Bài giảng Điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

Y(s) . (s)
2 s s

  

Y(s) K
(s) s


(K=P/2 : hệ số tích phân)
9/4/2014 63
2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình
Phương trình vi phân:
Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :
U(s) (Ls R)I(s) 
Hàm truyền bậc nhất:
I(s) 1
G(s)
U(s) Ls R
 

2.5.2 Phần tử điện
 Mạch RL nối tiếp -Tín hiệu vào: điện áp u(t)
-Tín hiệu ra: dòng điện i(t)
L R
di
u u u L Ri
dt
   
9/4/2014 64
2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình
Phương trình vi phân:
Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 :
2
C(LCs RCs 1)U (s) U(s)  
Hàm truyền bậc hai:
C
2
U (s) 1
G(s)
U(s) LCs RCs 1
 
 
2.5.2 Phần tử điện
 Mạch RLC nối tiếp
Tín hiệu vào: điện áp u(t)
Tín hiệu ra: điện áp uc(t)
2
2
C C
C
d u du
LC RC u u
dt dt
  
9/4/2014 65
2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình
 Mạch RLC nối tiếp & //
i
- Theo Kirchhoff :
C
C C C
du1
u i dt i C
C dt
  
L
C L L C
di 1
u u L i u dt
dt L
    
R L C
u Ri R i i( )  
2
C
RLCs Ls R U s LsU s( ) ( ) ( )  
- Hàm truyền: C
2
U s Ls
G s
U s RLCs Ls R
( )
( )
( )
 
 
R Cu u u  (*)
- Lấy Laplace 2 vế, được:
C
C C
du R
RC u dt u u
dt L
  -Tính uR rồi thế vào (*), 
2
C C
C2
d u du du
RLC L Ru L
dt dt dt
  
- Lấy đạo hàm 2 vế rồi quy
đồng mẫu số, ta có ptvp:
9/4/2014 66
2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình
 Khuếch đại thuật toán (op-amp)
0 2 1 1 2u K(u u ) K(u u )    
- Op-amp thường được ghép nối thành các mạch khuếch 
đại, mạch cảm biến, bộ lọc tín hiệu, bộ điều khiển.
- Tín hiệu ngõ ra u0 tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào. 
- Hệ số khuếch đại K105106.
9/4/2014 67
 Cảm biến
Các cảm biến thường có tín hiệu ra yht(t) tỉ lệ với tín 
hiệu vào y(t). Ví dụ: 
- Một cảm biến đo áp suất trong tầm 010 bar và 
chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền 
là H(s)=K =10/10 = 1 [V/bar] 
- Một cảm biến nhiệt đo nhiệt độ trong tầm 0500C và 
chuyển thành điện áp trong tầm 010V sẽ có hàm truyền 
là H(s)=K =10/500 = 0,02 [V/C]
Nếu cảm biến có độ trễ đáng kể thì được mô tả bằng 
hàm truyền bậc nhất.
2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình
9/4/2014 68
U(s) I(s)
(s)
2.5.3 Động cơ điện DC
Tín hiệu vào: điện áp u
Tín hiệu ra: vận tốc góc 
R: điện trở phần ứng
L: điện cảm phần ứng
Ke: hằng số sức điện động
e=Ke: sức điện động ngược
Sử dụng 3 phương trình cơ bản:
1) Phương trình mạch điện phần ứng : e
di
u L Ri K
dt
   
eU(s) LsI(s) RI(s) K (s)   
 eU(s) K (s) Ls R I(s)   
Biến đổi Laplace 2 vế:  Sơ đồ khối (1):
1
Ls R
Ke
 
 e
1
U(s) K (s) I(s)
Ls R
  

9/4/2014 69
2.5.3 Động cơ điện DC
2) Phương trình mômen điện từ:
mM(t) K i(t) mM(s) K I(s) 
Km : hằng số mômen của động cơ
I(s) M(s)
Km
 Sơ đồ khối (2):
t
d
J M(t) B (t) M (t)
dt

   
tM(s) M (s) Js (s) B (s)     
3) Phương trình cân bằng mômen cơ:
tM(s) M (s) (Js B). (s)   
J: mômen quán tính của đcơ 
và tải quy về trục động cơ
B: hệ số ma sát của đcơ và 
tải quy về trục động cơ
Mt : mômen phụ tải (nhiễu)
 Sơ đồ khối (3):
M(s) (s)
Mt(s)
1
Js B
9/4/2014 70
2.5.3 Động cơ điện DC
Kết nối các SĐK (1),(2),(3) ta được SĐK chung của động cơ DC:
Dùng đại số SĐK tìm hàm truyền động cơ (coi nhiễu Mt=0):
Km
M(s) (s)
Mt(s)
1
Js B
U(s) I(s)
(s)
Ke
1
Ls R
m
m
m e m e
K
K(s) (Ls R)(Js B)
G(s)
K KU(s) (Ls R)(Js B) K K
1
(Ls R)(Js B)
  
  
  

 
 
m
2
m e
K(s)
G(s)
U(s) LJs (LB RJ)s K K RB

 
   
(2-47 tr.45)
9/4/2014 71
9/4/2014 72
9/4/2014 73
9/4/2014 74
2.5.3 Động cơ điện DC
Nếu đặt :
Thì hàm truyền có dạng:
e L / R  _là hằng số thời gian điện
m J / B  _là hằng số thời gian cơ
m m
2 m ee m m e
e m e m
K K / RB
G(s)
K KRB( s 1)( s 1) K K
s ( )s 1
RB
 
      
        
 
Nếu bỏ qua điện cảm:
m
m em
m e
m e
K
RB K K(s) K K
G(s)
RJU(s) RJs RB K K Ts 1
s 1
RB K K

   
  

 Nhận xét : Tổng quát, động cơ DC điều khiển vận tốc được 
mô tả bằng hàm truyền bậc hai, nếu bỏ qua điện cảm thì có 
thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.
(2-49)
(2-48 tr.46)
9/4/2014 75
2.5.3 Động cơ điện DC
 Nếu động cơ được điều khiển góc quay  (định vị); Do =d/dt
 (s)=s.(s) nên sơ đồ khối có thêm khâu tích phân 1/s.
Hàm truyền:
Nếu bỏ qua điện cảm: m
m em
m e
m e
K
RB K K(s) K K
G(s)
U(s) s(RJs RB K K ) s(Ts 1)RJ
s s 1
RB K K

   
   
  
(2-50 tr.46)
Km
M(s) (s)
Mt(s)
1
Js B
U(s) I(s)
(s)
Ke
1
Ls R
1
s
(s)
m
m e
(s) K
G(s)
U(s) s[(Ls R)(Js B) K K )]

 
  
9/4/2014 76
2.6 Graph tín hiệu (sơ đồ dòng tín hiệu)
 Đường tiến (path, P): gồm các nhánh liên tiếp nối từ nút 
nguồn đến nút đích và chỉ đi qua mỗi nút một lần. Hàm truyền 
của đường tiến bằng tích các hàm truyền của các nhánh trên 
đường tiến đó.
2.6.1 Các thành phần của graph
 Nút, nhánh:
- Mỗi nút là một điểm, biểu diễn một tín hiệu trong hệ thống. 
- Nhánh là đường nối trực tiếp hai nút. Trên mỗi nhánh có vẽ
mũi tên chỉ hướng tín hiệu và ghi hàm truyền giữa hai nút.
- Nút nguồn chỉ có nhánh đi ra. Nút đích chỉ có nhánh đi vào. 
X2=G.X1GX1
P1= G1G2 G3 G4
P2= G1G5 G4G4
G5
G1 G2 G3
G6
G1G2 G3, G2G3G4, G1G3 G4, G1G5G6G3 G4 có là đường tiến?
9/4/2014 77
2.6 Graph tín hiệu
 Vòng kín (loop, L): là đường khép kín gồm các nhánh liên 
tiếp và chỉ đi qua mỗi nút một lần. Hàm truyền của vòng kín 
bằng tích các hàm truyền của các nhánh trong vòng kín đó.
L1 dính với L2 ở một nút; 
L1 không dính với L3 
L2 dính với L3 ở hai nút
L1 , L2 và L3 đều dính với đường tiến P1 
P1= G1G2 G3G4
L1= -G1G2 H1
L2= G3G4 H2 
L3= -G4 H3
G1 G2
-H1
G3 G4
H2
1
-H3
1
 Dính (touching)= có ít nhất một nút chung.
 Không dính (none-touching)= không có nút nào chung
9/4/2014 78
2.6 Graph tín hiệu
:Tổng hàm truyền của các vòng kín có trong graph.
:Tổng các tích hàm truyền của các cặp vòng kín không dính.
:Tổng các tích hàm truyền của các bộ ba vòng kín không dính.
: Định thức con thứ k, suy ra từ  bằng cách bỏ đi các vòng kín có 
dính với đường tiến thứ k.
 Dính (touching)= có ít nhất một nút chung
 Không dính (none-touching)= không có nút nào chung.
iL
i j mL L L
i jL L
k
2.6.2 Công thức Mason
k k
k
1
G P 


G : Hàm truyền của hệ thống;
Pk : Hàm truyền của đường tiến thứ k;
 : Định thức của graph tín hiệu.
i i j i j m
i i, j i, j,m
1 L L L L L L ...       
9/4/2014 79
2.6 Graph tín hiệu
 Nhận xét
 Nếu các vòng kín và đường tiến có chung một nhánh Gi thì 
chúng sẽ dính nhau. Trường hợp này chỉ cần kiểm tra các 
hàm truyền L và P, không cần phải kiểm tra trên sơ đồ graph. 
 Các vòng kín và đường tiến không có nhánh Gi nào chung 
vẫn có thể dính nhau, hoặc không dính. Khi đó phải kiểm tra 
cụ thể trên sơ đồ graph.
-------------
 Nếu hệ thống cho ở dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng được 
công thức Mason ta phải chuyển SĐK thành sơ đồ graph. 
Khi chuyển cần lưu ý:
- Có thể gộp 2 bộ tổng hoặc 2 điểm rẽ liền nhau thành 1 nút
- Có thể gộp 1 bộ tổng và 1 điểm rẽ liền sau nó thành 1 nút.
- Không thể gộp 1 điểm rẽ và 1 bộ tổng liền sau nó thành 1 nút.
9/4/2014 80
Ví dụ 1_ứng dụng Graph tín hiệu
Sơ đồ khối
Graph tín hiệu
9/4/2014 81
Ví dụ 1_ứng dụng Graph tín hiệu
Các đường tiến:
P1= G1G2G3G4 
Các vòng kín: 
L1= -G1G2
L2= G2G3 H1
L3= -G3G4 
Cả 3 vòng kín đều dính với P1 nên: 1 1 
Áp dụng công thức Mason ta có hàm truyền của hệ :
L1 không dính với L3 nên: 1 2 1 331 (L L LL ) L     
  1 2 3 4td 1 1
1 2 2 3 1 3 4 1 2 3 4
G G G G1
G P
1 G G G G H G G G G G G
  
    
9/4/2014 82
Ví dụ 2_ứng dụng Graph tín hiệu
Graph tín hiệu
Sơ đồ khối
9/4/2014 83
Ví dụ 2_ứng dụng Graph tín hiệu
Các đường tiến:
P1= G1G2G3 ; P2= G1G4 
Các vòng kín: 
L1= -G1G2G3
L2= -G1G4 
L3= -G2H1 
L4= -G2G3H2 
L5= -G4H2
Cả 5 vòng đều dính với P1, P2 nên: 1 2 1   
1 2 3 1 41 1 2 2
td
1 2 3 1 4 2 1 2 3 2 4 2
G G G G GP P
G
1 G G G G G G H G G H G H
  
 
     
Hàm truyền của hệ tính theo công thức Mason:
1 2 3 4 51 (L L L L L )      Cả 5 vòng đều dính nhau nên:
9/4/2014 84
Ví dụ 3_ ứng dụng Graph tín hiệu
G1 G2 G3 G4 G5 1
G6
G7
-H2
-H1R Y
G7
R
G3 G4G1
H2
H1
G2 G5
G6
Y
9/4/2014 85
Ví dụ 3_ ứng dụng Graph tín hiệu ( = ví dụ 2.14 tr. 61)
Các đường tiến:
P1= G1G2G3G4G5 
P2= G1G6G4G5 
P3= G1G2G7
Các vòng kín:
L1= -G4H1 ; L2= -G2G7 H2 ; L3= -G2G3G4 G5H2 ; L4= -G6G4G5H2
L1 không dính với L2 nên  = 1- (L1+L2 +L3+L4) +L1L2
Cả 4 vòng kín đều dính với P1 và P2 nên 1= 2 =1
L1 không dính với P3 nên 3= 1- L1
Hàm truyền của hệ :
1 2 3 4 5 1 6 4 5 1 2 7 4 1
4 1 2 7 2 6 5 4 2 2 3 4 5 2 4 1 2 7 2
G G G G G G G G G G G G (1 G H )
1 G H G G H G G G H G G G G H G H G G H
  

    
1 1 2 2 3 3
Y(s) 1
G(s) (P P P )
R(s)
      

G1 G2 G3 G4 G5 1
G6
G7
-H2
-H1R Y
9/4/2014 86
2.7 Mô hình phương trình trạng thái
2.7.1 Giới thiệu
 Mô hình hàm truyền có một số điểm hạn chế: 
- Chỉ áp dụng được với điều kiện đầu bằng 0. 
- Chỉ mô tả được quan hệ tuyến tính một vào, một ra (SISO).
- Chỉ áp dụng được cho hệ tuyến tính bất biến, không dùng được 
cho hệ phi tuyến hay hệ có thông số biến đổi theo thời gian.
 Để khắc phục, người ta dùng mô hình phương trình trạng thái.
 Trạng thái của hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là
biến trạng thái) mà nếu biết giá trị các biến này tại thời điểm
t=t0 và biết các tín hiệu vào ở t t0, ta hoàn toàn có thể xác định
được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0. Với hệ tuyến
tính bất biến, thời điểm đầu thường được chọn là t0=0.
9/4/2014 87
2.7 Mô hình phương trình trạng thái
 Để mô tả hệ thống bậc n cần dùng n biến trạng thái, hợp thành 
véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu là:
 
T
1 2 nx x x ... x
 Sử dụng biến trạng thái ta có thể chuyển ph. trình vi phân bậc n
mô tả hệ thống thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất
viết dưới dạng ma trận như sau :
x(t) Ax(t) Br(t)
y(t) Cx(t) Dr(t)
 

 
Trong đó: x(t) là véctơ trạng thái
r(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra của hệ.
 Với hệ tuyến tính bất biến MIMO thì A, B, C, D là các ma trận hệ số.
 Với hệ tuyến tính bất biến SISO thì A là ma trận, B là vectơ cột, C là 
vectơ hàng, D là một hằng số. 
: Phương trình trạng thái
: Phương trình ngõ ra
9/4/2014 88
2.7 Mô hình phương trình trạng thái
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... a
A
... ... ... ...
a a ... a
 
 
 
 
 
  n
1
2
b
b
B
b
 
 
 
 
 
 
 1 2 nC c c ... c
1D d const. 
 Nếu hệ tuyến tính bất biến SISO có hàm truyền với bậc tử số 
nhỏ hơn bậc mẫu số (gọi là hệ hợp thức chặt) thì D = 0.
 Biến trạng thái không nhất thiết phải là các thông số đo được 
(biến vật lý). Các biến không đại diện cho các đại lượng vật lý 
(chỉ là biến toán học) cũng có thể chọn làm biến trạng thái.
 Việc chọn biến trạng thái không phải chỉ theo một cánh duy nhất.
Do đó: Một hệ thống có thể mô tả bằng nhiều phương trình trạng 
thái khác nhau, tuỳ thuộc vào cách chọn các biến trạng thái.
9/4/2014 89
Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC
mM(t) K i(t)
d
M(t) J B (t)
dt

  
3 phương trình cơ bản:
-Phương trình điện :
e
di
u L Ri K
dt
   
-Ph. trình mômen điện từ:
-Phương trình cân bằng mômen cơ:
(để đơn giản, xem mômen tải =0)
(1)
(2)
(3)
(1) 
di
dt

(2) và (3) 
d
dt


d
J M(t) B (t)
dt

  
(4)
(5)
eKR 1i u
L L L
  
mK Bi
J J
 
9/4/2014 90
e1 1
2 2m
R / L K / Lx x 1/ L
u
x x 0K / J B / J
        
            
Ví dụ : Lập ph.trình trạng thái mô tả động cơ DC
e
1 1 2
KR 1
x x x u
L L L
   
m
2 1 2
K B
x x x
J J
 
Đặt 2 biến trạng thái 1 2x i ; x  
(4) và (5) 

  1
2
x
0 1
x
 
 
  

e
m
R / L K / L
A
K / J B / J
  

  
1/ L
B
0
 
  
x Ax Bu
Cx Du
 

  
 C 0 1 D 0
9/4/2014 91
Ví dụ 2.15 (trang 63) _Lập phương trình trạng thái
 Các phương trình cân bằng lực:
2 2 1 2 2 1 2 2F b (y y ) k (y y ) m y    
 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1b y y k (y y ) b y k y m y     
 Đặt 4 biến trạng thái: 1 1 2 2 3 1 4 2x y ; x y ; x y ; x y   
Ta viết được hệ phương trình trạng thái :
9/4/2014 92
1 3
2 4
x x
x x


2 1 2 2
3 1 1 2 1 2 3 4
1 1 1 1
k b b b1
x y (k k )x x x x
m m m m

      
2 2 2 2
4 2 1 2 3 4
2 2 2 2 2
k k b b 1
x y x x x x F(t)
m m m m m
     
1 1
1 2 2 1 2 22 2
1 1 1 13 3
4 42 2 2 2
2
2 2 2 2
0 0 1 0
0
0 0 0 1x x
0
k k k b b bx x
0. .F
m m m mx x
1
x xk k b b
m
m m m m
 
                                         
 
A x B rx
Ví dụ 2.15 (trang 63)

9/4/2014 93
1
1 2 1
2 3 2
4
x
y x x1 0 0 0
y x x0 1 0 0
x
 
 
                 
 
 
Ví dụ 2.15 (trang 63)
C xy
x(t) Ax(t) B.F(t)
y(t) Cx(t) D.F(t)
 

 
Dạng tổng quát :
Trong đó A, B, C được xác định như trên. Hằng số D=0. 
9/4/2014 94
2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân
1) Ph.trình vi phân không chứa đạo hàm tín hiệu vào
 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:
Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ tìm được phương trình 
trạng thái mô tả hệ thống (trường hợp này có D=0):
n n 1
n 1 0 0n n 1
d y d y
a ... a y(t) b r(t)
dt dt

 
   
(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)
Quy tắc đặt biến trạng thái:
-Biến thứ nhất bằng tín hiệu ra: x1 =y
-Biến sau bằng đạo hàm của biến trước: xi= xi-1 (i=2,..,n)
x Ax Br
y Cx
 


9/4/2014 95
2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân
2) Ph.trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào
 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình vi phân:
Áp dụng cách đặt biến như trên, ta sẽ xác định được các hệ số . 
Từ đó lập được ph.trình trạng thái mô tả hệ thống, trong đó:
n n 1 n n 1
n 1 0 n n 1 0n n 1 n n 1
d y d y d r d r
a ... a y(t) b b ... b r(t)
dt dt dt dt
 
  
      
(Nếu an≠ 1 ta chia hai vế cho an để đưa về dạng trên)
Quy tắc đặt biến trạng thái:
- Nếu bậc vế phải < vế trái (tức bn=0), đặt x1 =y
Nếu bậc vế phải = vế trái (tức bn≠0), đặt x1 =y- 0r
- Đặt biến thứ i (i=2,3,,n): 
- Và đặt n n 1 n n 2 n 1 1 2 0 1 nx a x a x ... a x a x r        
1 1i i ix x r  
1 2 0[ ... ] ;
T
n nB D b     
9/4/2014 96
2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân
Ví dụ 1: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:
Giải. Đặt hai biến trạng thái:
5y(t) 2y(t) 7y(t) r(t)  
1 2 1x y ; x x 
 2x y
Phương trình trạng thái: 1 2
2 1 2
x x
7 2 1
x x x r
5 5 5



   

Viết theo dạng ma trận: 
1 1
2 2
x x0 1 0
.r
x 7 / 5 2 / 5 x 1/ 5
       
             
  1
2
x
y 1 0
x
 

  
x Ax Br
y Cx
 



9/4/2014 97
2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân
Ví dụ 2: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:
Giải. Đặt các biến trạng thái:
y 5y 6y 8y 8r 24r    
1
2 1 1
3 2 2
x y
x x r
x x r


 
  
1
1 2 1
2 1 3 2 1
y x
y x x r
y x r x r r

  
    
Ta được: 
3 2 1 2y x r r  
3 2 1y 5y 6y 8y (x r r)      3 2 1(5x 5 r 5 r)    
2 1 1(6x 6 r) 8x   3 3 2 1 3x 5x 6x 8x r    
(Chọn đặt sao cho triệt tiêu được các thành phần xi )3x
Đặt
9/4/2014 98
2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân
Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là: 
So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:
Dạng ma trận:
1 2 1 3 2 1y 5y 6y 8y r ( 5 )r ( 5 6 )r              
1
2 1 2
3 2 1 3 2 1
0
5 8 8
5 6 24 24 5 6 16
 

      
              
1 2 1 2
2 3 2 3
3 3 2 1 3 1 2 3
x x r x
x x r x 8r
x 5x 6x 8x r 8x 6x 5x 16r
  

   
          
1 1
2 2
3 3
x x 00 1 0
x 0 0 1 x 8 r
8 6 5 16x x
      
       
               

9/4/2014 99
2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân
Ví dụ 3: Lập phương trình trạng thái của hệ có ph.trình vi phân:
Và đặt: 
Giải. Đặt các biến trạng thái như sau:
y 7y 4y 2r 8r 3r    
 1 0
2 1 1
x y r
x x r
 
 
2 1 2 0 1 2 2 1 2x a x a x r 7x 4x r       
1 0
1 0 2 1 0
2 1 0 2 1 2 1 07x 4x r r r
y x r
y x r x r r
y x r r
 

    
         
Ta được: 
2 1 2 1 0y 7y 4y ( 7x 4x r r r)       
2 1 0 1 0(7x 7 r 7 r) (4x 4 r)       

Đáp ứng ngõ ra:
 
1
1 2
3
x
y x 1 0 0 x
x
 
  
 
 
9/4/2014 100
2.7.2 Lập ph.trình trạng thái từ ph.trình vi phân
Hệ phương trình trạng thái của hệ thống là: 
Dạng ma trận:
0
1 0 1
2 1 0 2 1 0
2
7 8 6
7 4 3 3 7 4 37
 

       
             
 1 1 0 2
2 2 1 2 1 2
x x r x 2
x 7x 4x r 4x 7x 37r
   
       
1 1
2 2
x x0 1 6
r
4 7x x 37
       
             
  1
2
x
y 0 1 2r
x
 
 
  
So sánh ph.trình trên với ph.trình đã cho, ta được:
0 1 0 2 1 0y 7y 4y r ( 7 )r ( 7 4 )r             
9/4/2014 101
2.7.3 Lập ph.trình trạng thái từ hàm truyền, sơ đồ khối
Cách 1: Hàm truyền  ph.trình vi phân  ph.trình trạng thái
(Xem cách giải ví dụ 2.19 trang 69 sách ĐKTĐ )
Ví dụ:
Cách 2: Đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối
Ví dụ:
y 5y 6y 8y 8r 24r    
3 2
Y(s) 8s 24
G(s)
R(s) s 5s 6s 8

 
  
3 2(s 5s 6s 8).Y(s) (8s 24).R(s)    
(tiếp tục giải như ở ví dụ 2 mục 2.7.2 )
Lấy Laplace ngược 2 vế 
9/4/2014 102
2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái
 Xét hệ thống tuyến tính SISO có ph.trình trạng thái:
- Để tránh phải tính ma trận nghịch đảo, có thể dùng công thức:
x Ax Br
y Cx Dr
 

 
Hệ thống sẽ có hàm truyền: 1Y(s)G(s) C(sI A) B D
R(s)
   
1 det(sI A BC)G(s) C(sI A) B D 1 D
det(sI A)
       

- Phương trình đặc tính của hệ thống:
det(sI A) 0 
(xem chứng minh tr. 71_sách ĐKTĐ)
9/4/2014 103
2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái
Ví dụ 2.21 (trang 71) Xét hệ thống có ph.trình trạng thái:
1G(s) C(sI A) B D  Cách 1: Hàm truyền
1 1
2 2
x (t) x5 1 2
r(t)
x (t) x1 0 0
       
       
      
  1
2
x (t)
y(t) 1 0,5
x (t)
 
  
 
1 0 5 1 s 5 1
(sI A) s
0 1 1 0 1 s
       
             
1
1
a b d b1
M
c d c adet(M)

           
1
2
s 1 s 11 1
(sI A)
1 s 5 1 s 5det(sI A) s 5s 1
                
 Hàm truyền 
của hệ thống =?
9/4/2014 104
2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái
1
2
s 1 s 11 1
(sI A)
1 s 5 1 s 5det(sI A) s 5s 1
                
1
2 2
s 1 2 2s1 1
(sI A) B
1 s 5 0 2s 5s 1 s 5s 1
                     
 1 2 2
2s1 2s 1
C(sI A) B 1 0,5
2s 5s 1 s 5s 1
      
    
1
2
2s 1
G(s) C(sI A) B D
s 5s 1
    
 
9/4/2014 105
2.7.4 Tìm hàm truyền từ phương trình trạng thái
1 0 5 1 s 5 1
sI A s
0 1 1 0 1 s
       
             
 
s 5 1 2
sI A BC 1 0,5
1 s 0
   
         
1 det(sI A BC)G(s) C(sI A) B 1
det(sI A)
     

2
2 2
s 7s 2 2s 1
G(s) 1
s 5s 1 s 5s 1
  
  
   
Cách 2: Hàm truyền
s 5 1 2 1 s 7 2
1 s 0 0 1 s
      
             

9/4/2014 106
Tổng kết chương 2
 Một hệ thống có thể mô tả bằng 1 trong 3 dạng mô hình: 
Ph.trình vi phân, hàm truyền và ph.trình trạng thái. 
 Ba dạng mô hình này có thể chuyển đổi qua lại. 
Ph.trình 
vi phân
Hàm 
truyền
Ph.trình 
trạng thái
L -1
L Đặt x
1( ) ( )  G s C sI A B D