Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Võ Văn Đinh

 
trình đặc trưng:
jsssAp  044)(
2
Kết luận:
- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình 
đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
- Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nằm trên trục ảo.
- Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 - 2 = 3.
 Hệ thống ở biên giới ổn định.
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
0...)( 1
1
10  

nn
nn asasasasA
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, 
trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo quy tắc:
- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n
- Đường chéo ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an.
- Hàng lẽ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số lẽ theo 
thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở
bên trái đường chéo.
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ




















na
aaa
aaa
aaaa
aaaa






0
00
00
0
0
420
531
6420
7531
- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số chẵn
theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần 
nếu ở bên trái đường chéo.
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định 
thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.
Ví dụ 6: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là
0234 23  sss
Hỏi hệ thống có ổn định không?
Giải:
Ma trận Hurwitz:





















240
031
024
0
0
0
31
20
31
aa
aa
aa
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
Các định thức:
111  a 102134
31
24
20
31
2 












aa
aa
20102
31
24
2
0
0
0
20
31
3
31
20
31
3 























aa
aa
a
aa
aa
aa
Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận
Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn định.
4.3.1 Khái niệm
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Xét hệ thống có phương trình đặc tính
(4.10) 042  Kss
Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trị khác
nhau của K:
K = 0: s1 = 0 s2 = - 4
K = 1: s1 = - 0,268 s2 = - 3,732
K = 2: s1 = - 0,586 s2 = - 3,414
K = 3: s1 = - 1 s2 = - 3
K = 4: s1 = - 2 s2 = - 2
4.3.1 Khái niệm
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
K = 5: s1 = - 2 + j s2 = - 2 - j
K = 6: s1 = - 2 + j1,414 s2 = - 2 - j1,414
K = 7: s1 = - 2 + j1,732 s2 = - 2 - j1,732
K = 8: s1 = - 2 + j2 s2 = - 2 - j2
Vẽ các nhiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá 
trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 
đến +, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo 
thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên 
hình vẽ được gọi là quỷ đạo nghiệm số.
4.3.1 Khái niệm
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Định nghĩa:
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương 
trình đặc tính của hệ thống khi khi có một thông số nào đó
trong hệ thống thay đổi từ 0 đến .
0- 1- 2- 3- 4
+ 2j
+ 1j
- 1j
- 2j
Re
Im s
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Xét hệ thống có sơ đồ khối sau:
G(s)
R(s)
H(s)
C(s)
Phương trình đặc tính của hệ:
(4.11) 0)().(1  sHsG
Muốn áp dụng các quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số, trước tiên ta 
phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng:
(4.12) 0
)(
)(
1 
sD
sN
K
trong đó K là thông số thay đổi.
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Đặt:
Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của G0(s), phương trình
(4.12) trở thành:
)(
)(
0
sD
sN
KG 
0)(1 0  sG






)12()(
1)(
0
0
lsG
sG Điều kiện biên độ
Điều kiện pha
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Sau đây là 11 quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số của hệ thống có
phương trình đặc tính có dạng (4.12);
Quy tắc 1: Số nhánh của quỷ đạo nghiệm số = bậc của phương 
trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.
Quy tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỷ đạo nghiệm số xuất 
phát từ các cực của G0(s).
Quy tắc 3: Quỷ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỷ đạo nghiệm 
số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẽ.
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Quy tắc 5: Góc tạo bởi đường tiệm cận của quỷ đạo nghiệm 
số với trục thực xác định bởi:
Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm
A xác định bởi:
(4.13) ...)2 ,1 ,0( 
)12(



 l
mn
l 

(4.14) 
zero
OA 11
mn
zp
mn
m
i
i
n
i
i






 cùc
Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỷ đạo nghiệm số 
nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
0
ds
dK
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Quy tắc 8: Giao điểm của quỷ đạo nghiệm số với trục ảo có 
thể xác định bằng một trong hai cáh sau đây:
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz.
- Thay s = j vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng phần 
thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K.
Quy tắc 9: Góc xuất phát của quỷ đạo nghiệm số tại cực phức
pj được xác định bởi:
(4.15) )arg()arg(180
11
0 



n
ji
i
ij
m
i
ijj zpzp
Dạng hình học của công thức trên là: j = 180
0 + ( góc từ các
zero đến cực pj) - ( góc từ các cực còn lại đến cực pj).
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 
đến +
Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỷ đạo nghiệm số có 
thể xác định từ điều kiện biên độ
(4.16) 1
)(
)(
. 
sD
sN
K
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +
(1) 0
)3)(2(
10)(1 


sss
K
sG
G(s)
R(s) C(s)
)3)(2(
)(


sss
K
sG
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Các cực: ba cực: p1 = 0 , p2 = - 2 ; p3 = -3
 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Các zero: không có.
Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô 
cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:


















)1(
)1(
3
)0(
3
03
)12()12(
3
2
1
l
l
l
l
mn
l







4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
3
5
0-3
0)3()2(0[zero
OA 






mn
cùc
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình 0
ds
dK
Ta có (1) )65()3)(2( 23 ssssssk 
)6103( 2  ss
ds
dK
Do đó 0
ds
dK )(
785,0
549,2
0)6103( 12
lo¹i
s2





s
ss
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định bằng một
trong hai cách sau đây:
Ta có (1) (2) 065 23  Ksss
Cách 1:
Áp dụng tiêu chuẩn Routh
s3 1 6
s2 5 K
s1 0
s0 K
3
1
5
 
1
6
5
K
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Điều kiện để hệ thống ổn định:
300
0
0
5
1
6







K
K
K
Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh = 30.
Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình
ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.









6
6
5
03065
3
2
1
23
js
js
s
sss
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
0)(6)(5)( 23  Kjjj 
Cách 2:
Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s = j.
Thay s = j vào phương trình (1) ta được:
065 23  Kjj 







05
06
2
3
K

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ


















30
6
0
0
K
K


0- 3
Re
Im s
- 2
6j
6j
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 8: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền 
hở là:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +
(1) 0
)208(
10)(1
2



sss
K
sG
)208(
)(
2 

sss
K
sG
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Các cực: p1 = 0 , p2 = - 4 + j2 ; p3 = - 4 – j2
 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Các zero: không có.
Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô 
cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:


















)1(
)1(
3
)0(
3
03
)12()12(
3
2
1
l
l
l
l
mn
l







4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
3
8
0-3
0)2_4()24(0[zero
OA 





 jj
mn
cùc
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình 0
ds
dK
Ta có (1) 0208
23  Ksss
)20163( 2  ss
ds
dK
Do đó 0
ds
dK






00,2
33,3
0)20163( 12
2s
s
ss
)208( 23 sssK 
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Vậy, quỷ đạo nghiệm có hai nghiệm tách nhập.
0208)1( 23  Ksss
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách
thay s = j vào phương trình đặc tính.
Thay s = j ta được:
0)(20)(8)( 23  Kjjj 
0208 23  Kjj 
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
























160
20
0
0
020
08
3
2
K
KK




Vậy, giao điểm của QĐNS và trục ảo là: 20js 
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2 là:
 )arg()arg(180 3212
0
2 pppp 
 )]24()24arg[(]0)24arg[(1800 jjj 
otg 5,6390
4
2
180 10 












 
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Vẽ QĐNS của hệ thống:
0
Re
Im s
20j
20j
-63,50
-1-2-3-4
+j2
- j2
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Ví dụ 9: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền 
hở là:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +
(1) 0
)208)(3(
)1(
10)(1
2




ssss
sK
sG
)208)(3(
)1(
)(
2 


ssss
sK
sG
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Các cực: p1 = 0 , p2 = - 3 ; p3,4 = - 4  j2
 QĐNS gồm có bốn nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Các zero: z1 =1
Khi K  +, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến 
đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:


















)1(
)1(
3
)0(
3
14
)12()12(
3
2
1
l
l
l
l
mn
l







4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
3
10
1-4
)1()]24()24()3(0[
zero
OA







jj
mn
cùc
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình 0
ds
dK
Ta có (1) 0)1()208)(3( 2  sKssss
)1(
)208)(3( 2



s
ssss
K
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
2
234
)1(
608877263



s
ssss
ds
dK
Do đó 0
ds
dK
0608877263 234  ssss






97,066,0
05,167,32,1
j
js
3,4s
Vậy, quỷ đạo nghiệm số không có điểm tách nhập
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
0)1()208)(3()1( 2  sKssss
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách
thay s = j vào phương trình đặc tính.
Thay s = j ta được:
0)60(4411 234  KsKsss
0))(60()(44)(110( 234  KjKjjj 
0)60(4411 234  KjKj 
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ

























7,61
314,1
322
893,5
0
0
K
j
K
K



Vậy, giao điểm cần tìm là:
Hệ số khuếch đại giới hạn là: Kgh = 322
893,5js 
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3
)(180 4321
0
3  
)906,1164,153(3,146180 
o7,333 
0
Re
Im s
893,5j
-1-4
+j2
- j2
-2-3
893,5j
o7,33
1 2
3
4
4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:
Đa thức A(s) được viết dưới dạng:
(4.17) 0...)( 1
1
10  

nn
nn asasasasA
))...()(()( 210 npspspsasA 
Với p1, p2, ,pn là cực của hệ thống, là nghiệm của phương 
trình đặc tính.
Thay s = j vào phương trình (4.17) ta có:
))...()(()( 210 npjpjpjajA  
4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực
dương), còn (n – m) nghiệm trái có phần thực âm.
Góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số G(j)



n
i
ipjjA
1
)arg()(arg 
j
+
(j -Pm)(j -Pn - m)
0
j
+ -  Pm
Pn - m
4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Khi tần số  thay đổi từ - đến + thì sự thay đổi góc quay 
của véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ là:

 

n
i
ipjjA
1
)arg()(arg


Ký hiệu  chỉ sự thay đổi góc quay.
Nếu quy định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim 
đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:




 )arg( mnpj 



)arg( mpj
Hệ có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái:


)2()()(arg mnmmnjA 

4.4.1 Nguyên lý góc quay
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc bằng 
hiệu số nghiệm trái (n – m) và nghiệm phải (m) nhân với  khi
 biến thiên từ - đến +.
Nguyên lý góc quay:
Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái có
vectơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc là (n – 
2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số
 biến thiên từ - đến +


2.
2
2
)(arg 




 


mn
jA
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V.
Mikhailov phát biểu vào năm 1938:
Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ
đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  
bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +


2.
2
2
)(arg 




 


mn
jA
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
 Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V.
Mikhailov phát biểu vào năm 1938:
Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ
đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  
bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +, với n là bậc 
của phương trình đặc tính của hệ thống.
 Chứng minh:
Xét hệ thống bậc n có phương trình đâc tính:
(4.18) 0...)( 1
1
10  

nn
nn asasasasA
Hệ thống ổn định nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức.
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Theo nguyên lý góc quay:
Vì A(j) và A(-j) là phức liên hợp nên:
(4.19) )(arg 

njA 

(4.20) )(arg)(arg
00 


 jAjA
Do đó phương trình (4.20) có thể được viết dưới dạng:
2
)(arg
0



njA 

4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Hệ ổn định
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
Re
Im
0  = 0
 
Hệ không ổn định
n = 1
Re
Im
0  = 0
n = 4
n = 2
n = 3
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
 Xây dựng biểu đồ Mikhailov
 Thay s = j vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực 
và phần ảo:
)()()(  jQPjA 
Trong đó: P() là hàm chẵn với : P(-) = P()
Q() là hàm lẻ với : Q(-) = - Q()
 Từ biểu thức A(j) nhận được bằng cách thay s = j vào 
mẫu số hàm truyền:
nn
nn ajajajajA  
 )(...)()()( 1
1
10 
Ta nhận thấy A(j) chính là đường chéo của đa giác có cạnh
tương ứng bằng ak
n-k và các cạnh vuông góc với nhau.
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 3
Cho  biến thiên từ 0 đến  bằng phương pháp xây dựng toàn 
bộ biểu đồ đa thức đặc tính A(j).
32
2
1
3
0 )()()()( ajajajajA  
Re
Im
0
3a
12a
2
11a
3
10a
)( jA
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
 Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt của hệ cần xét ổn 
định ở trạng thái hở hoặc trạng thái kín) được phân tích thành
hai thành phần:
)()()( sKsDsA 
Ví dụ: 0)()1)(1)(1()( 321  KsDKsTsTsTsA
T1 = 0,5; T2 = 2; T3 = 0,1. Tính Kgh




00
)()(arg KjDjA
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Xây dựng biểu đồ: )()()(  jQPjA 
Từ đó suy ra: 225,11)(  P
)1,06,2.()( 2 Q






0)(
)(
?
0
0


Q
KP
K ghgh
1,0
6,2
0 
5,31
1,0
6,2
25,11 





ghK
 = 0
Im
Re
10
Kgh
Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
G(s)
R(s) C(s)
Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặc ra là xét 
tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Tiêu chuẩn Nyquist
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở
G(s) bao điểm (-1, j0)l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều
kim đồng hồ) khi  thay đổi từ 0 đến +, trong đó l là số cực 
của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức.
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) 
có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết G(s) ổn định. Xét 
tính ổn định của hệ thống.
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Im
Re
0
(-1, j0)
(1)
(2)
(3)
 = 0
Vì G(s) ổn định trên trên G(s) không có cực nằm bên phải mặt 
phẳng phức. Do đó theo tiêu chuẩn Nyquyst hệ kín ổn định nếu 
đường cong Nyquyst G(j) của hệ hở không bao điểm (-1,j0), 
vì vậy:
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.
Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn 
định.
Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn 
định.
Chú ý: đối với hệ thống có khâu tích phân lý tưởng. Để xác 
định đường cong Nyquyst có bao điểm (-1,j0) hay không ta vẽ
thêm cung -/2 bán kính vô cùng lớn ( là số khâu tích phân lý 
tưởng trong hàm truyền hệ hở)
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết 
hàm truyền của hệ hở là:
)1)(1)(1(
)(
321 

sTsTsTs
K
sG
Giải: tủy theo giá trị của K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquyst của 
hệ hở có thể có một trong ba dạng sau:
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
jQ()
0
(-1, j0)
(1)
(2)
(3)
 = 0

G(j)
P()
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Vì hệ kín không có cực nằm phía bên phải mặt phẳng phức nên:
Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.
Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn 
định.
Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn 
định.
Ví dụ: cho hệ thống có biểu đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín 
có ổn định không?
4.4.4 Tiêu chuẩn ổn ổn định Bode
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
G(s)
R(s) C(s)
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ
biên và độ dự trữ pha dương.





0
0
M
GM
Hệ thống ổn định