Bài giảng Không gian Euclide - Lê Xuân Đại

KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56
Công của lực
−→
F
A =
−→
F .−→s = F .s. cosα
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56
−→a = (a1, a2),−→b = (b1, b2).
= a1.b1 + a2.b2; ||−→a || =
√
a21 + a
2
2
cosα =
||−→a ||.||−→b ||
; d(−→a ,−→b ) = ||−→a −−→b ||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56
Nội dung
1 Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của
véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2
véc-tơ
2 Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở
trực giao, quá trình trực giao hóa
Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông
góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian
con
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56
Không gian Euclide Định nghĩa
Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian
Euclide (thực) nếu
: E × E → R
(x , y) 7−→ − gọi là tích vô
hướng của 2 véctơ.
Tích vô hướng thỏa mãn 4 tiên đề
1 =, ∀x , y ∈ E
2 = + ,
∀x , y , z ∈ E
3 = α ,∀x , y ∈ E ,∀α ∈ R.
4 > 0, x 6= 0 và = 0⇔ x = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
R−kgv R3 là không gian Euclide với tích vô hướng
(x , y) 7−→= x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 = x .yT
với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3).
Ví dụ
R−kgv Rn là không gian Euclide với tích vô hướng
: Rn × Rn → R
(x , y) 7−→=
n∑
i=1
xiyi = x .y
T
với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 6 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R2 có thể xác định tích vô hướng
khác (x , y) 7−→= x1.y1 + 2x2.y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2).
= x1.y1 + 2x2.y2 = y1.x1 + 2y2.x2 =
= (x1 + y1)z1 + 2(x2 + y2)z2 =
(x1z1 + 2x2z2) + (y1z1 + 2y2z2) = + 
= α.x1.y1 + 2α.x2.y2 = α(x1y1 + 2x2y2) =
α. 
= x1.x1 + 2x2.x2 = x
2
1 + 2x
2
2 > 0. Dấu "="
⇔ x1 = x2 = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 7 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R2 hàm số sau không là một tích
vô hướng (x , y) 7−→= x1.y1 − 3x2.y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2).
Cho x = (1, 2). Khi đó
= 1.1− 3.2.2 = −11 < 0.
Không thỏa mãn tiên đề 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Không gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trên
đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng
: C[a,b] × C[a,b] → R
(f , g) 7−→=
b∫
a
f (x)g(x)dx
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Chứng minh.
=
b∫
a
f (x)g(x)dx =
b∫
a
g(x)f (x)dx =
, ∀f , g ∈ C[a,b]
=
b∫
a
(f (x) + g(x))h(x)dx =
b∫
a
f (x)h(x)dx +
b∫
a
g(x)h(x)dx =
 + , ∀f , g , h ∈ C[a,b]
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 10 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
=
b∫
a
(αf (x))g(x)dx =
α
b∫
a
f (x)g(x)dx = α ,
∀f , g ∈ C[a,b],∀α ∈ R.
=
b∫
a
(f (x))2dx > 0, f (x) 6= 0 và
=
b∫
a
(f (x))2dx = 0⇔ f (x) ≡ 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 11 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng
=
∫ 1
0
p(x)q(x)dx ,
∀p(x) = a1x2 + b1x + c1, q(x) = a2x2 + b2x + c2.
Tính tích vô hướng của
p(x) = x2 − 4x + 5, q(x) = x + 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 12 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Tích vô hướng của p(x) và q(x) là
=
∫ 1
0
p(x)q(x)dx =
=
∫ 1
0
(x2 − 4x + 5)(x + 1)dx = 19
4
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 13 / 56
Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)
Định nghĩa
Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta
gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là
||x || = √
Ví dụ
Trong R2 cho tích vô hướng
= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìm
độ dài của véctơ u.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 14 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Độ dài của véctơ u là ||u|| = √.
= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11
⇒ ||u|| =
√
11
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 15 / 56
Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ
Định nghĩa
Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2
véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệu
d(u, v). Vậy d(u, v) = ||u − v ||.
Ví dụ
Trong R2 cho tích vô hướng
= x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1),
v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 16 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là
d(u, v) = ||u − v || = √. Ta có
u − v = (1,−3)⇒=
= 1.1− 2.1.(−3)− 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58.
Vậy d(u, v) = √ = √58
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 17 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski
Định lý
Trong không gian Euclide E , ta có
| | 6 ||x ||.||y ||, ∀x , y ∈ E .
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến
tính.
Chứng minh. ∀x , y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có
> 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 18 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
⇔ −2λ +λ2 > 0.
⇔ ||x ||2 − 2λ +λ2||y ||2 > 0.
Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên
∆′ = ()2 − ||x ||2.||y ||2 6 0
⇔ ()2 6 ||x ||2.||y ||2
⇔ | | 6 ||x ||.||y ||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 19 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Nếu | | = ||x ||.||y || thì ∆′ = 0 khi đó
||x ||2 − 2λ +λ2||y ||2 = (λ− λ0)2.
Do đó nếu λ = λ0 thì = 0
hay x − λ0y = 0⇔ x = λ0y ⇒ x , y phụ thuộc
tuyến tính.
Bất đẳng thức BCS trong R2
|x1.y1 + x2.y2| 6
√
x21 + x
2
2 .
√
y 21 + y
2
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 20 / 56
Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Định nghĩa
Ta gọi góc giữa 2 véctơ x , y ∈ E là góc α sao cho
cosα =
||x ||.||y ||, (0 6 α 6 pi)
= ||x ||.||y ||. cosα.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 21 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R2 cho tích vô hướng
= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1),
v = (1, 0). Tìm góc α giữa 2 véctơ u, v .
Ta có
cosα =
||u||.||v ||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 22 / 56
Không gian Euclide Ví dụ
= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3
||u|| = √ = √1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1
=
√
10
||v || = √ = √1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0
= 1
Vậy cosα = 3√
10
⇒ α = arccos 3√
10
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 23 / 56
Sự trực giao Định nghĩa
Sự trực giao
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 24 / 56
Sự trực giao Định nghĩa
Sự trực giao
Định nghĩa
Trong không gian Euclide E với tích vô hướng
1 Hai véctơ x , y ∈ E được gọi là trực giao
⇔= 0. Kí hiệu x ⊥ y
2 Véctơ x được gọi là trực giao với tập hợp
M ⊂ E nếu nó trực giao với mọi véctơ của M .
Kí hiệu x ⊥ M .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 25 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Ví dụ
Trong R2 cho tích vô hướng
= 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1),
v = (2,m). Tìm m để u ⊥ v .
Để u ⊥ v thì = 0
⇔ 2.1.2− 1.m− (−1).2 + (−1).m = 6− 2m = 0
⇔ m = 3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 26 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Ví dụ
Trong R3 cho tích vô hướng chính tắc và
M = . Khi đó
u = (−2, 1, 1) ⊥ M .
Lấy v ∈ M bất kỳ. Khi đó
v = α(1, 1, 1) + β(2, 1, 3) =
(α + 2β, α + β, α + 3β),∀α, β ∈ R.
Ta có
= −2.(α+2β)+1.(α+β)+1.(α+3β) = 0
Vậy u ⊥ M .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 27 / 56
Sự trực giao Hệ trực giao, trực chuẩn
Hệ trực giao, trực chuẩn
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 28 / 56
Sự trực giao Hệ trực giao, trực chuẩn
Định nghĩa
1 Hệ véctơ {x1, x2, . . . , xn} được gọi là trực giao
⇔ chúng trực giao với nhau từng đôi một.
2 Hệ trực giao được gọi là hệ trực chuẩn nếu
||xk || = 1, (k = 1, 2, . . . , n)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 29 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Ví dụ
Trong R2 với tích vô hướng chính tắc,
M = {(1,−2), (2, 1)} là hệ trực giao.
N =
{(
1√
5
,− 2√
5
)
,
(
2√
5
,
1√
5
)}
là hệ trực
chuẩn.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 30 / 56
Sự trực giao Ví dụ
= 1.2 + (−2).1 = 0⇒ M
là hệ trực giao.
N là hệ trực chuẩn vì〈(
1√
5
,− 2√
5
)
,
(
2√
5
,
1√
5
)〉
=
1√
5
.
2√
5
+
(−2)√
5
.
1√
5
= 0∣∣∣∣∣∣∣∣( 1√5,− 2√5
)∣∣∣∣∣∣∣∣ =
√
1√
5
2 +
4√
5
2 = 1∣∣∣∣∣∣∣∣( 2√5, 1√5
)∣∣∣∣∣∣∣∣ =
√
4√
5
2 +
1√
5
2 = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 31 / 56
Sự trực giao Cơ sở trực giao
Định lý
Hệ véctơ trực giao không chứa véctơ 0 thì độc lập
tuyến tính.
Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} là 1 hệ véctơ trực
giao, không chứa véctơ 0. Xét
p∑
i=1
λixi = 0, λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p. Với
∀xk ∈ M , k = 1, 2, . . . , p ta có < xk ,
p∑
i=1
λixi >=
λk = 0⇔ λk = 0, k = 1, 2, . . . , p. Vậy
M độc lập tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 32 / 56
Sự trực giao Cơ sở trực giao
Hệ quả
Trong không gian Euclide E n chiều, tập gồm n
véctơ khác véc-tơ 0, trực giao từng đôi một tạo
thành một cơ sở của E . Cơ sở này được gọi là cơ
sở trực giao.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 33 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Ví dụ
Trong không gian Euclide R3 với tích vô hướng
chính tắc, 3 véctơ x = (1, 1, 0), y = (−1, 1, 4),
z = (2,−2, 1) tạo thành 1 cơ sở trực giao của R3.
= 1.(−1) + 1.1 + 0.4 = 0
= 1.2 + 1.(−2) + 0.1 = 0
= (−1).2 + 1.(−2) + 4.1 = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 34 / 56
Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt
Sự trực giao hóa Gram-Schmidt
−→z2 = ||−→x2 ||.||−→y1 ||. cosα.
−→y1
||y1||2 =
||−→y1 ||2 .
−→y1
−→y2 = −→x2 −−→z2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 35 / 56
Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt
Ví dụ
Trong R2, xây dựng cơ sở trực giao từ 2 véc tơ
x1 = (1, 1), x2 = (0, 1).
y1 = x1 = (1, 1), y2 = x2 − ||y1||2 .y1 =
= (0, 1)− 1
2
.(1, 1) =
(
−1
2
,
1
2
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 36 / 56
Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt
Cho không gian Euclide E và {x1, x2, . . . , xn} là cơ
sở của E . Khi đó ta có thể chọn được các số
λij ∈ R sao cho các véctơ
y1 = x1
y2 = λ21y1 + x2
y3 = λ31y1 + λ32y2 + x3
. . . . . . . . .
yn = λn1y1 + λn2y2 + λn3y3 + λnn−1yn−1 + xn
tạo thành cơ sở trực giao của E , gồm toàn các
véctơ khác không.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 37 / 56
Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt
Do y1 ⊥ y2 nên
== λ21 
+ = 0⇒ λ21 = −
Tương tự, y3 ⊥ y1, y2 nên
=
= λ31 +λ32 + 
= λ31 + = 0
⇒ λ31 = −
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 38 / 56
Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt
=
= λ31 +λ32 + 
= λ32 + = 0
⇒ λ32 = −
Quá trình cứ thế tiếp diễn, ta thu được
λn1 = −
, λn2 = −
, . . . ,
λnn−1 = − 
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 39 / 56
Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt
Theo cách xây dựng trên, y1 = x1 ⇒ y1 6= 0 vì
x1 6= 0
Tương tự, y2 là THTT của x1, x2 với hệ số của x2
bằng 1 ⇒ y2 6= 0. Vì nếu y2 = 0 thì x2 sẽ biểu
diễn tuyến tính qua x1 ⇒ {x1, x2} PTTT
⇒ x1, x2, . . . , xn PTTT (mâu thuẫn)
Tương tự, yk là THTT của x1, x2, . . . , xk với hệ số
của xk bằng 1 ⇒ yk 6= 0. Vì nếu yk = 0 thì
x1, x2, . . . , xk PTTT ⇒ x1, x2, . . . , xn PTTT (mâu
thuẫn) . Từ đó suy ra yk 6= 0, k = 1, 2, . . . , n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 40 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Ví dụ
Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt để
xây dựng cơ sở trực giao từ cơ sở
(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)
Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) là cơ sở của
R3. Áp dụng tích vô hướng chính tắc, theo công
thức trực giao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1),
y2 = −
y1 + x2 = −2
3
(1, 1, 1) + (0, 1, 1)
=
(
−2
3
,
1
3
,
1
3
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 41 / 56
Sự trực giao Ví dụ
y3 = −
y1 − 
y2 + x3
= −1
3
(1, 1, 1)− 1
2
(
−2
3
,
1
3
,
1
3
)
+ (0, 0, 1)
=
(
0,−1
2
,
1
2
)
Vậy hệ (1, 1, 1),
(
−2
3
,
1
3
,
1
3
)
,
(
0,−1
2
,
1
2
)
là hệ
trực giao.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 42 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Hệ quả
Trong không gian Euclide tồn tại cơ sở trực giao.
Từ đó suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn.
Giả sử không gian Euclide n chiều có cơ sở
x1, x2, . . . , xn. Theo quá trình trực giao hóa
Gram-Schmidt, ta thu được 1 cơ sở trực giao.
Để có cơ sở trực chuẩn, ta có thể lấy
e1 =
y1
||y1||, e2 =
y2
||y2||, . . . , en =
yn
||yn||.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 43 / 56
Sự trực giao Bù trực giao
Bù trực giao
Định lý
Cho không gian Euclide E , dim(E ) = n, n ∈ N∗
và F là không gian véctơ con của E . Khi đó
1 Với ∀x ∈ E , x ⊥ F ⇔ x trực giao với một cơ
sở của F
2 Tập F⊥ gồm các véctơ của E trực giao với F
là một không gian véctơ con của E . Tập F⊥
được gọi là bù trực giao của F .
3 dim(F ) + dim(F⊥) = n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 44 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Ví dụ
Trong không gian R3 cho không gian con
W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0}. Tìm cơ sở
và số chiều của W⊥.
Bước 1. Cơ sở của W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1)
Bước 2. x = (x1, x2, x3) ∈ W⊥ nên
x ⊥ (−1, 1, 0) và x ⊥ (−1, 0, 1). Do đó ta có{ −x1 + x2 = 0
−x1 + x3 = 0 ⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒
(x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1). Vậy dim(W⊥) = 1 và 1
cơ sở của nó là (1, 1, 1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 45 / 56
Sự trực giao Hình chiếu vuông góc, khoảng cách
Hình chiếu vuông góc, khoảng cách
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 46 / 56
Sự trực giao Hình chiếu vuông góc, khoảng cách
Hình chiếu vuông góc, khoảng cách
Trong không gian Euclide E cho không gian con F
và 1 véctơ v tùy ý.
Véctơ v có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
v = f + g , f ∈ F , g ∈ F⊥. Véctơ f được gọi là
hình chiếu vuông góc của v xuống F . Kí hiệu
f = prFv .
Khoảng cách từ v đến không gian F là
d(v , F ) = ||g || = ||v − prFv ||.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 47 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Ví dụ
Trong R3 với tích vô hướng chính tắc, cho không
gian con F = và véctơ
x = (1, 1, 2). Tìm hình chiếu vuông góc prFx của
x xuống F và khoảng cách từ x đến F .
Bước 1. Cơ sở của F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1)
Bước 2. x = f + g = λ1.f1 + λ2.f2 + g
= λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g ,
vì f ∈ F , g ∈ F⊥
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 48 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Bước 3.
=
= λ1(3) + λ2.2 == 4
=
= λ1(2) + λ2.2 == 3
⇒
{
3λ1 + 2λ2 = 4
2λ1 + 2λ2 = 3
⇔
 λ1 = 1λ2 = 1
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 49 / 56
Sự trực giao Ví dụ
Bước 4. Kết luận
Vậy hình chiếu vuông góc prFx của x xuống F
là f = 1.(1, 1, 1) + 1
2
(0, 1, 1) =
(
1,
3
2
,
3
2
)
Khoảng cách từ x đến F là d(x , F ) = ||g || =
||x − prFx || =
∥∥∥∥(1, 1, 2)− (1, 32, 32
)∥∥∥∥ =∥∥∥∥(0,−12, 12
)∥∥∥∥ =
√
0.0 +
1
4
+
1
4
=
√
1
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 50 / 56
Thực hành MatLab
Trong Rn với tích vô hướng chính tắc
1 = dot(x , y)
2 ||x || = norm(x)
3 d(x , y) = norm(x − y)
4 cosα = dot(x , y)/(norm(x) ∗ norm(y))
5 f1, f2, . . . , fm là cơ sở F . A = [f1; f2; . . . ; fm]
A =

f1
f2
. . .
fm
⇒ Cơ sở của F⊥ : null(A,′ r ′)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 51 / 56
Thực hành MatLab
Trong Rn với tích vô hướng chính tắc
Giả sử f1, f2, . . . , fm là cơ sở F .
A =

dot(f1, f1) dot(f1, f2) . . . dot(f1, fm)
dot(f2, f1) dot(f2, f2) . . . dot(f2, fm)
. . . . . . . . . . . .
dot(fm, f1) dot(fm, f2) . . . dot(fm, fm)
 ,
B =

dot(x , f1)
dot(x , f2)
. . .
dot(x ∗ fm)
 , λ = (λ1, λ2, . . . , λm)T = inv(A)∗B
1 Hình chiếu f = λ(1) ∗ f1 + λ(2) ∗ f2 + . . .+ λ(m) ∗ fm
2 Khoảng cách ||g || = ||x − f || = norm(x − f )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 52 / 56
Kết luận
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 53 / 56