Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học hệ thống điều khiển liên tục - Võ Văn Đinh

hái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
Trong đó:
























5610
100
010
100
010
123 aaa
A











1
0
0
B
   01020012  bbbC
B- Phương pháp tọa độ pha
144
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Nhận xét:
Mặt dù ví dụ cho ở sơ đồ khối mục A và mục B là như nhau
nhưng hệ phương trình trạng thái thành lập được ở hai ví dụ
trên lại khác nhau. Điều này không có gì vô lý vì là bản chất 
các biến trạng thái là các biến phụ được đặt ra nhằm chuyển
phương trình vi phân bậc n thành hệ gồm n phương trình vi
phân bậc nhất, do cách đặt biến trạng thái ở hai ví dụ trên là 
khác nhau nên kết quả hệ phương trình biến trạng thái bắt buộc 
phải khác nhau.
145
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt biến 
trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối.
R(s) C(s)
)3)(1(
10
 sss
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Ví dụ 1: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ 
thống có sơ đồ khối như sau:
146
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống trên với các biến trạng thái được 
đặt như sau:
R(s) C(s)
s
1
)1(
1
s )3(
10
s
X3(s) X2(s) X1(s)
147
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Với cách đặt biến trạng thái như hình vẽ, ta có các quan hệ sau:
)(
3
10
)( 21 sX
s
sX


)(10)(3)( 211 sXsXssX 
(2.76) )(10)(3)( 211 txtxtx  
148
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
)(
1
1
)( 32 sX
s
sX


)()()( 322 sXsXssX 
(2.77) )()()( 322 txtxtx  
149
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
 )()(1)(3 sCsR
s
sX 
)()()( 13 sXsRssX 
(2.78) )()()( 13 trtxtx  
150
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Kết hợp (2.76), (2.77) và (2.78) ta được hệ phương trình trạng 
thái:
(2.79) )(.
1
0
0
)(
)(
)(
001
110
0103
)(
)(
)(
3
2
1
3
2
1
tr
tx
tx
tx
tx
tx
tx

















































151
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Đáp ứng của hệ thống:
 











)(
)(
)(
.001)()(
3
2
1
1
tx
tx
tx
txtc
152
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Ví dụ 2: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ 
thống có sơ đồ khối như sau:
R(s) C(s)
4
3
s 5
2


s
s
6
1


s
s
E(s) X2(s) X1(s)
X3(s)
153
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Với các biến trạng thái như sơ đồ khối, ta có các quan hệ sau:
)(
5
2
)( 21 sX
s
s
sX



(2.80) )()(2)(5)( 2211 ssXsXsXssX 
154
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
 )()(
4
3
)(
4
3
)( 322 sXsR
s
sE
s
sX 




(2.81) )(3)(3)(4)( 322 sRsXsXssX 
)(
6
1
)( 13 sX
s
s
sX



(2.82) )()(6)()( 1313 ssXsXsXssX 
155
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Thay sX2(s) ở biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta được:
)(3)(3)(4)(2)(5)( 32211 sRsXsXsXsXssX 
(2.83) )(3)(3)(2)(5)( 3211 sRsXsXsXssX 
156
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Thay sX1(s) ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được:
)(3)(3)(2)(5)(6)()( 321313 sRsXsXsXsXsXssX 
(2.84) )(3)(9)(2)(4)( 3213 sRsXsXsXssX 
157
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Từ các biểu thức (2.81), (2.82) và (2.84) ta suy ra hệ phương 
trình trạng thái:








)(3)(9)(2)(4)(
)(3)(3)(4)(
)(3)(3)(2)(5)(
3213
322
3211
trtxtxtxtx
trtxtxtx
trtxtxtxtx



158
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ 
khối
Giải:
C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ
Viết lại dưới dạng ma trận:
)()()( tBrtAxtx 
Trong đó:
;
924
340
325













A











3
3
3
B; 
)(
)(
)(
)(
3
2
1











tx
tx
tx
tx
Đáp ứng của hệ: )()()( 1 tCxtxtc 
 001C
159
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Để thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta 
thực hiện theo các bước sau:
(2.85) 
)()(
)()()(





tCxtc
tBrtAxtx
1. Thành lập biến phương trình trạng thái ở dạng thường:
2. Thực hiện phép đổi biến trạng thái:
)()( tMytx 
160
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc





)()(
)()()(
tCMytc
tBrtAMytyM
Thay vào phương trình (2.85))()( tMytx 







)()(
)()()( 11
tCMytc
tBrMtAMyMty






)()(
)()()(
tyCtc
trBtyAty
161
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
AMMA 1Trong đó:
BMB 1
CMC 
Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương 
trình (2.85).
Để (2.86) có dạng chính tắc, phải chọn M sao cho ma trận
M-1AM chỉ có đường chéo khác 0.
162
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M được 
chọn như sau:

















 11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
n
n
nnn
n
n
M








Trong đó I, (i = 0  n) là các trị riêng của ma trận A, tất là 
nghiệm của phương trình: det(I –A) = 0
163
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Ví dụ:
Cho hệ thống có hàm truyền:
23
13
)(
)(
)(
2 


ss
s
sR
sC
sG
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái chính tắc mô tả hệ 
thống.
164
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
Áp dụng phương pháp tọa độ pha ta dễ dàng suy ra hệ phương 
trình trạng thái mô tả hệ thống là:
Trong đó:





)()(
)()()(
tCxtc
tBrtAxtx








32
10
A 






1
0
B  31C
165
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
Trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:
0)det( AI
0
32
10
10
01
det 




















 
0
32
1
det 


















166
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
0232  






2
1
2
1


Thực hiện phép đổi biến: x(t) = My(t) với ma trận M là:














21
1111
21 
M












 

 
11
12
11
12
1)1()2(1
11M
167
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
Với cách biến đổi trên, ta được hệ phương trình biến trạng thái 
có dạng:





)()(
)()()(
tyCtc
trBtyAty
168
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
Trong đó:

























 
20
01
21
11
32
10
11
121AMMA




















 
1
1
1
0
11
121BMB
   21
11
12
31 






CMC
169
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc
Giải :
Vậy hệ phương trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là:
)(.
1
1
)(
)(
20
01
)(
)(
2
1
2
1 tr
ty
ty
ty
ty





























  






)(
)(
21)(
2
1
ty
ty
tc
170
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Cho hệ thống mô tả bởi hpt trạng thái:





)()(
)()()(
tCxtc
tBrtAxtx
Biến đổi Laplace hai vế phương trình trên (giả sử điều kiện đầu 
bằng 0), ta được:
(2.89) )()(
(2.88) )()()(
sCXsC
sBRsAXssX


171
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Từ (2.88) suy ra:
)()()( sBRsXAsI 
)()()( 1 sBRAsIsX 
)()()( 1 sBRAsICsCX 
Kết hợp với biểu thứ (2.88) ta được
)()()( 1 sBRAsICsC 
(2.90) )(
)(
)(
)( 1BAsIC
sR
sC
sG 
172
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Công thức (2.90) cho phép ta tính được hàm truyền khi biết hệ
phương trình trạng thái:
Ví dụ: cho hệ thống có hệ phương trình biến trạng thái là:
)(.
1
0
)(
)(
32
10
)(
)(
2
1
2
1 tr
tx
tx
tx
tx



























  






)(
)(
31)(
2
1
tx
tx
tc
Tính hàm truyền của hệ thống?
173
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Giải:
Hàm truyền của hệ thống là: BAsICsG 1)()( 






















32
1
32
10
10
01
)(
s
s
sAsI
Ta có:




















s
s
sss
s
AsI
2
13
23
1
32
1
)(
2
1
1
174
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Giải:
Ta có:






















 
ssss
s
ss
BAsI
1
23
1
1
0
2
13
23
1
)(
22
1
 
23
131
31
23
1
)(
22
1









 
ss
s
sss
BAsIC
23
13
)(
2 


ss
s
sGVậy ta có hàm truyền:
175
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Cho hệ thống có phương trình trạng thái như sau:
(2.92) )()(
(2.91) )()()(
tCxtc
tBrtAxtx


Muốn tính được đáp ứng của hệ thống khi biết tin hiệu vào r(t), 
trước tiên ta phải tính được nhiệm x(t) của phương trình (2.91).
176
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.91) ta được:
(2.93) )()()x(0)()(
)()0()()(
)()()0()(
11 sBRAsIAsIsX
sBRxsXAsI
sBRsAXxssX






Đặt: , thay vào phương trình (2.93) ta được:-1)()( AsIs 
(2.94) )()()0()()( sBRsxssX  
177
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94), ta được:
(2.95) d)()()0()()(
0
 

t
Brtxttx
Trong đó:
(2.96) ])[()]([)( 111   AsIst LL
Ma trận (t) được gọi là ma trận quá độ của hệ thống. Tính
(t) theo (2.96) tương đối khó khăn, nhất là đối với các hệ 
thống bậc ba trở lên, do trước tiên phải tính ma trận nghịch 
đảo, sau đó thực hiện phép biến đổi Laplace ngược. Công thức 
dẫn ra dưới đây sẽ cho việc tính toán (t) dễ dàng hơn.
178
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy khi r(t) = 0 thì:
(2.97) )0()()(  xttx
Mặt khác, khi r(t) = 0 phương trình (2.91) trở thành:
(2.98) )()( tAxtx 
Nhiệm của (2.98) là:
(2.99) )0()(  xetx At
179
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
So sánh (297) và (2.99) suy ra:
(2.100) )( Atet 
Theo định lý Haley – Hamilton, ta có:
(2.101) ][...][][)( 11
2
210 ACACACICet
n
n
At 

Thay A = ,  là các trị riêng của ma trận A (tất là nghiệm của
phương trình det(I –A) = 0) vào biểu thức (2.101), ta sẽ tính 
được các hệ số Ci (i = 0 (n-1)).
180
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Tóm lại:
• Để tính nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái ta thực 
hiện các bước sau đây:
1- Tính ma trận quá độ (t) theo công thức (2.96) hoặc (2.101).
2- Tính nghiệm của phương trình biến trạng thái theo công thức
(2.95), nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:
 d)()()(
0
 
t
Brttx
181
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Tóm lại:
• Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phương pháp biến 
trạng thái, trước tiên tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng 
thái, sau đó tính:
)()( tCxtc 
182
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Ví dụ:
Cho hệ thống có hàm truyền là:
23
)(
2 

ss
s
sG
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống trên
2- Tìm ma trận quá độ
3- Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị
(giả sử điều kiện đầu bằng 0).
183
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
23)(
)(
2 

ss
s
sR
sC
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
Theo đề bài ta có:
)()()23( 2 ssRsCss 
)()(2)(3)( trtctctc  
Đặt biến trạng thái như sau:
)()()(
)()(
12
1
trtxtx
tctx



184
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
Trong đó:















32
1010
12 aa
A





)()(
)()()(
tCxtc
tBrtAxtx














3
1
2
1


B
185
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái
do 1 = b0 = 1
2 = b1 – a11 = 0 – 3*1 =3
C = [ 1 0 ]
186
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
Cách 1:
2- Tính ma trận quá độ
])[()]([)( 111   AsIst LL
Ta có:


















 
s
s
sss
s
ss
AsIs
2
13
)2)(1(
1
2
13
23
1
)()(
2
1






















32
1
32
10
10
01
)(
s
s
sAsI
187
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
2- Tính ma trận quá độ




























 
)2)(1()2)(1(
2
)2)(1(
1
)2)(1(
3
)]([)( 11
ss
s
ss
ssss
s
st LL











































)2)(1()2)(1(
2
)2)(1(
1
)2)(1(
3
11
11
ss
s
ss
ssss
s
LL
LL
188
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
2- Tính ma trận quá độ





















































)2(
2
)1(
1
)2(
2
)1(
2
)2(
1
)1(
1
)2(
1
)1(
2
)]([
11
11
1
ssss
ssss
s
LL
LL
L












)2()22(
)()2(
)(
22
22
tttt
tttt
eeee
eeee
t
189
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
Cách 2:
2- Tính ma trận quá độ
(2.102) 10 ACICeΦ(t)
At 
Các trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(sI - A) = 0
0
32
10
10
01
det 




















 
0232  






2
1
2
1


190
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
2- Tính ma trận quá độ
Thay A = i vào công thức (2.102), ta được:





210
110
2
1




CCe
CCe
t
t








10
2
10
2CCe
CCe
t
t








tt
tt
eeC
eeC
2
1
2
0 2
191
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
2- Tính ma trận quá độ
Thay C0 và C1 vào công thức (2.102), ta được:













 
32
10
)(
10
01
)2()( 22 tttt eeeet











)2(22(
)()2(
)(
22
22
tttt
tttt
eeee
eeee
t
Ta thấy ma trận quá độ tính theo hai cách đều cho kết quả 
giống nhau
192
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
3- Đáp ứng của hệ thống
Trước tiên ta tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái. Với 
điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phương trình trạng thái là:
 d)()()(
0
 
t
Brttx



d
eeee
eeeet
tttt
tttt















  

3
1
)2(22(
)()2(
0
)(2)()(2)(
)(2)()(2)(
193
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
3- Đáp ứng của hệ thống



d
ee
ee
tx
t
tt
tt
)4(
)2(
)(
0
)(2)(
)(2)(
 





























t
tt
t
tt
dee
dee
0
)(2)(
0
)(2)(
)4(
)2(




194
2.4 TÓM TẮT
Chương này đã trình bày hai phương pháp mô tả toán học hệ 
thống tự động là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp
không gian trạng thái.
Tùy theo hệ thống và bài toán điều khiển cần giải quyết mà 
chúng ta chọn bài toán mô tả toán học phù hợp.
Nếu bài toán là bài toán phân tích, nếu hệ thống có một ngõ vào, 
một ngõ ra và nếu quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra có thể biểu 
diễn bằng một phương trình vi phân hệ số hằng thì có thể chọn
phương pháp hàm truyền đạt hay phương pháp không gian trạng 
thái đều được.
195
2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Giải :
3- Đáp ứng của hệ thống

















tt
tt
ee
ee
tx
tx
tx
2
2
2
1
21)(
)(
)(
  tt eetx
tx
tx
tc 21
2
1 )(
)(
)(
01)(  






Đáp ứng của hệ thống là:
196
2.4 TÓM TẮT
Nếu hệ thống khảo sát là hệ biến đổi theo thời gian hay hệ phi 
tuyến, hệ đa biến thì phương pháp không gian trạng thái nên 
được sử dụng.
Nếu bài toán là bài toán thiết kế hệ thống điều khiển tối ưu thì 
bất kể hệ thống loại gì ta phải chọn phương pháp không gian 
trạng thái.