Bài giảng Dạng toàn phương - Lê Xuân Đại

DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43
Nội dung
1 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp
biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi
Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính
tắc
2 Dạng toàn phương xác định dấu: Luật quán
tính, tiêu chuẩn Sylvester
3 Nhận dạng đường và mặt bậc hai
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 2 / 43
Những khái niệm cơ bản Định nghĩa
Định nghĩa
Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực
f : Rn → R, ∀x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn :
f (x) = xT .M .x , trong đó M là ma trận đối xứng
thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương
(trong cơ sở chính tắc).
Ví dụ
f (x) = f (x1, x2) = 2x
2
1 + 3x
2
2 − 6x1x2 là dạng toàn
phương. Ma trận M có dạng M =
(
2 −3
−3 3
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 3 / 43
Những khái niệm cơ bản Định nghĩa
Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở
dạng f (x) = f (x1, x2, x3) =
Ax21 + Bx
2
2 + Cx
2
3 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3.
Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận
đối xứng
M =
 A D ED B F
E F C

f (x1, x2, x3) = x
T .M .x = (x1 x2 x3).M .
 x1x2
x3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 4 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Ví dụ
f (x) = f (x1, x2, x3) =
x21 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x23 là 1 dạng toàn
phương. Ma trận của dạng toàn phương là
M =
 1 −1 2−1 0 1
2 1 −1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 5 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Cho dạng toàn phương f (x) = xT .M .x , với
x = (x1, x2, x3)
T . Vì M là ma trận đối xứng thực
nên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và
ma trận chéo D : D = PTMP ⇒ M = PDPT .
Khi đó
f (x) = xT .P .D.PT .x = (PT .x)T .D.(PT .x). Đặt
y = PT .x = P−1x ⇔ x = Py . Ta có g(y) =
yTDy = (y1, y2, y3)
 λ1 0 00 λ2 0
0 0 λ3
 y1y2
y3
 . Vậy
f (x) = g(y) = λ1y
2
1 + λ2y
2
2 + λ3y
2
3 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Định nghĩa
Dạng toàn phương g(y) = yTDy được gọi là dạng
chính tắc của dạng toàn phương f (x) = xTMx .
Định lý
Dạng toàn phương f (x) = xTMx luôn luôn có thể
đưa về dạng chính tắc g(y) = yTDy bằng cách
chéo hóa trực giao ma trận M của dạng toàn
phương.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao
Bước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương
(trong cơ sở chính tắc)
Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và
ma trận chéo D.
Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là
g(y) = yTDy . Phép biến đổi cần tìm x = Py .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 8 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Ví dụ
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
bằng phép biến đổi trực giao
f (x1, x2, x3) = −4x1x2− 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x23
Ma trận của dạng toàn phương
M =
 0 −2 −2−2 3 −1
−2 −1 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
det(M − λI ) =
∣∣∣∣∣∣
−λ −2 −2
−2 3− λ −1
−2 −1 3− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ −λ3 + 6λ2−32 = 0⇔ λ1 = −2, λ2 = λ3 = 4.
Xác định ma trận trực giao. Với λ1 = −2, ta có
P∗1 =

2√
6
1√
6
1√
6
 . Với λ2 = λ3 = 4, ta có
P∗2 =
 −
1√
5
2√
5
0
 , P∗3 =
 −
2√
30
− 1√
30
5√
30
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 10 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Do đó ma trận trực giao
P =

2√
6
− 1√
5
− 2√
30
1√
6
2√
5
− 1√
30
1√
6
0 5√
30
 .
Phép biến đổi (x1, x2, x3)T = P(y1, y2, y3)T sẽ đưa
dạng toàn phương f về dạng chính tắc
f = −2y 21 + 4y 22 + 4y 23
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 11 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange
Định nghĩa
Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi
không suy biến nếu P là ma trận không suy biến.
Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng
các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn
phương về dạng chính tắc.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 12 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi
Lagrange
Bước 1. Chọn 1 thừa số khác 0 của hệ số của x2k ,
lập thành 2 nhóm: 1 nhóm gồm tất cả các hệ số
chứa xk , nhóm còn lại không chứa xk .
Bước 2. Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng
bình phương. Như vậy, ta sẽ được 1 tổng bình
phương và 1 dạng toàn phương không chứa xk .
Bước 3. Sử dụng bước 1, 2 cho dạng toàn
phương không chứa xk .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 13 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange
Chú ý. Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất
cả các hệ số x2k đều bằng 0, thì ta chọn thừa số
khác 0 của hệ số xixj . Đổi biến ∀k 6= i , j :
xk = yk ,
xi = yi + yj ,
xj = yi − yj
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 14 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Ví dụ
Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn
phương sau về dạng chính tắc
f (x1, x2, x3) = x
2
1 + 2x
2
2 − 7x23 − 4x1x2 + 8x1x3.
Ta có
f (x1, x2, x3) = x
2
1 − 4x1(x2 − 2x3) + 2x22 − 7x23 =
[x21 − 4x1(x2 − 2x3) + 4(x2 − 2x3)2] +
2x22 − 7x23 − 4(x2 − 2x3)2 =
(x1 − 2x2 + 4x3)2−2(x22 − 8x2x3)− 23x23 =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 15 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
= (x1− 2x2 + 4x3)2−2(x22 − 8x2x3 + 16x23 )+9x23 =
= (x1 − 2x2 + 4x3)2 − 2(x2 − 4x3)2 + 9x23 .
Vậy dùng phép biến đổi
y1 = x1 − 2x2 + 4x3
y2 = x2 − 4x3
y3 = x3
→

x1 = y1 + 2y2 + 4y3
x2 = y2 + 4y3
x3 = y3
Ta đưa f về dạng chính tắc
f (x) = g(y) = y 21 − 2y 22 + 9y 23 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 16 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn
phương sau về dạng chính tắc f (x1, x2, x3) =
x21 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x
2
2 + 16x2x3 + 4x
2
3 .
Hệ số của x21 khác 0 nên f được đưa về dạng
f = (x1 + 2x2 + 2x3)
2 + 8x2x3. Dùng phép biến đổi
y1 = x1 + 2x2 + 2x3, y2 = x2, y3 = x3 hay
x1 = y1 − 2y2 − 2y3, x2 = y2, x3 = y3 x1x2
x3
 =
 1 −2 −20 1 0
0 0 1
 y1y2
y3

ta đưa f về dạng f = y 21 + 8y2y3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 17 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Đối với dạng 8y2y3 vì hệ số của các bình phương
đều bằng 0 nên ta đặt
y1 = z1, y2 = z2 + z3, y3 = z2 − z3 y1y2
y3
 =
 1 0 00 1 1
0 1 −1
 z1z2
z3

ta đưa f về dạng f = z21 + 8z22 − 8z23 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 18 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
Như vậy với phép biến đổi x1x2
x3
 =
 1 −2 −20 1 0
0 0 1
 y1y2
y3
 =
 1 −2 −20 1 0
0 0 1
 1 0 00 1 1
0 1 −1
 z1z2
z3
 =
 1 −4 00 1 1
0 1 −1
 z1z2
z3
 ta đưa f về dạng chính
tắc f = z21 + 8z22 − 8z23 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 19 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Định nghĩa
Định nghĩa
Dạng toàn phương f (x) = xTMx được gọi là
xác định dương, nếu ∀x 6= 0 : f (x) > 0
xác định âm, nếu ∀x 6= 0 : f (x) < 0
nửa xác định dương, nếu
∀x : f (x) > 0,∃x0 6= 0 : f (x0) = 0.
nửa xác định âm, nếu
∀x : f (x) 6 0,∃x0 6= 0 : f (x0) = 0.
không xác định dấu, nếu
∃x1, x2 : f (x1) 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 20 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
Ví dụ
Khảo sát tính chất xác định của dạng toàn phương
f = x21 + 5x
2
2 + 4x
2
3 − 4x1x2 − 2x2x3
f có thể đưa về dạng
f = (x1 − 2x2)2 + (x2 − x3)2 + 3x23 . Rõ ràng
f > 0, f = 0 khi và chỉ khi
x1 − 2x2 = 0
x2 − x3 = 0
x3 = 0
⇔ x1 = x2 = x3 = 0 nên dạng
toàn phương này xác định dương.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 21 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc
g(y) = λ1y
2
1 + λ2y
2
2 + . . . + λny
2
n
Nếu λk > 0,∀k thì DTP xác định dương
Nếu λk < 0,∀k thì DTP xác định âm
Nếu λk > 0,∀k,∃λi = 0 thì DTP nửa xác định
dương
Nếu λk 6 0,∀k,∃λi = 0 thì DTP nửa xác định
âm
Nếu ∃λi > 0, λj < 0, i 6= j thì DTP không xác
định dấu
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 22 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính
Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc
g(y) = λ1y
2
1 + λ2y
2
2 + . . . + λny
2
n
Định nghĩa
Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán
tính. Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán
tính
Có nhiều phương pháp khác nhau để đưa dạng
toàn phương về dạng chính tắc. Đặc điểm chung
của các phương pháp này là: số lượng các hệ số
âm và số lượng các hệ số dương là không đổi.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 23 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính
Luật quán tính
Định lý
Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của
dạng toàn phương là những đại lượng bất biến
không phụ thuộc vào cách đưa dạng toàn phương
về dạng chính tắc.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 24 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester
Định nghĩa
Cho ma trận M vuông cấp n. Tất cả các định thức
con tạo nên dọc theo đường chéo chính được gọi
là định thức con chính cấp 1, 2, . . . , n. Kí hiệu
∆1,∆2, . . . ,∆n.
M =

a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 an3 . . . ann

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 25 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester
Các định thức con chính
∆1 = |a11|,∆2 =
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ ,
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ , . . . ,∆n = det(A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 26 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester
Tiêu chuẩn Sylvester
Định lý
Cho dạng toàn phương f (x) = xTMx
1 f (x) xác định dương khi và chỉ khi
∆i > 0,∀i = 1, 2, . . . , n.
2 f (x) xác định âm khi và chỉ khi
(−1)i∆i > 0,∀i = 1, 2, . . . , n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 27 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
Ví dụ
Khảo sát tính chất xác định của dạng toàn phương
sau
f (x1, x2, x3) = 5x
2
1 +x
2
2 +5x
2
3 +4x1x2−8x1x3−4x2x3
Ta có ma trận của dạng toàn phương f là
M =
 5 2 −42 1 −2
−4 −2 5
 Vì ∆1 = 5 > 0,
∆2 =
∣∣∣∣ 5 22 1
∣∣∣∣ = 1 > 0,
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 28 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
5 2 −4
2 1 −2
−4 −2 5
∣∣∣∣∣∣ = 1 > 0 nên theo tiêu
chuẩn Sylvester dạng toàn phương đã cho xác định
dương.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 29 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
Ví dụ
Cho dạng toàn phương f (x1, x2, x3) =
−5x21 − x22 −mx23 − 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.
Với giá trị nào của m thì dạng toàn phương f xác
định âm
Ta có ma trận của dạng toàn phương f là
A =
 −5 −2 1−2 −1 1
1 1 −m

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 30 / 43
Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ
Vì (−1)1∆1 = −(−5) > 0,
(−1)2∆2 = (−1)2
∣∣∣∣ −5 −2−2 −1
∣∣∣∣ = 1 > 0,
(−1)3∆3 = (−1)3
∣∣∣∣∣∣
−5 −2 1
−2 −1 1
1 1 −m
∣∣∣∣∣∣ = −2 + m. Để
dạng toàn phương đã cho xác định âm thì
m − 2 > 0 hay m > 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 31 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Định nghĩa
Nhận dạng đường và mặt bậc hai
Định nghĩa
Đường bậc hai là đường có phương trình dạng
ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0,
a, b, c, d , e, f ∈ R.
Định nghĩa
Mặt bậc hai là mặt có phương trình dạng
ax2 + by 2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx +
hy + kz + m = 0, a, b, c, d , e, f , g , h, k,m ∈ R
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 32 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Các đường và mặt bậc hai cơ bản
Ellipse x
2
a2
+
y 2
b2
= 1
Hyperbol x
2
a2
− y
2
b2
= 1
Parabol y 2 = 2px
Ellipsoid x
2
a2
+
y 2
b2
+
z2
c2
= 1
Hyperboloid 1 tầng x
2
a2
+
y 2
b2
− z
2
c2
= 1
Hyperboloid 2 tầng x
2
a2
+
y 2
b2
− z
2
c2
= −1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 33 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Các đường và mặt bậc hai cơ bản
Paraboloid Elliptic z = x
2
a2
+
y 2
b2
Paraboloid Hyperbolic z = x
2
a2
− y
2
b2
Mặt nón 2 phía x
2
a2
+
y 2
b2
=
z2
c2
Mặt trụ ellipse x
2
a2
+
y 2
b2
= 1, z ∈ R
Mặt trụ parabol y 2 = 2px , z ∈ R
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 34 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Nhận dạng đường và mặt bậc hai
Nhận dạng đường và mặt bậc hai
Bước 1. Đưa đường và mặt bậc hai về dạng chính
tắc bằng phép biến đổi trực giao (phép quay)
Bước 2. Sử dụng phép tịnh tiến để đưa phương
trình của đường (mặt) bậc hai về đường (mặt) bậc
hai cơ bản.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 35 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Ví dụ
Nhận dạng đường cong bậc hai sau:
3x2 + 2xy + 3y 2 + 8
√
2y − 4 = 0.
Xét f = 3x2 + 2xy + 3y 2. Ma trận của f là
M =
(
3 1
1 3
)
. Phương trình đặc trưng của M là
χM(λ) = det(M − λI ) =
∣∣∣∣ 3− λ 11 3− λ
∣∣∣∣ = 0
⇔ λ1 = 2, λ2 = 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 36 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Với λ1 = 2, ta có P∗1 =
(
1√
2
− 1√
2
)
Với λ2 = 4, ta có P∗2 =
(
1√
2
1√
2
)
Ma trận của phép biến đổi trực giao
P =
(
1√
2
1√
2
− 1√
2
1√
2
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 37 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Với phép biến đổi X = PY hay
x =
1√
2
x ′ +
1√
2
y ′
y = − 1√
2
x ′ +
1√
2
y ′
Vậy thay vào phương
trình ban đầu ta được
x ′2 + 2y ′2 − 4x ′ + 4y ′ − 2 = 0.
Sử dụng phép tịnh tiến, ta viết phương trình trên
dưới dạng (x ′ − 2)2 + 2(y ′ + 1)2 = 8. Đặt{
x ′′ = x ′ − 2
y ′′ = y ′ + 1
ta được x
′′2
8
+
y ′′2
4
= 1. Ellipse
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 38 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Ví dụ
Nhận dạng mặt bậc hai sau:
2x21 + 2x
2
2 + 3x
2
3 − 2x1x3 − 2x2x3 − 16 = 0.
Xét f = 2x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3 − 2x2x3. Ma
trận của f là M =
 2 0 −10 2 −1
−1 −1 3
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 39 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Phương trình đặc trưng của M là
χM(λ) = |M − λI | =
∣∣∣∣∣∣
2− λ 0 −1
0 2− λ −1
−1 −1 3− λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔ λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 40 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Với λ1 = 1, ta có P∗1 =

1√
3
1√
3
1√
3

Với λ2 = 2, ta có P∗2 =

1√
2
− 1√
2
0

Với λ3 = 4, ta có P∗3 =

1√
6
1√
6
− 2√
6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 41 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Ma trận của phép biến đổi trực giao
P =

1√
3
1√
2
1√
6
1√
3
− 1√
2
1√
6
1√
3
0 − 2√
6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 42 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
Với phép biến đổi X = PY hay
x1 =
1√
3
x ′1 +
1√
2
x ′2 +
1√
6
x ′3
x2 =
1√
3
x ′1 −
1√
2
x ′2 +
1√
6
x ′3
x3 =
1√
3
x ′1 + 0.x
′
2 − 2√6x ′3
Vậy thay vào
phương trình ban đầu ta được
x ′21 + 2x
′2
2 + 4x
′2
3 = 16 hay
x ′21
16
+
x ′22
8
+
x ′23
4
= 1.
Ellipsoid
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 43 / 43
Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 44 / 43