Bài giảng Định thức - Lê Xuân Đại

THỨC TP. HCM — 2013. 15 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính định thức detA với A =
 1 2 32 1 0
3 1 0

Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 =
3.(−1)1+3
∣∣∣∣ 2 13 1
∣∣∣∣ = 3(2.1− 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 16 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Định lý
Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác
dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường
chéo chính.
Khai triển định thức theo cột 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
0 0 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1)
1+1.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a22 a23 . . . a2n
0 a33 . . . a3n
...
... . . .
...
0 0 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= . . . = a11.a22. . . . ann.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 17 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Khai triển định thức theo hàng 1 ta được∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 0 0 0
a21 a22 . . . 0
...
... . . .
...
an1 am2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11.(−1)
1+1.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a22 0 0 0
a32 a33 . . . 0
...
... . . .
...
an2 an3 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= . . . = a11.a22. . . . ann
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 18 / 67
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Định lý
Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A
bằng định thức của ma trận A: detAT = detA.
Ví dụ
Cho A =
 1 3 52 4 6
2 1 8
⇒ AT =
 1 2 23 4 1
5 6 8
 . Khi
đó detAT = detA = −16
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 19 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
1 Nếu A
hi↔hj (ci↔cj )−−−−−−−→ B thì detB = −detA .
2 Nếu A hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với
λ 6= 0.
3 Nếu A
hi→hi+λ.hj (ci→ci+λcj )−−−−−−−−−−−−−→ B thì
detB = detA, ∀λ ∈ K
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 20 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Hệ quả
1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì
định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do
A
hi↔hj(ci↔cj)−−−−−−−→ A trong đó i , j là 2 hàng hoặc 2 cột
giống nhau nên detA = −detA⇒ detA = 0.
2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì
định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do
A
hi→λhi (ci→λci )−−−−−−−−→ B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên
detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma
trận có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên
detB = 0⇒ detA = 0.
3 Định thức của ma trận sơ cấp khác không.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 21 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −4 5
3 −5 2 4
5 4 3 −2
−4 2 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −4 5
3 −5 2 4
5 4 3 −2
−4 2 5 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
h2→h2−h1======
h4→h4+2h1
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −4 5
1 −8 6 −1
5 4 3 −2
0 8 −3 13
∣∣∣∣∣∣∣∣
h1→h1−2h2======
h3→h3−5h2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 19 −16 7
1 −8 6 −1
0 44 −27 3
0 8 −3 13
∣∣∣∣∣∣∣∣
Khai triển theo cột 1
====== 1.(−1)2+1.
∣∣∣∣∣∣
19 −16 7
44 −27 3
8 −3 13
∣∣∣∣∣∣ =
= −2858.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 22 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức
∣∣∣∣∣∣∣∣
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣
x a a a
a x a a
a a x a
a a a x
∣∣∣∣∣∣∣∣
c1→c1+c2+c3+c4======
∣∣∣∣∣∣∣∣
x + 3a a a a
x + 3a x a a
x + 3a a x a
x + 3a a a x
∣∣∣∣∣∣∣∣
cột 1
======
(x+3a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 a a a
1 x a a
1 a x a
1 a a x
∣∣∣∣∣∣∣∣
h2→h2−h1
h3→h3−h1
h4→h4−h1==== (x+3a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 a a a
0 x − a 0 0
0 0 x − a 0
0 0 0 x − a
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (x + 3a)(x − a)3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 23 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Định lý
Giả sử
A =

A1∗
A2∗
...
Ai∗
...
An∗

=

A1∗
A2∗
...
λBi∗ + µCi∗
...
An∗

thì
detA = λ.det

A1∗
A2∗
...
Bi∗
...
An∗

+ µ.det

A1∗
A2∗
...
Ci∗
...
An∗

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 24 / 67
Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
Ví dụ
Tính định thức
∣∣∣∣∣∣
a + x x x
x b + x x
x x c + x
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
a + x x x
x b + x x
x x c + x
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
x x x
x b + x x
x x c + x
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
a 0 0
x b + x x
x x c + x
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
x x x
x x x
x x c + x
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
x x x
0 b 0
x x c + x
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
a 0 0
x b + x x
x x c + x
∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣
x x x
0 b 0
x x c + x
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
a 0 0
x b + x x
x x c + x
∣∣∣∣∣∣ =
bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 25 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Định lý Laplace
Định nghĩa
Cho A = (aij) ∈ Mn(K ). Chọn k hàng và k cột
tùy ý trong ma trận A i1, i2, . . . , ik và j1, j2, . . . , jk .
Định thức của ma trận thu được từ A bởi các
phần tử nằm ở phần giao của k hàng và k cột
(1 6 k 6 n) được ký hiệu là mj1j2...jki1i2...ik và được gọi
là định thức con cấp k của A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 26 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Ví dụ
Cho ma trận vuông cấp 5 A =

1 2 3 0 2
4 2 3 1 1
2 0 5 0 3
4 1 7 2 0
8 0 4 1 6
 .
Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4, lấy 2
cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 4. Lúc này
m1,42,4 =
∣∣∣∣ 4 14 2
∣∣∣∣
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 27 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Định nghĩa
Định thức con cấp (n − k) của A nhận được bằng
việc xóa đi k hàng và k cột của A được gọi là định
thức con bù của mj1j2...jki1i2...ik và được ký hiệu là
M
j1j2...jk
i1i2...ik
.
Theo ví dụ trên thì M1,42,4 =
∣∣∣∣∣∣
2 3 2
0 5 3
0 4 6
∣∣∣∣∣∣ = 36
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 28 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Định nghĩa
Số Aj1j2...jki1i2...ik = (−1)i1+i2+...+ik+j1+j2+...+jkM
j1j2...jk
i1i2...ik
được gọi là bù đại số của mj1j2...jki1i2...ik
Theo ví dụ trên thì
A1,42,4 = (−1)2+4+1+4
∣∣∣∣∣∣
2 3 2
0 5 3
0 4 6
∣∣∣∣∣∣ = −36
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 29 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Định lý Laplace
Định thức của ma trận A bằng tổng các tích mọi
định thức con rút ra từ k hàng (khai triển theo k
hàng) (hoặc k cột - khai triển theo k cột) với bù
đại số tương ứng của nó.
detA =
Ckn∑
1
m
j1j2...jk
i1i2...ik
.A
j1j2...jk
i1i2...ik
Chú ý. Khi tính định thức ta nên khai triển định thức theo
k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 30 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức
1 Chọn k hànghoặc k cột nào đó có càng nhiều
số 0 càng tốt để khai triển.
2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được
từ k hàng đã chọn. Tổng cộng có C kn định thức
con theo k hàng đã chọn này.
3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các
định thức con cấp k ở bước 2.
4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các
tích của định thức con cấp k với bù đại số
tương ứng của chúng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 31 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Ví dụ
Tính định thức D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 3 5
0 2 0 4
3 1 5 0
6 3 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. Lấy 2 cột
gồm cột thứ nhất và cột thứ 2.Lúc này
m1,22,4 =
∣∣∣∣ 0 26 3
∣∣∣∣ ,A1,22,4 = (−1)2+4+1+2 ∣∣∣∣ 3 55 0
∣∣∣∣
Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này
m1,32,4 =
∣∣∣∣ 0 06 0
∣∣∣∣ ,A1,32,4 = (−1)2+4+1+3 ∣∣∣∣ 1 51 0
∣∣∣∣
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 32 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Làm tương tự ta được
m1,42,4 =
∣∣∣∣ 0 46 6
∣∣∣∣ ,A1,42,4 = (−1)2+4+1+4 ∣∣∣∣ 1 31 5
∣∣∣∣ ,
m2,32,4 =
∣∣∣∣ 2 03 0
∣∣∣∣ ,A2,32,4 = (−1)2+4+2+3 ∣∣∣∣ 2 53 0
∣∣∣∣ ,
m2,42,4 =
∣∣∣∣ 2 43 6
∣∣∣∣ ,A2,42,4 = (−1)2+4+2+4 ∣∣∣∣ 2 33 5
∣∣∣∣ ,
m3,42,4 =
∣∣∣∣ 0 40 6
∣∣∣∣ ,A3,42,4 = (−1)2+4+3+4 ∣∣∣∣ 2 13 1
∣∣∣∣
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 33 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Như vậy, ta được detA = m1,22,4.A
1,2
2,4 +m
1,3
2,4.A
1,3
2,4 +
m1,42,4.A
1,4
2,4 +m
2,3
2,4.A
2,3
2,4 +m
2,4
2,4.A
2,4
2,4 +m
3,4
2,4.A
3,4
2,4 =
−12.25 + (−24).(−2) + 0.1 = −252.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 34 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Ví dụ
Tính định thức D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1 0 1 0
2 3 1 1 0 1
3 0 2 0 2 0
4 0 2 0 1 0
1 2 1 3 1 2
3 1 2 3 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3
hàng này. Tồn tại C 36 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có
1 định thức con cấp 3 khác không m1,3,51,3,4 =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
3 2 2
4 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 35 / 67
Khái niệm định thức Định lý Laplace
Do đó D Khai triển theo hàng 1, 3, 4===============∣∣∣∣∣∣
1 1 1
3 2 2
4 2 1
∣∣∣∣∣∣ .(−1)1+3+4+1+3+5.
∣∣∣∣∣∣
3 1 1
2 3 2
1 3 1
∣∣∣∣∣∣ = 6
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 36 / 67
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông
Định thức của tích 2 ma trận vuông
Định lý
Cho A,B ∈ Mn(K ) thì khi đó
det(AB) = detA.detB .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 37 / 67
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông
Ví dụ
A =
 1 2 34 −2 6
2 8 9
 , B =
 7 8 94 −3 6
−1 2 3

AB =
 12 8 3014 50 42
37 10 93

Ta có
det(A).det(B) = (−6).(−246) = det(AB) = 1476
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 38 / 67
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông
Hệ quả
Cho A,B ∈ Mn(K )
1 det(Ak) = (detA)k . Thật vậy,
det(Ak) = det(A.A . . .A︸ ︷︷ ︸
k lần
) =
detA.detA . . . detA︸ ︷︷ ︸
k lần
= (detA)k .
2 det(αAB) = αn.detA.detB .
Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB =
α.α . . . α︸ ︷︷ ︸
n lần
detA.detB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 39 / 67
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông
Ví dụ
Tính định thức của ma trận X thỏa mãn 1 2 10 1 4
0 0 1
X =
 1 1 11 2 −1
3 5 2

Ta có
∣∣∣∣∣∣
1 2 1
0 1 4
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ .detX =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 2 −1
3 5 2
∣∣∣∣∣∣⇒
1.detX = 3⇒ detX = 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 40 / 67
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông
Ví dụ
Cho A =
 −1 0 02 1 0
4 3 1
 . Tính det(A2011).
Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 41 / 67
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông
Ví dụ
Cho A =
 3 −2 60 1 4
0 0 1
 ,B =
 0 0 −10 2 5
1 −2 7
 .
Tính det(2AB).
Ta có
det(2AB) = 23.detA.detB = 8.3.(−2) = −48.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 42 / 67
Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông
Ví dụ
Cho A =
 1 2 10 2 −1
0 0 3
 ,B =
 2 3 −10 3 1
0 0 −1
 .
Tính det(A + B).
Ta có A + B =
 3 5 00 5 0
0 0 2
⇒ det(A + B) = 30.
Chú ý. Nói chung det(A + B) 6= detA + detB . Vì
detA = 6, detB = −6⇒ detA + detB = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 43 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp
Ma trận phụ hợp
Định nghĩa
Cho A = (aij) ∈ Mn(K ),Aij là bù đại số của aij . Khi đó ta gọi ma trận
PA =

A11 . . . A1j . . . A1n
...
. . .
...
. . .
...
Ai1 . . . Aij . . . Ain
...
. . .
...
. . .
...
An1 . . . Anj . . . Ann

T
=

A11 . . . Ai1 . . . An1
...
. . .
...
. . .
...
A1j . . . Aij . . . Anj
...
. . .
...
. . .
...
A1n . . . Ain . . . Ann

là ma trận phụ hợp của ma trận A.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 44 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp
Ví dụ
Cho ma trận A =
 2 3 13 4 2
5 3 −1
 . Tìm PA.
A11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ 4 23 −1
∣∣∣∣ ,A12 = (−1)1+2 ∣∣∣∣ 3 25 −1
∣∣∣∣ ,
A13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ 3 45 3
∣∣∣∣ ,A21 = (−1)2+1 ∣∣∣∣ 3 13 −1
∣∣∣∣ ,
A22 = (−1)2+2
∣∣∣∣ 2 15 −1
∣∣∣∣ ,A23 = (−1)2+3 ∣∣∣∣ 2 35 3
∣∣∣∣ ,
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 45 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp
A31 = (−1)3+1
∣∣∣∣ 3 14 2
∣∣∣∣ ,A32 = (−1)3+2 ∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣ ,
A33 = (−1)3+3
∣∣∣∣ 2 33 4
∣∣∣∣ .
Vậy
PA =
 −10 13 −116 −7 9
2 −1 −1
T =
 −10 6 213 −7 −1
−11 9 −1
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 46 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Định lý
Cho A là ma trận vuông. det(A) 6= 0 ⇔ A khả
nghịch và
A−1 =
1
detA
.PA.
1
detA .PA.A =
1
detA .

A11 . . . Ai1 . . . An1
... . . .
... . . .
...
A1j . . . Aij . . . Anj
... . . .
... . . .
...
A1n . . . Ain . . . Ann


a11 . . . a1j . . . a1n
... . . .
... . . .
...
ai1 . . . aij . . . ain
... . . .
... . . .
...
an1 . . . anj . . . ann

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 47 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Xét ma trận tích thu được tại hàng thứ nhất.
A11a11 + . . . + Ai1ai1 + . . . + An1an1 = det(A)
A11a12 + . . . + Ai1ai2 + . . . + An1an2 = 0 vì∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a12 a12 . . . a1j . . . a1n
a22 a22 . . . a2j . . . a2n... ... ... . . . ...
ai2 ai2 . . . aij . . . ain... ... ... . . . ...
an2 an2 . . . anj . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
Xét tương tự tại những hàng còn lại của ma trận
tích thu được.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 48 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Vậy 1detA.PA.A =
1
detA
.

detA . . . 0 . . . 0
... . . . ... . . . ...
0 . . . detA . . . 0
... . . . ... . . . ...
0 . . . 0 . . . detA
 =
=

1 . . . 0 . . . 0
... . . . ... . . . ...
0 . . . 1 . . . 0
... . . . ... . . . ...
0 . . . 0 . . . 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 49 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Các bước tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định
thức
1 Bước 1. Tính detA : kiểm tra tính khả nghịch.
2 Bước 2. Tìm ma trận phụ hợp
PA =
 A11 A21 A31A12 A22 A32
A13 A23 A33
,
với Aij = (−1)i+jMij .
3 Bước 3. A−1 =
1
detA
PA
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 50 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Ví dụ
Tìm ma trận nghịch đảo của A =
 2 5 76 3 4
5 −2 −3

Ta có detA = −1 6= 0 nên A khả nghịch. Ma trận
phụ hợp của ma trận A là
PA =
 −1 38 −271 −41 29
−1 34 −24
T =
 −1 1 −138 −41 34
−27 29 −24
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 51 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Vậy
A−1 =
1
detA
.PA = (−1).
 −1 1 −138 −41 34
−27 29 −24
 =
=
 1 −1 1−38 41 −34
27 −29 24

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 52 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch
Định lý
Nếu ma trận A khả nghịch có nghĩa là tồn tại B
sao cho BA = I thì AB = I
Nếu BA = I thì det(B)det(A) = 1⇒ det(B) 6= 0
nên tồn tại B−1.
Vì BA = I ⇒ B−1.BA.B = B−1.I .B =
= (B−1.I ).B = B−1.B = I .
Mặt khác
B−1.BA.B = (B−1.B)A.B = AB
Vậy AB = I
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 53 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch
Định lý
Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo
là duy nhất.
Giả sử A có 2 ma trận nghịch đảo B ,C . Khi đó
BAC = (BA)C = IC = C
BAC = B(AC ) = BI = B
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 54 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch
1 det(A−1) =
1
detA
. Thật vậy,
A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1.
2 det(PA) = (detA)
n−1. Thật vậy,
(detA).A−1 = PA ⇒ det(PA) =
(detA)n.det(A−1) = (detA)n−1.
3 Nếu A không suy biến thì A−1,AT cũng không
suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T .
Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I .
Đối với ma trận chuyển vị
(A−1)T .AT = (A.A−1)T = IT = I và
AT .(A−1)T = (A−1.A)T = IT = I .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 55 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch
1 Nếu A,B không suy biến thì tích AB cũng không suy
biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy,
(AB).(B−1A−1) = A(B .B−1)A−1 = A.A−1 = I
(B−1A−1).(AB) = B−1(A−1.A)B = B−1B = I
2 Nếu A,B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy,
(AB)−1 = B−1A−1 ⇒ PAB
detAB
=
PB
detB
.
PA
detA
.
3 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA)−1 = 1
α
A−1.
Thật vậy, (αA).
(
1
α
A−1
)
= I =
(
1
α
A−1
)
.(αA)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 56 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận
Phương trình ở dạng ma trận
1 Cho A ∈ Mn(K ), detA 6= 0 và B ∈ Mn×p(K ).
Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy
nhất X = A−1B .
2 Cho A ∈ Mn(K ), detA 6= 0 và B ∈ Mp×n(K ).
Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy
nhất X = BA−1.
3 A ∈ Mn(K ), detA 6= 0,B ∈ Mm(K ), detB 6= 0
và C ∈ Mn×m(K ). Khi đó phương trình
AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 57 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận
Hệ quả
1 Nếu AB = 0 và detA 6= 0 thì B = 0.
2 Nếu AB = 0 và detB 6= 0 thì A = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 58 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận
Ví dụ
Giải phương trình ma trận 0 −8 31 −5 9
2 3 8
X =
 −25 23 −30−36 −2 −26
−16 −26 7

X =
 0 −8 31 −5 9
2 3 8
−1 .
 −25 23 −30−36 −2 −26
−16 −26 7
 =
=
 1 5 72 −4 3
−3 −3 −2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 59 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận
Ví dụ
Giải phương trình ma trận
X .
(
3 −2
5 −4
)
=
( −1 2
−5 6
)
Giải.
X =
( −1 2
−5 6
)
.
(
3 −2
5 −4
)−1
=
(
3 −2
5 −4
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 60 / 67
Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận
Ví dụ
Giải phương trình ma trận(
3 −1
5 −2
)
.X .
(
5 6
7 8
)
=
(
14 16
9 10
)
Giải.
X =
(
3 −1
5 −2
)−1
.
(
14 16
9 10
)
.
(
5 6
7 8
)−1
=
=
(
1 2
3 4
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 61 / 67
Thực hành MatLab Các lệnh cơ bản
Thực hành MatLab
Tính định thức: det(A)
Ma trận nghịch đảo: Aˆ(−1) hoặc inv(A)
Chia phải: A/B ⇔ A.inv(B)
Chia trái: A\B ⇔ inv(A).B
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 62 / 67
Thực hành MatLab Truy xuất các phần tử của ma trận
Truy xuất các phần tử của ma trận
1 Truy xuất phần tử tại dòng i, cột j của ma trận
A: A(i , j)
2 Truy xuất đường chéo chính của ma trận vuông
A: diag(A)
3 Truy xuất tất cả các phần tử tại dòng i của ma
trận A: A(i , :)
4 Truy xuất tất cả các phần tử tại cột j của ma
trận A: A(:, j)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 63 / 67
Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
Nhập vào ma trận A và ma trận đơn vị I
A =

1 2 3 4
2 5 4 7
3 7 8 12
4 8 14 19
 , I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

>> B = [A I ]
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 64 / 67
Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
B =

1 2 3 4 1 0 0 0
2 5 4 7 0 1 0 0
3 7 8 12 0 0 1 0
4 8 14 19 0 0 0 1

>> C =rref(B) ⇒
1 0 0 0 10 7 −9 1
0 1 0 0 −2 −3 4 −1
0 0 1 0 1 −3 3 −1
0 0 0 1 −2 2 −2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 65 / 67
Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
>> [C (:, 5) C (:, 6) C (:, 7) C (:, 8)]
⇒

10 7 −9 1
−2 −3 4 −1
1 −3 3 −1
−2 2 −2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 66 / 67
Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 67 / 67