Bài giảng Độ đo và tích phân - Thái Thuần Quang (Dành cho sinh viên khoa Toán)

gn ≤ lim
n→∞
∫
A
fn.
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Chú ý. 1) Nếu fn ≥ g và g khả tích trên A thì bổ đề Fatou vẫn còn đúng.
2) Nếu fn ≤ g và g khả tích trên A thì∫
A
lim
n→∞ fn ≥ limn→∞
∫
A
fn.
Định lý 2.3.1.5. (Lebesgue - Sự hội tụ bị chặn) Nếu |fk| ≤ g với g khả tích
trên A và fn → f (h.k.n. hay theo độ đo) thì
lim
n→∞
∫
A
fn =
∫
A
f.
Chứng minh. a) Trường hợp fn → f h.k.n.
Vì |fn| ≤ g nên −g ≤ fn ≤ g. Theo bổ đề Fatou ta có∫
A
lim
n
fn ≥ lim
n
∫
A
fn,
∫
A
lim
n
fn ≤ lim
n
∫
A
fn.
Như vậy ∫
A
lim
n
fn ≤ lim
n
∫
A
fn ≤ lim
n
∫
A
fn ≤
∫
A
lim
n
fn.
Nhưng lim fn = lim fn = f nên∫
A
f ≤ lim
n
∫
A
fn ≤ lim
n
∫
A
fn ≤
∫
A
f.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Trường hợp fn
µ→ f trên A.
Theo định nghĩa của giới hạn trên tồn tại mọt dãy nk sao cho
∫
A
fnk → lim
∫
A
fn.
Dãy {fnk}k hội tụ theo đọ đo về f nên có dãy con {fnki} hội tụ h.k.n. về f. Theo
phần a) ta có
lim
∫
A
fn = lim
k→∞
∫
A
fnk = lim
i→∞
∫
A
fnki =
∫
A
f.
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 46
Tương tự ta chứng minh được
lim
∫
A
fn =
∫
A
f
nên ta có điều phải chứng minh. 
2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
Định lý 2.3.2.1. Nếu f là một hàm khả tích Riemann trên một hình hộp đóng và
bị chặn ∆ của Rk thì f cũng khả tích Lebesgue và hai tích phân đó bằng nhau
(R)
∫
∆
f = (L)
∫
∆
f.
Chứng minh. Ta giới hạn việc chứng minh cho trường hợp k = 1 và ∆ = [a, b]. Xét
phân hoạch [a, b] thành 2n đoạn bởi các điểm chia xk = a + k2n (b − a) và các tổng
Darboux tương ứng
Ωn =
b− a
2n
2n∑
k=1
Mnk, ωn =
b− a
2n
2n∑
k=1
mnk
trong đó
Mnk = sup
x∈[xk−1,xk)
f(x), mnk = inf
x∈[xk−1,xk)
f(x).
Theo định nghĩa tích phân Riemann ta có
I = (R)
∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞Ωn = limn→∞ωn.
Ta định nghĩa các hàm fn và fn xác định bởi
fn(x) = Mnk, fn(x) = mnk nếu x ∈ xk−1, xk),
còn tại x = b chúng được xác định một cách tùy ý. Khi đó
(L)
∫
[a,b]
fn = Ωn, (L)
∫
[a,b]
fn = ωn.
Do dãy {fn}n không tăng và dãy {fn}n không giảm và fn(x) ≤ f(x) ≤ fn. h.k.n
trên [a, b] nên
fn(x)↘ f(x) ≥ f(x), fn(x)↗ f(x) ≤ f(x).
Do đó
(L)
∫
[a,b]
f = lim
n→∞Ωn = I = limn→∞ωn = (L)
∫
[a,b]
f.
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 47
Ta suy ra
(L)
∫
[a,b]
|f − f | = (L)
∫
[a,b]
(f − f) = 0
nên f = f h.k.n. trên [a, b], tức là f = f = f h.k.n. trên [a, b]. Vậy
I = (L)
∫
[a,b]
f.

2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập
Trên không gian độ đo (X,A, µ) ta cho hàm tập f xác định và có tích phân trên
X. Ta xây dựng hàm tập
λ : A → R
A 7→ λ(A) =
∫
A
fdµ.
Hàm tập λ được gọi là tích phân bất định của f.
Định lý 2.3.3.1. Hàm tập λ là σ-cộng tính, tức là, nếu có An ∈ A, các An đôi một
rời nhau và A =
∞⋃
n=1
An thì ∫
A
f =
∞∑
n=1
∫
An
f.
Chứng minh. a) Xét f ≥ 0. Đặt Bn =
⋃n
k=1Ak. Khi đó∫
Bn
=
n∑
k=1
∫
Ak
f và lim
n→∞
∫
Bn
=
i∑
k=1
nfty
∫
Ak
f.
Do B1 ⊂ B2 ⊂ . . . ⊂ A và A =
∞⋃
n=1
Bn nên 0 ≤ χBnf ↗ f trên A. Như vậy∫
Bn
f =
∫
A
χBnf, suy ra limn→∞
∫
Bn
f =
∫
A
f. Vậy
∫
A
f =
∞∑
n=1
∫
An
f.
b) Với f có dấu bất kỳ ta có f = f+ − f−. Theo a) thì∫
A
f+ =
∞∑
n=1
∫
An
f+ và
∫
A
f− =
∞∑
n=1
∫
An
f−.
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 48
Vì
∫
A
f có nghĩa nên vế trái của một trong hai đẳng thức trên phải hữu hạn, do đó
vế phải tương ứng cũng hữu hạn nên ta viết được∫
A
f =
∫
A
f+ −
∫
A
f− =
∞∑
n=1
(∫
An
f+ −
∫
An
f−
)
=
∞∑
n=1
∫
An
f.

Nhận xét. 1. Nếu f ≥ 0 và đo được trên X thì hàm tập λ là một độ đo trên σ-đại
số A.
2. Nếu
∞∑
k=1
∫
Ak
|f | < +∞ thì f sẽ khả tích trên A. Thật vậy, lúc đó
∫
A
|f | =
∞∑
k=1
∫
Ak
||f | < +∞
nên |f |, và do đó f khả tích trên A.
Định lý 2.3.3.2. (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân) Nếu hàm f khả tích
trên A thì với mọi ε > 0 tồn tại σ > 0 sao cho∣∣∣ ∫
E
fdµ
∣∣∣ < ε
với mọi E đo được chứa trong A mà µE < σ.
Chứng minh. Vì
∣∣∣ ∫
E
fdµ
∣∣∣ ≤ ∫
E
|f |dµ nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp
f ≥ 0. Lấy dayc hàm đơn giản fn sao cho 0 ≤ fn ↗ f trên A và 0 ≤ fn ≤ n với mọi
n. Khi đó
lim
n→∞
∫
A
fn =
∫
A
f
nên với ε > 0 tồn tại n0 ∈ N để
∫
A
(f − fn) < ε
2
với moi n ≥ n0. Chọn σ = ε2n0 . Lúc
đó nếu E ⊂ A mà µE < σ thì∫
E
f =
∫
E
(f − fn0) +
∫
E
fn0 ≤
∫
A
(f − fn0) +
∫
A
fn0 <
ε
2
+ n0µE <
ε
2
+
ε
2
= ε.

Chú ý. Đối với tích phân Riemann đối với mọi hàm không bị chặn đều không (R)-
khả tích nhưng lại có nhiều hàm (L)-khả tích. Đặc biệt mọi hàm f ≥ 0 mà tích phân
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân 49
Riemann
∫ b
a+ε
f(x)dx tồn tại với mọi ε > 0 và nhận giá trị hữu hạn I khi ε→ 0 đều
(L)-khả tích trên [a, b] và ta có
(L)
∫
[a,b]
f(x)dx = lim
ε→0
∫ b
a+ε
f(x)dx.
Thật vậy, ta có thể chứng minh được lúc đó hàm f sẽ đo được trên [a, b] và
(L)
∫
[a,b]
f(x)dx = (L)
∫
(a,b]
f(x)dx.
Ta viết (a, b] =
∞⋃
n=1
[a+
1
n
, b] trong đó các tập [a+ 1n , b] tạo thành một dãy tăng. Do
f ≥ 0 nên hảm tập tích phân là một đọ đo trên σ-đại số các tập con đo được của
[a, b]. Do vậy
(L)
∫
[a,b]
f(x)dx = lim
n→∞(L)
∫
[a+ 1
n
,b]
f(x)dx = lim
n→∞
∫ b
a+ 1
n
f(x)dx = I.
Khi một hàm số được xét trên toàn R (hay trên nửa đường thẳng số) thì tích phân
Riemann của một hàm như vậy chỉ có thể tồn tại như một tích phân suy rộng. Ở đây
cũng như vậy, nếu một tích phân như vậy hội tụ tuyệt đối thì tích phân Lebesgue
tương ứng tồn tại và có cùng giá trị. Nhưng ngược lại, nếu tích phân đó hội tụ
có điều kiện thì khi đó hàm đang xét không (L)-khả tích. Ví dụ hàm sinxx không
(L)-khả tích trên R vì
(L)
∫ +∞
−∞
∣∣∣sinx
x
∣∣∣dx = +∞,
nhưng tích phân suy rộng
∫ +∞
−∞
sinx
x
dx tồn tại như ta đã biết và có giá trị bằng pi.
Ví dụ 2.3.3.1. Tính (L)
∫
[0,+∞)
1
1 + x2
dx.
Ta có [0,+∞) =
∞⋃
n=1
[0, n] và dãy [0, n] tăng, f(x) > 0 nên
∫
[0,+∞)
1
1 + x2
dx = lim
n→∞
∫
[0,n]
1
1 + x2
dx
= lim
n→∞(R)
∫ n
0
1
1 + x2
dx = lim
n→∞[arctann− arctan 0] =
pi
2
.
Rõ ràng (L)
∫
[0,+∞)
1
1 + x2
dx chính là giá trị của tích phân suy rộng trên [0,+∞).
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 50
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp
Cho hai không gian độ đo (X,A1, µ1), (Y,A1, µ1). Đặt
C = {A1 ×A2 : A1 ∈ A1, A2 ∈ A2}.
Dễ kiểm tra C là một đại số trên X × Y. Xét hàm tập µ0 : C → R cho bởi
µ0(A1 ×A2) = µ1A1 × µ2A2.
Định lý 2.4.0.3. µ0 là một độ đo trên C.
Chứng minh. i) C là một đại số.
ii) µ0 ≥ 0 và nếu A1 × A2 = ∅ thì ít nhất một trong hai tập A1 và A2 bằng ∅,
nên µ1A1 × µ2A2 = 0. Do đó µ0(∅) = 0.
iii) Hàm tập µ0 cộng tính.
Giả sử P, Pn ∈ C mà P =
∞⋃
n=1
Pn với các Pn đôi một rời nhau. Khi đó
P = A×B,Pn = An ×Bn với A,An ∈ A1, B,Bn ∈ A2.
Với mỗi x ∈ X ta đặt
xP = {y ∈ Y : (x, y) ∈ P}, xPn = {y ∈ Y : (x, y) ∈ Pn}
và với mỗi y ∈ Y ta đặt
P y = {x ∈ X : (x, y) ∈ P}, P yn = {{x ∈ X :: (x, y) ∈ Pn}.
Các tập xP và P y lần lượt gọi là lát cắt của P tại x, y. Ta có
xP =
{
B nếu x ∈ A
∅ nếu x /∈ A
xPn =
{
Bn nếu x ∈ An
∅ nếu x /∈ An.
Do P =
∞⋃
n=1
Pn nên xP =
∞⋃
n=1
xPn, hơn nữa các xPn đôi một rời nhau. Do vậy
µ2(
xP ) =
∞∑
n=1
µ2(
xPn). (2.1)
Xét các hàm đơn giản ϕ,ϕn trên X
ϕ(x) =
{
µ2B nếu x ∈ A
0 nếu x /∈ A, ϕn(x) =
{
µ2Bn nếu x ∈ An
0 nếu x /∈ An.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 51
Do (2.1) ta suy ra
ϕ(x) =
∞∑
n=1
ϕn(x).
Như vậy ∫
X
ϕdµ1 =
∞∑
n=1
∫
X
ϕndµ1.
Ta có
∞∑
n=1
∫
X
ϕndµ1 =
∞∑
n=1
∫
An
µ2Bndµ1 =
∞∑
n=1
(µ1An × µ2Bn) =
∞∑
n=1
µ0Pn∫
X
ϕdµ1 =
∫
A
µ2Bdµ1 = µ2B × µ1A = µ0P.
Do đó µ0P =
∞∑
n=1
µ0Pn. Vậy µ0 là một độ đo trên C. 
Định nghĩa 2.4.0.4. Thác triển tiêu chuẩn của độ đo µ0 từ đại số C lên σ-đại số
thành độ đo µ được gọi là tích của hai độ đo µ1 và µ2 (theo thứ tự đó) và ký hiệu
µ = µ1 ⊗ µ2, A = A1 ⊗A2.
Tương tự, có thể định nghĩa tích của n độ đo trên những đại số A1, . . . ,An và
ký hiệu
µ = µ1 ⊗ . . .⊗ µn, A = A1 ⊗ . . .⊗An.
Đặc biệt, nếu µ1 = . . . = µn = ν thì độ đo tích sẽ gọi là lũy thừa bậc n của ν và ký
hiệu νn. Ví dụ, độ đo Lebesgue trên Rn là lũy thừa bậc n của độ đo Lebesgue trên
R. Ta thấy rằng độ đo tích luôn là độ đo đủ cho dù các độ đo µ1, . . . , µn có đủ hay
không.
Dễ dàng chứng minh rằng nếu µ1, . . . , µn hữu hạn (σ-hữu hạn) thì độ đo tích µ
cũng hữu hạn (σ-hữu hạn).
2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các thiết
diện của nó
Giả sử G là một miền thuộc mặt phẳng xOy giới hạn bởi các đường x = a, x = b,
y = ϕ(x), y = ψ(x) trong đó ψ(x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ [a, b]. Lúc đó diện tích của
miền G được tính bằng
S(G) =
∫ b
a
[ϕ(x)− ψ(x)]dx.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 52
Hiệu ϕ(x0) − ψ(x0) biểu diễn độ dài của thiết diện của miền G theo đường hẳng
x = x0. Ta sẽ mở rộng công thức đo diện tích này cho trường hợp độ đo tích tùy ý
µ = µ1 ⊗ µ2.
Sau đây ta sẽ xét µ = µ1 ⊗ µ2, với µ1 là độ đo đủ, σ-hữu hạn trên σ-đại số
A1 ⊂ P(X) và µ2 là độ đo đủ, σ-hữu hạn trên σ-đại số A2 ⊂ P(X), và A = A1⊗A2.
Định lý 2.4.1.1. A ∈ A thì
a) xA ∈ A2 hầu khắp x ∈ X, Ay ∈ A1 hầu khắp y ∈ Y ;
b) Hai hàm ϕA, ψA xác định dưới đây là đo được lần lượt trên X,Y :
ϕA(x) =
{
µ2(
xA) nếu xA ∈ A2
0 nếu xA /∈ A2,
ψA(x) =
{
µ1(A
y) nếu Ay ∈ A1
0 nếu Ay /∈ A1,
.
c) µA =
∫
X
ϕAdµ1 =
∫
Y
ϕAdµ2.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh tập xA,ϕA đo được và µA =
∫
X
ϕAdµ1. Phần
còn lại được chứng minh tương tự.
1) Trường hợp µA < +∞.
i) A = C ×D với C ∈ A1, D ∈ A2. Khi đó
xA =
{
D nếu x ∈ C
∅ nếu x /∈ C,
nên xA ∈ A2 với mọi x ∈ X;
ϕA(x) =
{
µ2D nếu x ∈ C
0 nếu x /∈ C.
Hàm ϕA đo được trên X và∫
A
ϕAdµ1 =
∫
C
µ2Ddµ1 = µ2D × µ1C = µA.
ii) A =
∞⋃
n=1
An trong đó An ⊂ An+1 và An có dạng ở 1.i). Khi đó
xA =
∞⋃
n=1
xAn và xAn ⊂ xAn+1.
Theo 1.i) thì xAn ∈ A2 với mọi x ∈ X nên xA ∈ A2 và
ϕA(x) = µ2(
xA) = lim
n→∞µ2(
xAn).
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 53
Nhưng ϕnA(x) = µ2(
xAn) theo 1.i) nên ϕnA đo được, hơn nữa 0 ≤ ϕnA ↗ ϕA do đó
hàm ϕA đo được trên X. Theo định lý Levi thì∫
X
ϕAdµ1 = lim
n→∞
∫
X
ϕnAdµ1 = limn→∞µ2An = µA.
iii) A =
∞⋂
n=1
An với An ⊃ An+1 và An có dạng ở 1.ii) (trong đó µA1 < +∞). Khi
đó
xA =
∞⋂
n=1
xAn và xAn ⊃ xAn+1.
Theo 1.ii) thì xAn ∈ A2 xA ∈ A2 và
ϕA(x) = µ2(
xA) = lim
n→∞µ2(
xAn) = lim
n→∞ϕ
n
A(x),
mà hàm ϕnA đo được nên ϕA đo được. Ta có 0 ≤ ϕnA ↘ ϕA và ϕ1A khả tích nên∫
X
ϕAdµ1 = lim
n→∞
∫
X
ϕnAdµ1 = limn→∞µAn = µA.
iv) µA = 0. Khi đó tồn tại B ∈ A, B có dạng 1.iii), B ⊃ A để µA = µB. Với mỗi
x ∈ X thì xB ∈ A2 và xA ⊂ xB. Ta có ϕB(x) = µ2(xB) ≥ 0 và
∫
X
ϕBdµ1 = µB = 0
nên ϕB = 0 hầu khắp X và µ2 đủ nên xA ∈ A2 hầu khắp x ∈ X và µ2(xA) = 0.
Lúc đó ϕA(x) = 0 trên X nên ∫
X
ϕAdµ1 = 0 = µA.
v) Với A ∈ A, µA < +∞ thì tồn tại B,E ∈ A mà B có dạng 1.iii) còn E có dạng
1.iv) để cho A = B \ E. Khi đó xA = xB \ xE nên xA ∈ A2 hầu khắp X.
Vì µ2(xA) = µ2(xB) − µ2(xE) nên ϕA = ϕB − ϕE đo được, và ϕA = ϕB hầu
khắp X. ∫
X
ϕAdµ1 =
∫
X
ϕBdµ1 = µB = µA.
2) Trường hợp A ∈ A và µA = +∞. Do µ là σ-hữu hạn nên
A =
∞⋃
p=1
Ap, Ap ∈ A, Ap ⊂ Ap+1
và µAp < +∞ với mọi p ∈ N. Lúc đó xA =
∞⋃
p=1
xAp,
xAp ∈ A2 hầu khắp X,
xAp ⊂ xAp+1 nên xA ∈ A2 hầu khắp x ∈ X và µ2(xA) = lim
p→∞µ2(
xAp). Như vậy
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 54
0 ≤ ϕAp ↗ ϕA hầu khắp X nên∫
X
ϕAdµ1 = lim
p→∞
∫
X
ϕApdµ1 = limp→∞µAp = µA.
Định lý được chứng minh. 
2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue
Bây giờ ta xét Y = R và µ2 là độ đo Lebesgue trên R. Cho M ⊂ X là tập thuộc
σ-đại số A1 và f là hàm khả tích không âm trên M. Xét tập
Af = {(x, y) ∈ X × R : x ∈M, 0 ≤ y ≤ f(x)}
và goi là đồ thị dưới của hàm f .
Định lý 2.4.2.1. Đồ thị dưới Af của f là một tập đo được và µAf =
∫
M
fdµ1.
Chứng minh. Ta thấy rằng nếu Af ∈ A thì
µ2(
xAf ) =
{
f(x) nếu x ∈M
0 nếu x /∈M.
Theo định lý trên ta có
µAf =
∫
M
fdµ1.
Do vậy chỉ cần chứng minh Af ∈ A.
1) Trường hợp µ1M < +∞.
a) f ≥ 0 đơn giản trên M, tức là f =
n∑
i=1
ciχMi . Đặt Ai = Mi × [0, ci]. Lúc đó
Ai đo được và Af =
⋃n
i=1Ai nên Af đo được.
b) f ≥ 0 và bị chặn trên M. Đặt
ψk(x) =
{
k + 1 nếu f(x) ≥ k
i
2k
nếu i−1
2k
≤ f(x) < i
2k
với i = 1, 2, . . . , k2k. Khi đó ψn là hàm đơn giản, không âm và ψn ↘ f.
Hơn nữa trong trường hợp này có thể thấy rằng dãy hàm {fn}n trong cấu trúc
của hàm đo được và dãy hàm {ψn}n hội tụ đều về hàm f. Do vậy với mỗi ε > 0
ta chọn được hai hàm đơn giản, không âm ϕ,ψ sao cho ϕ ≤ f ≤ ψ trên M và
ψ − ϕ < εµM . Lúc đó Aϕ ⊂ Af ⊂ Aψ và∫
X
ϕdµ1 ≤
∫
X
fdµ1 ≤
∫
X
ψdµ1;
∫
X
ψdµ1 −
∫
X
ϕdµ1 < ε.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 55
Ta có
µ(Aψ \Aϕ) = µAψ − µAϕ =
∫
X
ψdµ1 −
∫
X
ϕdµ1 < ε
nên tập Af là đo được.
c) f ≥ 0 không bị chặn.
Với mỗi n ∈ N và x ∈M ta đặt
fn(x) =
{
f(x) nếu f(x) ≤ n
n nếu f(x) > n.
Khi đó fn đo được, không âm, bị chặn và lim
n→∞ fn = f trên M. Ta có
Af =
∞⋃
n=1
Afn .
Theo phần b) thì Afn đo được nên Af đo được.
2) Trường hợp µ1M = +∞.
Vì µ1 là σ-hữu hạn nên M =
∞⋃
i=1
Mi với µ1Mi < +∞ với mọi i và Mi ⊂ Mi+1.
Khi đó A =
∞⋃
i=1
Aif với A
i
f là đồ thị dưới của hàm f trên tập Mi có độ đo hữu hạn,
Theo phần 1) thì Aif đo được, do đó Af cũng đo được. 
Khi X = R còn M là một đoạn và f là một hàm khả tích Riemann thì định lý
nàu mô tả cách biểu diễn hình học của tích phân như là diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hàm và trục hoành.
2.4.3 Định lý Fubini
Ta nhận xét rằng nếu trên X,Y, Z đã cho ba độ đo µ1, µ2, µ3 hì độ đo tích
µ = µ1 ⊗ µ2 ⊗ µ3 có thể định nghĩa là (µ1 ⊗ µ2)⊗ µ3 hay µ1 ⊗ (µ2 ⊗ µ3).
Định lý 2.4.3.1. (Fubini) Cho hai không gian với độ đo đủ, σ-hữu hạn
(X,A1, µ1), (Y,A2, µ2) và µ = µ1 ⊗ µ2,A = A1 ⊗ A2. Giả sử f là hàm đo được
trên A ∈ A. Nếu f ≥ 0 hay f khả tích trên A thì∫
A
fdµ =
∫
X
(∫
xA
fdµ2
)
dµ1 =
∫
Y
(∫
Ay
fdµ1
)
dµ2. (2.2)
Chứng minh. Gọi µ3 là dộ đo Lebesgue trên R và ký hiệu
λ = µ1 ⊗ µ2 ⊗ µ3, ξ = µ2 ⊗ µ3, µ = µ1 ⊗ µ2.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 56
Giả sử f ≥ 0, ta đặt
W = {(x, y, z) ∈ X × Y × R : (x, y) ∈ A, 0 ≥ z ≥ f(x, y)}.
Theo định lý 2.4.2.1 ta có
λ(W ) =
∫
A
fdµ. (2.3)
Mặt khác, theo định lý 2.4.1.1 ta có
λ(W ) =
∫
A
ξ(W x)dµ1 (2.4)
trong đó
W x = {(y, z) ∈ Y × R : (x, y, z) ∈W}
= {(y, z) ∈ Y × R : (x, y) ∈ A, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}
= {(y, z) ∈ Y × R : y ∈ xA, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.
Do đó theo định lý 2.4.2.1 ta có
ξ(W x) =
∫
xA
fdµ2. (2.5)
So sánh ba đẳng thức (2.3), (2.4), (2.5) ta được∫
A
fdµ =
∫
X
(∫
xA
fdµ2
)
dµ1.
Trường hợp với f khả tích ta viết f = f+ − f− và áp dụng điều vừa chứng minh
đối với hai hàm không âm f+, f− ta được điều cần chứng minh. Việc chứng minh
bất đẳng thức còn lại của định lý là tương tự. 
Trong điều kiện đã nêu, định lý Fubini cho phép ta thay một tích phân bội bằng
một tích phân lặp hay thay đổi thứ tự lấy tích phân trong một tích phân lặp.
Nhận xét. Các ví dụ dưới đây chứng tỏ ằng sự tồn tại của hai tích phân lặp nói
chung không kéo theo tính khả tích của hàm f trên A. Tuy nhiên nếu ít nhất một
trong hai tích phân ∫
X
(∫
xA
|f |dµ2
)
dµ1,
∫
Y
(∫
Ay
|f |dµ1
)
dµ2
hữu hạn thì f sẽ khả tích trên A và ta sẽ có đẳng thức (2.2).
Thật vậy, giả sử
∫
X
(∫
xA
|f |dµ2
)
dµ1 hữu hạn và bằng M. Hàm |f | đo được,
không âm trên A nên theo định lý Fubini ta có∫
X
|f |dµ =
∫
X
(∫
xA
|f |dµ2
)
dµ1 = M < +∞.
Vậy |f | khả tích trên A, do đó f khả tích trên A và đẳng thức (2.2) xảy ra.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 57
Ví dụ 2.4.3.1. 1) Giả sử
f(x, y) =
{
xy
(x2+y2)2
nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
với (x, y) ∈ A = [−1, 1]2. Khi đó
∫ 1
−1
f(x, y)dx = 0 với mọi y và
∫ 1
−1
f(x, y)dy = 0
với mọi x. Do đó∫ 1
−1
(∫ 1
−1
f(x, y)dx
)
dy =
∫ 1
−1
(∫ 1
−1
f(x, y)dy
)
dx = 0.
Nhưng ∫ 1
−1
∫ 1
−1
|f(x, y)|dxdy =
∫ 1
0
dr
∫ 2pi
0
| sinϕ cosϕ|
r
dϕ = 2
∫ 1
0
dr
r
= +∞
nên hàm f không khả tích trên A.
2) Giả sử A = [−1, 1]2 và
f(x, y) =

22n nếu 12n ≤ x ≤ 12n−1 ; 12n ≤ y ≤ 12n−1
22n+1 nếu 1
2n+1
≤ x ≤ 12n ; 12n ≤ y ≤ 12n−1
0 trong các trường hợp còn lại.
Có thể chứng tỏ rằng∫ 1
0
(∫ 1
0
f(x, y)dx
)
dy = 0,
∫ 1
0
(∫ 1
0
f(x, y)dy
)
dx = 1.
Bài tập
. 2.1. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên A. Đặt Aˆn = {x ∈ A : |f(x)| ≥ n}. Chứng
minh rằng lim
n→∞nµ(Aˆn) = 0.
. 2.2. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên A thì với mọi ε > 0 ta có
µ{x ∈ A : |f(x)| ≥ ε} <∞.
. 2.3. Cho f là hàm số không âm, bị chặn và đo được trên A. Giả sử µ{x ∈ A :
f(x) ≥ α} = β. Chứng minh rằng (L)
∫
A
fdµ ≥ αβ.
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 58
. 2.4. Giả sử f, g là các hàm L khả tích trên A và α ≤ f(x) ≤ β h.k.n. Chứng minh
rằng tồn tại γ ∈ [α, β] để ∫
A
f |g|dµ = γ
∫
A
|g|dµ.
. 2.5. Cho chuỗi số dương
∑
an và hàm f : [0,+∞) → R với f(x) = an khi
n ≤ x < n+ 1. Chứng minh rằng f là (L)-khả tích khi và chỉ khi
∑
an hội tụ.
. 2.6. Cho A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ An ⊂ . . . là dãy tăng các tập đo được và f là hàm số
không âm xác định trên A =
⋃
n≥1An. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên
mọi An và tồn tại giới hạn của dãy tích phân (L)
∫
An
fdµ thì f khả tích trên A và∫
A
fdµ = lim
n→∞
∫
An
fdµ.
. 2.7. Giả sử {An} là dãy giảm các tập đo được và f là hàm không âm (L)-khả tích
trên A1. Đặt A = ∩n≥1An. Chứng minh rằng
∫
A
fdµ = lim
n→∞ fdµ.
. 2.8. Cho hàm số f khả tích trên A Chứng minh rằng lim
nto∞
∫
An
fdµ =
∫
A
fdµ với
mọi dãy tăng {An} các tập đo được của A sao cho A = ∪n≥1An.
. 2.9. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên A. Chứng minh rằng nếu f(x) > 0 trên A
và µ(A) > 0 thì
∫
A
fdµ > 0.
. 2.10. Cho f là hàm số (L)-khả tích trên [a, b]. Chứng minh rằng nếu
∫ t
a
f(x)dµ = 0
với mọi t ∈ [a, b] thì f(x) = 0 h.k.n.
. 2.11. Cho f ≥ 0 trên A. Đặt
fn(x) =
{
f(x) nếu f(x) ≤ n
0 nếu f(x) > n.
Chứng minh rằng lim
n
∫
A
fndµ =
∫
A
fdµ.
. 2.12. Chứng minh rằng nếu hàm f : [a, b] → R có đạo hàm bị chặn h.k.n trên
[a, b] thì đạo hàm của nó (L)-khả tích trên [a, b].
. 2.13. Xét tính (R) và (L)-khả tích và tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên
[0, 1] :
f(x) =
{
cosx+ x nếu x vô tỷ
0 nếu x hữu tỷ
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp 59
. 2.14. Tính (L)
∫ 1
0
fdµ với
f(x) =

10x2 nếu x hữu tỷ
x nếu x vô tỷ < 12
ex nếu x vô tỷ > 12
. 2.15. Xét tính (L)-khả tích và tính tích phân (nếu có) của hàm số sau trên miền
đã chỉ ra
a) f(x) =
1√
1− x, x ∈ [0, 1);
b) f(x) =
1
x2
, x ∈ (0, 1];
c) f(x) =
sinx
x
, x ∈ (1,∞).
. 2.16. Tính tính phân của các hàm số sau trên [0, 1].
a) f(x) =
{
sinx nếu x hữu tỷ
cosx nếu x vô tỷ
b) f(x) =
{
sinx nếu cosx hữu tỷ
sin2 x nếu cosx vô tỷ
. 2.17. Tính các tính phân sau
a) (L)
∫
[0,1]
dx√
1− x2 ; b) (L)
∫
[1,2]
dx
3
√
x− 1
. 2.18. Cho hàm số f(x) =
1
x
cos
1
x
. Xét tính (L)-khả tích của hàm f trên (0, 1).
. 2.19. Chứng minh rằng nếu f là (L)-khả tích trên [0, 1] thì hàm f(αx) là (L)-khả
tích trên [0−, 1/α], với α > 0 và∫
[0,1]
f(x)dµ =
∫
[0,1/α]
f(αx)dµ.
. 2.20. Cho hàm số f(x) =
sinαx
x
với α là hằng số. Chứng minh rằng
a) Tồn tại lim
A→∞
∫ A
0
f(x)dx.
b) f không (L)-khả tích trên (0,∞).
Chỉ mục
(X, C, µ), 4
Af , 54
L-đo được, 18
χA, 22
A1 ⊗A2, 51
C(M), 2
F(M), 3
L, 8
µ∗, 8
µ1 ⊗ µ2, 51
σ-đại số, 2
Borel, 3
sinh bởiM, 3
σ-cộng tính, 3
σ-trường, 2
f ∼ g, 26
f+, 25
f−, 25
fn
µ→ f , 27
đồ thị dưới, 54
độ đo, 4
σ-hữu hạn, 4
đếm, 4
đủ, 12
cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗, 8
Dirac, 4
hữu hạn, 4
Lebesgue, 17
ngoài, 8
tích, 51
tầm thường, 4
đại số, 1
sinh bởiM., 2
định lý
Carathéodory, 8
Egorov, 30
Fubini, 55
hội tụ đơn điệu, 43
Lebesgue về sự hội tụ bị chặn, 45
Levi, 43
Lusin, 30
thác triển, 11
bổ đề Fatou, 45
cộng tính, 3
gian, 14, 19
hầu khắp nơi (h.k.n.), 26
hàm
đặc trưng, 22
đơn giản, 24
đo được, 21
bằng nhau h.k.n., 26
tập hợp, 3
tương đương, 26
hội tụ
h.k.n, 26
theo độ đo, 27
hữu hạn h.k.n, 26
không gian độ đo, 4
tích phân
bội, 56
lặp, 56
Lebesgue, 33
Riemann, 46
tập
µ∗-đo được, 8
Borel, 3
dạng Fσ, 3
dạng Gδ, 3
trường, 1
Chỉ mục 61