Bài giảng Hình họa - Nguyễn Độ

với mp P1 góc ϕ 
Giải 
_ Đường thẳng cần dựng đi qua điểm S tạo với mặt phẳng hình chiếu bằng góc ϕ nên nó là 
đường sinh của mặt nón tròn xoay có : 
+ Đỉnh S 
+ Trục vuông góc mp P1 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 79
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
+ Các đường sinh tạo với mp P1 góc ϕ nên hai đường sinh biên ở hình chiếu đứng của nón trục 
x góc ϕ. 
_ Vả lại đường thẳng cần dựng cắt đường thẳng d. Vậy chúng là các đường sinh của mặt nón S 
đi qua giao điểm M,N của của d với nón - đó là: SM, SN ; (Hình 11.9) 
™ Ví dụ 3 
Cho mặt chóp S.CDK và đường cạnh AB; (Hình 11.10). Hãy vẽ giao điểm của đường thẳng AB 
với mặt chóp S.CDK 
Giải 
_ Dùng mp(AB,S) làm mặt phẳng phụ trợ (mặt phẳng phụ trợ chứa đường thẳng và đỉnh chóp). 
_ Vẽ các giao tuyến và giao điểm : 
+ Vẽ IJ = mp(AB,S) ∩ mp(CDK) 
+ Vẽ E, F = IJ ∩ ∆ CDK 
+ Vẽ M = AB ∩ SE 
+ Vẽ N = AB ∩ SF 
+ Vậy M, N = AB ∩ S.CDK 
_ Xét thấy khuất như (hình 11.10), trong đó đoạn chuôi MN là khuất 
x
F2 E2 
E1 
F1 
I1 
J2 
J1 
I2 
M2 
M1 S1
B2 
N2 
B1 
N1 
D1
K1
C1 
A1 
A2 
C2 K2D2
S2
P2 ’ 
P1 
s
x
N2 
M2
M1
N1 
M’2
N’2 
b’2
a’2
a2 
a1 
d’1
d1
d’2
d2b2
b1
 Hình 11.10 Hình 11.11 
™ Ví dụ 4 
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau; (Hình 11.11). Hãy dựng đường thẳng cắt a song song b và 
và cách b một khoảng r cho trước 
Giải 
_ Đường thẳng d cần dựng song song với b và cách b một khoảng r nên d chính là đường sinh 
của mặt trụ tròn xoay trục b bán kính r 
_ Vì d cắt a nên các đường sinh d cần dựng đi qua các giao điểm M, N của a với mặt trụ vừa vẽ. 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 80
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
_ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng để b trở thành đường thẳng chiếu đứng trong hệ thống 
mới; lúc này mặt trụ trục b có hình chiếu đứng mới suy biến thành đường tròn (ω’2) tâm b’2 
bán kính r 
_ Vẽ M’2, N’2 = a’2 ∩ (ω’2) ⇒ M1, N1 ∈ a1 và M2, N2 ∈ a2 
_ Qua M,N vẽ các đường thẳng d, d’ // b đó là các đường thẳng cần dựng ; (Hình 11.11) 
================== 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 81
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
Bài 12 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT 
I. KHÁI NIỆM 
Giao tuyến của hai mặt là tập hợp các điểm chung của hai mặt dó 
Dạng của giao tuyến : 
_ Giao tuyến của hai đa diện thường là một hay nhiều đường gấp khúc kín trong không gian - 
tập hợp các đoạn thẳng và các điểm gãy thuộc các mặt và các cạnh của đa diện 
_ Giao tuyến của đa diện với mặt cong đại số bậc n thường là một hay nhiều đường gấp khúc 
kín trong không gian, tập hợp các cung đường cong phẳng đại số bậc n và các điểm gãy 
thuộc các mặt và các cạnh của đa diện 
_ Giao tuyến của mặt cong đại số bậc m và mặt cong đại số bậc n thường là đường cong 
ghềnh đại số bậc m x n 
II. TRƯỜNG HỢP BIẾT MỘT HÌNH CHIẾU CỦA GIAO TUYẾN 
Nếu một trong hai mặt đã cho là lăng trụ chiếu hoặc trụ chiếu, thì: 
_ Ta biết được một hình chiếu của giao tuyến thuộc hình chiếu suy biến của lăng trụ chiếu hoặc 
trụ chiếu đó 
_ Để vẽ hình chiếu còn lại của các giao tuyến ta áp dụng bài toán điểm, đường thuộc mặt còn 
lại 
™ Ví dụ 1 
Hãy vẽ giao tuyến của lăng trụ (abc) chiếu bằng với lăng trụ xiên (mnp); (Hình 12.1a) 
Giải 
_ Vì lăng trụ (abc) ⊥ P1 nên ta biết được hình chiếu bằng của giao tuyến là đoạn chữ V: 113151 
thuộc tam giác a1b1c1 [ hình chiếu bằng suy biến của lăng trụ (abc)] 
_ Giao tuyến là đường gấp khúc kín gồm tập hợp các điểm gãy và các đoạn thẳng thuộc các 
cạnh và các mặt của đa diện, được xác định như sau: 
 Hình 12.1a Hình 12.1b 
+
-
+
-++
62 52
4232
22
12
32
62
4222
11
21
c1
51
b1≡341 1≡6
a1
p1
n1
m1
p2
m2
n2
c2
52
b2a2
12
p2
n2
m2
p2
a2c2b2a2
♣ Các điểm gãy: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; (Hình 12.1a); trong đó: 
+ m ∩ lăng trụ (abc) = điểm 1 ∈ mp(a, b) và điểm 5∈ mp(b, c) 
+ n ∩ lăng trụ (abc) = điểm 2 ∈ mp(a, b) và điểm 4∈ mp(b, c) 
+ b ∩ lăng trụ (m n p) = điểm 3 ∈ mp(n, p) và điểm 6∈ mp(m, p) 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 82
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
♣ Các đoạn thẳng: 
+ mp(m, n) ∩ lăng trụ (abc) = đoạn 12 ∈ mp(a, b) và đoạn 45∈ mp(b, c) 
+ mp(n, p) ∩ lăng trụ (abc) = đoạn 23 ∈ mp(a, b) và đoạn 34∈ mp(b, c) 
+ mp(m, n) ∩ lăng trụ (abc) = đoạn 12 ∈ mp(a, b) và đoạn 45∈ mp(b, c) 
♣ Nối các điểm vừa tìm được, với chú ý rằng hai điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì mới nối 
lại. 
♣ Thấy - khuất trên hình chiếu: những đoạn giao tuyến thuộc phần khuất của một trong hai 
mặt trên hình chiếu nào thì những đoạn giao tuyến đó bị khuất trên hình chiếu đó. 
Đoạn 12 và 45 thuộc mp(m,n) khuất trên hình chiếu đứng nên 1222 và 4252 khuất ; 
(Hình 12.1a) 
¾ Nối giao bằng cách lập bảng khai triển 
Ngoài cách nối giao đã nêu trên; sau đây sẽ trình bày cách nối giao bằng cách lập bảng. 
Trình tự thực hiện: 
_ Vẽ sơ đồ khai triển của hai mặt đa diện, nếu cạnh nào không giao thì nên khai triển theo cạnh 
đó ( trong hình 12.1a khai triển theo cạnh a, cạnh p) 
_ Ghi tên các điểm vừa tìm được dúng như vị trí trên hình chiếu 
_ Nối hai điểm cùng một ô 
¾ Xét thấy (+), khuất (-) trên từng hình chiếu ta thêm chỉ số 
hình chiếu đó. 
¾ Đoạn nào thuộc hai mặt phẳng thấy thì thấy trên hình 
chiếu đó (Hình 12.1b) 
™ Ví dụ 2 
Vẽ giao của mặt cầu tâm O với lăng trụ (abc) chiếu đứng 
 (Hình 12.2) 
Giải 
¾ Hình chiếu đứng của giao tuyến là đường gấp khúc 
42221272 thuộc tam giác a2b2c2- hình chiếu đứng suy biến 
của lăng trụ, giao do ba mặt bên của lăng trụ cắt cầu: 
_ mp(a,b) ∩ cầu = cung tròn 212’, có hình chiếu bằng là 
cung tròn 21122’1 khuất 
_ mp(b,c) ∩ cầu = cung tròn 2343’2’ song song P3, có hình 
chiếu bằng là đoạn thẳng 313’1 
_ mp(a,c) ∩ cầu = đường tròn tâm I, có hình chiếu bằng là 
elíp tâm I1 và nhận 616’1, 1171 làm cặp trục (I161 = I16’1= 
I272) 
_ 51, 5’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao 
tuyến với đường tròn bao hình chiếu bằng của cầu, chúng 
cũng là các điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu bằng 
của giao. 
c2 
I1 
21 
3’1
2’1
41 71 
6’1 
61 51 
5’1 
11 
b1≡ c1
31 
a1 
72 
62≡6’2≡ I2 
52≡5’2 
42 
32≡ 3’2 
12≡ a2
O1 
O2 
22≡2’2≡ b2 
Hình 12.2 
¾ Hình chiếu bằng của giao tuyến là hai đường kín: Elíp tâm I1 và đường kín 112131413’12’111 
¾ Xét thấy khuất như hình 12.2 với chú ý những điểm thuộc nửa trên cầu được thấy ở hình 
chiếu bằng: cung 5161716151 thấy; các cung còn lại khuất ở hình chiếu bằng . 
™ Ví dụ 3 
Vẽ giao của mặt chóp S.ABC với mặt trụ chiếu bằng (Hình 12.3) 
Giải 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 83
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
¾ Vì trụ chiếu bằng nên ta biết được hình chiếu 
bằng của giao tuyến là cung tròn 
1121314151617181 thuộc đường tròn hình chiếu 
bằng của trụ 
¾ Để vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến ta gắn các 
cung thuộc các mặt của đa diện: 
_ mp(ABC) ∩ trụ = cung tròn1D8, có hình chiếu 
đứng là đoạn thẳng ngang D282 
_ mp(SBC) ∩ trụ = Hai cung 12 và 78 của một 
elip, có hình chiếu đứng là hai cung1222 và 7282 
của một elip 
_ mp(SAB) ∩ trụ = cung elip 2345, có hình chiếu 
đứng là cung elip 22324252 
_ mp(SAC) ∩ trụ = cung elip 567, có hình chiếu 
D2
22 
12 32 
42 
52 
62 
82 
72 
B1 
C2A2 B2 
A1
S1 
11 21 
31 
D1≡41 
51 
61 
71 
81 
Hình 12.3
S2 
C1
 đứng là cung elip 526272 
_ 42 là tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao 
tuyến với với đường sinh bao hình chiếu đứng 
của trụ và cũng là điểm ranh giới thấy khuất ở 
hình chiếu đứng của giao. 
_ Vậy hình chiếu đứng của giao tuyến là đường 
kín 1222324252627282D212 S2 
t1
β1
(C1
(C2
t2
41 
31 
61
62
32 ≡3’’2 
42 ≡ 4’2 
3’1 
11 
21 
S1 
2’
5’1 
51 
4’1 
52 ≡5’2
22≡ 12 
_ Xét thấy khuất như hình 12.3 với chú ý những 
điểm thuộc nửa trước trụ thì thấy ở hình chiếu 
đứng: 12223242 thấy, các cung còn lại khuất ở 
hình chiếu đứng 
™ Ví dụ 4 
Vẽ giao của mặt nón tròn xoay đỉnh S với mặt trụ chiếu đứng 
(Hình 12.4) 
Giải 
- Hai mặt nón và trụ giao nhau nhau theo đường cong ghềnh 
bậc bốn, có: 
- Hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn 1222 
32425262 thuộc đường tròn hình chiếu đứng của trụ 
- Để vẽ hình chiếu bằng của giao tuyến ta áp dụng bài toán 
điểm thuộc mặt nón, bằng cách gắn các điểm vào các 
đường tròn vĩ tuyến nằm ngang của nón (hoặc gắn vào 
đường sinh của nón) 
- 31, 3’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao 
tuyến với đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ, chúng 
cũng là các điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu bằng 
của giao. 
Hình 12.4 
- Hình chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc bốn khép kín: 11 21 31 41 51 61 5’1 
4’1 3’1 2’111 đối xứng qua đường thẳng β1 (là hình chiếu suy biến của mặt phẳng đối xứng 
chung) 
- Xét thấy khuất như hình 12.4 với chú ý những điểm thuộc nửa trên của trụ thì thấy ở hình 
chiếu bằng: 3121112’13’1- thấy; còn lại khuất ở hình chiếu bằng 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 84
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
III. TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT VỀ GIAO HAI MẶT BẬC HAI 
Giao của hai mặt bậc hai trong trường hợp tổng quát là đường cong ghềnh bậc bốn. Trong các 
trường hợp đặc biệt đường cong ghềnh bậc bốn đó có thể suy biến thành : 
_ Hai đường cong bậc hai 
_ Một đường cong bậc hai và hai đường thẳng (hay một đường thẳng kép) 
_ Một đường cong bậc ba và một đường thẳng 
_ Bốn đường thẳng ... 
 Sau đây sẽ xét một vài định lý đã chứng minh về giao hai mặt bậc hai trong trường hợp đặc biệt. 
¾ Định lý 1 
Nếu hai mặt bậc hai đã giao nhau theo một đường cong bậc hai thì chúng còn giao nhau theo 
một đường cong bậc hai nữa 
™ Ví dụ 
Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ bậc hai có chung đường chuẩn (C); (Hình 12.5) - mặt 
phẳng đối xứng chung song song P2 
Giải 
Hai mặt nón và trụ có chung nhau đường chuẩn (C), nên theo 
định lý 1 chúng còn giao nhau theo một đường cong bậc hai 
nữa. Vì mặt phẳng (β) đối xứng chung của hai mặt nón và trụ 
song songP2 nên mp (β) sẽ cắt hai mặt đó theo các đường sinh 
mà ở hình chiếu đứng là các đường sinh biên, các đường sinh 
này sẽ giao nhau tại các điểm thuộc giao tuyến; hơn nữa mp 
(β) song songP2 nên hình chiếu đứng của các đường cong bậc 
hai giao tuyến suy biến thành các đoạn thẳng đi qua các giao 
điểm của các đường sinh biên nói trên. Vì mặt trụ chỉ giới 
hạn tới đường chuẩn (C) nên đường cong bậc hai giao tuyến 
thứ hai chỉ là cung elip123; (Hình 12.5) 
 Hình 12.5 
β1
(C2)
(C1)
21 
11 
31 
12 ≡32 
22 
S1 
S2 
¾ Định lý 2 
Nếu hai mặt bậc hai tiếp xúc nhau tại hai điểm và hai mặt phẳng tiếp xúc chung tại hai điểm đó 
không trùng nhau thì chúng giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó 
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ 2 
1) Hướng thiết diện Mônjơ 
Hướng thiết diện Mônjơ là hướng mặt phẳng cắt mặt bậc hai cho giao tuyến là elip có một hình 
chiếu là đường tròn 
™ Ví dụ 
Cho mặt nón bậc hai có mặt phẳng đối xứng song song P2 (Hình 12.6). Hãy vẽ hướng các mặt 
phẳng cắt mặt nón cho giao tuyến lá elip có hình chiếu bằng là đường tròn 
Giải 
- Vẽ mặt trụ tròn xoay chiếu bằng có hình chiếu bằng là đường tròn tiếp xúc với hai đường 
sinh bao của nón tại hai điểm T1và T’1 
- Dễ thấy hai mặt nón và trụ tiếp xúc nhau tại hai điểm T,T’ nên theo định lý 2; hai mặt nón và 
trụ giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm T, T’. 
- Vì mặt phẳng β đối xứng chung của nón và trụ song 
song P2 nên hình chiếu đứng của hai đường cong bậc 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 85
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
hai giao tuyến sẽ suy biến thành hai đoạn thẳng1222 
và 3242 đi qua T2≡T’2; hình chiếu bằng của hai 
đường cong giao tuyến này là đường tròn trùng với 
đường tròn hình chiếu bằng của trụ; (Hình 12.6) 
- Các mặt phẳng chiếu đứng 1222 và 3242 là các 
hướng mặt phẳng cắt nón cho giao tuyến là elip có 
hình chiếu bằng là đường tròn 
¾ Chuï yï 
Người ta ứng dụng hướng thiết diện Monjơ để xác định 
đáy của mặt nón, mặt trụ có một hình chiếu là đường 
tròn; khi nón, trụ đó có mặt phẳng đối xứng song song 
một mặt phẳng hình chiếu 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 86
2) Hướng thiết diện tròn 
Hướng thiết diện tròn là hướng mặt phẳng, cắt mặt bậc hai cho giao tuyến là đường tròn 
™ Ví dụ 
Cho mặt nón bậc hai có đường chuẩn là elip được xác định bằng cặp trục AB, CD; (Hình 12.7). 
Hãy vẽ hướng các mặt phẳng cắt mặt nón cho giao tuyến là đường tròn 
Giải 
Vẽ mặt cầu tâm O thuộc trục nón và tiếp xúc với nón tại hai điểm T, T’ có hình chiếu đứng là 
đường tròn bao tiếp xúc với hai đường sinh bao hình chiếu đứng của nón tại hai điểm T2 và T’2. 
Theo định lý 2; hai mặt nón và cầu giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm T,T’; 
hai đường cong bậc hai này thuộc cầu nên nó là hai đường tròn. Vì mặt phẳng β đối xứng chung 
của nón và cầu song song song P3 nên hình chiếu cạnh của hai đường tròn giao tuyến đó sẽ suy 
biến thành hai đoạn thẳng1323 và 3343 đi qua T3≡T’3; (Hình 12.7) 
Các mặt phẳng chiếu cạnh 1323và 3343 chính là các hướng mặt phẳng cắt nón cho giao tuyến 
là đường tròn 
 Hình 12.7 
y
T2
A2 
D1
B1
C1
C2≡D2 B2
S2 S3
O2 O3
T’2 T3≡T’3 
C3
A3≡B3
D3
13 43
33 23
z
y’
T2≡T’2 
β1
42 
32 
22 
12 
S2
T’1 
T1 
Hình 12.6 
S1
S1
A1 
x
¾ Định lý 3 
Nếu hai mặt bậc hai cùng nội tiếp hay ngoại tiếp với một mặt bậc hai khác thì chúng sẽ giao 
nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai giao điểm của hai đường tiếp xúc 
™ Ví dụ 
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt tròn xoay nón và trụ cùng ngoại tiếp 
cầu, có mặt phẳng đối xứng chung song song P2; (Hình 12.8) 
 Giải 
_ Gọi (v), (ω) là lần lượt là hai đường tròn tiếp xúc 
của mặt cầu với mặt nón và mặt trụ 
_ Vẽ T, T’ = (v) ∩ (ω). Vì mp (β) đối xứng chung của 
nón, trụ, cầu song song P2 nên (v2), (ω2) suy biến 
thành hai đoạn thẳng và T2≡T2’ = (v2) ∩ (ω2) 
_ Theo định lý 3 thì hai mặt nón, trụ giao nhau theo 
hai đường cong bậc hai đi qua hai giao điểm T, T’ 
của hai đường tiếp xúc (v) và (ω) 
_ Vì mp (β) // P2 nên hai đường cong bậc hai giao 
tuyến có hình chiếu đứng suy biến thành hai đoạn 
thẳng 1222và 3242 đi qua T2≡T2’ 
_ 51, 5’1, 61, 6’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng 
của giao tuyến với hai đường sinh bao hình chiếu 
bằng của trụ và đồng thời cũng là các điểm ranh giới 
thấy khuất ở hình chiếu bằng của giao 
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là hai Elip lần lượt 
nhận cặp 1121, 515’1 và 3141, 616’1 làm hai cặp trục, 
hai elip này đi qua T1 và T1’ 
_ Xét thấy khuất như (hình 12.8) 
Hình 12.8 
a2≡ b2 
a1 
b1
β1
62≡ 6’2
61 51 
31 21
32
22
12
S2 
42 
(v2) 
(ω2) 
(C2) 
(C1) 
11 41 
S1 
T’1 
T’1 
5’1 6’1 
52≡ 5’2
T2≡T’2 
III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN 
™ Ví dụ 1 
Hãy vẽ giao tuyến của trụ tròn xoay chiếu bằng với lăng trụ xiên (abc); (Hình 12.9) 
Giải 
_ Vì trụ ⊥ P1 nên ta biết được hình chiếu bằng của giao tuyến là cung tròn: 113151 thuộc đường 
tròn hình chiếu bằng suy biến của trụ 
_ Giao tuyến là đường gấp khúc kín gồm tập hợp các điểm gãy và các cung elip thuộc các cạnh 
và các mặt của đa diện, được xác định như sau: 
+ mp(a,b) ∩ trụ = Cung elip 12345, có hình chiếu đứng là cung elip 1222324252; trong đó 22 , 42 
là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh biên ở hình chiếu đứng của 
trụ, đồng thời cũng là hai điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu đứng của giao tuyến 
+ mp(a,c) ∩ trụ = hai cung elip 567 và 910 1, có hình chiếu đứng là hai cung 526272 và 9210212 
của một elip. Vì mp(a,c) khuất ở hình chiếu đứng nên hai cung 526272 và 9210212 khuất; trong 
đó: 102, 62 là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh bao hình chiếu 
đứng của trụ 
+ mp(b,c) ∩ trụ = Cung elip 789, có hình chiếu đứng là cung elip 728292 thấy ở hình chiếu 
đứng 
_ Hình chiếu đứng của giao tuyến là đường kín 12223242526272829210212 gồm các cung elip nối 
liền nhau bỡi các điểm gãy . 
 Xét thấy khuất như (Hình 12.9) 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 87
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 88
 Hình 12.9 Hình 12.10 
(C2)
(C1)
b1 a1 
S1 
S2 
52 
42≡ 4’2 
31 51 
41 
4’1 
21
11
2’1
1’1 
32
22 ≡2’2≡ b2
12≡1’2≡ a2
31≡ 81 
92 
11 
32
52 42
22 
12 
41≡ 61
51
71
21≡101 
b1 
c1 
a1 
c2 
b2 
a2 
62 
72 
82 102 
c2 
(β1)
c1 
™ Ví dụ 2 
Hãy vẽ giao tuyến của nón tròn xoay với lăng trụ (abc) chiếu đứng ; (Hình 12.10) 
Giải 
_ Vì lăng trụ (abc) ⊥ P2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là đường gấp khúc: 
5212 2232 thuộc hình chiếu đứng suy biến của lăng trụ 
+ mp(a,b) ∩ nón = hai đoạn đường sinh 12 và1’2’ thấy ở hình chiếu đứng và hình chiếu bằng 
+ mp(b,c) ∩ nón = cung tròn 232’, có hình chiếu bằng là cung tròn 21312’1. Vì mp(b,c) 
khuất ở hình chiếu bằng nên cung tròn 21312’1 khuất 
+ mp(a,c) ∩ nón = cung elip 1454’1’, có hình chiếu bằng là cung elip 1141514’11’1 nhận S1 
làm một tiêu điểm 
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là đường gấp khúc kín 1121312’11’14’1514111 
_ Vì mp β đối xứng chung của nón và lăng trụ song song P2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến 
đối xứng qua đường thẳng (β1) 
_ Xét thấy khuất như (hình 12.10) 
™ Ví dụ 3 
Hãy vẽ giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt trụ chiếu đứng ; (Hình 12.11) 
Giải 
_ Mặt trụ và cầu giao nhau theo đường cong ghềnh bậc 4 
_ Vì trụ ⊥ P2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn: 1222324252 thuộc 
đường tròn hình chiếu đứng suy biến của trụ 
_ Hình chiếu bằng của giao được vẽ bằng cách gắn vào đường tròn vĩ tuyến nằm ngang của 
cầu; ta nhận được hình chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc 4 kín 
11213141514’13’12’111. Trong đó: 21, 2’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với 
đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ 
_ Vì mp β đối xứng chung của cầu và trụ song song P2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối 
xứng qua đường thẳng (β1) 
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
_ Xét thấy khuất của hình như (hình 12.11) 
™ Ví dụ 4 
Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ chiếu đứng ; (Hình 12.12) 
Giải 
_ Mặt trụ và nón giao nhau theo đường cong ghềnh bậc 4 
_ Vì trụ ⊥ P2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn: 12223242526272 
thuộc đường tròn hình chiếu đứng suy biến của trụ 
 Hình 12.11 Hình 12.12 
(β1) 
(β1)
41
31
21
t1
2’1
3’1
4’1
51
O1
t2
52
42 ≡ 4’2 
O2
32 ≡3’2 
22 ≡ 2’2 
12
(C2)
(C1)
t2 
t1 
72 
62≡6’2 
52≡5’2 
42 
12 
22≡ 2’2 
32≡3’2 
S2
S1
5’1
6’1 
71 
31 21 
61 
51 
41 
3’1 2’1 
11 
_ Hình chiếu bằng của giao được vẽ bằng cách gắn vào đường sinh của nón; ta nhận được hình 
chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc 4 kín: 112’13’1415161716’15’141312111. 
Trong đó: 21, 21’, 61, 6’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với đường sinh bao 
hình chiếu bằng của nón ; 51, 5’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với đường sinh 
bao hình chiếu bằng của trụ 
_ Vì mp β đối xứng chung của nón và trụ song song P2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối 
xứng qua đường thẳng (β1). 
_ Xét thấy khuất của giao như (hình 12.12) 
™ Ví dụ 5 
Hãy vẽ giao tuyến của nửa mặt xuyến có trục t ⊥ P2 với lăng trụ (abc) chiếu bằng; 
(Hình 12.13) 
Giải 
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là đoạn 81101 và đường gấp khúc 412171 thuộc tam giác hình 
chiếu bằng suy biến của lăng trụ (abc) 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 89
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 
_ Để vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến ta gắn các điểm thuộc các đường tròn của xuyến nằm 
trong mặt phẳng vuông góc trục t. Kết quả nhận được hình chiếu đứng của giao tuyến là hai 
đường hở 12223242526272 và 8292102112 (hai đường hở vì ở đây chỉ xét nửa xuyến) 
_ Xét thấy khuất của hình như hình 12.13 với chú ý những điểm nằm nửa trước của xuyến được 
thấy trên hình chiếu đứng, cụ thể cung 324252và 92102112 thấy; các cung còn lại khuất trên 
hình chiếu đứng . 
a2 b2 c2 
91 
12 
22 
32
42
52 
62 
72 
92 102
112 82 
11 81 
101
111
7121≡ 61≡ a1
31≡ 51 
41
c1 
b1
Hình 12.13 
================= 
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 90