Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4, Bài 4: Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể - Lê Trường Giang

BÀI GIẢNG 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN 
Giảng viên 
ThS. Lê Trƣờng Giang 
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING 
KHOA CƠ BẢN 
BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ 
Chƣơng 3 
 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG 
Bài 3 
ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TỈ LỆ TỔNG THỂ 
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 
& THỐNG KÊ TOÁN 
Bài 3. Ước lượng khoảng cho tỉ lệ tổng thể 
3.1.2. Ví dụ minh họa 
3.1.1. Xây dựng khoảng 
ƣớc lƣợng 
3.1. Ƣớc lƣợng 
khoảng cho tỷ lệ 
tổng thể 
3.1.3. Bài tập nhóm 
3.2.Khoảng ƣớc lƣợng một phía 
3.2.1. Tối đa 
3.2.2.Tối thiểu 
 Tài liệu tham khảo 
1. Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, 
 Trƣờng Đại học Tài Chính - Marketing. 
2. Tập bài giảng Xác suất và Thống kê Toán – Lê Trường Giang. 
3. Lê Sĩ Đồng (2013)- Giáo trình Xác suất - Thống kê –NXB GDVN. 
4. Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2011)-Lý thuyết xác suất và 
thống kê-NXBĐHQG TpHCM. 
5. Trần Lộc Hùng (2005)- Giáo trình Xác suất Thống kê –NXB GDVN. 
6. Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ (2012) – Giáo trình 
Lý thuyết xác suất và Thống kê – NXB Đại học Kinh Tế Quốc Dân, HN. 
Bài 3. 
 Ước lượng khoảng tham số tỉ lệ tổng thể 
Giả sử trong tổng thể ta quan tâm những phần tử có 
tính chất A với tỷ lệ là p chưa biết. Từ tổng thể, ta 
chọn ra một mẫu gồm n phần tử, kiểm tra mẫu này ta 
có tỷ lệ phần tử có tính chất A là f. Với một mẫu 
chọn được, cùng với độ tin cậy cho trước , nhiệm 
vụ của bài toán ƯLTL là cần xác định khoảng 
sao cho 
1
 
1 2
,p p
     
1 2
1P p p p
 3.1. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể 
Cho là mẫu ngẫu nhiên của tổng 
thể X có tỉ lệ p, 
 F là tỉ lệ mẫu ngẫu nhiên, 
 f là tỉ lệ mẫu cụ thể, 
 n là kích thước mẫu, 
 là độ tin cậy của ước lượng. 
 Ta xây dựng khoảng ước lượng (đối xứng) cho p: 
1 
 1 2, , ..., nX X X
 XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG 
 
 

 

0,1
1
d
F p
G Z N
p p
n
 Khi đó 
1
   

   
     
                   
     
1 1 1 1
2 2 2 2
1P z G z P G z P G z
Theo đlghtt, ta có 









1
2
1
2
z
z






  
   
  

 
    
 
1
2
1
2
;
2
1 .
2
P G z
P G z
 Với 
 ta cần xác định thỏa mãn 
 XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG 
 
    
 
 
     
 
 
 
 
1 1
2 2
1 *
1
F p
P z z
p p
n
   
 

 
  
      
 
 
1 1
2 2
1 1
1
F F F F
P F z p F z
n n
Khi n đủ lớn, theo đlghtt ta có thể thay 
 Suy ra 
   1 1X Xp p s F F     
 Khi đó, từ (*) ta suy ra 
 
 
2
1
; .,
f f
z
n
f f  

 
Vậy , trên mẫu cụ thể ta thay F bởi f, ta đƣợc khoảng ƣớc 
lƣợng của p với độ tin cậy 1 
0
1
2
z 1
2
z 
/ 2 / 2
1   
 
 


  
30
5
1 5
n
nf
n f
Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm 
dò dƣ luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu 
nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời 
nói rằng họ sẽ bỏ phiếu cho ông A. Hãy ƣớc 
lƣợng (khoảng đối xứng) tỉ lệ cử tri bỏ phiếu 
cho ông A với độ tin cậy 95%. 
Ví dụ 1 
Hướng dẫn tra bảng 
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2,1 
0.0000 
0389 
0793 
1179 
1554 
1915 
2257 
2580 
2881 
3159 
3413 
3643 
3849 
4032 
1492 
4332 
4452 
4554 
4641 
4713 
4772 
4821 
0.0040 
0438 
0832 
1217 
1591 
1950 
2291 
2611 
2910 
3186 
3438 
3665 
3869 
4049 
4207 
4345 
4463 
4564 
4649 
4719 
4778 
4826 
0.0080 
0478 
0871 
1255 
1628 
1985 
2324 
2642 
2939 
3212 
3461 
3686 
3888 
4066 
4222 
4357 
4474 
4573 
4656 
4726 
4783 
4830 
0.0120 
0517 
0910 
1293 
1664 
2019 
2357 
2673 
2967 
3238 
3485 
3708 
3907 
4082 
4236 
4370 
4484 
4582 
4664 
4732 
4788 
4834 
0.0160 
0557 
0948 
1331 
1700 
2054 
2389 
2703 
2995 
3264 
3508 
3729 
3925 
4099 
4251 
4382 
4495 
4591 
4671 
4738 
4793 
4838 
0.0199 
0396 
0987 
1368 
1736 
2088 
2422 
2734 
3023 
3289 
3531 
3749 
3944 
4115 
4265 
4394 
4505 
4599 
4678 
4744 
4793 
4838 
0.0239 
0636 
1026 
1406 
1772 
2123 
2454 
2764 
3051 
3315 
3554 
3770 
3962 
4131 
4279 
4406 
4515 
4608 
4686 
4750 
4803 
4846 
0.0279 
0675 
1064 
1443 
1808 
2157 
2486 
2794 
3078 
3340 
3577 
3790 
3980 
4147 
4292 
4418 
4525 
4616 
4693 
4756 
4808 
4850 
0.0319 
0714 
1103 
1480 
1844 
2190 
2517 
2823 
3106 
3365 
3599 
3810 
3997 
4162 
4306 
4429 
4535 
4625 
4699 
4761 
4812 
4854 
0.0359 
0753 
1141 
1517 
1879 
2224 
2549 
2852 
3133 
3389 
3621 
3830 
4015 
4177 
4319 
4441 
4545 
4633 
4706 
4767 
4817 
4857 
Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss) 
 
2
0
0
1
exp
22
x
t
x dt

 
   
 

750 
0.95;  0,475
2
1,96  z z0
2
0,475
2

 
   
 
z
1.
.06 
Ví dụ 1 
 + Ta nhận thấy 
Hƣớng dẫn 
 
  

 
   
100 30
60 5
1 40 5
n
nf
n f
+ Sai số (độ chính xác) của ước lượng 
   


 
  
2
1 0,6. 1 0,6
1,96. 0,096
100
f f
z
n
+ Khoảng ước lượng tỉ lệ       ; 0,504;0,696 .f f
Ví dụ 2 
Trƣớc ngày bầu cử tổng thống, một cuộc thăm dò dƣ 
luận đã tiến hành. Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời 
để hỏi ý kiến thì có 60 ngƣời nói rằng họ sẽ bỏ phiếu 
cho ông A. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân bỏ phiếu cho 
ông A với độ tin cậy 90% và sai số không vƣợt quá 2% 
thì cần phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu ngƣời nữa. 
Ví dụ 2 
Độ chính xác của ước lượng được xác định 
 
2
1f f
z
n



Theo giả thiết ta có 
   
 
 


 
    
   
2
0,45 2
2
2
2
1 1
0,02 0,02
0,02
0,6.0,4
1,645 1623,615
0,02
f f f f
z n z
n
n n
Vậy cần phải điều tra thêm ít nhất là 1524 người. 
Hướng dẫn 
Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ 
Bƣớc 1 
Xác định các tham số 
(n, f, ) 
Bƣớc 2 
Tính độ chính xác (mức sai số) 
Bƣớc 3 
Kết luận 
1 
   2
2
22
11 f f
n z
f f
n
z 


 
 
 ;p f f   
 3.2. Khoảng ước lượng một phía 
 
1
2
1
.
f f
p f z
n 

 
 Khoảng tin cậy tối đa của p với độ tin cậy 1 
 
1
2
1
.
f f
f z p
n 

 
 Khoảng tin cậy tối thiểu của p với độ tin cậy 1 
Ví dụ 3 
Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy 
sản xuất thấy có 20 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 
5%, 
a) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy 
đó. 
b) Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phế phẩm tối thiểu của 
nhà máy đó. 
Hướng dẫn tra bảng 
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2,1 
0.0000 
0389 
0793 
1179 
1554 
1915 
2257 
2580 
2881 
3159 
3413 
3643 
3849 
4032 
1492 
4332 
4452 
4554 
4641 
4713 
4772 
4821 
0.0040 
0438 
0832 
1217 
1591 
1950 
2291 
2611 
2910 
3186 
3438 
3665 
3869 
4049 
4207 
4345 
4463 
4564 
4649 
4719 
4778 
4826 
0.0080 
0478 
0871 
1255 
1628 
1985 
2324 
2642 
2939 
3212 
3461 
3686 
3888 
4066 
4222 
4357 
4474 
4573 
4656 
4726 
4783 
4830 
0.0120 
0517 
0910 
1293 
1664 
2019 
2357 
2673 
2967 
3238 
3485 
3708 
3907 
4082 
4236 
4370 
4484 
4582 
4664 
4732 
4788 
4834 
0.0160 
0557 
0948 
1331 
1700 
2054 
2389 
2703 
2995 
3264 
3508 
3729 
3925 
4099 
4251 
4382 
4495 
4591 
4671 
4738 
4793 
4838 
0.0199 
0396 
0987 
1368 
1736 
2088 
2422 
2734 
3023 
3289 
3531 
3749 
3944 
4115 
4265 
4394 
4505 
4599 
4678 
4744 
4793 
4838 
0.0239 
0636 
1026 
1406 
1772 
2123 
2454 
2764 
3051 
3315 
3554 
3770 
3962 
4131 
4279 
4406 
4515 
4608 
4686 
4750 
4803 
4846 
0.0279 
0675 
1064 
1443 
1808 
2157 
2486 
2794 
3078 
3340 
3577 
3790 
3980 
4147 
4292 
4418 
4525 
4616 
4693 
4756 
4808 
4850 
0.0319 
0714 
1103 
1480 
1844 
2190 
2517 
2823 
3106 
3365 
3599 
3810 
3997 
4162 
4306 
4429 
4535 
4625 
4699 
4761 
4812 
4854 
0.0359 
0753 
1141 
1517 
1879 
2224 
2549 
2852 
3133 
3389 
3621 
3830 
4015 
4177 
4319 
4441 
4545 
4633 
4706 
4767 
4817 
4857 
Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss) 
 
2
0
0
1
exp
22
x
t
x dt

 
   
 

450 
 0 0,5 0,450,05 0,5 0,45 1,645z z       
1.6 
.05 
Ví dụ 3 
 Ta có 
 



 

  
1
2
20
0,05
400
1 0,05.0,95
1,645. 0,0179
400
f
f f
z
n
 a) Khoảng tin cậy tối đa 
   0,0679p f
 b) Khoảng tin cậy tối thiểu 
   0,0321p f
Các bƣớc giải bài toán ƣớc lƣợng tỷ lệ 
Bước 1: Xác định 
 Kích thước mẫu: n 
 Tỉ lệ mẫu: f 
 Độ tin cậy: 
Bước 2: Tính độ chính xác 
I. Đối xứng 
II. Một phía 
 
2
1f f
n
z


Bước 3: Kết luận 
i. Khoảng tin cậy đối xứng 
ii. Khoảng tin cậy tối đa 
iii. Khoảng tin cậy tối thiểu 
1   
 ;p f f   
p f  
p f  
 
1
2
1f f
z
n




Bài 1. Một vùng có 3000 hộ gia đình. Để điều tra nhu cầu 
tiêu dùng một loại hàng hóa tại vùng đó ngƣời ta nghiên 
cứu ngẫu nhiên 100 gia đình và thấy có 74 gia đình có nhu 
cầu về loại hàng hóa trên. Với độ tin cậy 95% hãy ƣớc 
lƣợng số gia đình trong vùng có nhu cầu về loại hàng hóa 
đó. 
Bài 2. Để ƣớc lƣợng tỷ lệ ngƣời dân có mức thu nhập trên 
10 triệu đồng ở TP. HCM với độ tin cậy 95%, sai số không 
vƣợt quá 2% thì cần phải điều tra với số lƣợng bao nhiêu 
ngƣời, biết rằng tỉ lệ thực nghiệm là 0,8. 
Bài 1 
 + Ta nhận thấy 
Hƣớng dẫn Bài 1 
 
  

 
   
100 30
74 5
1 26 5
n
nf
n f
+ Độ chính xác của ước lượng 
   


 
  
2
1 0,74. 1 0,74
1,96. 0,086
100
f f
z
n
+ Khoảng ước lượng tỉ lệ  0,654;0,826 .
+ Kết luận (1962; 2478) 
+ Gọi M , suy ra 
3000
M
p 
Bài 2 
Độ chính xác của ước lượng được xác định 
 
1
2
1f f
z
n
 


Theo giả thiết ta có 
   
 
 
 

 
    
   
2
2
2 2
2
2
1 1
0,02 0,02
0,02
0,8.0,2
1,96 1536,64
0,02
f f f f
z n z
n
n n
Vậy cần phải điều tra ít nhất là 1537 người 
Hướng dẫn Bài 2 
Bài 3. Từ một lô hàng gồm 5000 sản phẩm, ngƣời ta chọn 
ngẫu nhiên ra 500 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 450 
sản phẩm loại A. 
a) Hãy ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A có trong lô hàng với 
độ tin cậy 95%? 
b) Nếu muốn ƣớc lƣợng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt 
độ chính xác nhƣ câu a) và độ tin cậy 99% thì cần kiểm tra 
thêm bao nhiêu sản phẩm nữa? 
c) Nếu muốn ƣớc lƣợng tỷ lệ sản phẩm loại A của lô hàng 
đạt độ chính xác ε = 2, 5% thì độ tin cậy là bao nhiêu %? 
Đáp số 
a) (4369; 4632) sản phẩm. 
b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa. 
c) độ tin cậy là 93.72%. 
Đáp số 
a) (4369; 4632) sản phẩm. 
b) cần phải điều tra 364 sản phẩm nữa. 
c) độ tin cậy là 93.72%. 
 XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!