Bài giảng Lý thuyết trường điện tử - Phần: Năng lượng và điện thế - Nguyên Công Phương

Nguyễn Công Phương
Lý thuyết trường điện từ 
Năng lượng & điện thế
Nội dung
1. Giới thiệu
2. Giải tích véctơ
3. Luật Coulomb & cường độ điện trường
4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive
5. Năng lượng & điện thế
6. Dòng điện & vật dẫn
7. Điện môi & điện dung
8. Các phương trình Poisson & Laplace
9. Từ trường dừng
10. Lực từ & điện cảm
11. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell
12. Sóng phẳng
13. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng
Năng lượng & điện thế 2
14. Dẫn sóng & bức xạ
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 3
ể ểDịch chuy n điện tích đi m trong điện trường (1)
• Dịch chuyển điện tích Q trên một đoạn dL trong điện 
trường E, lực do điện trường tác động lên điện tích:
FE = QE
• Thành phần lực theo hướng của dL:
FEL = F.aL = QE.aL
• aL là véctơ đơn vị theo hướng của dL
• Vậy lực cần tác dụng để dịch chuyển điện tích:
Ftd = – QE.aL
• Công cần thực hiện để dịch chuyển Q trong điện trường:
dW QE dL QE dL
Năng lượng & điện thế 4
= – .aL = – .
ể ểDịch chuy n điện tích đi m trong điện trường (2)
• Công cần thực hiện để dịch chuyển Q trong điện trường: 
dW = – QE.dL
• dW = 0 nếu: 
– Q = 0, E = 0, dL = 0, hoặc
– E vuông góc với dL
• Công dịch chuyển điện tích trên một quãng đường hữu 
hạn:
cuèi
®Çu
W Q d   E. L
Năng lượng & điện thế 5
ể ểDịch chuy n điện tích đi m trong điện trường (3)
Ch E (8 + 4 2 4 2 )/ 2 V/ Tí h i hâ ô ầ th hiệ để
Ví dụ 1 
o = xyzax x zay – x yaz z m. n v p n c ng c n ực n 
dịch chuyển một điện tích 5 nC trên một quãng đường 3 μm, bắt đầu từ P(2, –2, 3) 
theo hướng hL = – 6ax + 3ay + 2az.
2 2
2
8.2( 2)3 4.2 .3 4.2 ( 2)
3
a a a
E x y zP
    10,67 5,33 3,56 V/ma a ax y z   
dW = – QE.dL
L aLd dL 6 2 2 2
6 3 2
3.10
6 3 2
a a a     
x y z 6( 2,57 1,29 0,86 )10 ma a a    x y z
.E LpdW Q d 
9 65.10 ( 10,67 5,33 3,56 ).( 2,57 1,29 0,86 )10a a a a a a        x y z x y z
155 10 ( 10 67( 2 57) 5 33 1 29 3 56 0 86)
Năng lượng & điện thế 6
. , , , . , , . ,     
120,187.10 J 
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 7
Tích phân đường (1)
EΔL5
ΔL6
E
EL5
EL6 A
E
E
E
ΔL2
ΔL3
ΔL4
EL2
EL3
L4
cuèi
®Çu L
W Q E dL  
1 2 6W dW dW dW    E
E
ΔL1EL1
B...
1 1 2 2 6 6. . ... .E L E L E LQ Q Q       
1 1 2 2 6 6. . ... .L L LQE L QE L QE L        E.LBAQ 
(E đều)
1 2 6...E E E E   
1 2 6( ... )E. L L LW Q        
Năng lượng & điện thế 8
1 2 6...L L L LBA       E.LBAW Q  (E đều)
Tích phân đường (2)
cuèi
W Q E dL Q  EL EΔL5
ΔL6
E
EL5
EL6 A
(E đều).
®Çu L BA
 
E
E
E
ΔL2
ΔL3
ΔL4
EL2
EL3
L4
cuèi
E
E
ΔL1EL1
B
.
®Çu
W Q d  E L
E đều
E. L
A
B
W Q d    E.LBAQ 
• Công để dịch chuyển điện tích (trong điện trường đều) chỉ phụ 
thuộc Q, E & véctơ LAB
• (sẽ thấy rằng) Điện trường (tĩnh) không đều cũng cho kết quả
Năng lượng & điện thế 9
tương tự
Tích phân đường (3)
Cho E = yax + xay + 2az V/m. Tính công cần thực hiện để dịch chuyển một điện 
í h 2 C ừ B(1 0 1) đế A(0 8 0 6 1) h
Ví dụ 1 
A
W Q d   E L
t c t ; ; n , ; , ; t eo:
a) đường tròn x2 + y2 = 1, z = 1 b) đường thẳng nối B với A
B
.
L a a ax y zd dx dy dz  
( ) ( )
A
d d d2 2 .a a a a a ax y z x y zBW y x x y z      
0,8 0,6 1
1 0 1
2 2 4
x y
x y
ydx xdy dz
       
0,8 0,62 2
1 0
2 1 2 1 0
x y
x y
x dx y dy
 
       
0 8 0 6   
Năng lượng & điện thế 10
, ,
2 1 2 1
1 0
1 sin 1 sinx x x y y y           0,96 J 
Tích phân đường (4)Ví dụ 1 
Cho E = yax + xay + 2az V/m. Tính công cần thực hiện để dịch chuyển một điện 
í h 2 C ừ B(1 0 1) đế A(0 8 0 6 1) h
A
W Q d   E. L
t c t ; ; n , ; , ; t eo:
a) đường tròn x2 + y2 = 1, z = 1 b) đường thẳng nối B với A
B
L a a ax y zd dx dy dz  
2 ( 2 ).( )a a a a a a
A
x y z x y zB
W y x dx dy dz      
0,8 0,6 1
1 0 1
2 2 4
x y
x y
ydx xdy dz
 
      
y y
0,8 0,6x y y    
( )A BB B
A B
y y x x
x x
   3( 1)y x   
Năng lượng & điện thế 11
1 0
6 ( 1) 2 1 0
3x y
W x dx dy         0,96 J 
Tích phân đường (5)
L a a ax y zd dx dy dz   (Descartes)
d d d dL a a azz      (Trụ tròn)
sinL a a ard dr rd r d      (Cầu)
Năng lượng & điện thế 12
z
Tích phân đường (6)
Tính công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q
3600 h ê ộ đ ờ ò ằ ê ặ hẳ
Ví dụ 2 
dL
cuèi
W Q d   E L x
yρL
quan trục z tr n m t ư ng tr n n m tr n m t p ng
vuông góc với trục z, trục z đi qua tâm của đường tròn.
.
®Çu
02
E aL 

  cuèi LW Q d      a aL a a azd d d dz     
0d  0
.
2®µu   
2
0
.
2
a aLQ d

 
   0dz 
0
0
2 o90
 LQ d
o. 1.1.cos90a a  
Năng lượng & điện thế 13

0
0
cos
2
  W
z
Tích phân đường (7) ρL
Tính công cần thực hiện khi di chuyển một điện tích Q 
ừ đế b
Ví dụ 3 
cuèi
W Q d   E L x
yt ρ = a n ρ = . a
b
dL
.
®Çu
02
E aL 

  cuèi LW Q d    a aL a a azd d d dz     
0d  0
.
2®Çu   
b L dQ   0dz 
02a  
lnLQ b
Năng lượng & điện thế 14
02 a 
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế& điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 15
ếHiệu điện th (1)
cuèi
W Q d   E. L
• Hiệu điện thế V: công cần thực hiện để dịch chuyển một 
điệ tí h d 1 C từ điể à tới điể khá t điệ
®Çu
n c ương m n y m c rong n 
trường: cuèi
HiÖu ®iÖn thÕ V d   E. L
• Hiệu điện thế giữa điểm A & điểm B:
®Çu
ị l ( / )
A
AB B
V d  E. L
Năng lượng & điện thế 16
• Đơn v : vo t V, J C
ế
z
Hiệu điện th (2) ρL
Tính hiệu điện thế giữa ρ = a đến ρ = b.
Ví dụ
x ya b
Công cần thực hiện khi di chuyển 
một điện tích Q từ a đến b:
Q b
0
ln
2
LW
a

 
ô ầ th hiệ khi di h ể ột điệ tí h Q từ b đế
ln
2
LQ bW 
→ c ng c n ực n c uy n m n c n a:
WV  0
ln
2
L
ab
bV
a

 
0 a
Năng lượng & điện thế 17
ab Q
ếĐiện th
• Hiệu điện thế giữa điểm A & điểm B
• Nếu không có điểm B?
• → Điện thế (điện thế tuyệt đối) tại điểm A
• → Vẫn cần 1 điểm tham chiếu:
– “Đất”
Vỏ của thiết bị điện–
– Ở vô cùng
• Nếu điện thế tại A là VA & tại B là VB thì hiệu điện thế giữa A & B:
VAB= VA – VB
• (với điều kiện VA & VB chung 1 điểm tham chiếu)
Năng lượng & điện thế 18
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 19
ế ểTrường th của điện tích đi m (1)
E L
A
V d
A B
.AB B 
24
E ar
Q
r Q
rA rB
24
A
B
r
AB r
QV dr
r  
L ard dr
0 0
1 1
4
Q
r r
     QV 0 A B
Br 
04
A
Ar
Q
04
V
r
Năng lượng & điện thế 20
(Trường thế của điện tích điểm)
ế ểTrường th của điện tích đi m (2)
QV 
• Điện thế của một điểm cách điện tích Q một khoảng r
• Điện thế của một điểm ở a ô cùng được dùng làm điểm
04 r
 x v 
tham chiếu
• Ý nghĩa vật lý: cần phải tốn một công là Q/4πε0r (J) để dịch
chuyển một điện tích 1 C từ vô cùng về một điểm cách Q
một khoảng r.
• Đặt 1
04
QV C
r  104 B
Q C
r 
Năng lượng & điện thế 21
• Hiệu điện thế không phụ thuộc C1
ế ểTrường th của điện tích đi m (3)
QV 
• Trường điện thế của một điện tích điểm
04 r
• Đó là một trường vô hướng, & không có véctơ đơn vị
• Mặt đẳng thế: tập hợp của tất cả các điểm có cùng điện 
thế
• Khi dịch chuyển một điện tích trên một mặt đẳng thế, 
ầ ốkhông c n phải tiêu t n công
• Mặt đẳng thế của một điện tích điểm là một mặt cầu có
tâ ằ ở điệ tí h điể đó
Năng lượng & điện thế 22
m n m n c m
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 23
ếTrường th của một hệ điện tích (1)
1( )
4
r QV  r – rQ
r – r2
r2
Q2
0 1r r 
1 2( )
4 4
r
r r r r
Q QV    r1
r
1
1
0 1 0 2 
QQ Q
Gốc toạ độ
n Q1 2
0 1 0 2 0
( ) ...
4 4 4
r
r r r r r r
n
n
V         1 04 r r
m
m m 
Q v m v m
1 1 2 2( ) ( ) ( )( ) ...r r rr v v v n nv v vV         
Năng lượng & điện thế 24
0 1 0 2 04 4 4r r r r r rn    
ếTrường th của một hệ điện tích (2)
1 1 2 2( ) ( ) ( )( ) r r rr v v v n nv v vV       
n
0 1 0 2 0
...
4 4 4r r r r r rn     
0
( ') '( )
4 '
rr
r r
v
V
dvV   
0
( ') '( )
4 '
L dLV   rr r r
( ') '( )
4 '
S
S
dSV   rr
Năng lượng & điện thế 25
0 r r
ếTrường th của một hệ điện tích (3)
Tính điện thế trên trục z
Ví dụ
z .
( ') '( ) L dLV   rr r
(0, 0, z)
2 2' a z  r r
04 ' r r
' 'dL ad y
ρ = a
2 2' a z   r rzzr a
' a r a
x ρL
r’'
' 'dL ad
2
2 20
'( )
4
LadV
    r 2 22 L
a
Năng lượng & điện thế 26
0 a z  0 a z 
ếTrường th của một hệ điện tích (4)
Nếu điểm tham chiếu ở vô cùng thì:
• Điện thế do một điện tích điểm gây ra là công cần thực hiện để đưa 1 
đơn vị điện tích dương từ vô cùng về điểm mà chúng ta xét, công này 
không phụ thuộc vào (dạng của) quãng đường giữa hai điểm đó
• Trường thế của một hệ điện tích gây ra là tổng của các trường thế do 
từng điện tích trong hệ gây ra
• Biểu thức điện thế:
Hiệ điệ thế
A
AV d  E. L
A
V V V d E L• u n : AB A B B    .

Năng lượng & điện thế 27
• Đối với điện trường tĩnh: 0d E. L
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 28
ếGradient th (1)
• Đã có 2 phương pháp để tính điện thế: bằng cường độ 
điện trường & bằng phân bố điện tích
• Nhưng thường thì không biết cả E lẫn ρ
• → Bài toán: tính cường độ điện trường từ điện thế
• Phương pháp: gradient thế 
Năng lượng & điện thế 29
ế
L
Gradient th (2)
V d E L  E .
V  E. L
cosV E L   
cosdV E
dL
 
(cos 1)dVE
dL
  
Năng lượng & điện thế 30
max
ếGradient th (3)
dV
V = +90
+80
+70
+60
max
E
dL
 +50
+40
P
aN
ΔL
• Độ lớn của cường độ điện trường 
bằng giá trị cực đại của tốc độ biến 
thiên của điện thế theo khoảng cách
+30
20
E
• Giá trị cực đại này đạt được nếu 
hướng của vi phân khoảng cách 
+
+10
ngược với hướng của E, nói cách 
khác hướng của E ngược với 
hướng mà điện thế tăng nhanh nhất N
dV
dL
    
E a
Năng lượng & điện thế 31
max
ếGradient th (4) V = +90+80
+70
+60dV   E a
dV dV
+50
+40
P
max
NdL  aN
ΔL
E adV
maxdL dN

+30
20
ENdN
 
+
+10grad aN
dTT
dN
Gradient của T =
gradE V 
Năng lượng & điện thế 32
ếGradient th (5)
gradE V 

( , , )V V x y z V V VdV dx dy dz     
x
VE
x
V
   x y z  
.E L x y zdV d E dx E dy E dz     
yE y
VE
     z z 
E a a a        V V V   x y zx y z
grad a a aV V VV     
Năng lượng & điện thế 33
x y zx y z  
ếGradient th (6)
d V V V  gra a a ax y zV x y z    
   T T T  a a ax y zx y z     x y zT x y z     a a a
gradE V
gradT T 
 
VE
Năng lượng & điện thế 34
  
ếGradient th (7)
(Descartes)a a ax y z
V V VV
x y z
       
1 (T t ò )a a aV V VV      ru r nzz       
1 1 ( )
sin
a a a   
        CÇur
V V VV
r r r
Năng lượng & điện thế 35
ếGradient th (8)
V V V  
x y zV x y z
     a a aGradient:
yx zDD D
x y z
      .DĐive:
Năng lượng & điện thế 36
ếGradient th (9)
Cho trường thế V = 2x2y – 5z (V) & điểm P(– 4, 3, 6). Tính các thông 
ố ế
Ví dụ 
s tại P: điện th VP, cường độ điện trường EP , hướng của EP , dịch
chuyển điện DP , & mật độ điện tích khối ρv .
22( 4) (3) 5(6) 66 VPV    
   V V V 2E V  a a a       x y zx y z 4 2 5 V/ma a ax y zxy x   
48 32 5 V/mE a a a   p x y z
,
E
a
E
p
E P  2 2 2
48 32 5a a ax y z  0,83 0,55 0,086a a ax y z  
Năng lượng & điện thế 37
p 48 ( 32) 5  
ếGradient th (10)
Cho trường thế V = 2x2y – 5z (V) & điểm P(– 4, 3, 6). Tính các thông 
ố ế
Ví dụ 
s tại P: điện th VP, cường độ điện trường EP , hướng của EP , dịch
chuyển điện DP, & mật độ điện tích khối ρv .
0D E
2 235,40 17,71 44,30 pC/ma a ax y zxy x   
12 28,854.10 ( 4 2 5 )a a ax y zxy x
   
v  .D
 235 40 17 71 44 30    
335 4 pC/m
. , , ,a a a a a ax y z x y zxy xx y z
        
2( 35,40 ) ( 17,71 ) (44,30)xy x     
Năng lượng & điện thế 38
, y 
x y z
   
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡng cực• 
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 39
Lưỡng cực (1)
• Đóng vai trò quan trọng
z
+Q
P
R1
r
θ
trong việc khảo sát chất 
điện môi trong điện trường y
R2
d
• Lưỡng cực (lưỡng cực 
điện): 2 điện tích điểm có 
ằ
x –Q
độ lớn b ng nhau & ngược 
dấu, khoảng cách giữa 
hú ất hỏ ớic ng r n so v 
khoảng cách tới điểm P
cần xét
Năng lượng & điện thế 40
Lưỡng cực (2)
2 11 1 R RQ QV
     
z
+Q
P
R1
r
θ
0 1 2 0 1 24 4R R R R  
1 2R R
y
R2
d
2 1 cosR R d  
x –Q
2
cos
4
QdV 
z
+Q
R1
r R
θ
0r
E V 
1 1V V V   
2
d
(2 i )E Qd  
sin
a a arr r r          
Năng lượng & điện thế 41
x
y
–Q 2 1 cosR R d  
3
0
cos s n
4
a arr  
Lưỡng cực (3)
z
0,43 (2cos sin )4
E a ar
Qd
r 
  
0,6
0,82
cos
4
QdV
r


0
1
0
Năng lượng & điện thế 42
Lưỡng cực (4)
dQMô l ỡ
z
+Q
P
R1θ
p 
cosd.ar d 
men ư ng cực
d
r
R2
d
ra
2
0
cos
4
QdV
r

 x
y
–Q
2
04
p.arV
r  2
0
1 '
'4 '
 
r rp.
r rr r
r : véctơ định vị P
r’: véctơ định vị tâm lưỡng cực
Năng lượng & điện thế 43
ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 44
Mật độ năng lượng (1)
• Khi dịch chuyển một điện tích dương (1) ở vô cùng vào 
một điện trường của một điện tích dương khác (2), ta 
phải thực hiện một công
• Nếu điện tích 1 được giữ nguyên trong điện trường, nó 
có một thế năng
• Nếu thả điện tích 1 ra, nó sẽ lùi ra xa điện tích 2, & tích 
luỹ động năng trong quá trình chuyển động
• Bài toán: tìm thế năng của một hệ điện tích
Năng lượng & điện thế 45
Mật độ năng lượng (2)
• (Công dịch chuyển Q2) = Q2V2 1 , 
• V2, 1: điện thế tại vị trí của Q2 do Q1 gây ra
• Nếu thêm Q vào hệ thì 3 
• (Công dịch chuyển Q3) = Q3V3, 1 + Q3V3, 2
• (Công dịch chuyển Q ) = Q V + Q V + Q V 4 4 4, 1 4 4, 2 4 4, 3
• Tổng công dịch chuyển = thế năng của điện trường =
W Q V + Q V + Q V + Q V + Q V + += E = 2 2, 1 3 3, 1 3 3, 2 4 4, 1 4 4, 2 
Q4V4, 3 + 
Năng lượng & điện thế 46
Mật độ năng lượng (3)
WE = Q2V2, 1 + Q3V3, 1 + Q3V3, 2 + Q4V4, 1+ Q4V4, 2 + Q4V4, 3 + 
1
3 3,1 3
0 134
QQV Q
R 33 3,1 1 1 1,3
0 314
QQV Q QV
R  
13 31R R
WE = Q1V1, 2 + Q1V1, 3 + Q2V2, 3 + Q1V1, 4+ Q2V2, 4 + Q3V3, 4 +
Q Q Q Q Q Q+WE = 2V2, 1 + 3V3, 1 + 3V3, 2 + 4V4, 1+ 4V4, 2 + 4V4, 3 + 
1 1,2 1,3 1,42 ( ...)EW Q V V V    
2 2,1 2,3 2,4
3 3 1 3 2 3 4
( ...)
( ...)
Q V V V
Q V V V
    
    
Năng lượng & điện thế 47
, , ,
...
Mật độ năng lượng (4)
1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,3 2,42 ( ...) ( ...)EW Q V V V Q V V V        
2 3,1 3,2 3,4( ...) ...Q V V V    
1 2 1 3 1 4 1...V V V V   , , ,
2,1 2,3 2,4 2...V V V V   
1 1 k N
3,1 3,2 3,4 3...V V V V   
1
2E vV
W Vdv  1 1 2 2 3 3 1( ...)2 2E k kkW QV Q V QV Q V      
Năng lượng & điện thế 48
k vQ dv
Mật độ năng lượng (5)
1 
ổ ế
2E vV
W Vdv
• T ng th năng của một hệ điện tích
• Ngoài phương trình đối với điện tích khối, còn có thể xây 
d h h đối i đi h điể đi hựng p ương trìn vớ ện tíc m, ện tíc 
đường, điện tích mặt
Năng lượng & điện thế 49
Mật độ năng lượng (6)
1 
.D  Phương trình Maxwell 1:
2E vV
W Vdv
1 ( . )EW Vdv   D
v 
.( ) ( . ) .( )D D DV V V    
2 V
 1 .( ) .( )
2E V
W V V dv     D D
Năng lượng & điện thế 50
Mật độ năng lượng (7)
 1 .( ) .( )EW V V dv    D D2 V
1 1.( ) .( )
2 2V V
V dv V dv    D D
1 .( )
2 V
V dv D
. .
S V
d dv  D S DĐịnh lý đive:
1 1( ) ( )V dv V d  D D S. .2 2V S
1 1( ) ( )W V d V dv    D S D
Năng lượng & điện thế 51
. .
2 2E S V
Mật độ năng lượng (8)
1 1( ) ( )W V d V dv   D S D . .2 2E S V
QV  : suy giảm với tốc độ 1/r
04 r
24
D ar
Q
r : suy giảm với tốc độ 1/r
2
1 ( ). 0
2
D S
S
V d 
Sd : tăng với tốc độ r2
1 .( )
2E V
W V dv    D 2
0
1 1.
2 2E V V
W dv E dv  DE
Năng lượng & điện thế 52
E V  (gradient thế)
bMật độ năng lượng (9) ρ = a ρ = 
Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của 
trụ trong có mật độ điện tích mặt ρ
Ví dụ
 S .
2
0
1
2E V
W E dv Cách 1:
2
( )SaD a b
    0
SaE   
2
00 0
0
1
2
z L b S
E z a
aW dv
  
 
  
  
  
       
dv d d dz  
2 221 z L b SaW d d d
         2 2 lSLa b 
Năng lượng & điện thế 53
0 2 20 0
02
E z a
z         0 n a
bMật độ năng lượng (10) ρ = a ρ = Ví dụ
Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của 
trụ trong có mật độ điện tích mặt ρ
1
2E vV
W Vdv Cách 2:
 S .
.
cuèi
®ÇuAB
V d  E L
0V
a
a b
V E d   

b 
a b 0
SaE

 
0
a S
a b
aV d    0 lnS a
0
1 ln
2
S
E vV
a bW dv
a
   1 
Năng lượng & điện thế 54
2E vV
W Vdv
bMật độ năng lượng (11) ρ = a ρ = Ví dụ
Tính thế năng của một đoạn cáp đồng trục, mặt ngoài của 
trụ trong có mật độ điện tích mặt ρ
1
2E vV
W Vdv Cách 2:
 S .
0
1 ln
2
S
vv
a b dv
a
  
, ,
2 2
S
v
t ta a t a
t
      
1 b2 / 2
0 0 / 2
0
ln
2
z L a t S S
E z a t
W a d d dz
t a
  
 
    
   
       
2 2
Năng lượng & điện thế 550
lnSLa b
a
 

ếNăng lượng & điện th
• Dịch chuyển điện tích điểm trong điện trường 
• Tích phân đường
• Hiệu điện thế & điện thế 
• Trường thế của điện tích điểm
• Trường thế của một hệ điện tích 
• Gradient thế
Lưỡ ự• ng c c
• Mật độ năng lượng trong trường tĩnh điện
Năng lượng & điện thế 56