Bài giảng Không gian véctơ - Lê Xuân Đại

 a22x2 + . . . + a2jxj + . . . + a2kxk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amjxj + . . . + amkxk
Xét hệ thức
λ1.y1 + λ2y2 + . . . + λmym = 0,
Ta cần chứng minh ∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không
đồng thời bằng 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 70 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở
Tức là
λ1(a11x1+a12x2+. . .+a1kxk)+λ2(a21x1+a22x2+. . .+a2kxk)+
+ . . .+ λm(am1x1 + am2x2 + . . .+ amkxk) = 0
⇔ (a11λ1+a21λ2+ . . .+am1λm)x1+(a12λ1+a22λ2+ . . .+
+am2λm)x2+ . . .+(a1kλ1+a2kλ2+ . . .+amkλm)xk = 0(∗)
Câu hỏi: Có tồn tại hay không λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không
đồng thời bằng 0 sao cho luôn có (*)???.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 71 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở
Nếu
a11λ1 + a21λ2 + . . . + am1λm = 0
a12λ1 + a22λ2 + . . . + am2λm = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a1kλ1 + a2kλ2 + . . . + amkλm = 0
thì ta sẽ có (*). Hệ thuần nhất này có k phương
trình mà k < m (m - số ẩn) nên hệ có nghiệm
không tầm thường, điều này có nghĩa là tồn tại
λ1, λ2, . . . , λm không đồng thời bằng 0 sao cho
luôn có (*).
Vậy các véctơ y1, y2, . . . , ym phụ thuộc tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 72 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở
y1, y2, . . . , ym là các tổ hợp tuyến tính của
x1, x2, . . . , xk
m > k
y1, y2, . . . , ym phụ thuộc
tuyến tính
y1, y2, . . . , ym độc lập
tuyến tính m 6 k
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 73 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ
Trong không gian véc tơ E , tập
N = {2x + y , x + y , 3x − 2y} ĐLTT hay PTTT?
Các véc tơ của N là THTT của M = {x , y} và số
véc tơ của N lớn hơn số véc tơ của M nên N
PTTT.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 74 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Định lý
Cho E là một K -kgv hữu hạn chiều, số véctơ
trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau.
Chứng minh.
Giả sử E có 2 cơ sở với số véctơ khác nhau
S = {x1, x2, . . . , xn};H = {y1, y2, . . . , ym}.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 75 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
y1, y2, . . . , ym là các tổ hợp tuyến tính của
x1, x2, . . . , xn
y1, y2, . . . , ym độc lập
tuyến tính m 6 n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 76 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
x1, x2, . . . , xn là các tổ hợp tuyến tính của
y1, y2, . . . , ym
x1, x2, . . . , xn độc lập
tuyến tính n 6 m
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 77 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 78 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
E là K -kgv, dim(E ) = n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
1 tập ĐLTT thì số véctơ 6 n
∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n
đều không là tập sinh của E .
1 tập là tập sinh của E thì
số véctơ > n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 79 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
E là K -kgv, dim(E ) = n.
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
M = {x1, x2, . . . , xk} (k < n) ĐLTT, x không là THTT
của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT
Có thể bổ sung thêm n− k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n)
véctơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 80 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
E là K -kgv, dim(E ) = n.
Nếu M = {x1, x2, . . . , xm} (m > n) là tập sinh của E , xi
là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta
được M ′ = M\{xi} là tập sinh của E .
Nếu M = {x1, x2, . . . , xm} là tập sinh của E thì M chứa
một cơ sở của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 81 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
CHỨNG MINH
NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 82 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
Mọi tập có số véctơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính.
Cơ sở của E là e1, e2, . . . , en.
M = {y1, y2, . . . , ym} là các tổ hợp tuyến tính của
e1, e2, . . . , en
m > n
y1, y2, . . . , ym phụ thuộc
tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 83 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
Mọi tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của
E . Cơ sở của E là e1, e2, . . . , en.
Phản chứng: Giả sử M là tập sinh của E
e1, e2, . . . , en là các tổ hợp tuyến tính của
M = {y1, y2, . . . , ym}
n > m
e1, e2, . . . , en phụ thuộc
tuyến tính.
VÔ LÝ
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 84 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
Một tập của E gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ
sở của E .
M = {y1, y2, . . . , yn} là tập sinh của E .
∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, . . . , yn
λ1y1 + λ2y2 + . . .+ λnyn + λn+1x = 0⇒ λn+1 6= 0.
y1, y2, . . . , yn, x có số véctơ >n nên phụ thuộc tuyến tính
⇒ ∃λi ∈ K , i = 1, n + 1 không đồng thời bằng 0 sao cho
λ1y1 + λ2y2 + . . .+ λnyn + λn+1x = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 85 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
Một tập của E gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
M = {y1, y2, . . . , yn} độc lập tuyến tính. PHẢN CHỨNG:
Giả sử M phụ thuộc tuyến tính
yn biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, . . . , yn−1
∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, . . . , yn ⇒
∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, . . . , yn−1
y1, y2, . . . , yn−1 là tập sinh của E ⇒ VÔ LÝ vì n − 1 < n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 86 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
M = {x1, x2, . . . , xk} (k < n) ĐLTT, x không là THTT
của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT
M ∪ {x} = {x1, x2, . . . , xk , x} ĐLTT.
λ1x1 + λ2x2 + . . .+ λkxk + λk+1x = 0
λk+1 = 0, vì nếu ngược lại, x là tổ hợp tuyến tính của
x1, x2, . . . , xk .
λ1x1 + λ2x2 + . . .+ λkxk = 0 mà x1, x2, . . . , xk ĐLTT nên
λ1 = λ2 = . . . = λk = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 87 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n)
véctơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E . Cơ sở
của E là e1, e2, . . . , ei , . . . , en.
Phản chứng: Giả sử
Mọi véctơ e1, e2, . . . , en là các tổ hợp tuyến tính
của M = {x1, x2, . . . , xk}
n > k
e1, e2, . . . , en phụ thuộc
tuyến tính.
VÔ LÝ ⇒ ∃ei không là THTT của k véctơ của M
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 88 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
M = {x1, x2, . . . , xk} (k < n) ĐLTT, ei không là
THTT của k véctơ của M khi đó M ′ = M ∪ {ei}
ĐLTT
Nếu k + 1 = n thì M ′ là cơ sở của E .
Nếu k + 1 < n thì lặp lại quá trình đó đối với M ′
để có M ′′ gồm k + 2 véctơ ĐLTT. Quá trình này
diễn ra đến khi có được n véc-tơ là cơ sở của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 89 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
Nếu M = {x1, x2, . . . , xm} (m > n) là tập sinh của E , xi là
THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta
được M ′ = M\{xi} là tập sinh của E .
∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua
x1, x2, . . . , xi−1, xi , xi+1, . . . , xm
xi biểu diễn tuyến tính qua x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm
⇒ ∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua
x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xm
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 90 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản
Nếu M = {x1, x2, . . . , xm} là tập sinh của E thì M chứa
một cơ sở của E .
Nếu M độc lập tuyến tính thì nó là cơ sở.
Nếu M PTTT thì có 1 véctơ là THTT của những véctơ
còn lại. Giả sử đó là x1 ⇒ M ′ = M\{x1} vẫn là tập sinh
của E .
Nếu M ′ ĐLTT thì nó là cơ sở. Nếu M ′ PTTT thì ta lặp
lại quá trình trên cho đến khi nhận được n véc-tơ là cơ sở
của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 91 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ
Hệ M = {(1, 1, 1), (1, 1, 5)} có là cơ sở của R3
không?
Không. Vì hệ M có số véctơ bằng 2<n=3 nên M
không là tập sinh của R3 ⇒ M không là cơ sở của
R3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 92 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ
Hệ M = {(1, 1, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 1)} có là cơ sở
của R3 không?
Hệ M độc lập tuyến tính vì
∣∣∣∣∣∣
1 1 2
1 3 1
1 2 1
∣∣∣∣∣∣ = −1 6= 0.
Vậy hệ M có 3 véctơ độc lập tuyến tính nên là cơ
sở của R3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 93 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ
Hệ M = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} có là cơ sở
của R3 không?
Hệ M phụ thuộc tuyến tính vì
∣∣∣∣∣∣
1 4 7
2 5 8
3 6 9
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Vậy hệ M có 3 véctơ phụ thuộc tuyến tính nên là
không là cơ sở của R3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 94 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ
Hệ M = {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} có
là cơ sở của R3 không?
Hệ M có 4 véctơ > 3 (số chiều) nên M phụ thuộc
tuyến tính. Do đó M không là cơ sở của R3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 95 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ
Tìm tất cả m để
M = {x2 + x + 1, 2x + 1, x2 + 2x +m} là cơ sở
của P2(x)?
Số chiều dim(P2(x)) = 3 nên để M là cơ sở của
P2(x) thì M phải độc lập tuyến tính.
⇒
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
1 2 2
1 1 m
∣∣∣∣∣∣ 6= 0⇔ 2m − 3 6= 0⇔ m 6= 32
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 96 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Ví dụ
Cho M = {(1, 1, 1, 1), (−1, 0, 2,−3), (3, 3, 1, 0)};
N = {(−2, 4, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (3, 1, 7, 3)};
P = {(1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 0, 1)}. Có thể
bổ sung thêm 1 véctơ vào hệ nào để được cơ sở
của R−kgv R4?
Để có thể bổ sung thêm véctơ vào hệ để được cơ
sở thì hệ đó phải độc lập tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 97 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Xét hệ M . Lập AM =
((1, 1, 1, 1)T , (−1, 0, 2,−3)T , (3, 3, 1, 0)T )
⇒ r(AM) = 3 ⇒ M độc lập tuyến tính ⇒ Có
thể bổ sung thêm 1 véctơ vào hệ M để được cơ
sở của R−kgv R4.
Xét hệ N . Hệ này có 1 véctơ bằng (0, 0, 0, 0)
nên phụ thuộc tuyến tính ⇒ Không thể bổ
sung thêm 1 véctơ vào hệ N để được cơ sở của
R−kgv R4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 98 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ
Xét hệ P . Ta thấy
(2, 2, 2, 2) = 2.(1, 1, 1, 1) + 0.(3, 2, 0, 1) ⇒ P
phụ thuộc tuyến tính ⇒ Không thể bổ sung
thêm 1 véctơ vào hệ M để được cơ sở của
R−kgv R4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 99 / 112
Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa
Định nghĩa
Cho tập M = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ E . Tập
N = {xi1, xi2, . . . , xir} được gọi là tập con độc lập
tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập
tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp
tuyến tính của các véctơ của N .
Định nghĩa
Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số
véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. Kí hiệu
r(M). Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 100 / 112
Hạng của một hệ véctơ Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P3(x) cho hệ
H = {p1(x) = 5x , p2(x) = x + 3x2, p3(x) =
4x − 5x2, p4(x) = x2 + 6x}. Tìm hạng của H .
p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ
λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0
⇒ 3λ2x2 + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0.
p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến
tính của p1(x), p2(x)
Nên hạng của H bằng 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 101 / 112
Hạng của một hệ véctơ Hệ các véctơ cột và hệ các véctơ hàng
Hạng của hệ các véctơ cột và hệ các véctơ hàng
Định lý
Cho ma trận A ∈ Mm×n(K ). Khi đó nếu gọi rh và
rc tương ứng là hạng của các véctơ hàng và các
véctơ cột tương ứng của A thì
rank(A) = rh = rc .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 102 / 112
Hạng của một hệ véctơ Ví dụ
Ví dụ
Trong R4 tìm hạng của hệ các véctơ sau:
x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2),
x3 = (2, 0,−1, 4), x4 = (1,−2,−5, 4),
x5 = (5, 2, 0, 6)
1 2 4 0
3 2 1 2
2 0 −1 4
1 −2 −5 4
5 2 0 6
 BĐSC hàng−−−−−−−−→

1 2 4 0
0 −4 −11 2
0 0 2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
⇒
rA = 3 nên hạng của hệ các véctơ cũng bằng 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 103 / 112
Hạng của một hệ véctơ Ví dụ
Ví dụ
Cho A ∈ M5×6(R). Gọi M là họ các véc tơ hàng
của A; N là họ các véc tơ cột của A. Biết hạng của
A bằng 5. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
1 M độc lập tuyến tính, N phụ thuộc tuyến tính.
2 M ,N đều độc lập tuyến tính.
3 M ,N đều phụ thuộc tuyến tính.
4 Các câu kia đều sai.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 104 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ
Định nghĩa
Cho K -kgv E , dim(E ) = n. B = {e1, e2, . . . , en}
là một cơ sở có sắp xếp thứ tự của E . Như vậy
∀x ∈ E ,∃x1, x2, . . . , xn ∈ K : x =
n∑
i=1
xiei . Các số
xi , (i = 1, 2, . . . , n) được xác định duy nhất và
được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở B . Kí
hiệu [x ]B =

x1
x2...
xn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 105 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ
Định lý
Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì
1 Tọa độ [x ]B là duy nhất.
2 [αx ]B = α[x ]B , ∀α ∈ K .
3 [x + y ]B = [x ]B + [y ]B , ∀x , y ∈ E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 106 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
Ví dụ
Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B
của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2)
Tìm x1, x2, x3 để
x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2)
⇔

x1 + 2x2 + x3 = 6
x1 + x2 = 5
3x2 + 2x3 = 4
⇔

x1 = 3
x2 = 2
x3 = −1
Vậy [x ]B = (3, 2,−1)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 107 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở
p1(x) = 1 + x , p2(x) = 1− x , p3(x) = x2 + x .
Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x2 + 7x − 2
p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x)
⇔ x2+7x−2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x2+x)
⇔

λ3 = 1
λ1 − λ2 + λ3 = 7
λ1 + λ2 = −2
⇔

λ1 = 2
λ2 = −4
λ3 = 1
Vậy [p(x)]B = (2,−4, 1)T .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 108 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ma trận chuyển cơ sở
Ma trận chuyển cơ sở
Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en} và
B ′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là 2 cơ sở của E . Giả sử giữa
B và B ′ có mối liên hệ
e ′i =
n∑
k=1
skiek = s1ie1+s2ie2+. . .+snien, i = 1, 2, . . . n.
⇔

e ′1 = s11e1 + s21e2 + . . . + sn1en
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ′n = s1ne1 + s2ne2 + . . . + snnen
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 109 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ma trận chuyển cơ sở
Định nghĩa
Ta gọi ma trận S =

s11 . . . s1i . . . s1n
s21 . . . s2i . . . s2n
. . . . . . . . . . . . . . .
sn1 . . . sni . . . snn

được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B ′.
Ký hiệu S = Pass(B ,B ′).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 110 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau
Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau
Cho K -kgv E , B = {e1, e2, . . . , en} và
B ′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là 2 cơ sở của E .
Giả sử x ∈ E , khi đó
x =
n∑
k=1
xkek hay [x ]B = (x1, x2, . . . , xn)T và
x =
n∑
i=1
x ′i e
′
i hay [x ]B ′ = (x ′1, x ′2, . . . , x ′n)T
Hãy tìm mối liên hệ giữa [x ]B và [x ]B ′?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 111 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau
x =
n∑
i=1
x ′i e
′
i
= x ′1e
′
1 + x
′
2e
′
2 + . . . + x
′
ne
′
n
= x ′1(s11e1+ s21e2+ . . .+ sn1en)+x
′
2(s12e1+ s22e2+
. . .+ sn2en) + . . .+ x
′
n(s1ne1 + s2ne2 + . . .+ snnen)
= (s11x
′
1+ s12x
′
2+ . . .+ s1nx
′
n)e1+ (s21x
′
1+ s22x
′
2+
. . .+ s2nx
′
n)e2+ . . .+(sn1x
′
1+ sn2x
′
2+ . . .+ snnx
′
n)en
=
n∑
k=1
xkek = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 112 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau
x1 = s11x
′
1 + s12x
′
2 + . . . + s1nx
′
n
x2 = s21x
′
1 + s22x
′
2 + . . . + s2nx
′
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = sn1x
′
1 + sn2x
′
2 + . . . + snnx
′
n
x1
x2...
xn
 =

s11 s12 . . . s1n
s21 s22 . . . s2n
. . . . . . . . . . . .
sn1 sn2 . . . snn


x ′1
x ′2...
x ′n

⇒ [x ]B = S [x ]B ′, [x ]B ′ = S−1[x ]B .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 113 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho 2 cơ sở
B = {2x2 + x , x2 + 3, 1},
B ′ = {x2 + 1, x − 2, x + 3} và véctơ
p(x) = 8x2 − 4x + 6.
1 Tìm ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang
B ′.
2 Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B ,B ′.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 114 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
Ta có e ′1 = x2 + 1, e ′2 = x − 2, e ′3 = x + 3 và
e1 = 2x
2 + x , e2 = x
2 + 3, e3 = 1. Ta sẽ tìm tọa
độ của e ′1, e ′2, e ′3 theo cơ sở B tức là
⇔

e ′1 = s11e1 + s21e2 + s31e3
e ′2 = s12e1 + s22e2 + s32e3
e ′3 = s13e1 + s23e2 + s33e3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 115 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
e ′1 = s11e1 + s21e2 + s31e3
⇔ s11(2x2 + x) + s21(x2 + 3) + s31.1 = x2 + 1
⇔

2s11 + s21 = 1
s11 = 0
3s21 + s31 = 1
⇔ s11 = 0, s21 = 1, s31 = −2.
Dạng ma trận
 2 1 01 0 0
0 3 1
 s11s21
s31
 =
 10
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 116 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
e ′2 = s12e1 + s22e2 + s32e3
⇔ s12(2x2 + x) + s22(x2 + 3) + s32.1 = x − 2
⇔

2s12 + s22 = 0
s12 = 1
3s22 + s32 = −2
⇔ s12 = 1, s22 = −2, s32 = 4.
Dạng ma trận
 2 1 01 0 0
0 3 1
 s12s22
s32
 =
 01
−2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 117 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
e ′3 = s13e1 + s23e2 + s33e3
⇔ s13(2x2 + x) + s23(x2 + 3) + s33.1 = x + 3
⇔

2s13 + s23 = 0
s13 = 1
3s23 + s33 = 3
⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = 9.
Dạng ma trận
 2 1 01 0 0
0 3 1
 s13s23
s33
 =
 01
3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 118 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
Vậy ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B ′ là
S =
 0 1 11 −2 −2
−2 4 9

Chú ý.
 2 1 01 0 0
0 3 1
 .S =
 1 0 00 1 1
1 −2 3

⇒ S =
 2 1 01 0 0
0 3 1
−1 .
 1 0 00 1 1
1 −2 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 119 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B ,B ′.
Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa
p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3
⇔ λ1(2x2+ x)+λ2(x2+3)+λ3.1 = 8x2− 4x +6
⇔

2λ1 + λ2 = 8
λ1 = −4
3λ2 + λ3 = 6
⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42.
⇒ [p(x)]B = (−4, 16,−42)T .
Tọa độ của p(x) trong cơ sở B ′ là
[p(x)]B ′ = S
−1.[p(x)]B = (8,−2,−2)T
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 120 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 121 / 112