Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất - Lê Trường Giang

BÀI GIẢNG 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 
Giảng viên 
ThS. Lê Trƣờng Giang 
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING 
KHOA CƠ BẢN 
BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ 
Chƣơng 2 
 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 
& THỐNG KÊ TỐN 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
1. Biến ngẫu nhiên 
2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 
3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên 
4. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
1. Biến ngẫu nhiên 
Kí hiệu biến ngẫu nhiên bởi các chữ cái in hoa X, Y, Z, 
Miền giá trị của hàm X kí hiệu là Im(X) 
     Im : , .X x X x      
Với  Ima X , tập   : X a   là một sự kiện ngẫu nhiên 
Xét một phép thử trong khơng gian mẫu  . Hàm X được xác định 
 
:X
X 

 được gọi là biến ngẫu nhiên. 
 (BNN là một số được gán cho từng kết quả của phép thử) 
a. Định nghĩa 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
1. Biến ngẫu nhiên 
Ví dụ 1. Xét phép thử Bernoulli, trong phép thử này chỉ cĩ hai 
 kết quả “thành cơng” kí hiệu là T và “thất bại” kí hiệu là T . 
Xác định một quy tắc X như sau:    1, 0,X T X T  
Khi đĩ X là một biến ngẫu nhiên và Im(X) = {0,1} 
 Cho xác suất thành cơng là  P T q , xác suất thất bại là   1P T q  . 
        1 : X 1P X P P T q      , tương tự  0 1P X q   . 
a. Định nghĩa 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
1. Biến ngẫu nhiên 
Định nghĩa. BNN X thuộc loại rời rạc nếu Im(X) là tập hữu hạn 
 hay vơ hạn đếm được. 
Ví dụ 2.Thực hiện dãy phép thử Bernoulli, gọi X là BNN chỉ số lần 
 thực hiện phép thử cho đến khi xuất hiện lần thành cơng đầu tiên. 
Trong ví dụ này Im(X) = {1, 2, 3, }, dĩ đĩ X là BNN rời rạc. 
    
1
. 1 , 1,2,...
k
P X k q q k

    
Định nghĩa. BNN X là liên tục nếu Im(X) là một khoảng 
hay đoạn số thực, và là tập vơ hạn khơng đếm được. 
Ví dụ 3. BNN X chỉ thời gian xuất hiện hư hỏng lần đầu tiên 
 của một chiếc máy điện thoại. Khi đĩ, BNN X thuộc loại liên tục. 
b. Phân loại 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
1. Biến ngẫu nhiên 
c. Chú ý 
BNN coi như được xác định nếu như ta biết được 2 yếu tố sau: 
 Tập các giá trị của BNN, 
 Các xác suất mà BNN nhận giá trị thuộc tập đĩ. 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 
+ Luật phân phối xác suất của BNN là một biểu đồ, trong đĩ 
chỉ ra 
 Các giá trị cĩ thể nhận được của BNN, 
 Xác suất tương ứng để BNN nhận các giá trị đĩ. 
+ Luật phân phối xác suất thường được thể hiện dưới hai 
hình thức: hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất. 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên 
Định nghĩa. BNN X rời rạc, Im(X) = {x1, x2, , xn,} 
ứng với mỗi giá trị của X là một xác suất 
     , Im .
X
f x P X x x X    
Hàm fX được gọi là hàm mật độ xác suất của BNN X . 
Hàm mật độ xác suất thỏa mãn các điều kiện sau 
i,    0, Im .
X
f x x X   
ii,  
 Im
1
X
x X
f x

 . 
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên 
BNN X cĩ hữu hạn giá trị, Im(X) = {x1, x2, , xn}. 
Bảng phân phối xác suất của X dạng như sau 
   
i X i i
p f x P X x   . 
Tập  ImA X ,    
x A
P X A f x

   . 
X x1 x2  xn 
P p1 p2  pn 
Ví dụ 6. Lơ hàng cĩ 20 sản phẩm giống nhau, cĩ 5 sản phẩm 
 kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên một lần 3 sản phẩm. Lập bảng 
 phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số sản phẩm kém 
 chất lượng và tính xác suất  2P X  . 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên 
Ví dụ 6B. Một xạ thủ cĩ 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào một 
mục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 
0,7. Nếu cĩ 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là số 
viên đạn đã bắn. 
a) Lập bảng phân phối xác suất của X ? 
b) Tính  2 4P X  ? 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên 
a. Biến ngẫu nhiên liên tục 
Định nghĩa. BNN X liên tục, với hai giá trị thực a b , xác suất của 
 sự kiện  a X b  là  P a X b  . Giả sử một hàm f khơng âm, thỏa 
    .
b
a
P a X b f x dx    
Hàm f như trên được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. 
Hàm mật độ xác suất thỏa mãn các điều kiện sau 
i.   0, .f x x   ii.   1.f x dx


 
Ngược lại, f thỏa đồng thời i và ii thì f là hàm mật độ xác suất. 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên 
BNN X là biến ngẫu nhiên liên tục thì   0, .P X a a    
 Suy ra        .P a X b P a X b P a X b P a X b           
Xác suất    
b
a
P a X b f x dx    
là miền diện tích tơ đen 
y
x
P(a ≤ X ≤ b)
f(x)
ba O
Ví dụ 7. Cho X là BNN cĩ hàm mật độ xác suất như sau 
 
 
2 nếu [0,1] a. Xác định ?
0 nếu [0,1]. b. Tính 0,25 0,5 ?
ax x a
f x
x P X
  
 
  
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
4. Hàm phân phối xác suất 
Định nghĩa. Cho BNN X , hàm phân phối xác suất của X 
kí hiệu là F(x) được xác định    .F x P X x  
X rời rạc:    .
t x
F x f t

  
X liên tục:    
x
F x f t dt

  . 
Ox
f(x)
P(X ≤ x)
x
y
Tính chất. BNN X cĩ hàm phân phối F và hàm mật độ f 
1.  , 0 1.x F X    
2. 
1 2
,x x  nếu 
1 2
x x thì    
1 2
F x F x . 
3. Nếu , ,a b a b  thì         P a X b F b F a . 
4.    lim 0, lim 1
x x
F x F x
 
  . 
5.    f x F x tại x là điểm liên tục của f. 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
4. Hàm phân phối xác suất 
Nếu X là BNN rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất là 
X 1x 2x 3x . nx 
p 1p 2p 3p . np 
thì hàm phân phối    
i
i
x x
F x P X x

  cụ thể 
 
1
1 1 2
1 2 2 3
1 2 1
1 2 1 1
1 2
0 khi
khi
khi
..... ..........
... khi
......... .....
khi...
khi...
k k k
n n n
n n
x x
p x x x
p p x x x
F x
p p p x x x
p p p x x x
p p p x x

 

  

   


 
    


    
    
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
Với X là BNN liên tục cĩ hàm mật độ xác suất là  f x thì hàm 
phân phối xác suất    
x
F x f t dt

  . Cụ thể 
 
   
 
   
 
 
 
 
0 khi
khi ,
khi
0 khi ,
1 khi
khikhi
0 khi
0 khi
x
a
x
a
x a
x x a b
f x F x t dt a x b
x a b
x b
t dt x ax x a
f x F x
x a
x a





 
     
 
 

 
   
  


Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
4. Hàm phân phối xác suất 
Ví dụ 9A. Cho X là BNN rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất 
như sau 
X 0 1 2 
p 0.6 0.3 0.1 
 Tìm hàm phân phối xác suất của X ? 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
4. Hàm phân phối xác suất 
Ví dụ 9B. Cho X là BNN rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất 
như sau 
X -2 0 1 2 3 
p 0.1 0.2 0.1 0.5 0.1 
a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? 
b. Tính xác suất  0 3P X  ? 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
4. Hàm phân phối xác suất 
Ví dụ 9C. Tuổi thọ của một bộ phận trong một dây chuyền sản 
xuất là BNN X (tháng) cĩ hàm mật độ xác suất như sau 
    
 
 


 


2
25
khi 0,40
2 10
0 khi 0,40
x
xf x
x
a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? 
b. Tìm xác suất để tuổi thọ của thiết bị nhỏ hơn 1 năm? 
Ví dụ 9D. Cho BNN X cĩ hàm mật độ xác suất như sau 
  


 
 
2
2
khi 2
0 khi 2
x
f x x
x
a. Tìm hàm phân phối xác suất của X? 
b. Tìm    3 5P X ? 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
4. Hàm phân phối xác suất 
Ví dụ 10 (BTN). Một người hằng ngày từ nhà đến cơ 
quan phải qua 4 ngã tư. Xác suất gặp đèn đỏ ở mỗi 
ngã tư là 25%. Lập hàm phân phối xác suất số lần gặp 
đèn đỏ của người đĩ. 
Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 
4. Hàm phân phối xác suất 
1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 
4. Mode và Median của biến ngẫu nhiên 
3. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 
1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Định nghĩa. BNN X rời rạc, cĩ bảng phân phối xác suất dạng 
X x1 x2  xn 
P p1 p2  pn 
Kỳ vọng của X kí hiệu là  hoặc  E X cho bởi 
  
1
i i
i
n
E X x p

  
hoặc  
1
i i
E X x p
i


 

 khi X cĩ vơ hạn đếm được các giá trị. 
BNN X liên tục với hàm mật độ f , kỳ vọng là giá trị 
    . .E X x f x dx


   
1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Nếu  Y X thì  
 
   
nếu rời rạc
nếu liên tục.
i i
i
x p X
E Y
x f x dx X






 




Tính chất. 
1. Với k là hằng số thì   .E k k 2.    .E kX kE X 
3.      .E X Y E X E Y   4.      E XY E X E Y nếu X và Y độc lập. 
 5. Nếu X Y thì    .E X E Y 6. Nếu 0X  thì   0.E X  
1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Ý nghĩa của kỳ vọng: 
Kỳ vọng nĩi lên giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. 
Khi BNN cĩ độ phân tán nhỏ thì kỳ vọng cĩ thể làm đại 
diện cho giá trị của biến ngẫu nhiên. 
1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Ví dụ 1. BNN X chỉ số lượng hàng hĩa bán ra trong một ngày, 
cĩ bảng phân phối xác suất như sau 
Tính kỳ vọng của X ? 
X 1 2 3 4 
P 0,1 0,3 0,4 0,2 
1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Ví dụ 2. Tuổi thọ của dân cư tại một quốc gia là BNN X cĩ hàm 
mật độ xác suất như sau 
 
       
   
2
2
100 khi 0,100
0 khi 0,100
kx x x
f x
x
a) Xác định hằng số k? 
b) Tuổi thọ trung bình của dân cư quốc gia trên là bao nhiêu? 
c) Tìm tỉ lệ người cĩ tuổi thọ từ 60 đến 70 tuổi? 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 
Định nghĩa. BNN X cĩ kỳ vọng là  . Phương sai của 
biến ngẫu nhiên X là số 2( )E X  nếu nĩ tồn tại. 
Phương sai của X được kí hiệu là Var(X), D(X) hoặc 2 . 
Khi X rời rạc cĩ bảng phân phối xác suất 
   
2
1
n
i i
i
Var X x p

  
Đối với biến ngẫu nhiên X liên tục      
2
Var X x f x dx


  . 
X x1 x2  xn 
P p1 p2  pn 
Chú ý. Để tính phương sai của X ta cĩ thể dùng cơng thức sau 
   2 2.Var X E X   
2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 
Ý nghĩa của phương sai: 
Giá trị phương sai biểu thị độ tập trung hay phân tán 
giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh trung 
bình của nĩ 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 
Ví dụ 3. Cho bảng phân phối xác suất của X 
X 1 2 3 4 
P 0,4 0,24 0,144 0,216 
Tính kỳ vọng, phương sai của X. 
Ví dụ 4. Cho BNN X liên tục, cĩ hàm mật độ xác suất f 
 
 
 

 
 
  
2
3
khi 2,2
16
0 khi 2,2
x
x
f x
x
Hãy tính kỳ vọng, phương sai của X. 
Tính chất. 
1. Với k là hằng số thì  ar 0.V k  
2.    2ar . arV kX k V X . 
3.      ar arVar X Y V X V Y   nếu X và Y độc lập. 
Ví dụ 5. Cho BNN X cĩ kỳ vọng  , phương sai là 2 
xác định kỳ vọng và phương sai của * .
X
X



 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
2. Phương sai của biến ngẫu nhiên 
Ví dụ 6. Cho các BNN
1 2
, ,...,
n
X X X độc lập và cĩ cùng kỳ vọng 
bằng  và phương sai bằng 2 . Hãy tìm kỳ vọng, phương sai 
và dạng chuẩn hĩa của  
1 2
1
 ...
n
X X X X
n
    . 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
3. Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 
Dù rằng phương sai biểu thị sự phân tán của các biến ngẫu 
nhiên, tuy nhiên lại khơng cùng đơn vị với các biến ngẫu 
nhiên đĩ. Chính vì thế mà người ta đưa ra một tham số mới 
cĩ ý nghĩa giống như phương sai, nhưng cùng đơn vị với 
biến ngẫu nhiên. Đại lượng đĩ gọi là độ lệch chuẩn và được 
ký hiệu là hoặc .  X  se X
 Biểu thức xác định độ lệch chuẩn    varse X X
4. Mode và Median 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Định nghĩa: Mode được kí hiệu là Mod(X). 
Nếu X là BNN rời rạc thì Mode của X là giá trị mà tại đĩ xác 
suất P(X = Mod(X)) là lớn nhất. 
Nếu X là BNN liên tục thì Mode của X là giá trị mà tại đĩ 
hàm mật độ xác suất f(x) đạt cực đại. 
Một BNN X cĩ thể cĩ một hay nhiều Mode hoặc khơng cĩ 
Mode nào. 
a. Mode 
4. Mode và Median 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Định nghĩa. Median (trung vị) được kí hiệu là Med(X). 
Median là giá trị nằm chính giữa phân phối xác suất của BNN. Nĩi cách 
khác đĩ là giá trị chia phân phối của BNN thành hai phần bằng nhau 
Median của biến ngẫu nhiên X là số m sao cho   
1
2
P X m và   
1
2
P X m . 
Với X là BNN rời rạc thì   
i
Med X x nếu         1
1
,
2
i i i
F x F x x X . 
Với X là BNN liên tục thì   
0
Med X x nếu    

 
0
0
1
2
x
F x f x dx . 
Chú ý: Median là khơng duy nhất, cĩ thể cĩ nhiều Median. 
b. Median 
4. Mode và Median 
Bài 2. Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 
Ví dụ 7 . Gọi BNN X bảng phân phối xác suất. 
X -200000 -50000 30000 100000 
P 0,3 0,2 0,4 0,1 
Tìm Mod(X) và Med(X).