Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân đường - Đặng Văn Vinh

------------------------------------------------------------------------------- 
0A
1A
2A n
A
nA
    
1M 
2M 
nM 
    

I. Tích phân đường loại một. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 xác định trên đường cong C. ( , )f f x y
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm 0 1, ,..., .nA A A
Độ dài tương ứng 1 2, ,..., .nL L L
Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm ( , ).i i iM x y1i iA A 
Lập tổng Riemann: 
1
( )
n
n i i
i
I f M L

 
, khơng phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi lim n
n
I I


được gọi là tích phân đường loại một của f=f(x,y) trên cung C. 
( , )
C
I f x y dl 
I. Tích phân đường loại một 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính chất của tích phân đường loại một 
1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C. 
3) 
C C
fdl fdl    2) ( ) 1
C
L C dl  4) ( )
C C C
f g dl fdl gdl    
6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 khơng dẫm lên nhau: 
1 2C C C
fdl fdl fdl   
7) ( , ) , ( , ) ( , )
C C
x y C f x y g x y fdl gdl     
8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C cĩ độ dài
L. Khi đĩ tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho 
0( )
C
fdl f M L 
5) Tích phân đường loại một khơng phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 
Cách tính tích phân đường loại một 
1
( , ) ( )lim
n
i i
n iC
f x y dl f M L
 
 
   
 
   
1 2 2' '( ) ( )
i
i
t
i
t
L x t y t dt

     
2 2' '( ) ( )i i ix t y t t   1i i it t t  
Chọn điểm trung gian Mi cĩ tọa độ  ( ), ( )i ix t y t
     
2 2' '
1
( , ) ( ), ( ) ( ) ( )lim
 
 
     
 
n
i i i i i
n iC
f x y dl f x t y t x t y t t
   
2
1
2 2
' '( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( )
t
C t
f x y dl f x t y t x t y t dt    
Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1: 
Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), 1 2t t t 
Cách tính tích phân đường loại một 
   
2
1
2 2
' '( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( )
t
C t
f x y dl f x t y t x t y t dt    
Cung C cho bởi phương trình: y = y(x), a x b 
Phương trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), 1 2t t t 
2
1
2'
'
'
( )
( ( ), ( )) 1 ( )
( )
t
t
y t
f x t y t x t dt
x t
 
      
 
 
2'( , ) ( , ( )) 1 ( )
b
C a
f x y dl f x y x y x dx    
 
2'( , ) ( ( ), ) 1 ( )
d
C c
f x y dl f x y y x y dy    
Tương tự, Cung C cho bởi phương trình: x = x(y), c y d 
Tương tự , ta cĩ định nghĩa tích phân đường trong khơng gian. 
I. Tích phân đường loại một. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 xác định trên đường cong C trong khơng gian. ( , , )f f x y z
C cho bởi phương trình tham số: 1 2
( )
( ) ,
( )
x x t
y y t t t t
z z t


  
 
( , , )
C
I f x y z dl 
     
2
1
2 2 2
' ' '( , , ) ( ( ), ( ), ( )). ( ) ( ) ( )
t
C t
f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt    
 dụ 
Tính , trong đĩ C là cung parabol 3
C
I x dl 
2
,
2
 0 x 3
x
y   
3
3 ' 2
0
1 ( ( ))x y x dx  
2
'( , ( )) 1 ( )
b
a
I f x y x y x dx   
3
3 2
0
1x x dx 
58
15

Ví dụ 
Tính , trong đĩ C = C1 + C2 , với C1: y = x
2, từ (0,0) đến (1,1) và 2
C
I xdl 
C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2). 
1 2
2 2 2
C C C
I xdl xdl xdl      
1 2'
0
2 1 ( )x y x dx     
2 2'
1
2 ( ) 1 ( )x y x y dy   
1
2
0
2 1 4x x dx     
2 2
1
2 1 1 0 dy    
5 5 1
2
6

 
 dụ 
Tính , với C là nửa trên đường trịn 
2(2 )
C
I x y dl 
2 2 1x y 
 
2'( , ( )) 1 ( )
b
a
I f x y x y x dx   Cĩ thể dùng cơng thức 
nhưng việc tính tốn phức tạp. 
Viết phương trình tham số cung C. 
Đặt cos ; sin x r t y r t 
Vì , nên r = 1. 
2 2 1x y 
Phương trình tham số của nửa trên cung trịn: 
cos
; 0
sin
x t
t
y t


 

   
2 22 ' '
0
(2 sin ) ( ) ( )osI c t t x t y t dt

    2
0
(2 sin )osc t t dt

  
2
2
3
 
 dụ 
Tính , với C là nửa đường trịn 2 2( )
C
I x y dl 
2 2 2 ; 1. x y x x  
Viết phương trình tham số cung C. 
Đặt 
cos
sin
x r t
y r t



Phương trình tham số của C: 
2cos cos 1 cos2
;
2cos sin sin 2 4 4
 -
    
 
  
x t t t
t
y t t t
/ 4
2 2
/ 4
(2 2cos 2 ) ( 2sin 2 ) (2cos 2 )


   I t t t dt
Vì , nên 2 2 2x y x  2cosr t
Ví dụ 
Tính , với C là nửa bên phải đường trịn 
4
C
I xy dl 
2 2 16; 0. x y x  
Viết phương trình tham số cung C. 
Đặt 
cos
sin
x r t
y r t



Phương trình tham số của C: 
4 cos
;
4 sin 2 2
x t
t
y t
  
  
 
/ 2
4 4 2 2
/ 2
4 4 sin ( 4sin ) (4cos )osI c t t t t dt


   
62 4
5
 
Vì , nên 2 2 16x y  4r 
/ 2
6 4
/ 2
4 sinosc t tdt


 
Ví dụ 
Tính , với C là giao của và x + z = 4 2
C
I xdl  2 2 4x y 
Đặt 
cos
sin
4 cos
x r t
y r t
z r t



  
Phương trình tham số của C: 
2
2 2 2
0
4cos ( 2sin ) (2cos ) (2sin )I t t t t dt

    
Vì , nên 2 2 4, 4x y x z    2r
2cos
; 0 22sin
4 2cos
x t
ty t
z t



 
  
0
Ví dụ 
Tính , với C là phần đường trịn ( )
C
I x y dl 
2 2 2 4; . x y z y x   
Viết phương trình tham số cung C. 
Đặt 
2 cos
2 sin
x y r t
z r t
   

 
Phương trình tham số của C: 
 
2
2 2 2
0
2 2 cos ( 2 sin ) ( 2 sin ) (2cos )os

     I c t t t t t dt
Vì , nên 2 2 2 4,x y z y x    1r 
2 cos
; 0 2
2sin
 
  
 

x y t
t
z t
Ví dụ 
Tính , với C là phần đường trịn 2
C
I x dl 
2 2 2 4; 0. x y z x y z     
Viết phương trình tham số cung C phức tạp. 
2 2 2
C C C
I x dl y dl z dl    
 2 2 21
3 C
I x y z dl   
4
3 C
I dl 
4
3
  độ dài cung C (chu vi đường trịn) 
4 16
4
3 3
I

  
Ví dụ 
Tính , với C là đường ( ) 
C
I x z dl 3cos , 3sin , , 0 t 4 .    x t y t z t
     
4 2 2 2' ' '
0
(3cos ) ( ) ( ) ( )

   I t t x t y t z t dt
Khi t thay đổi từ thì cung C là đường cong nằm 
trên hình trụ. 
4
0
(3cos ) 10

 I t t dt
28 10
2 2 9x y 
II. Tích phân đường loại hai. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm 
0 0 0 1 1 1( , ), ( , ),..., ( , ).n n nA x y A x y A x y
Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm ( , ).k k kM x y1k kA A
Lập tổng Riemann:  1
1
1( )( ) ( ) ( )

     
n
n k kk k kk
i
I P M Q y yMx x
, khơng phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi lim n
n
I I


được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C. 
( , ) ( , ) 
C
I P x y dx Q x y dy
 xác định trên đường cong C. ( , ), ( , ) P P x y Q Q x y
II. Tích phân đường loại hai 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tính chất của tích phân đường loại hai 
2) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 khơng dẫm lên nhau: 
1) Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 
 
    
AB BA
Pdx Qdy Pdx Qdy
Giải thích. 

 
1 2
      
C C C
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
Cách tính tích phân đường loại hai 
( , ) ( , ) ( , ) ( , )    
C C C
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy
t = a ứng với điểm đầu, t = b: điểm cuối cung. 1) C: x = x(t), y = y(t), 
1
( , ) lim ( , )
 
 
n
k k k
n kC
P x y dx P x y x
0 1 2 na t t t t b     Chia [a,b] thành n đoạn: 
1 1( ) ( )k k k k kx x x x t x t     
Chọn điểm trung gian  ( ), ( )k k kM x t y t
  '
1
( , ) lim ( ), ( ) ( ) 
n
k k k k
kC
P x y dx P x t y t x t t

    '( ), ( ) ( )
b
a
P x t y t x t dt 
   ' '( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )      
b b
C a a
P x y dx Q x y dy P x t y t x t dt Q x t y t y t dt
' ( )
định lý Lagrange
 k kx t t 
Cách tính tích phân đường loại hai 
Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn C. 
 
2
1
'( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( )    
x
C x
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx
x = x1 là hồnh độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung. 2) C: y = y(x), 
 
2
1
'( , ) ( , ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), )    
y
C y
P x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy
y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung. 3) C: x = x(y), 
Tích phân đường loại hai trong khơng gian 
Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung
trơn AB. 

 
0 1
lim ( ) ( ) ( )
kax
n
k k k k k k
m l kAB
Pdx Qdy Rdz P M x Q M y R M z
  
       
Cung AB cĩ phương trình tham số: ( ), ( ), ( ); x x t y y t z z t a t b    
 ' ' '( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( )
b
a
P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt     
 ' ' '( ) ( ) ( )
b
a
P x t Q y t R z t dt     
AB
Pdx Qdy Rdz 
 dụ 
Tính , trong đĩ C là biên tam giác 
2( 3 ) 2  
C
I x y dx ydy
OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. 
O 
B 
A
C
I  
0 0A AB B
    
1
2
1
0 0
( 3 ) 2 1
A
I x x dx x dx      
Phương trình OA: y = x 
Hồnh độ điểm đầu: x = 0 
Hồnh độ điểm cuối: x = 1 
1
2
1
0 0
( 5 )
A
I x x dx   
17
6

O 
B 
A
2
2
0
1
(( 3(2 )) 2 ) 12 ( )
AB
I x x dx x dx        
Phương trình AB: y = 2 – x 
Hồnh độ điểm đầu: x = 1 
Hồnh độ điểm cuối: x = 0 
1 2 3I I I I  
11
6
 
2
3
0
2
(0 3 )0 2
BO
I y y dy      
Phương trình BO: x = 0 Tung độ điểm đầu: y = 2 
Tung độ điểm cuối: y = 0 4 
17 11
4 3
6 6
    
 dụ 
Tính , trong đĩ C là cung từ O(0,0) đến A(1,1)  
C
I ydx xdy 2 2 2 x y x


cos
sin
x r t
y r t



Sử dụng tọa độ cực 
2 2 2 2cos   x y x r t
1 2
2cos cos 1 cos 2
2cos sin sin 2
;
2 4
x t t t
y t t t
t t
 
   
   

  

Phương trình tham số cung C 
   
/ 4
/ 2
sin 2 2sin 2 (1 cos 2 ) 2cos 2I t t dt t t dt


     
2


chiều kim đồng hồ. 
II.2. Cơng thức Green 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 là biên của miền D. 
Chiều dương qui ước trên C là chiều mà đi theo chiều này ta thấy miền D 
 phía bên tay trái. 
Trong đa số trường hợp, chiều dương qui ước là ngược chiều kim đồng hồ. 
Trong trường hợp tổng quát điều này khơng đúng. 
Miền D được gọi là miền đơn liên nếu các biên kín của D cĩ thể co về một 
điểm P thuộc D mà khơng bị các biên khác cản trở. Ngược lại D được gọi 
 miền đa liên. 
Cơng thức Green 
D là miền đĩng giới nội trong mặt phẳng xy với biên C trơn từng khúc. 
P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong miền mở chứa D.
( , ) ( , ) 
C D
Q P
P x y dx Q x y dy dxdy
x y
  
       

Dấu + nếu chiều lấy tích phân trùng chiều dương qui ước 
Điều kiện để sử dụng cơng thức Green: 
1) C là cung kín. 
2) P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D cĩ biên C
 dụ 
Tính , trong đĩ C là biên tam giác 
2( 3 ) 2  
C
I x y dx ydy
OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. 
O 
B 
A
2( 3 ) 2
C D
Q P
I x y dx ydy dxdy
x y
  
         

3 
Cung C kín 
P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 
liên tục trên miền D cĩ biên C. 
2( , ) 3 ; ( , ) 2P x y x y Q x y y  
 0 3
D
dxdy 
1 2
0
( 3)
x
x
dx dy

  
 dụ 
Tính , trong đĩ C nửa trên đường trịn 
2 2( ) ( )   
C
I x y dx x y dy
 cùng chiều kim đồng hồ. 
1 2 
C C AO AO
I I I

      
2 
Cung C khơng kín 
 2( ) 2( )
D
x y x y dxdy    
0
2 2
2
2
( 0) ( 0) 0I x dx x dx   
2 2 2x y x 
1
DC AO
Q P
I dxdy
x y
  
       

2cos/ 2
0 0
4 cosd r r dr

     
8
3
 
1 2
8
2
3
I I I     
Cĩ thể giải bằng cách viết phương trình tham số cung C 
 dụ 
Tính , trong đĩ C đường trịn 
2 2
( ) ( )  
 


C
x y dx x y dy
I
x y
 ngược chiều kim đồng hồ. 
Cung C kín, nhưng P, Q và các ĐHR cấp 1 
2
0
(2cos 2sin )( 2sin ) (2cos 2sin )2cos
4
t t t dt t t tdt
I
    
 
2 2 4x y 
Viết phương trình tham số cung C 
khơng liên tục trên D, khơng sử dụng 
cơng thức Green được!! 
2cos
2sin
x t
y t



1 20; 2t t  
2 
Tích phân trên đường trịn x2 + y2 = 4, nên thay vào mẫu số ta cĩ 
2
4
DS  
Cĩ thể sử dụng cơng thức Green trong 
trường hợp này. 
( ) ( )
4
  
 
C
x y dx x y dy
I
1
( ) ( )
4
   
C
I x y dx x y dy
2 2 4
1
( 1 1)
4 x y
dxdy
 
   2 
dụ 
Tính , trong đĩ C là cung Cicloid (4 )  
C
I y dx xdy
(cùng chiều kim đồng hồ). 
Cung C khơng kín 
2
0
(4 2(1 cos )) 2(1 cos ) 2( sin )(2sin )I t t dt t t t dt

      
2( sin ), 2(1 cos ),0 2x t t y t t      
2
0
4 sinI t tdt

  8 
dụ 
Tính , trong đĩ  
2 2( ) cos 2 sin 2  
x y
C
I e xydx xydy
ngược chiều kim đồng hồ. 
2 2 4x y 
2 2 4
0
x y
Q P
I dxdy
x y 
  
      
2 2( )( , ) cos(2 )  x yP x y e xy
 
2 2( )2 cos(2 ) sin(2 )x y
P
e y xy x xy
y
   

 
2 2( )2 cos(2 ) sin(2 )x y
Q
e y xy x xy
x
   

 dụ 
Tính , trong đĩ C đường cong kín tùy ý 
2 2

 


C
xdy ydx
I
x y
khơng chứa gốc 0, ngược chiều kim đồng hồ. 
Trường hợp 1. C khơng bao quanh gốc 0. 
Sử dụng cơng thức Green. 
2 2
( , )
y
P x y
x y



 
2
2 2 2
2 2
1 2P y
y x y x y
 
 
  
2 2
( , )
x
Q x y
x y


 
2
2 2 2
2 2
1 2Q x
x x y x y

 
  
0
D
Q P
I dxdy
x y
  
      
Trường hợp 2. C bao quanh gốc 0. 
Khơng sử dụng cơng thức Green được 
1 1
1 2 
C C C C
I I I

        
vì P, Q và các ĐHR cấp 1 khơng 
liên tục trên miền D, cĩ biên là C. 
Kẻ thêm đường trịn C1 cĩ bán kính a đủ nhỏ để 
C1 nằm lọt trong C, chọn chiều kim đồng hồ. 
1
1 0
een
=
Gr
C C D
Q P
I dxdy
x y
  
        

Tính tích phân I2 trên cung trịn x
2 + y2 = a2 
1 2cos , sin , 2 , 0x a t y a t t t   Phương trình tham số của cung C1: 
0
2 2
2
cos cos sin sin
2
a t a t dt a t a t dt
I
a

    
   1 2 2I I I   
II.3. Tích phân khơng phụ thuộc đường đi 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các ĐHR cấp 1 của chúng liên tục trong miền 
mở đơn liên D chứa cung AB. 
Các mệnh đề sau đây tương đương 
Định lý 
1. 
Q P
x y
 

 
2. Tích phân khơng phụ thuộc đường cong trơn từng khúc 
AB
I Pdx Qdy 
nối cung AB nằm trong D. 
3. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của Pdx + Qdy, tức là 
( , )dU x y Pdx Qdy 
4. Tích phân trên mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0. 
0
C
I Pdx Qdy  
II.3. Tích phân khơng phụ thuộc đường đi 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Tích phân khơng phụ thuộc đường đi ( ) 
Q P
x y
 

 
A 
B
C

1 2 
AC CBAB
I I I      
,
A
A B
y y
x x

,
B
A B
x x
y y

1 ( , ) ( , )
AC
I P x y dx Q x y dy 
( , ) ( , ) 0
B
A
x
A A
x
P x y dx Q x y dx  
2 ( , ) ( , )
CB
I P x y dx Q x y dy  ( , ) 0 ( , )
B
A
y
A B
y
P x y dy Q x y dy  
( , ) ( , )
B B
A A
x y
A B
x y
I P x y dx Q x y dy   
dụ 
Tính 
(2,3)
( 1,2)
 I ydx xdy
Cách 1. 
suy ra, tích phân khơng phụ thuộc đường đi. 1
Q P
x y
 
 
 
( 1,2)A  
(2,3)B
C
AC CB
I   
2 3
1 2
2 2dx dy

   8
Cách 2. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của Pdx + Qdy 
( , )U x y xytìm được hàm 
'
'
( , )
( , )
x
y
U P x y
U Q x y
 


(2,3)
(2,3)
( 1,2)
( 1,2)
( , )


  I ydx xdy U x y (2,3) ( 1,2) 8U U   
dụ 
Tính 
(6,8)
2 2(1,0)

 

xdx ydy
I
x y
suy ra, tích phân khơng phụ thuộc đường đi. Q P
x y
 

 
Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của Pdx + Qdy 
'
2 2
'
2 2
( , )
( , )
 (1)
 (2)
x
y
x
U P x y
x y
y
U Q x y
x y

 


  
 
(1) ( , ) ( , ) ( )U x y P x y dx g y  
2 2( , ) ( )U x y x y g y  
'(2) ( ) 0g y  ( )g y C 
2 2( , )U x y x y C  
(6,8)
(1,0)
( , )I U x y (6,8) (1,0)U U  9
dụ 
Tính theo đường cong AB tùy ý từ (1,0) đến (2,0): 

2 2

 
AB
xdx ydy
I
x y
a) Khơng bao quanh gốc tọa độ; 
b) Bao quanh gốc tọa độ. 
Q P
x y
 

 
a) tích phân I khơng phụ thuộc đường đi từ A đến B. 
2
2
1
1
ln | | ln 2
dx
I x
x
  
b) . Đây là tích phân khơng phụ thuộc đường đi. 
Q P
x y
 

 
 khơng thể tính theo đường thẳng từ A đến B theo trục hồnh, vì khi đĩ khơng
cĩ miền đơn liên D nào chứa đường cong kín bao quanh gốc O sao cho P, Q 
các ĐHR cấp 1 liên tục trên D. 
Cĩ hai cách khắc phục: 
Cách 1. Tính theo các đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB. 
trong đĩ: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0). 
Cách 2. Tìm hàm U(x,y) là vi phân tồn phần của P(x,y)dx+Q(x,y)dy 
'
2 2
'
2 2
( , )
( , )
 (1)
 (2)
x
y
x
U P x y
x y
y
U Q x y
x y

  

  
 
(1) ( , ) ( , ) ( )U x y P x y dx g y  
2 2ln( )
( , ) ( )
2
x y
U x y g y

 
'(2) ( ) 0g y  ( )g y C 
2 2( , ) ln( )U x y x y C  
(2,0)
(1,0)
( , )I U x y (2,0) (1,0)U U 
ln 4 ln1
ln 2
2

 
dụ 

(2 cos ) (2 sin )    
xy x xy x
C
I ye e y dx xe e y dy
a) Tìm hằng số để tích phân I khơng phụ thuộc đường đi. 
b) Với ở câu a), tính I biết C là cung tùy ý nối A(0, ) và B(1,0). 
Q P
x y
 

 
a) Điều kiện cần để tích phân khơng phụ thuộc đường đi 
Đây cũng là điều kiện đủ vì với mọi cung C luơn tìm được miền đơn liên 
chứa cung C sao cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên miền D. 

 
2 2 sin 2 2 sinxy xy x xy xy xe xye e y e xye e y      
1 
O 
b) với ta cĩ tích phân 1 
(1,0)
(0, )
(2 cos ) (2 sin )

   
xy x xy xI ye e y dx xe e y dy
Chú ý I khơng phụ thuộc đường đi. 
(0, )A 
(1,0)B
AO OB
I   
1 2
0
, 0
x
y y

 
1 2
0
1, 0
y
x x

 0 1
0
sin xI ydy e dx

   
1I e 
dụ 

( ) ( , ) ( ) ( , ) 
C
I h y P x y dx h y Q x y dy
a) Cho . Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho 
b) Với h(y) ở câu a), tính I biết C là phần đường cong cĩ phương trình 
Q P
x y
 

 
a) Điều kiện cần để tích phân khơng phụ thuộc đường đi 
( , ) , ( , ) 2   yP x y y Q x y x ye
tích phân khơng phụ thuộc đường đi. 
2 24 9 36x y  , ngược kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2). 
dụ 

  
C
I ydx zdy xdz với C là đường cong 
2
0
sin ( sin ) ( cos ) cos ( )I a t a tdt bt a tdt a t bdt

     
Tính 
cos , sin , ,0 2x a t y a t z bt t      theo hướng tăng dần của biến t. 
 
2
2 2
0
sin cos cosI a t abt t ab t dt

   
2a 
 với C là giao của 
dụ 

( ) ( ) ( )     
C
I y z dx z x dy x y dz
 
2
0
(2sin cos 2sin )( 2cos sin ) (2sin 2cos cos )(-2sin sin )I t t t t t t dt

       
2 2 2 4,x y z  
22 2 sin( )
4
a

  
;0y x tg      , ngược chiều kim ĐH nhìn theo hướng trục 0x. 
Tham số hĩa cung C 
2 2 2 2 4x x tg z  
2 2
1
44 2os
x z
c 
 
2cos cos ; 2cos sin ; 2sinx t y t z t     
0 2t  
 
2
0
(2cos cos 2sin cos )(2cos )t t t dt

  