsoid; 
 C. Mặt hyperbolic; D. Mặt suy biến. 
Câu 12. Trong Oxy , cho đường bậc hai ( )C cĩ phương trình: 
2 2 6 2 2 ( 1) 0x my xy x my m+ + + + + + = . 
 Điều kiện của m để ( )C là đường elip: 
 A. 1m ; C. 9m > ; D. 9m < . 
Câu 13. Trong Oxy , cho đường bậc hai ( )C cĩ phương trình: 
2 2 6 2 2 ( 1) 0x my xy x my m+ + + + + + = . 
 Điều kiện của m để ( )C là đường hyperbol: 
 A. 
1
3
m
m
 <

 ≠ −
; B. 
9
3
m
m
 <

 ≠ −
; C. 1m < ; D. 9m < . 
Câu 14. Trong Oxyz , cho mặt bậc hai ( )S cĩ phương trình: 
2 2 2 25 4 2 2 2 4 2 1 0x y m z xy xz myz x y mz+ + + − + + + + + = . 
 Điều kiện của m để ( )S là mặt parabolic: 
Bài giảng Đại số Tuyến tính 
 114 
 A. 5
4
m =− ; B. 4
5
m =− ; C. 5
4
m >− ; D. 4
5
m >− . 
Câu 15. Trực chuẩn hĩa cơ sở {(3; 4), (6; 5)}B = − trong 2ℝ bởi thuật tốn Gram – Schmidt, ta 
được: 
 A. 3 4 8 6; , ;
5 5 13 13
         −            
; B. 3 4 12 5; , ;
5 5 13 13
         −            
; 
 C. 4 3 3 4; , ;
5 5 5 5
         −            
; D. 3 4 4 3; , ;
5 5 5 5
         −            
. 
Câu 16. Trực giao hĩa cơ sở {(12; 5), (3; 7)}B = − trong 2ℝ bởi thuật tốn Gram – Schmidt, ta 
được: 
 A. 45 108(12; 5), ;
169 169
     −       
; B. 495 1188(12; 5), ;
169 169
     −       
; 
 C. 45 54(12; 5), ;
58 29
     −       
; D. 495 594(12; 5), ;
58 29
     −       
. 
Câu 17. Trực giao hĩa Gram – Schmidt cơ sở B sau trong 3ℝ 
{( 1; 2; 2), (1; 2; 2), (2; 2; 1)}B = − − − − , ta được: 
 A. 16 4 4 1 1( 1; 2; 2), ; ; , 0; ;
9 9 9 2 2
         − − −             
; B. 1 1 16 4 4( 1; 2; 2), 0; ; , ; ;
2 2 9 9 9
         − − −             
; 
 C. 16 4 4 1 1( 1; 2; 2), ; ; , 0; ;
9 9 9 2 2
         − − − −             
; D. 1 1 16 4 4( 1; 2; 2), 0; ; , ; ;
2 2 9 9 9
         − − − −             
. 
Câu 18. Trực chuẩn hĩa Gram – Schmidt cơ sở B sau trong 3ℝ 
{(1; 2; 0), (1; 0; 2), (0; 2; 1)}B = − − , ta được: 
 A. 5 2 5 30 30 30 6 6 6; ; 0 , ; ; , ; ;
5 5 15 6 30 3 6 6
                 − − − −                      
; 
 B. 5 2 5 30 30 30 6 6 6; ; 0 , ; ; , ; ;
5 5 15 30 6 3 6 6
                 − − −                      
; 
 C. 5 2 5 30 30 30 6 6 6; ; 0 , ; ; , ; ;
5 5 15 30 6 3 6 6
                 − − − −                      
; 
 D. 5 2 5 6 6 6 30 30 30; ; 0 , ; ; , ; ;
5 5 3 6 6 15 30 6
                 − − − −                      
. 
Câu 19. Trong 2ℝ , cho cơ sở {(3; 4), (4; 3)}B = − được trực chuẩn hĩa Gram – Schmidt thành W . 
 Tọa độ của (1; 2)x = trong W là: 
Đoàn Vương Nguyên Chương 5. Dạng toàn phương 
 115 
 A. 2 11[ ]
5 5
T
W
x
  = −   
; B. 2 11[ ]
5 5
T
W
x
  = −   
; 
 C. 11 2[ ]
5 5
T
W
x
  = −   
; D. 11 2[ ]
5 5
T
W
x
  = −   
. 
Câu 20. Trong 2ℝ , cho cơ sở {(1; 2), (2; 3)}B = − được trực chuẩn hĩa Gram – Schmidt thành W . 
 Tọa độ của (1; 2)x = trong W là: 
 A. 
0
[ ]
5W
x
  =    
; B. 
5
[ ]
0W
x
  =    
; C. 
0
[ ]
5W
x
  =   −  
; D. 
5
[ ]
0W
x
 −  =    
. 
Câu 21. Trong 3ℝ , cho cơ sở {( 1; 1; 2), (1; 3; 2), (2; 2; 1)}− − − − được trực chuẩn hĩa Gram – 
Schmidt thành W . Tọa độ của (1; 0; 0)x = trong cơ sở W là: 
 A. 1 1 1[ ]
6 3 2
T
W
x
  = −   
; B. 1 1 1[ ]
6 2 3
T
W
x
  = −   
; 
 C. 1 1 1[ ]
6 3 2
T
W
x
  = −   
; D. 1 1 1[ ]
6 2 3
T
W
x
  = −   
. 
Câu 22. Trong 3ℝ , cho cơ sở {(1; 0; 1), (1; 1; 0), (1; 1; 1)}− − được trực chuẩn hĩa Gram – Schmidt 
thành W . Tọa độ của (1; 0; 0)x = trong W là: 
 A. 1 1 1[ ]
2 6 3
T
W
x
  =    
; B. 1 1 1[ ]
3 6 2
T
W
x
  =    
; 
 C. 1 1 1[ ]
2 3 6
T
W
x
  =    
; D. 1 1 1[ ]
3 2 6
T
W
x
  =    
. ■ 
 116 
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Chương 1 
1 2 3 4 5 6 7 8 
D C A B B D D C 
9 10 11 12 13 14 15 16 
D A B C D A A B 
Chương 2 
1 2 3 4 5 6 7 8 
D B B D B B A C 
Chương 3 
1 2 3 4 5 6 7 8 
A C D D A C B B 
9 10 11 12 13 14 15 16 
A D B C B C D B 
Chương 4 
1 2 3 4 5 6 7 8 
A C B C A D D A 
9 10 11 12 13 14 15 16 
D C A B C A D D 
Chương 5 
1 2 3 4 5 6 7 8 
A B C B A C D B 
9 10 11 12 13 14 
A B B C B A 
15 16 17 18 19 20 21 22 
D B A C C B D A 
 117 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Bùi Xuân Hải (chủ biên) – Trần Nam Dũng – Trịnh Thanh Đèo – Thái Minh Đường – Trần Ngọc 
Hội, Đại số tuyến tính, ĐH KHTN TP. HCM – 2000 (lưu hành nội bộ). 
[2] Đỗ Cơng Khanh (chủ biên) – Nguyễn Minh Hằng – Ngơ Thu Lương, Tốn cao cấp Đại số Tuyến 
tính (Tốn 2), NXB ĐHQG TP. HCM – 2002. 
[3] Hồng Đức Nguyên (dịch), Bài tập Tốn học cao cấp (phần 1), NXB Giáo Dục – 1994. 
[4] Hồng Xuân Sính – Trần Phương Dung, Bài tập Đại số Tuyến tính, NXB Giáo Dục – 2007. 
[5] Lê Sĩ Đồng, Tốn cao cấp Đại số Tuyến tính, NXB Giáo Dục – 2008. 
[6] Nguyễn Viết Đơng – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ, Tốn cao cấp Tập 2, 
NXB Giáo Dục – 2007. 
[7] Nguyễn Viết Đơng – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ, Bài tập Tốn cao 
cấp Tập 2, NXB Giáo Dục – 2009. 
[8] Trần Lưu Cường (chủ biên) – Nguyễn Đình Huy – Huỳnh Bá Lân – Nguyễn Bá Thi – Nguyễn 
Quốc Lân – Đặng Văn Vinh, Tốn cao cấp 2 – Đại số Tuyến tính, NXB Giáo Dục – 2007. 
[9] Trương Văn Hùng – Phạm Thành Thơng, Bài tập Khơng gian vectơ, NXB Thanh Niên – 2007. 
[10] Alpha C. Chang, Kevin Wainwright, Fundamental methods of Mathematical Economics – 
Third, Edi. Mc.Graw-hill, Int. Edi. 1984. 
[11] Howard Anton, Chris Rorres, Elementary Linear Algebra Applications Version, 9th Edition. 
Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Inc – USA.