Bài giảng Hệ phương trình tuyến tính - Lê Xuân Đại

 anixi + . . .+ annxn = bn
(2)
trong đó A = (aij) ∈ Mn(K ) và detA 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
Định lý Cramer
Định lý
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất
xi =
detAi
detA
, i = 1, 2, . . . , n trong đó ma trận Ai
nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột
hệ số tự do B =
(
b1 b2 . . . bn
)T
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1i . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 . . . aii . . . ain
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ani . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
⇒ |Ai | =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . b1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 . . . bi . . . ain
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . bn . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B
hay X = (x1 x2 . . . xi . . . xn)T = PAdetA.B =
1
|A|

A11 A21 . . . Ai1 . . . An1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A1i A2i . . . Aii . . . Ani
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A1n A2n . . . Ain . . . Ann


b1
b2...
bn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
hay xi =
1
|A|
n∑
k=1
Akibk =
1
|A|.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . b1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 . . . bi . . . ain
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . bn . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
|Ai |
|A|
với i = 1, 2, . . . , n
Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có
nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì
hệ (2) có vô số nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
Ví dụ
Giải hệ phương trình
2x1 − 2x2 − x3 = −1
x2 + x3 = 1
−x1 + x2 + x3 = −1
Giải. Ta có
|A| =
∣∣∣∣∣∣
2 −2 −1
0 1 1
−1 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0;
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
|A1| =
∣∣∣∣∣∣
−1 −2 −1
1 1 1
−1 1 1
∣∣∣∣∣∣ ; |A2| =
∣∣∣∣∣∣
2 −1 −1
0 1 1
−1 −1 1
∣∣∣∣∣∣ ;
|A3| =
∣∣∣∣∣∣
2 −2 −1
0 1 1
−1 1 −1
∣∣∣∣∣∣ ;
Vậy
x1 =
|A1|
|A| = 2, x2 =
|A2|
|A| = 4, x3 =
|A3|
|A| = −3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương
trình và n ẩn
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = b1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = bi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = bm
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương
Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên
hệ (1):
1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj) hay
ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn.
2 Nhân vào một phương trình của hệ một số
λ 6= 0(hi → λhi).
3 Cộng vào một phương trình của hệ một
phương trình khác đã được nhân với một số
(hi → hi + λhj)
thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương
đương với hệ (1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý
Luôn có r(AB) > r(A). Khi r(A) = r(AB) thì hệ
phương trình tuyến tính tổng quát m phương
trình, n ẩn (1) có nghiệm
a11 a12 . . . a1r . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ar1 ar2 . . . arr . . . ain
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amr . . . amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1
. . .
br
. . .
bm

trên hàng−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Kronecker-Capelli
c11 c12 . . . c1r . . . c1n
0 c22 . . . c2r . . . c2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . crr . . . crn
0 0 . . . 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 . . . 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
d1
d2
. . .
dr
dr+1
. . .
0

với cii 6= 0, i = 1, 2, . . . , r .
Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và
r(AB) = r + 1 > r(A) = r . Nếu dr+1 = 0 thì hệ
(1) có nghiệm và r(AB) = r(A) = r
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss
1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1).
2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến
đổi ma trận mở rộng về ma trận có dạng bậc
thang.
3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận
bậc thang.
4 Nếu r(AB) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm.
5 Nếu r(AB) = r(A) = r thì hệ có nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình
ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó
xn−1, . . . , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất.
Nếu r < n thì hệ có vô số nghiệm. Ta xác định:
1 r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột
chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang.
2 (n − r) biến tự do- là các biến ứng với các
cột không chứa r phần tử cơ sở của ma trận
bậc thang
Cho (n − r) biến tự do những giá trị bất kỳ
và giải hệ tìm các biến cơ sở.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7
2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6
3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18
Giải.

1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7
6
7
18

h2→h2−2h1
h3→h3−3h1
h4→h4−4h1−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 21 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
1 2 3 4
0 −3 −4 −5
0 −4 −8 −10
0 −5 −10 −15
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7
−8
−14
−10
 h2→h2−h3−−−−−→
1 2 3 4
0 1 4 5
0 −4 −8 −10
0 −5 −10 −15
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7
6
−14
−10

h3→h3+4h2
h4→h4+5h2−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 22 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss

1 2 3 4
0 1 4 5
0 0 8 10
0 0 10 10
∣∣∣∣∣∣∣∣
7
6
10
20

h3↔h4
h3→ 110h3−−−−→

1 2 3 4
0 1 4 5
0 0 1 1
0 0 8 10
∣∣∣∣∣∣∣∣
7
6
2
10
 h4→h4−8h3−−−−−−→

1 2 3 4
0 1 4 5
0 0 1 1
0 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
7
6
2
−6
 .
⇒ r(AB) = r(A) = 4⇒ Hệ có nghiệm duy nhất
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 23 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7
x2 + 4x3 + 5x4 = 6
x3 + x4 = 2
2x4 = −6
⇔

x1 = 2
x2 = 1
x3 = 5
x4 = −3
Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất
(x1, x2, x3, x4)
T = (2, 1, 5,−3)T
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 24 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình
x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1
x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1
3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5
2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4
Giải.

1 2 −3 5
1 3 −13 22
3 5 1 −2
2 3 4 −7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
−1
5
6

h2→h2−h1
h3→h3−3h1
h4→h4−2h1−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 25 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
1 2 −3 5
0 1 −10 17
0 −1 10 −17
0 −1 10 −17
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
−2
2
2

h3→h3+h2
h4→h4+h2−−−−−→

1 2 −3 5
0 1 −10 17
0 0 0 0
0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
−2
0
0
 .
Hệ có vô số nghiệm vì r(AB) = r(A) = 2 < 4.
Biến cơ sở x1, x2. Biến tự do x3, x4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 26 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau{
x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1
x2 − 10x3 + 17x4 = −2
Chọn x3 = α, x4 = β, với α, β là các giá trị tùy ý,
ta tính được{
x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10α− 17β
x1 = 1− 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5− 17α + 29β
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm (x1, x2, x3, x4)T =
(5− 17α + 29β,−2 + 10α− 17β, α, β)T , với
α, β ∈ R tùy ý.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 27 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình
x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 2
3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3
−2x1 +x2 +2x3 −3x4 = 5
3x1 +3x3 −10x4 = 8
Giải.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 28 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
1 −2 3 −4
3 3 −5 1
−2 1 2 −3
3 0 3 −10
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
−3
5
8

h2→h2−3h1
h3→h3+2h1
h4→h4−3h1−−−−−−→

1 −2 3 −4
0 9 −14 13
0 −3 8 −11
0 6 −6 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
−9
9
2
 h2↔h3−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 29 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
1 −2 3 4
0 −3 8 −11
0 9 −14 13
0 6 −6 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
9
−9
2

h3→h3+3h2
h4→h4+2h2−−−−−−→

1 −2 3 4
0 −3 8 −11
0 0 10 −20
0 0 10 −20
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
9
18
20
 h4→h4−h3−−−−−→

1 −2 3 4
0 −3 8 −11
0 0 10 −20
0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
9
18
2
 ⇒ r(AB) = 4 > r(A) = 3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 30 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2
−3x2 + 8x3 − 11x4 = 9
10x3 − 20x4 = 18
0 = 2
Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 31 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải và biện luận hệ phương trình
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1
x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2
x1 − x2 + 4x3 − x4 = m
4x1 + 3x2 − x3 +mx4 = m2 − 6m + 4
Giải.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 32 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
1 1 −1 2
1 2 −3 4
1 −1 4 −1
4 3 −1 m
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2
m
m2 − 6m + 4

h2→h2−h1
h3→h3−h1
h4→h4−4h1−−−−−−→

1 1 −1 2
0 1 −2 2
0 −2 5 −3
0 −1 3 m − 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1
m − 1
m2 − 6m

h3→h3+2h2
h4→h4+h2−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 33 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
1 1 −1 2
0 1 −2 2
0 0 1 1
0 0 1 m − 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1
m + 1
m2 − 6m + 1
 h4→h4−h3−−−−−→
1 1 −1 2
0 1 −2 2
0 0 1 1
0 0 0 m − 7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1
m + 1
m2 − 7m

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 34 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1
x2 − 2x3 + 2x4 = 1
x3 + x4 = m + 1
(m − 7)x4 = m2 − 7m
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 35 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
1 Nếu m − 7 6= 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy
nhất 
x4 = m
x3 = m + 1− x4 = 1
x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3− 2m
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −1
2 Nếu m = 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1
x2 − 2x3 + 2x4 = 1
x3 + x4 = 8
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 36 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Biến cơ sở x1, x2, x3. Biến tự do x4. Chọn x4 = t ta
được 
x4 = t
x3 = 8− x4 = 8− t
x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17− 4t
x1 = 1− x2 + x3 − 2x4 = −8 + t
Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 37 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . .+ a1nxn = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . .+ ainxn = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . .+ amnxn = 0
(3)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 38 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa
1 Nghiệm tầm thường là nghiệm
X =
(
0 0 . . . 0
)T
.
2 Nghiệm không tầm thường là nghiệm
X 6= ( 0 0 . . . 0 )T .
Hệ thuần nhất có tính chất:
1 hoặc là có nghiệm tầm thường
2 hoặc là có nghiệm không tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 39 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa
Định lý
Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
r(A) < n,
n− số biến.
Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm
duy nhất là X = 0.
Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương
nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 40 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa
Hệ quả
Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến
(m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường
khi và chỉ khi
detA = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 41 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Hệ nghiệm cơ bản
Nếu r(A) = r < n thì hệ (3) có nghiệm tổng quát
là 
x1 = ϕ1(t1, t2, . . . , tn−r)
x2 = ϕ2(t1, t2, . . . , tn−r)
. . .
xr = ϕr(t1, t2, . . . , tn−r)
xr+1 = t1
. . .
xn = tn−r
(4)
với t1, . . . , tn−r tùy ý.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 42 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Trong (4) cho giá trị lần lượt
t1 = 1, t2 = 0, . . . , tn−r = 0→ X1,
t1 = 0, t2 = 1, . . . , tn−r = 0→ X2, . . .
t1 = 0, t2 = 0, . . . , tn−r = 1→ Xn−r .
n − r nghiệm X1,X2, . . . ,Xn−r được gọi là hệ
nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.
Khi đó nghiệm tổng quát của hệ (3) là
X =
n−r∑
k=1
tkXk , tk là hằng số tùy ý.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 43 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Ví dụ
Giải hệ phương trình
x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0
x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0
2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0
x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0
Giải.

1 3 3 2 4
1 4 5 3 7
2 5 4 1 5
1 5 7 6 10

h2→h2−h1
h3→h3−2h1
h4→h4−h1−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 44 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
1 3 3 2 4
0 1 2 1 3
0 −1 −2 −3 −3
0 2 4 4 6

h3→h3+h2
h4→h4−2h2−−−−−−→

1 3 3 2 4
0 1 2 1 3
0 0 0 −2 0
0 0 0 2 0
 h4→h4+h3−−−−−→

1 3 3 2 4
0 1 2 1 3
0 0 0 −2 0
0 0 0 0 0

Biến cơ sở x1, x2, x4. Biến tự do x3, x5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 45 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau
x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0
x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0
−2x4 = 0
⇔

x2 = −2x3 − 3x5
x1 = 3x3 + 5x5
x4 = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 46 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta có nghiệm tổng quát
X (t1, t2) =

3t1 + 5t2
−2t1 − 3t2
t1
0
t2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 47 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Hệ nghiệm cơ bản của hệ
X1 = X (1, 0) =

3
−2
1
0
0
 ,X2 = X (0, 1) =

5
−3
0
0
1
 .
Nghiệm tổng quát được biểu diễn qua các nghiệm
cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 48 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
X (t1, t2) =

3t1 + 5t2
−2t1 − 3t2
t1
0
t2
 =
= t1.

3
−2
1
0
0
 + t2.

5
−3
0
0
1
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 49 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Ví dụ
Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương
đương 
x + 2y + 5z = 0
x + 3y + 7z = 0
x + 4y + 9z = 0
(1)

3x + 8y + 19z = 0
2x + 5y + 12z = 0
3x + 9y +mz = 0
(2)
Giải.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 50 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Xét hệ (1) 1 2 51 3 7
1 4 9
 h2→h2−h1h3→h3−h1−−−−−→
 1 2 50 1 2
0 2 4
 h3→h3−2h2−−−−−−→
 1 2 50 1 2
0 0 0

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau{
x + 2y + 5z = 0
y + 2z = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 51 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Đặt z = α⇒

x = −α
y = −2α
z = α
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 52 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Xét hệ (2) 3 8 192 5 12
3 9 m
 h1→h1−h2−−−−−→
 1 3 72 5 12
3 9 m
 h2→h2−2h1h3→h3−3h1−−−−−−→
 1 3 70 −1 −2
0 0 m − 21

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau
x + 3y + 7z = 0
y + 2z = 0
(m − 21)z = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 53 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Nếu m − 21 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm tầm thường
(x , y , z) = (0, 0, 0). Mà hệ (1) có vô số nghiệm
nên sẽ có nghiệm khác 0. Suy ra 2 hệ đã cho
không tương đương. Nếu m − 21 = 0 thì đặt
z = β ⇒

x = −β
y = −2β
z = β
Do α, β là những số tùy
ý nên ta thấy hệ (1) và hệ (2) có tập hợp nghiệm
giống nhau và nghiệm của hệ (1) cũng chính là
nghiệm của hệ (2) và ngược lại nên 2 hệ đã cho
tương đương. Kết luận. m = 21.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 54 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Ví dụ
Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương
đương 
x + 2y + 5z = 0
x + 3y + 7z = 0
x + 4y + 9z = 0
(1)

x + 4y + 9z = 0
x + 2y + 7z = 0
3x + 10y +mz = 0
(2)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 55 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Giải. Xét hệ (1) 1 2 51 3 7
1 4 9
 h2→h2−h1h3→h3−h1−−−−−→
 1 2 50 1 2
0 2 4
 h3→h3−2h2−−−−−−→
 1 2 50 1 2
0 0 0

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau{
x + 2y + 5z = 0
y + 2z = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 56 / 60
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản
Đặt z = α⇒

x = −α
y = −2α
z = α
Thay nghiệm của hệ (1) vào phương trình thứ 2
của hệ (2) ta thấy
−α + 2(−2α) + 7α = 0⇔ 2α = 0. Vì α là số
tùy ý nên chọn α 6= 0 thì ta thấy nghiệm của hệ
(1) không là nghiệm của hệ (2) nên 2 hệ trên
không tương đương.
Kết luận. Vậy không tồn tại m để 2 hệ đã cho
tương đương.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 57 / 60
Thực hành MatLab
Thực hành MatLab
Giải hệ Cramer X = inv(A) ∗ B
Giải hệ phương trình bằng cách đưa ma trận
mở rộng về dạng bậc thang rút gọn rref ([A B ])
Tìm nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0 bằng
lệnh null(A, ′r ′)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 58 / 60
Thực hành MatLab
A =

1 3 3 2 4
1 4 5 3 7
2 5 4 1 5
1 5 7 6 10

>> null(A, ′r ′)
ans =

3 5
−2 −3
1 0
0 0
0 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 59 / 60
Thực hành MatLab
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 60 / 60