Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống - Võ Văn Đinh

BÀI GIẢNG
LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Thạc sĩ VÕ THANH VIỆT
NĂM 2009
CHƯƠNG 5: ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG
5.1 Các tiêu chuẩn chất lượng
5.2 Sai số xác lập
5.3 Đáp ứng quá độ
5.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng quá độ
5.5 Đánh giá chất lượng quá trình quá độ theo đặc 
tính tần số của hệ thống
5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG
Ổn định là điều kiện cần đối với một hệ thống ĐKTĐ, nhưng
chưa phải là đủ để hệ thống được sử dụng trong thực tế. Nhiều
yêu cầu đòi hỏi hệ thống phải thỏa mãn được cùng lúc các tiêu 
chuẩn chất lượng khác nhau như:
- Độ chính xác.
- Độ ổn định.
- Đáp ứng quá độ.
- Độ nhậy
- Khã năng chống nhiễu
Sau đây là một số tiêu chuẩn thường dùng để đánh giá chất 
lượng hệ thống điều khiển.
1- Sai số xác lập
Sai số là hiệu số giữa tín hiệu vào và tín hiệu hồi tiếp. Mục 
đích muốn tín hiệu ra qua vòng hồi tiếp luôn luôn bám được tín 
hiệu vào mong muốn. Điều đó có nghĩa là sai số xác lập bằng
không.
5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG
(5.1) )(lim)(lim
0
ssEtec
st
xl


)()()( tctrte 
2- Độ vọt lố (độ quá điều chỉnh)
5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG
(5.2) 100%POT% max
xl
xl
c
cc 

3- Thời gian đáp ứng
- Thời gian lên đỉnh là thời gian đáp ứng ra đạt giá trị cực đại
tp = tpeak
- Thời gian quá độ ts = tset xác định bởi thời gian đáp ứng ra từ
sau đó trở đi không vượt ra khỏi miền giới hạn sai số  quanh 
giá trị xác lập, ví dụ:  có thể là 2%, 5%...
4- Độ dự trữ ổn định
5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG
Định nghĩa: Khoản các từ trục ảo đến nghiệm cực gần nhất
(nghiệm thực hoặc phức) gọi là độ dự trữ ổn định của hệ. Ký 
hiệu khoản cách ngắn nhất đó là 0, nếu 0 càng lớn thì quá 
trình quá độ càng nhanh vầ xác lập. Đáp ứng quá độ của hệ bậc
n:
(5.3) 
1
)(
1
00 eeec(t)
n
i
tp
i
t
n
i
tp
i
ii 



  
Trong đó: Re(pi + 0)  0
5- Tiêu chuẩn phân tích
5.1 CÁC TIÊU CHUẨN CHẤT LƯỢNG
Trong thực tế một hệ thống ĐKTĐ được thiết kế phải thỏa mãn
yêu cầu ở cả hai chế độ xác lập và quá độ. Quá trình quá độ có 
thể được đánh giá thông qua giá trị tích phân của sai lệch giữa 
giá trị đặt và giá trị tức thời đo dược của đại lượng cần điều 
chỉnh.
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
Xét hệ thống hồi tiếp âm có sơ đồ khối như hình vẽ:
G(s)
R(s)
H(s)
C(s)E(s)
Sai số của hệ thống là:
)(
)()(1
)(
)()()().()()( sH
sHsG
sG
sRsRsHsCsRsE 







)()(1
)(
)(
sHsG
sR
sE


5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
Sai số xác lập:
)(lim)(lim
0
ssEtee
st
xl


(5.4) 
)()(1
)(
lim
0 sHsG
ssR
e
s
xl



Sai số xác lập không những phụ thuộc vào cấu trúc và thông số 
của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào.
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
s
sRtutr
1
)()()( 
)()(lim1
1
)()(1
1
lim
0
0 sHsGsHsG
s
s
e
s
s
xl

 



Đặt
1- Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị
hệ số vị trí: )()(lim
0
sHsGK
s
p


(5.5) 
1
1
p
xl
K
e


5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
2
1
)()()(
s
sRttutr 
)()(lim
1
)()(
1
lim
)()(1
1
lim
0
0
2
0 sHssGsHssGssHsG
s
s
e
s
ss
xl







Đặt
2- Tín hiệu vào là hàm dốc đơn vị
hệ số vận tốc: )()(lim
0
sHssGK
s
v


(5.6) 
1
v
xl
K
e 
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
3
2 1
)()(
2
)(
s
sRtu
t
tr 
)()(lim
1
)()(
1
lim
)()(1
1
lim
2
0
220
3
0 sHsGssHsGsssHsG
s
s
e
s
ss
xl







Đặt
3- Tín hiệu vào là hàm parapol
hệ số gia tốc: )()(lim 2
0
sHsGsK
s
a


(5.6) 
1
a
xl
K
e 
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
Nhận xét:
Tùy theo số khâu tích phân lý tưởng có trong hàm truyền hở
G(s)H(s) mà Kp, Kv, Ka có giá trị như bảng sau:
Số khâu tích phân 
trong G(s)H(s)
Hệ số vị trí
KP
Hệ số vận tốc
Kv
Hệ số 
Ka
0 Kp <  0 0
1  Kv <  0
2  
Ka < 
> 3   
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
Nhận xét:
- Nếu G(s)H(s) không có khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống 
kín theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc với sai số:
p
xl
K
e


1
1
và không theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm dốc và 
hàm parapol.
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
Nhận xét:
- Nếu G(s)H(s) có một khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống 
kín theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc với sai số
exl = 0 và theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm dốc với
sai số:
v
xl
K
e
1

và không theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là parapol  
hệ thống có một khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai bậc 
một.
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
Nhận xét:
- Nếu G(s)H(s) có hai khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống kín
theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc và hàm dốc 
với sai số exl = 0 và theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là 
hàm parapol với sai số:
a
xl
K
e
1

 hệ thống có hai khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai 
bậc hai.
5.2 SAI SỐ XÁC LẬP
Nhận xét:
- Nếu G(s)H(s) có ba khâu tích phân lý tưởng thì hệ thống kín
theo kịp sự thay đổi của tín hiệu vào là hàm nấc, hàm dốc và 
hàm parapol với sai số exl = 0 và theo kịp sự thay đổi của tín 
hiệu vào là hàm parapol với sai số:
 hệ thống có ba khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai bậc
ba.
 hệ thống có n khâu tích phân lý tưởng gọi là hệ vô sai bậc n.
5.3.1 Hệ quán tính bậc một
Hệ thống có sơ đồ khối như sau:
1
1
1
1
1
)(




Ts
Ts
TssGk
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
R(s) C(s)
Ts
1
Hệ thống kín chỉ có một cực:
T
s
1

5.3.1 Hệ quán tính bậc một
Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc
TssTs
T
sTss
sC
1
11
1
1
1
1
.
1
)(






5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
1
Tc(t) 1 e

  
c(t)
t
0 t1T
1
1-
1+
0,63
Đáp ứng quá độ của hệ 
quán tính bậc nhất
Giảng đồ cực - zero của 
hệ quán tính bậc nhất
0
Res 
Ims 
-1/T 
5.3.1 Hệ quán tính bậc một
Nhận xét:
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
- Đáp ứng quá độ của khâu quán tính bậc nhất không có vịt lố.
- Thời hằng T là thời điểm c(t) đạt 63,2% giá trị xác lập, T 
càng nhỏ đáp ứng càng nhanh.
- Thời gian xác lập ts (setting time) là thời gian để sai số giữa
c(t) và giá trị xác lập nhỏ hơn  ( = 5% hay  = 2% )
- Sai số xác lập bằng không.
5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Hàm truyền
R(s) C(s)
ss n
n


22
2

Hệ thống có sơ đồ khối như sau:
12
1
2
2
1
2
)(
2222
2
2
2
2
2








TssTss
ss
ss
sG
nn
n
n
n
n
n
k






Trong đó:
n
T

1

5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Hệ thống có cặp nghiệm phức liên hợp:
2
2,1 1   nn js
Giảng đồ cực - zero của 
hệ dao động bậc hai
0
Re s 
Im s 
n
21   nj
21   nj
Đáp ứng quá độ của hệ
dao động bậc hai
c(t)
t
0 ts
1
cmax
Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc
12
1
.
1
)()()(
22 

TssTs
sGsRsC k

5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
 





 

t
e
tc n
tn
)(sin
1
1)( 21
2
Trong độ lệch pha xác định bởi:  cos
5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Nhận xét:
• Đáp ứng quá độ của khâu dao động bậc hai có dạng dao 
động với biên độ giảm dần:
- Nếu  = 0: c(t) = 1- sinnt, đáp ứng của hệ là dao động
không suy giảm với tần số n  n gọi là tần số dao động tự
nhiên.
- Nếu 0 <  <1: đáp ứng của hệ là dao động với biên độ giảm 
dần   gọi là hệ số tắt (hay hệ số suy giảm),  càng lớn dao 
động suy giảm càng nhanh.
5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Nhận xét:
• Đáp ứng của khâu dao động bậc hai có vọt lố:
Tổng quát, độ vọt lố (POT – Persent of Overshoot) được định 
nghĩa là:
(5.8) %100max
xl
xl
c
cc
POT


cmax - giá trị cực đại của c(t); cxl - giá trị xác lập c(t)
Đối với hệ dao động bậc hai, độ vọt lố POT được tính bởi
công thức:
(5.9) %100.
1
exp
2 











POT
5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Nhận xét:
• Thời gian xác lập ts là thời gian để sai số giữa c(t) và giá trị 
xác lập nhỏ hơn  ( = 5% hay  = 2%)
Đối với hệ bậc hai:
- Theo tiêu chuẩn 5%:
- Theo tiêu chuẩn 2%:
(5.10) 
3
n
xlt


(5.11) 
4
n
xlt


5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Nhận xét:
• Theo thời gian lên tr (rise time): là thời gian đề c(t) tăng từ 
10% đến 90% giá trị xác lập
Đối với hệ bậc hai:
(5.12) 1,014100,9240,1562 -(1,589
1 23  
n
rt
Chú ý: Nếu   1 ta không gọi là dao động bậc hai vì trong 
trường hợp này đáp ứng của hệ thống không có dao động.
5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Nhận xét:
• Nếu  = 1 hệ thống kín có một nghiệm kép (thực):
21
1
 

n
pt
0
Res 
Ims 
-n
Đáp ứng của hệ thống
t
n
t nn etesC     .1)(
5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Nhận xét:
• Nếu  > 1 hệ thống kín có hai nghiệm thực phân biệt:
Đáp ứng của hệ thống
21
)(
ps
C
ps
B
s
A
sC




tptp CeBeAtc 21)(  
0
Res 
Ims 
-P2 -P1
5.3.2 Hệ dao động bậc hai
5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Hệ bậc cao có nhiều hơn hai cực. Đáp ứng tương ứng với các 
cực nằm càng xa trục ảo suy giảm càng nhanh. Do đó xấp xỉ 
hệ bậc cao về hệ bậc hai với cặp cực là hai cực nằm gần trục 
ảo nhất. Cặp cực nằm gần trục ảo nhất của hệ bậc cao gọi là 
cặp cực quyết định.
5.3.3 Hệ bậc cao
0
Res 
Ims 
-P2 -P1
Cặp cực
quyết định
Cặp cực quyết định của hệ bậc cao
5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
1- Tiêu chuẩn tích phân sai lệch IE (Integrated Error)
Mindtte  

0
)(EI
Tiêu chuẩn IE và IAE
c(t)
0
(1)
(2)
0 t
t
5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Đối với hệ có đáp ứng quá độ không dao động (đường 1 như 
hình vẽ) thì tiêu chuẩn IE chính là diện tích của hàm sai lệch
e(t) tạo với trục thời gian t cần đạt giá trị cực tiểu thì chất 
lượng đạt tốt nhất.
1- Tiêu chuẩn tích phân sai lệch IE (Integrated Error)
Song đối với đáp ứng quá độ dao động ổn định (đường 2) thì
tiêu chuẩn IE không phản ánh đúng chất lượng của hệ thống
do có miền diện tích âm đã được trừ bớt đi. Kết quả giá trị tích
phân nhỏ nhưng quá trình quá độ xấu . Vì vậy phải sử dụng
tiêu chuẩn tích phân trị tuyệt đối của sai lệch.
5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
2- Tiêu chuẩn tích phân trị tuyệt đối biên độ sai lệch IAE 
(Integrated of The Adsolute Magnitude of the Error)
Đối với hệ bậc hai: J1  min khi  = 0,707
(5.13) )(
0
1 

 dtteJ
3- Tiêu cuẩn tích phân của bình phương sai số ISE 
(Integrated of The Square of the Error)
Đối với hệ bậc hai: J1  min khi  = 0,707
(5.14) )(
0
2
2 

 dtteJ
5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
ISE xem nhẹ những diện tích bé vì bình phương một số nhỏ
hơn 1 bé hơn trị số tuyệt đối của số ấy. Một trong những lý do 
khiến tiêu chuẩn ISE thường được sử dụng là công việc tính 
toán và thực hiện đơn giản. Có thể tính ước lượng ISE theo 
biến đổi Fuorier
3- Tiêu chuẩn tích phân của bình phương sai số ISE 
(Integrated of The Square of the Error)



0
2
)(
1


djEISE
5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
4- Tiêu chuẩn tích phân của thời gian nhân với trị tuyệt đối 
ITAE (Integrated of Time Multiplied by the Adsolute 
Value of the Error)
Đối với hệ bậc hai: J3  min khi  = 0,707
(5.15) )(
0
3 

 dttetJ
Trong các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng vừa trình bày ở trên,
tiêu chuẩn ITAE được sử dụng nhiều. Để đáp ứng quá độ của 
hệ thống bậc n là tối ưu theo tiêu chuẩn ITAE thì mẫu số hàm 
truyền kín hệ bậc n phải có dạng như bảng sau:
5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
Hệ số hàm truyền hệ kín có dạng như trên và tử số hàm truyền 
hệ kín của hệ bậc n là nn thì đáp ứng quá độ của hệ thống là 
tối ưu và sai số và sai số xác lập bằng 0.
Bậc Mẫu số hàm truyền
1 s + n
2 s2 + 1,414ns + 
2
n
3 s3 + 1,75ns
2 + 2.152ns + 
3
n
4 s4 + 2.1ns
3 + 3,42ns
2 + 2,73ns + 
4
n
5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ
4- Tiêu chuẩn tích phân có tính đến ảnh hưởng của tốc độ 
thay đổi của sai lệch e(t)
Với  là hằng số được chọn thích hợp cho từng trường hợp

















0
2
2 )( dt
dt
de
teJ 
Ví dụ:  lớn không cho phép dao động lớn. Ngược lại,  nhỏ
cho phép quá độ dao động lớn.
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
1- Đánh theo phân bố cực zero của hàm truyền hệ thống
kin hoặc theo nghiệm phương trình đặc tính và theo điều 
kiện ban đầu.
2- Đánh giá theo tiêu chuẩn tích phân.
3- Đánh giá quá trình quá độ theo đặc tính tần số của hệ 
thống.
4- Tiêu chuẩn tích phân thời gian nhân với trị tuyệt đối của
sai số ITAE (Integral of Time Multiplied by the Adsolute
Value of error)



0
)( dttetITAE
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
ITAE rút ngắn thời gian quá độ (tính tra bảng)
Tần số cắt L( c) = 0
Hoặc G(j) = 1 với độ nghiên c là -20dB/dec.
Độ dự trữ pha M = 30o  60o
Thời gian quá độ:
Xây dựng phần thực đặc tính tần số hệ kín theo đặc tính
biên độ pha của hệ hở (Biểu đồ Nychols)
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
Xét hệ hồi tiếp – một đơn vị có đường cong Nyquyst vẽ
trên hình sau:
2 1
A
B
C
-1  = 0 Re
Im
0
G(j)
Phần thực:
)()( 
)(1
)(
)(
 jQP
sG
sG
sGk



)(
)(1
)(
Re)( 21  

 COS
AB
OB
sG
sG
P
AB
CB
COS
AB
OB
P  )(
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
Trong đó CB là hình chiếu của vectơ lên vectơ
trong mặt phẳng phức G(j)
OB AB
Đường cong P() = 0 là đường tròn đường kính bằng một tâm 
nằm trên trục thực có tâm (-1/2, j0)
P(a) = 1
P(a) = 0
P(a) < 0
-1/2, j0
0
Im
Re
-1
P(a) > 1 0 < P(a) < 1
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
Phương trình đường cong P() = const = C dễ dàng nhận được 
bằng cách:
)(1
)(
Re)(



jG
jG
P


Trong đó:
jYXjG )( 
Từ đó:
22
2
)1(
)1(
1
Re)(
YX
YXX
jYX
jYX
P






Với P() = C ta có phương trình:
C
YX
YXX



22
2
)1(
)1(
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
Đây là phương trình của đường tròn có tâm nằm trên trục thực 
và tâm điểm có tọa độ và bán kính như sau:








 0,
1
21
2
1
j
C
C
Tâm: Bán kính: )1(2
1
C
Re
Im
P(a) = 1P(a) = 1,1 P(a) = 0,9
P(a) = 0,8
P(a) = 0,7
0
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
Cách xây dựng vòng trong P() = const
Re
Im
-1 0
a
a
a
aP


1
)(
Re
Im
-1
0-0,5
G(j)
0
5.5 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ THEO 
ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG
0 Re
Im
0
Thời gian quá độ được tính gần đúng:
0 là tần số nhỏ nhất mà đường tròn tâm (-1/2,j0) bán kính ½ 
cắt đường cong Nyquyst G(j)
0
4


st
Hoặc 0 có thể xác định là dao điểm đầu tiên của đường cong
P() với trục hoành .