Bài giảng Lý thuyết tập hợp

LÝ THUYẾT TẬP HỢP
Định nghĩa Tập hợp
1. Khái niệm
Tập hợp là một khái niệm
cơ bản của Toán học.
Ví dụ:
1) Tập hợp sinh viên của
một trường đại học.
2) Tập hợp các số nguyên
3) Tập hợp các trái táo
trên một cây cụ thể.
Sơ đồ Ven:
Định nghĩa
Số phần tử của tập hợp A được gọi là lực lượng của tập 
hợp, kí hiệu |A|.
Nếu A có hữu hạn phần tử, ta nói A hữu hạn.
Ngược lại, ta nói A vô hạn.
Lực lượng của tập hợp
Ví dụ.
N, Z, R, là các tập vô hạn
X = {1, 3, 4, 5} là tập hữu hạn |X|=4
Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp
A={1,2,3,4,a,b}
Đưa ra tính chất đặc trưng
B={ n ∈N | n chia hết cho 3}
Cách xác định tập hợp
Quan hệ giữa các tập hợp
Tập hợp con
A là tập con của B nếu mọi
phần tử của A đều nằm trong
B. Ký hiệu: A⊂ B. BA
Hai tập hợp bằng nhau
A = B nếu mọi phần tử của A
đều nằm trong B và ngược
lại.
A B BA
• a. Phép hợp
– Hợp của tập A và tập
B là tập hợp tạo bởi tất
cả các phần tử thuộc A
A
B
2. Các phép toán tập hợp
hoặc thuộc B.
– Ký hiệu:
– Ví dụ:
{ , , , }
{ , , , , , }
{ , , , }
A a b c d
A B a b c d e f
B c d e f
= 
⇒ ∪ =
= 
A B∪
( ) ( )x A B x A x B∈ ∪ ⇔ ∈ ∨ ∈
1. Tính lũy đẳng
2. Tính giao hoán A B B A∪ = ∪
A A A∪ =
Tính chất phép hợp
3. Tính kết hợp
4. Hợp với tập rỗng
( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪
A A A∅∪ = ∪∅ =
Phép giao
– Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi các
phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
– Ký hiệu:
– Tính chất:
( ) ( )x A B x A x B∈ ∩ ⇔ ∈ ∧ ∈
A B∩
A BA B∩
1) Tính lũy đẳng
2) Tính giao hoán
3) Tính kết hợp
4) Giao với tập rỗng
Tính phân phối của phép giao và hợp
A B B A∩ = ∩
A A A∩ =
( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩
A A∅∩ = ∩∅ =∅
1) ( ) ( ) ( )
2) ( ) ( ) ( )
A B C A B A C
A B C A B A C
∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
• ĐN:
– Hiệu của hai tập hợp là tập tạo
bởi tất cả các phần tử thuộc tập
này mà không thuộc tập kia
( \ ) ( )x A B x A x B∈ ⇔ ∈ ∧ ∉
A B
Hiệu của hai tập hợp
– Ký hiệu A\B
1)
2)
A B A B
A B A B
∩ = ∪
∪ = ∩
Luật De Morgan:
Tập bù
• Nếu A là con của B thì B\A được gọi là tập 
bù của A trong B.
B\A A
Tập các tập con của một tập hợp
ĐN: Cho X là một tập hợp. Khi đó tập tất cả các tập con của X 
được ký hiệu là P(X)
Ví dụ { , }X a b=
( ) { ,{ },{ },{ , }}P X a b a b= ∅
{1,2,3}, ( ) ?Y P Y= =
| | | ( ) | ?X n P X= → =
ĐN: Tích Đề các của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp 
bao gồm tất cả các cặp thứ tự (x,y) với
– Ký hiệu A.B hoặc
,x A y B∈ ∈
A B×
( , ) ( )x y A B x A y B∈ × ⇔ ∈ ∧ ∈
Tích Đề Các
– Chú ý: Tích của 2 tập hợp không có tính chất giao
hoán.
| | ?A B× =
Mở rộng các phép toán cho nhiều tập hợp
Các phép toán giao, hợp, tích có thể mở rộng cho nhiều tập 
hợp
i i
i I
A {x i I, x A }
∈
= ∀ ∈ ∈I
A {x i I, x A }= ∃ ∈ ∈U i i
i I∈
{ }i i i I i i
i I
A (x ) i I , x A∈
∈
= ∀ ∈ ∈∏
Bài tập
• Tại lớp: 1, 2, 3, 4, 5, 6ab, 7ab, 8ab, 9ab, 
10ab, 11ab, 12a, 14, 15a
• Về nhà: còn lại.
ÁNH XẠ
Khái niệm
1. Định nghĩa. Cho hai tập hợp X, Y ≠ ∅. Ánh xạ giữa hai 
tập X và Y là một qui tắc f sao cho mỗi x thuộc X tồn tại 
duy nhất một y thuộc y để y = f(x)
Ta viết:
:
( )
f X Y
x f x
→
a
Nghĩa là , ! : ( )x X y Y y f x∀ ∈ ∃ ∈ =
Ví dụ
Cả hai đều Không là ánh xạ
Ánh xạ bằng nhau
bằng Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là 
nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x).
Ví dụ: Xét ánh xạ f(x)=(x-1)(x+1) và g(x) =x2-1 từ R->R
Ta có (x-1)(x+1) = x2 – 1 nên f(x) = g(x) ∀x ∈ R
Vậy hai ánh xạ này bằng nhau.
Ảnh và ảnh ngược
• Cho ánh xạ f từ X vào Y và A ⊂ X, B ⊂ Y. 
Ta định nghĩa:
• f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = 
f(x)} được gọi là ảnh của A
Ảnh và ảnh ngược
f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B 
f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)}
Như vậy y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x);
y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x).
f–1(B) 
Như vậy x ∈ f–1(B) ⇔ f(x) ∈ B
Ví dụ ảnh và ảnh ngược
Ví dụ. Cho f: R →R được xác định f(x)=x2 +1
Ta có
f([1,3])=[2,10]
f([-2,-1])=[2,5]
f([-1,3])=[1,10]
f((1,5)) = (2,26)
f–1(1)={0}
f–1(2)={-1,1}
f–1(-5)= ∅
f–1([2,5])= [-2,-1] ∪[1,2]
Phân loại ánh xạ
a. Đơn ánh Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử 
khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là:
Ví dụ. Cho f: N→R được xác định f(x)=x2 +1 (là đơn ánh)
g: R→R được xác định g(x)=x2 +1 (không đơn ánh)
Cách CM ánh xạ f là đơn ánh 
∀x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x' )
Như vậy f : X → Y là một đơn ánh 
⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x').
⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có nhiều nhất một phần tử).
⇔ (∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) 
có nhiều nhất một nghiệm x ∈ X.
f : X → Y không là một đơn ánh 
⇔ (∃x, x' ∈ X, x ≠ x' và f(x) = f(x')). 
⇔ (∃y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham 
số) có ít nhất hai nghiệm x ∈ X 
Toàn ánh
b. Toàn ánh Ta nói f : X → Y là một toàn ánh f(X)=Y, nghĩa là:
Ví dụ. Cho f: R→R được xác định f(x)=x3 +1 (là toàn ánh)
g: R→R được xác định g(x)=x2 +1 (không là toàn 
ánh)
Toàn ánh ⇔ f(X)=Y. Như vậy 
f : X → Y là một toàn ánh 
⇔ (∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x))
⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅);
Cách CM ánh xạ f là toàn ánh
⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham 
số) có nghiệm x ∈ X.
f : X → Y không là một toàn ánh 
⇔ (∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, y ≠ f(x));
⇔ (∃y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅);
Song ánh
c. Song ánh Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f vừa là 
đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ. Cho f: R→R được xác định f(x)=x3 +1 (là song ánh)
g: R→R được xác định g(x)=x2 +1 (không là song 
ánh)
Tính chất của song ánh
Tính chất.
f : X → Y là một song ánh 
⇔ (∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X, y = f(x));
⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có đúng một phần tử);
⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham 
số) có duy nhất một nghiệm x ∈ X.
Ánh xạ ngược
Ánh xạ ngược. 
Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, theo tính chất trên, với 
mọi y ∈ Y, tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do 
đó tương ứng y x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là 
ánh xạ ngược của f và ký hiệu f–1. Như vậy:
a
f–1 : Y → X
y f–1(y) = x với f(x) = y. a
Ví dụ. Cho f là ánh xạ từ R vào R f(x) =2x+1.
Khi đó f–1(y)=(y-1)/2
Ánh xạ hợp
3. Ánh xạ hợp. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y' → Z 
trong đó Y ⊂ Y'. Ánh xạ hợp h của f và g là ánh xạ từ X vào Z 
xác định bởi: h : X → Z
x h(x) = g(f(x))
Ta viết: h = gof : X → Y → Z 
a
Ví dụ ánh xạ hợp
2( ) 1, ( ) 1f x x g x x= + = +
Ví dụ. Tìm gof, fog 
2 0
( ) ( ) 2 1
1 0
x if x
f x g x x
x if x
 >
= = +
+ ≤
Bài tập
• Tại lớp: 16ab, 17a, 18a, 21a, 23ab,24, 29a
• Về nhà: còn lại đến bài 30.