Bài giảng Hiệu ứng quang học phi tuyến - Chương III: Những khái niệm cơ bản về quang phi tuyến - SHG

Chương III: Những khái niệm cơ bản 
về Quang phi tuyến - SHG
3.1 Sự phân cực điện môi trong trường Điện từ 
• 3.1.1 Hệ phương trình Maxwell trong môi trường 
phi tuyến
t
B
Erot





t
D
jHrot





0Bdiv

Ddiv

• Hệ phương trình vật chất
• Độ phân cực vĩ mô của môi trường
PED

 0
)(0 MHB

 
Ej


EEP

)(00
EEED

  )](1[0
)](1[0 E

 
3.1.2 Mẫu dao động điện tử phi tuyến
• Pt chuyển động của e trong nguyên tử dưới tác 
dụng của điện trường
• eE là lực do điện trường của á.s t/d lên e
• là lực do các hạt nhân t/d lên e, tương 
đương lực đàn hồi, liên kết thế năng:
V(x) = ½(m0
2x2)
E
m
e
x
t
x


 2
02
2

xm 20
Đối với tinh thể bất đối xứng, thế năng của e trong 
tinh thể có dạng
• Khai triển thế năng V(x) theo chuỗi Taylor:
...
2
1
)( 43220  BxAxxmxV 
...
!3
1
!2
1
)0()(
0
3
3
3
0
2
2
2
0



















 xxx
dx
Vd
x
dx
Vd
x
dx
dV
xVxV
• Lực thế F tương ứng có dạng:
• Phương trình chuyển động của e:
...43 3220  BxAxxm
dx
dV
F 
)(...
43 322
0 tE
m
e
x
m
B
x
m
A
xx 
Lời giải nhiễu loạn của pt dao động
phi tuyến
• Thông thường 3(A/m)x2 << 
• Số hạng phi tuyến chỉ đáng kể khi x (độ dịch 
chuyển của điện tử) đủ lớn, tức là cường độ điện 
trường áp vào đủ lớn.
• Khảo sát pt dđ đt phi tuyến
• Trong đó và 
x20
tE
m
e
axxx  cos0
22
0 
mAa /3 tEtE cos)( 0
• Số hạng là nhỏ, có thể xem là nhiễu loạn nhỏ 
của pt tuyến tính. Gọi là gần đúng bậc nhất 
của x, ta có:
• Lời giải có dạng
• Lời giải gần đúng hơn của x(t) gọi là 
)()1( tx
tE
m
e
xx  cos0
)1(2
0
)1( 
tE
me
tx 

cos
/
)( 022
0
)1(


)()2( tx
2ax
• Lời giải gần đúng hơn của x(t) gọi là 
nhận được từ pt
• Ta có
• Từ pt trên trở thành
)()2( tx
      2102202 )(cos)()( txatE
m
e
txtx  
   tEmetx 

22
0
2
22
0
21 cos
/
)( 







 xx 2cos12/1cos2 
• Từ pt trên trở thành
• Lời giải của pt là 
• Nếu viết điện trường dưới dạng phức:
 xx 2cos12/1cos2 
    tE
mea
E
mea
tE
m
e
txtx 

 2cos
/
2
/
2
cos)()( 20
2
22
0
2
0
2
22
0
0
22
0
2



















  tE
mea
E
mea
tE
me
tx 



2cos
/
4
1
2
/
2
cos
/
)( 20
2
22
0
22
0
2
0
2
22
0
2
0
022
0
2

















 tititi eEeEeEtE    2/1)Re()(
• Pt có dạng
• Tương tự, ta có lời giải: 
 titi eEeE
m
e
axxx 


 
2
22
0

     titititi eeeetx   222202
2
1
2
1
)(  
• Trong đó:
2
2
22
0
2
0
0
/
2


 E
mea










 E
me
22
0
/


2
2
22
0
22
0
2
/
4
1
2


 E
mea










3.1.3. Độ phân cực phi tuyến
• Độ phân cực P của moment lưỡng cực trên một 
đơn vị thể tích:
P = Nex 
Với độ phân cực tương ứng là )2(xx 
)2()2( NexP 
• So sánh với (2.2.9), ta có:
(2.3.3)
• Do đó (2.2.12) có dạng:
• (2.3.4a)
• (2.3.4b)
• (2.3.4c)
zikezEE  )(
2
2
22
0
2
0
0 )(
/
2
zE
mea


 







zikezE
me



 )(
/
22
0 

zikezE
mea



 2
2
22
0
22
0
2 )(
/
4
1
2 








• Do đó độ phân cực trở thành:
• Trong đó: 
 )()()()()(0)2(
2
1
),( zktiLzktiLNL ePePPtzP  


 
 )(2)(2)(2)(2
2
1 zktiNLzktiNL ePeP  


 
2
22
0
2
0
2
3
)(
0 )(
)(2
zE
m
Nae
P NL 
 


)(
22
0
3
)( zE
Nae
P L 
 

)(
))(4(2
2
2222
0
22
0
2
3
)(
2 zE
m
Nae
P NL 
 


3.2. Sự tương tác phi tuyến của 
trường điện từ
• Từ pt Maxwell:
• Trong đó, độ phân cực P có số hạng phi tuyến bậc hai tác 
động như một nguồn phát xạ sóng có tần số 2 . Điện 
trường của sóng này có thể viết dưới dạng:
• Với và
 )2(2)2(2 22 )()(
2
1 zktizkti ezEezEE  


 
cnk /2).2(2  
2/1
02 )/()2(  n
2
2
02
2
0
2
t
P
t
E
E





 
• Giả sử E2(z) biến đổi chậm theo trục z, ta có thể bỏ qua đạo hàm bậc 
hai của E2 (z), khi đó:
•
• Mặt khác:
•
• Thay vào pt Maxwell, rút gọn và tách thành các pt riêng cho mỗi tần 
số ta được hệ 2 pt
)2(
2
2
2
2
22
2
2 2)2(
2
1 zktieEk
dz
dE
ik
z
E
E 






)2(
2
2
2
2
2
2)2(
2
1 zktieEk
dz
dE
ik 





 )2(2)2(2202
2
0
22 )()(2 zktizkti ezEezE
t
E
 



 


• Pt đối với tần số 2 có dạng: 
• Với là hệ số phi tuyến bậc hai
• Và 
giả sử E giảm không đáng kể (=hằng), tích phân * ta có: 
kziezEdi
dz
dE  )(2
2
02






d
    222 002 nnkkk 
 







  1
1
)0(')0()( 2
2
0'2
2
0
2
kzi
z
kzi e
ki
EdidzeEdizE 



 





• Trong đó
• Nên 
   2/2/
2/
1
1 kzikzi
kzi
kzi ee
ki
e
e
ki


 



kz
ki
e kzi 

 
2
1
sin
1
2 2/














 
kz
kz
ze kzi
2
1
2
1
sin
2/














 
kz
kz
zeEdizE kzi
2
1
2
1
sin
)0()( 2/2
2
0
2 

 


3.3 Phát sóng hài bậc hai - SHG
(Second harmonic gernegation )
• Thực nghiệm SHG được Franken và cộng sự 
công bố lần đầu tiên vào năm 1961: dùng bức xạ 
laser Ruby ( = 6943 Ao) chiếu vào tinh thể 
quartz, chùm tia ra có bức xạ  = 3471 Ao
• Nếu chiều dài tinh thể là L (z=L), ta có:
Cường độ của sóng  và 2 là: 
• Do đó: 
2
24
2
22
02
2
2
1
2
1
sin
)0()(















kL
kL
LE
d
LE 




2
0
)(
2
1
zEI 





2
2
0
2
2 )(
2
1
zEI 

 


2
22
2
22
2/3
0
0
2
2222
2
2/3
0
2
2
1
2
1
sin
)0(
)2()(
2
2
1
2
1
sin
)0(
2




































kL
kL
LI
nn
d
kL
kL
LIdI 









• Hiệu suất biến đổi SHG:
•
• Hiệu suất đạt cực đại và có giá trị:
•
• Khi
• Ví dụ L=1cm; d=4.10-24; n=1,5; I(0)=108W/cm2; eSHG=37%
2
2
2
22
2/3
0
02
2
1
2
1
sin
)0(
)2()(
2
)0(
)(





















kL
kL
LI
nn
d
I
LI
eSHG 






2
3
22
2/3
0
0 )0(2 LI
n
d
eSHG 










1
sin
lim
2
1
2
1
sin
2
2
0
2
















x
x
kL
kL
x
3.4 Điều kiện đồng bộ không gian 
(Sự hợp pha)
• Điều kiện cực đại của hàm sin2x/x2:
Là nghiệm của của phương trình siêu việt x = tgx
và
Chọn n=1
0
sin
2
2






x
x
dx
d
k
n
LnkL
kkL
c





00
k
Lc



Zn
• Bảng giá trị và vị trí các cực đại của hàm 
sin2x/x2. 
• Xét điều kiện: 
2
2sin
x
x
x 0 4,49 7,73 10,10
1 0,047 0,016 0,008
  0)()2(422  


 nnkkk
  0)()2(422  


 nnkkk
 Do đó điều kiện trên không thỏa mãn trong môi trường tán 
sắc bình thường (có chiết suất n() tăng khi  tăng)
 Trong môi trường tinh thể lưỡng chiết, điều kiện trên có 
thể thỏa mãn
• Xét tinh thể đơn trục âm KDP: 
• Trong đó ne() và no() là chiết suất của tinh thể 
ứng với tia bất thường và tia thường đối với 
sóng có tần số .
• Dựa vào ellipsoid chiết suất ta tìm được hướng 
truyền của tia tới lập với trục quang học một góc 
θ thỏa mãn công thức:
)()(  oe nn 
• Gọi θ là góc của hướng truyền hợp với quang trục, ta có 
công thức:
• Góc thỏa mãn điều kiện hợp pha θd, ta có:
2
2
2
2
2
sincos
)(
1
eoe nnn



   
    220
22
22
0
2
02sin








nn
nn
E
d
2
2
2
max
2
2
1
2
1
sin









kL
kL
P
Pc


   2max2
2
2 sin)( PP



3.5. SHG với chùm Gauss
• Trong thực tế, chùm laser có dạng chùm Gauss:
• Công suất của chùm tia:
2
0
2 /)( wroeErE







  42
1 202
0
0
2
0
w
EdxdyEP
S







• Thay vào trên, ta có:
• Trong đó 3 = 2 1
2
2
2
0
)(
3
222
3
2/3
0
0
)(
)(
2
2
sin
2
1
1
3





 














kL
kL
w
P
n
Ld
P
P



 

