Bài giảng Lý thuyết tín hiệu - Chương 3: Phân tích tín hiệu miền tần số - Lê Ngọc Phúc

Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
5/27/2009
1
Chương 3
PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ
Nội dung:
3.1 Biến đổi Fourier
3.1.1 ðịnh nghĩa
3.1.2 Các tính chất
3.2 Phổ của một số tín hiệu thơng dụng
3.2.1 Phổ của tín hiệu năng lượng
3.3.2 Phổ của tín hiệu cĩ cơng suất trung bình hữu hạn
3.3.3 Phổ của tín hiệu tuần hồn
3.3 Mật độ phổ
3.3.1 Mật độ phổ năng lượng
3.3.2 Mật độ phổ cơng suất
3.3.3 Mật độ phổ cơng suất của tín hiệu tuần hồn
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
2
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ
3.1 Biến đổi Fourier
3.1.1 ð%nh nghĩa
( ) ( ) j tX x t e dtωω
+∞
−
−∞
= ∫
1
( ) ( )
2
j tx t X e dωω ω
π
+∞
−∞
= ∫
(Biến đổi thuận)
(Biến đổi ngược)
( )( ) ( ) jX X e ϕ ωω ω=
Ph( th)c
( ) ( ) ( )X P jQω ω ω= +
Ph( o

X(ω) được gọi là phổ của tín hiệu x(t). Ký hiệu: ( ) ( )Fx t X ω←→

Tổng quát, phổ X(ω) là một hàm phứcPhân tích thành các phổ thành phần
Ph( biên đ.
Ph( pha
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
3
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
VD1: Hãy xác định và vẽ phổ của tín hiệu x(t) 
Áp dụng cơng thức biến đổi Fourier:
x(t)
t
0 T/2-T/2
A
/ 2
/ 2
( ) ( )
2
. .
2
s in
2.
2
2
| ( ) |
2
j t
T j t
j t
T
X x t e d t
T
e
A e d t A
Tj
T
A T
T
T
A T Sa
T
X AT Sa
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+∞
−
−∞
−
−
−
=
= =
− −
=
=
⇒ =
∫
∫
AT
0
ω
2π/T
4π /T
-4π /T
-2π/T
X(ω)
??? Vẽ phổ biên độ và phổ pha
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
4
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.1.2 Tính ch0t
a. Tính chất chẵn lẻ:
 N2u x(t) là hàm th)c : ph( biên đ. |X(ω)|: hàm ch;n 
ph( pha ϕ (ω): hàm l<
ph( th)c Q(ω): hàm ch;n
ph( o P(ω): hàm l<
 Quan h:
( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
F
F F
F
x t X
x t X x t X
x t X
ω
ω ω
ω
∗ ∗
∗ ∗
 − ←→ −

←→ ⇒ ←→ −
 − ←→
1
( ) 1( ) ( )
1
( ) 1( ) ( )
t
t
x t e t X
j
x t e t X
j
α
α
ω
α ω
ω
α ω
−= ↔ =
+
⇒ − = − ↔ =
−
VD2:
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
5
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
1 1 2 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ), ,
Fa x t a x t a X a X a aω ω+ ←→ + ∀
3
( ) 3 2
t t
x t e e
− −= −
1 2
1 1 2 2 2
2 2 2
3& 2
2 6 12
( ) ( ) ( )
1 1 9
6
( ) ( )
9
t F
t F
a a
x t e X X
x t e X
ω ω
ω ω ω
ω
ω
−
−

 = =


= ←→ = ⇒ = −
+ + +

= ←→ = +
3.1.2 Tính ch0t (tt)
b. Tính chất tuyến tính:
Nếu
thì
1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )
F Fx t X x t Xω ω←→ ←→
Ví d@ 3: Xác định phổ của tín hiệu sau:
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
6
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
( ) ( ) ( ) 2 ( )x t X X t xω π ω↔ ⇒ ↔ −
3.1.2 Tính ch0t (tt)
c. Tính chất đối ngẫu:
d. Tính chất thay đổi thang đo:
Ví d@ 4: 
( ) ( ) ( ) ( ); 0;
t
x t X x a X a a
a
ω ω↔ ⇒ ↔ ≠
( )
2
3
( ); 1 / 3
3 6
3
3 ( ); 3.
3 2
t T
TSa
T
t T T
Sa a
T
t T
TSa a
T
ω
ω
ω
  ↔ 
 
 ⇒ ↔ = 
 
 ⇒ ↔ = 
 
∏
∏
∏
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
7
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.1.2 Tính ch0t (tt)
e. Tính chất dịch chuyển trong miền thời gian:
f. Tính chất dịch chuyển trong miền tần số:
0
0( ) ( ) ( ) ( )
j t
x t X x t t X e
ωω ω −↔ ⇒ − ↔
 Tính ch0t điBu ch2
0
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
j t
j t
x t e X
x t X
x t e X
ω
ω
ω ω
ω
ω ω−
 ↔ −
↔ ⇒ 
↔ +
[ ]
[ ]
1
( ) cos( ) ( ) ( )
2
1
( ) sin( ) ( ) ( )
2
o o o
o o o
x t t X X
x t t X X
j
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
↔ − + +
↔ − − +
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
8
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
X(ω)
1
0
ω
Y(ω)
1/2
0
ω
ω0-ω0
3.1.2 Tính ch0t (tt)
Ví d@ 5: Cho x(t) cĩ phổ như hình vẽ. Vẽ phổ của tín hiệu y(t)=x(t).cosω0t ?
g. Tính ch0t tích chp:
( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) [ ( ) ( )]
2
x t y t X Y
x t y t X Y
ω ω
ω ω
π
∗ ↔


↔ ∗
Ký hiu tích 
chp
' ' '( ) ( ) ( ) ( )x t y t x t y t t d t
+ ∞
− ∞
∗ = −∫*** ð%nh nghĩa tích chp:
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
9
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2 Phổ của một số tín hiệu thơng dụng:
3.2.1 Ph( cEa tín hiu năng lGng:
a. Xung vuơng:
( )
2
t T
TSa
T
ω  ↔ 
 
∏
t
x(t)
1
0 T/2-T/2
TSa(ωT/2)
X(ω)
T
0
ω
2π/T
4π/T
-2π/T
-4π/T
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
10
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.1 Ph( cEa tín hiu năng lGng (tt):
b. Xung tam giác: 
2 ( )
2
t T
TSa
T
ω Λ ↔ 
 
1
0
x(t)
-T T0
Sa2(ωT/2)
0 ω
T
X(ω)
-4π/T 4π/T
-2π/T
2π/T
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
11
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.1 Ph( cEa tín hiu năng lGng (tt):
c. Hàm Sa: 
0
0 0
( )
2
Sa t
π ω
ω
ω ω
 
↔  
 
∏
Sa(ω0t )
x(t)
1
0
t
π/ω0
-2π/ω0 2π/ω0
ω
X(ω)
0 ω0-ω0
0/π ω
-π/ω0
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
12
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.1 Ph( cEa tín hiu năng lGng (tt):
d. Hàm Sa2:
2
0
0 0
( )
2
Sa t
π ω
ω
ω ω
 
↔ Λ 
 
Sa2(ω0t)
0 t
1
x(t)
π/ω0 2π/ω0-π/ω0-2π/ω0 0
X(ω)
2ω00-2ω0
ω
π/ω0
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
13
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.1 Ph( cEa tín hiu năng lGng (tt):
e. Hàm mũ: 
Hàm x(t) khơng ch;n ph( X(ω) hàm phNc
1
( ) , 0te u t
j
α α
α ω
− ↔ >
+
2 2
1
| ( ) | ; ( )X arctg
ω
ω ϕ ω
αα ω
= = −
+
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
14
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.1 Ph( cEa tín hiu năng lGng (tt):
f. Hàm e-α|t|:
2 2
2t
e
α α
α ω
− ↔
+
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
15
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.2 Ph( cEa tín hiu cơng su0t trung bình hSu hTn:
a. Hàm δ(t):
t
0
δ(t)
x(t)
ω
0
X(ω)
1
( ) 1tδ ↔
b. Hàm x(t)=1:
ω
0
2π
X(ω)
t
0
x(t)
1
1 2 ( )πδ ω↔
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
16
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.2 Ph( cEa tín hiu cơng su0t trung bình hSu hTn:
a. Hàm u(t):
1
( ) ( )u t
j
πδ ω
ω
↔ +
|X(ω)|
0 ω
π
1
t0
x(t)
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
17
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
0
02 ( )
j t
e
ω π ω ω↔ −
X(ω)
ω
0 ω0
2π
3.2.2 Ph( cEa tín hiu cơng su0t trung bình hSu hTn (tt):
d. Hàm ejω0t:
0
0
1 2 ( )
1 2 ( )
j t
e
ω
πδ ω
πδ ω ω
↔
⇒ × ↔ −
Tính chất dịch 
trong miền tần số
ChNng minh:
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
18
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
X(ω)
0 ω0-ω0
π
x(t)
0
1
t
0
4π
ω
−
0
2π
ω
−
0
2π
ω 0
4π
ω
0
6
2
π
ω
−
-1
|X(ω)|
0 ω0-ω0
π
x(t)
0
-1
1
t
0
7
2
π
ω
−
0
3
2
π
ω
−
0
5
2
π
ω 0
9
2
π
ω0
1 1
2
π
ω
−
02
π
ω
{ }0 0 0( ) ( ) ( )Sin t jω π δ ω ω δ ω ω↔ − − + +
{ }0 0 0( ) ( ) ( )Cos tω π δ ω ω δ ω ω↔ − + +
d. Hàm ejω0t (tt):
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
19
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
Dùng khai triYn Fourier dTng phNc:
trong đĩ:
0
0
2
( ) ;
jn t
n
n
x t X e
T
ω πω
+∞
=−∞
= =∑
0
0
0
1
( ) ; 0, 1, 2, 3,...
t T
jn t
n
t
X x t e dt n
T
ω
+
−= = ± ± ±∫
(*)
(**)
3.2.3 Ph( cEa tín hiu tu\n hồn:
Cho x(t) là tín hiu tu\n hồn v]i chu kỳ T. 
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
20
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.3 Ph( cEa tín hiu tu\n hồn (tt):

 Cách xác đ%nh h s_ Xn:
 Cách 1: s d@ng cơng thNc (**)
 Cách 2: i. Xét tín hiu xT(t) trong m.t chu kỳ T, t€[t0,t0+T]. 
ii. Xác đ%nh XT(ω) dùng bi2n đ(i Fourier cho xT(t).
iii. Xn = XT(nω0)/T.
0( ) 2 ( )n
n
X X nω π δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑

 Ph( cEa tín hiu tu\n hồn cĩ dTng:
0
02 ( )
j t
e
ω π ω ω↔ −ChNng minh: Áp d@ng cơng thNc: cho biYu 
thNc (*) g trên.
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
21
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.3 Ph( cEa tín hiu tu\n hồn (tt):
a. Ph( cEa dãy xung vuơng đơn c)c:
x(t)
t
A
0
τ/2-τ/2 T-T
T = 5τ

Vì x(t) là tín hiu tu\n hồn, nên ph( cĩ dTng:
0( ) 2 ( )n
n
X X nω π δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑

 Xác đ%nh h s_ ph( Xn:
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
22
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
a. Ph( cEa dãy xung vuơng đơn c)c (tt):
 Cách 1: s d@ng cơng thNc (**)
0 0
/ 2 / 2
/ 2 / 2
0
1 1
( )
2
T
jn t jn t
n
T
X x t e d t A e d t
T T
A San A San
T T T
τ
ω ω
τ
τ τ τ τ
ω π
− −
− −
= =
= =
∫ ∫
 Cách 2:
ĩ : ( ) ( ) ( )
2
T T
t
Ta c x t A X A Sa
ωτ
ω τ
τ
 = ⇒ = 
 
∏
0
0
( )
( ) 2
2
( ) ( )
2
T
n
n
A Sa
X n
X
T T
A n n
Sa A Sa
T T T T
ω τ
τω
τ πτ τ πτ
= =
= =
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
23
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
a. Ph( cEa dãy xung vuơng đơn c)c (tt):
 Suy ra, biYu thNc ph(:
0( ) 2 ( ) ( )
n
X A Sa n n
T T
τ τ
ω π π δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑
X(ω)
2πA/5
0
2π/τ 4π/τ
-6π/τ
2π/T
T=5τ
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
24
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.2.3 Ph( cEa tín hiu tu\n hồn (tt):
b. Ph( cEa phân b_ lGc:
0( ) 2 ( )n
n
X X nω π δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑
t
x(t)
1
0-T-2T T 2T
1
( ) |||
t
x t
T T
 =  
 

Vì x(t) là tín hiu tu\n hồn, nên ph( cĩ dTng:

 Xác đ%nh h s_ ph( Xn:
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
25
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
0 0
0
/ 2 / 2
/ 2 / 2
/ 2
/ 2
1 1 1
( ) |||
1 1
( )
T T
jn t jn t
n
T T
T
jn t
T
t
X x t e dt e dt
T T T T
t e dt
T T
ω ω
ωδ
− −
− −
−
−
 = =  
 
= =
∫ ∫
∫
b. Ph( cEa phân b_ lGc (tt):
 Cách 1: s d@ng cơng thNc (**)
 Cách 2:
ĩ : ( ) ( ) ( ) 1T TTac x t t Xδ ω= ⇒ =
0( ) 1T
n
X n
X
T T
ω
= =
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
26
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
0 0
2
( ) 2 ( ) ( )n
n n
X X n n
T
π
ω π δ ω ω δ ω ω
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= − = −∑ ∑
0
1
|| | | | |
t
T T
ω
ω
   ↔   
   
ω
X(ω)
ω0
0 ω0 2ω0-ω0-2ω0
b. Ph( cEa phân b_ lGc (tt):
 Suy ra, biYu thNc ph(:
Như vậy:
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
27
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
0 T/2-T/2 2T-2T t
x(t)
A
2
0 0( ) 2 ( ) ( ) ( )
2 4
n
n n
A n
X X n Sa n
π π
ω π δ ω ω δ ω ω
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= − = −∑ ∑
( )
/ 2
T
t
x t A
T
 = Λ 
 
2( ) ( )
2 4
T
AT T
X Sa
ω
ω⇒ =
2 0
2
( )
2 4 ( )
2 4 4
n
n TAT
Sa
A n
X Sa
T
ω
π
⇒ = =
Ví d@ 6: Xác định phổ của tín hiệu tuần hồn sau:
H]ng dmn:
3.2.3 Ph( cEa tín hiu tu\n hồn (tt):
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
28
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.3 Mật độ phổ:
3.3.1 Mt đ. ph( năng lGng ESD (Energy Spectrum Density)

 ðặc trưng cho phân bố năng lượng tín hiệu trong miền tần số
2
( ) ( )Xω ωΦ =

Quan hệ giữa ESD và hàm tự tương quan:

ðịnh lý Parseval về năng lượng:
( ) ( ) je dωτω ϕ τ τ
+∞
−
−∞
Φ = ∫
1
( ) ( )
2
je dωτϕ τ ω ω
π
+∞
−∞
= Φ∫
( ) ( )
Fϕ τ ω←→Φ ,nghĩa là:
2 1
( ) ( )
2
x t d t dω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
= Φ∫ ∫
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
29
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.3.1 Mt đ. ph( năng lGng ESD (tt)

 Các cách tính năng lượng của một tín hiệu:
 Từ định nghĩa:
 Từ hàm tự tương quan:
 Từ định lý Parseval :
2
( )xE x t d t
+ ∞
− ∞
= ∫
(0)xE ϕ=
1
( )
2
xE dω ωπ
+∞
−∞
= Φ∫
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
30
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.3.1 Mt đ. ph( năng lGng ESD (tt)
Ví dụ 7: Cho tín hiệu sau. Hãy xác định Φ(ω) và Ex ?
1
( ) ( ) ( )tx t e u t X
j
α ω
α ω
−= ⇒ =
+
2
2
2 2
1 1
( ) ( )X
j
ω ω
α ω α ω
Φ = = =
+ +
1/α2
0
ω
Φ(ω)
 Tính năng lượng:
2 2
1
( )
2
1 1 1
2 2
xE d
d
ω ω
π
ω
π α ω α
+∞
−∞
+∞
−∞
= Φ
= =
+
∫
∫
??? Cách khác
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
31
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.3 Mật độ phổ:
3.3.2 Mt đ. ph( cơng su0t PSD (Power Spectrum Density)

 ðặc trưng cho phân bố cơng suất tín hiệu trong miền tần số
( )
( ) lim T
T T
ω
ω
→∞
Φ
Ψ = ,trong đĩ:
( ) ( )T
t
x t x t
T
 =  
 
∏
1
( ) ( )FT Tx tω
−
Φ ←→

Quan hệ giữa PSD và hàm tự tương quan:

ðịnh lý Parseval về cơng suất:
( ) ( )
Fϕ τ ω←→Ψ
/ 2
2
/ 2
1 1
lim ( ) ( )
2
T
x T
T
T
P x t d t d
T
ω ω
π
+ ∞
→ ∞
− − ∞
= = Ψ∫ ∫
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
32
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
 Từ định nghĩa:
 Từ hàm tự tương quan:
 Từ định lý Parseval :
(0)xP ϕ=
3.3.2 Mt đ. ph( cơng su0t PSD (tt)

 Các cách tính cơng suất của một tín hiệu:
/ 2
2
/ 2
1
lim ( )
T
x T
T
T
P x t d t
T→ ∞ −
= ∫
1
( )
2
xP dω ωπ
+ ∞
− ∞
= Ψ∫
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
33
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.3.2 Mt đ. ph( cơng su0t PSD (tt)
Ví dụ 8: Cho tín hiệu sau. Hãy xác định PSD và Px ?
 Tính cơng suất:
t
u(t)
0
1
T/2-T/2
t
T
 
 
 
∏
/ 4
( ) ( )
/ 2
T
t t T
x t u t
T T
−   = =   
   
∏ ∏
/4( )
2 4
j T
T
T T
X Sa e ω
ω
ω − ⇒ =  
 
2
2( )( ) lim lim ( )
4 4
T
T T
T T
Sa
T
ω ω
ω πδ ω
→∞ →∞
Φ  Ψ = = = 
 
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
xP d dω ω π δ ω ωπ π
+ ∞ + ∞
− ∞ − ∞
= Ψ = =∫ ∫
2
2 2( ) ( )
4 4
T
T T
X Sa
ω
ω ωΦ = =



5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
34
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.3.3 Mt đ. ph( cơng su0t cEa tín hiu tu\n hồn:

 Phổ của tín hiệu tuần hồn:
2
0 0( ) 2 ( ) 2 ( )n n
n n
X n nω π δ ω ω π δ ω ω
+∞ +∞
=−∞ =−∞
Ψ = − = Ψ −∑ ∑
0( ) 2 ( )n
n
X X nω π δ ω ω
+∞
=−∞
= −∑
 PSD của nĩ cĩ dạng:

ðịnh lý Parseval đối với tín hiệu tuần hồn:
21 ( ) | |
2
x n
n
P d Xω ω
π
+∞ ∞
=−∞−∞
= Ψ = ∑∫

Cách tính cơng suất Px: (tương tự phần 3.3.2)
5/27/2009
Trng ðH Giao thơng vn ti Tp.HCM
Khoa ðin - ðin t vin thơng Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu
35
Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)
3.3.3 Mt đ. ph( cơng su0t cEa tín hiu tu\n hồn (tt)
Ví dụ 9: Cho tín hiệu sau x(t)=cosω0t. Hãy xác định PSD và Px ?
 Tính cơng suất:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 2
0 0
( )
2
2 2
( ) 2
4 4
X A
A A
A A
ω πδ ω ω πδ ω ω
π δ ω ω δ ω ω
ω π δ ω ω δ ω ω
= − + +
 = − + +  
 
⇒ Ψ = − + + 
 
2 2 2
4 4 2
x n
n
A A A
P
∞
=−∞
= Ψ = + =∑
2
2 2
0
0
1
cos
2
T
x
A
P A tdt
T
ω= =∫
hoặc:
5/27/2009