Bài giảng Dòng chuyển động qua cố thể -Lý thuyết lớp biên - Lực cản

Flow past immersed 
body
Dòng chuyển động qua cố thể
-Lý thuyết lớp biên
- Lực cản
Lý thuyết lớp biên
1. Tổng quan về dòng chuyển động qua cố thể (external 
flow)
2. Giới thiệu các phương pháp nghiên cứu dòng ngoại lưu
3. Phương pháp động lượng tính gần đúng lớp biên của 
Karman
4. Lý thuyết lớp biên Prandtl
Dòng chuyển động có ma sát trong ống: lớp biên được hình thành 
từ thành ống, phát triển dọc theo chiều dài của ống, rồi hòa vào nhau 
thành một, và lớp biên chiếm toàn bộ không gian của ống. Đối với 
dòng chuyển động trong ống, ảnh hưởng của lực ma sát là chủ đạo.
Dòng chuyển động bao quanh cố thể:
- Ảnh hưởng của lực ma sát (tính nhớt) quan trọng gần bề mặt 
cổ thể và trong vùng hậu lưu của cố thể lý thuyết lớp biên
- Ảnh hưởng của lực ma sát không đáng kể ở vùng không gian rất xa 
bề mặt cố thể dòng không ma sát (inviscid flow)
Một số vấn đề thực tiễn về dòng chuyển động ngoại lưu:
- Khí động lực học (aerodynamics): máy bay, tên lửa..
- Thủy động lực học (hydrodynamics): tàu thuyền, tàu ngầm..
- Giao thông (transportation) : xe hơi, xe tải
- Năng lượng gió (wind engineering): nhà cao tầng, cầu đường, turbine 
gió
Tổng quan về chuyển động ngoại lưu
Dòng chuyển động qua cố thể - Lớp biên là gì?
Khi cố thể được đặt trong một dòng chuyển động đều, một lớp biên 
mỏng hình thành sát bề mặt. Do tính nhớt, phân bố vận tốc trong 
lớp biên không còn đều như của dòng tự do i.e biến thiên vận tốc 
trong lớp biên lớn. 
Ngoài ra, khi dòng chuyển động tách ra khỏi bề mặt cố thể hình 
thành vết hậu lưu với những cấu trúc xoáy.
b: điểm dừng
c: điểm tách rời lớp
biên
Turbulent wake
Vết hậu lưu sau hình trụ trong 
chuyển động rối
Laminar wake
Vết hậu lưu sau hình trụ 
trong chuyển động tầng
Hiện tượng tách rời
lớp biên
Boundary Layer 
Separation
 Flow control
Phương pháp nghiên cứu dòng qua 
cố thể
Phương pháp tính toán số CFD: nhờ vào sự phát triển 
của máy tính, bộ vi xử lý và bộ nhớ, nhiều mô hình tính toán 
được thiết lập. Đây là phương pháp phổ biến hiện nay.
Phương pháp thực nghiệm: là phương pháp phổ biến 
nhất trong nghiên cứu chuyển động ngoại lưu thông qua 
phương pháp phân tích thứ nguyên.
 Phương pháp giải tích – lý thuyết lớp biên của 
Prandtl (1904): Ứng dụng phương trình Navier-Stokes cho 
lớp biên, dùng phép đơn giản hóa các biến số không quan 
trọng để đưa ra những hệ phương trình giải được và phù hợp 
với vùng không gian không nhớt bên ngoài.
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng lớp 
biên của Karman (1921)
Áp dụng phương 
trình động lượng cho 
thể tích kiểm soát
giới hạn lưu chất giữa 
hai đường dòng trong 
vùng lớp biên 
1. Từ (0,0) đến (0,h): vận tốc đều U0 đầu vào
2. Từ (0,h) đến (L,δ): 
vận tốc tiếp tuyến với đường dòng 
1. Từ (L,δ) đến (0,L): vận tốc u(y) đầu ra
2. Từ (0,L) đến (0,0): 
(trên đường dòng sát bề mặt)
0(1) .V n U 
 
(2) . 0V n 
 
(3) . ( )V n u y 
 
(4) . 0V n 
 
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng lớp 
biên của Karman (1921)
Giả thiết áp suất trên 
tấm phẳng là hằng số 
(p=pa)  không có lực 
áp suất, lực tác dụng 
trên tấm phẳng chỉ do 
ma sát nhớt với bề mặt
Phương trình động lượng trên phương x
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng lớp 
biên của Karman (1921)
Xác định h Phương trình liên tục:
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng lớp 
biên của Karman (1921)
Lực cản ma sát :
Lực cản ma sát theo chiều 
dày động lượng θ:
Lực cản và ứng suất ma sát
 Ứng suất ma sát và 
chiều dày động lượng
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng lớp 
biên của Karman (1921)
Chuyển động tầng, phân bố 
vận tốc theo parabol:
Từ phân bố vận tốc, xác định bề dày động lượng θ:
Và theo định luật Newton:
Thay vào phương trình:
và sắp xếp lại:
0 0
15
x
d dx
U
 
   
Phương pháp tích phân động lượng tính gần đúng lớp 
biên của Karman (1921)
Chiều dày lớp biên tầng, với 
phân bố vận tốc parabol:
(cao hơn 10% so với lời giải 
chính xác từ lý thuyết lớp biên)
Hệ số ứng suất ma sát 
(skin-friction drag):
Phương trình Navier-Stokes 
cho chuyển động 2D, bỏ 
qua trọng lực
 Về lý thuyết, giải hệ 3 pt xác định được p, u, v theo các 
điều kiện biên (đầu vào, đầu ra, không trượt trên thành rắn)
 Tuy nhiên, đây là hệ phi tuyến rất khó khăn để có lời 
giải trực tiếp
Phương trình lớp biên Prandtl (1904)
Pt liên tục
Pt động lượng cho phương x
Pt động lượng cho phương y
Lớp biên trên tấm 
phẳng, chuyển động 
tầng, Re rất nhỏ δ≈L
Lớp biên trên tấm 
phẳng, chuyển động rối, 
Re lớn δ<<L
Phương trình lớp biên Prandtl
Nếu số Reynolds rất lớn bề dày lớp biên là rất mỏng, 
Prandtl đề nghị các phép xấp xỉ đơn giản hóa như sau:
Pt động lượng cho phương y: 
áp suất không thay đổi trên 
phương y, chỉ thay đổi theo 
chiều dài x
Pt Bernoulli viết cho vị trí 
ngoài cùng của lớp biên 
Phương trình lớp biên Prandtl
Ứng suất 
ma sát
-Tầng
- Rối
 Hệ phương trình cho hai thành phần vận tốc u, v thỏa 
điều kiện biên
-Thành rắn
- Ngoài lớp 
biên
: không trượt
: đk liên tục 
miền ngoài
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên 
trên tấm phẳng 
- Lớp biên phát triển dọc theo chiều dài tấm phẳng bề dày 
lớp biên tăng dần δ(x).
-Ban đầu lớp biên ở trạng thái tầng, bắt đầu từ x=0.
- Tại một khoảng cách xcr (tương ứng với Recr), lớp biên thay 
đổi trạng thái từ tầng sang rối.
- Ngoài vùng lớp biên là dòng đều tự do không có ảnh hưởng 
của tính nhớt i.e phân bố vận tốc đều.
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên 
trên tấm phẳng 
Số vô thứ nguyên đặc trưng cho trạng thái chuyển 
động 
ρ Khối lượng riêng lưu chất
U∞ Vận tốc đặc trưng
x Kích thước hình học đặc trưng
 Hệ số nhớt động lực học
υ Hệ số nhớt động học
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên 
trên tấm phẳng 
Trạng thái chuyển tiếp từ tầng sang rối trên tấm 
phẳng xảy ra tại số Recr nằm trong khoảng: 
5 65.10 Re 3.10cr 
Số Reynolds tới hạn Recr
xcr: khoảng cách từ cạnh trước 
đến vị trí diễn ra chuyển tiếp 
tầng-rối
Đối với tấm phẳng:
 x<xcr: lớp biên tầng
 x>=xcr: lớp biên rối
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng  lời 
giải Blasius (chuyển động tầng) (1908)
Blasius đã chứng minh sự phụ thuộc của vận tốc vô thứ nguyên u/U trong 
lớp biên chỉ phụ thuộc vào một biến số kết hợp η như sau:
Thay phân bố vận tốc vào 
phương trình lớp biên Prandtl:
Với điều kiện biên:
Theo lời giải Balsius:
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng  lời 
giải Blasius (chuyển động tầng) (1908)
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng  lời 
giải Blasius (chuyển động tầng) (1908)
Và theo định luật Newton:
12 2
0.664
1 Re2
w
f
x
c
U


 
Hệ số ứng suất ma sát 
(skin-friction drag):
Xác định lực cản từ ứng suất 
ma sát
Hệ số lực cản CD trên tấm 
phẳng có chiều dài L
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
chuyển động rối
Phân bố vận tốc trong lớp 
biên theo qui luật logarith:
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
chuyểnlớp biên phát triển từ tầng sang rối 
Khi lớp biên tầng chiếm một khoảng cách đáng kể trên 
chiều dài tấm phẳng, hệ số lực cản trên tấm phẳng được 
tính kết hợp từ lớp biên tầng và lớp biên rối
Tổng kết lực cản ma sát trên tấm phẳng
Chiều dày 
lớp biên
Hệ số ứng suất ma 
sát cf
Hệ số lực cản CD
Lớp biên 
tầng
Động lượng 
Karman
Blasius 
(chính xác)
Lớp biên 
rối
Tầng sang 
rối
1 2
5
Rexx


1 2
5.5
Rexx


1 7
0.16
Rexx


1 7
0.031
ReD L
C 
1 2
1.328
ReD L
C 
1 2
0.664
Ref x
c 
1 2
0.73
Ref x
c 
Ví dụ 1:
Tấm phẳng có chiều dài L=1m, chiều rộng 
b=3m đặt trong dòng chuyển động đều 
U=2m/s. 
1.Tính lực cản ma sát trên tấm phẳng
2. Chiều dày lớp biên tại cạnh sau của tấm 
phẳng (x=L)
Cho hai trường hợp lưu chất 
a. không khí và b. nước
Ví dụ 1 :
Ví dụ 1:
Lý thuyết lớp biên được áp dụng khi nào?
Thế nào là lớp biên mỏng?
Giả thiết Prandtl: nếu số Reynolds rất lớn bề dày lớp biên 
là rất mỏngcác phép xấp xỉ đơn giản hóa pt NS.
0 .1x 
1 2
50 .1 R e 2 5 0 0R e xx
x   
 Khi Re<2500, lý thuyết lớp biên Prandtl sẽ không còn 
chính xác vì lớp biên dày sẽ có ảnh hưởng đáng kể đến 
phân bố áp suất bên ngoài lớp biên.
Ví dụ 2:
Xét dòng chuyển động có vận tốc U=1ft/s qua tấm phẳng 
có chiều dài 1ft. Xác định chiều dày lớp biên tại cạnh sau 
của tấm phẳng cho hai trường hợp lưu chất là nước và 
không khí ở 20OC. Lớp biên của dòng chuyển động vận tốc 
thấp trên một mô hình kích thước nỏ có thỏa mãn điều kiện 
lớp biên mỏng?
ρ (kg/m3)  (m2/S)
Không khí 1,23 1,46.10-5
Nước 1000 1,02.10-6
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
Nước chuyển động qua tấm phẳng có cạnh trước nhọn, 
chiều dài 2.55m, chiều rộng 1m với vận tốc U=2m/s. 
1. Xác định chiều dài lớp biên tầng trên tấm phẳng. Tính
lực cản.
2. Tính lực cản trên tấm phẳng nếu giả thiết lớp biên ở 
trạng thái rối hoàn toàn. Tính sai số cho trường hợp này. 
Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
Giải phương trình Prandtl cho lớp biên trên tấm phẳng 
chuyển động rối
Phân bố vận tốc trong lớp 
biên theo qui luật logarith:
Ngoài lớp biên: y=δu=U
21
2
w
fc U



Từ định nghĩa hệ số cf: