Bài giảng Ma trận - Lê Xuân Đại

 = 0 + A = A
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 39 / 103
Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận
Ví dụ (
1 4 3
8 −3 2
)
+
(
3 1 1
4 −1 0
)
=
=
(
1 + 3 4 + 1 3 + 1
8 + 4 −3− 1 2 + 0
)
=
(
4 5 4
12 −4 2
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 40 / 103
Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận
Ví dụ
Tính C = 5A− 2B với
A =
(
2 3 5
1 4 −2
)
, B =
(
2 −2 5
0 6 −4
)
Giải.
C = 5
(
2 3 5
1 4 −2
)
− 2
(
2 −2 5
0 6 −4
)
=
=
(
5.2− 2.2 5.3− 2.(−2) 5.5− 2.5
5.1− 2.0 5.4− 2.6 5.(−2)− 2.(−4)
)
=
=
(
6 19 15
5 8 −2
)
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 41 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Bảng xếp hạng ngoại hạng Anh năm 2012-2013
Tên đội Thắng Hòa Thua
Man. Utd 28 5 5
Man. City 23 9 6
Chelsea 22 9 7
Arsenal 21 10 7
Tottenham 21 9 8
Hãy tính tổng số điểm của các đội biết thắng được
3 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 42 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
28 5 5
23 9 6
22 9 7
21 10 7
21 9 8
 .
 31
0
 =

28.3 + 5.1 + 5.0
23.3 + 9.1 + 6.0
22.3 + 9.1 + 7.0
21.3 + 10.1 + 7.0
21.3 + 9.1 + 8.0
 =
=

89 (Man. Utd)
78 (Man. City)
75 (Chelsea)
73 (Arsenal)
72 (Tottenham)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 43 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Nhân 2 ma trận
Định nghĩa
Cho A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K ),B = (bij)n×p ∈ Mn×p(K ).
a11 a12 . . . a1n
...
...
. . .
...
ai1 ai2 . . . ain
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn

m×n
.
 b11 b12 . . . b1j . . . b1p... ... . . . ... ... ...
bn1 bn2 . . . bnj . . . bnp

n×p
=

c11 c12 . . . c1j . . . c1p
...
...
. . .
...
...
...
ci1 ci2 . . . cij . . . cip
...
...
. . .
...
...
...
cm1 cm2 . . . cmj . . . cmp

m×p
. Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là
ma trận C = A.B = (cij)m×p sao cho cij =
n∑
k=1
aik .bkj , i = 1..m; j = 1..p
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 44 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Chú ý
Nhân ma trận A cho ma trận B thì
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 45 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Ví dụ
Tính tích A.B với A =
(
2 −1 4 5 )
1×4 ,
B =

1
2
0
−1

4×1
A.B =
(
2 −1 4 5 ) .

1
2
0
−1
 =
(2.1 + (−1).2 + 4.0 + 5.(−1)) = (−5)1×1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 46 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Ví dụ
Tính tích C = A.B với
A =
(
2 3 1
−1 0 1
)
2×3
, B =
 2 1 −11 3 −2
0 2 1

3×3
.
(
2 3 1
−1 0 1
)
.
 2 1 −11 3 −2
0 2 1
 =
c11 =
(
2 3 1
)
.
 21
0
 = 2.2 + 3.1 + 1.0 = 7
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 47 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
c12 =
(
2 3 1
)
.
 13
2
 = 2.1 + 3.3 + 1.2 = 13
c13 =
(
2 3 1
)
.
 −1−2
1
 = 2.(−1)+3.(−2)+1.1 = −7
c21 =
( −1 0 1 ) .
 21
0
 = (−1).2 + 0.1 + 1.0 = −2
c22 =
( −1 0 1 ) .
 13
2
 = (−1).1 + 0.3 + 1.2 = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 48 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
c23 =
( −1 0 1 ) .
 −1−2
1
 =
(−1).(−1) + 0.(−2) + 1.1 = 2
Vậy
C = A.B =
(
7 13 −7
−2 1 2
)
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 49 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Ví dụ
Tính tích A.B với A =
 3−2
5

3×1
,
B =
(
1 −1 2 2 )
1×4
A3×1.B1×4 = C3×4 =
=
 3.1 3.(−1) 3.2 3.2(−2).1 (−2).(−1) (−2).2 (−2).2
5.1 5.(−1) 5.2 5.2
 =
=
 3 −3 6 6−2 2 −4 −4
5 −5 10 10
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 50 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Tính chất
1 (A.B).C = A.(B .C ) = A.B .C
2 A.(B + C ) = A.B + A.C .
3 (B + C ).A = B .A + C .A
4 k(AB) = (kA).B = A.(kB)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 51 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Ví dụ
Cho A =
(
cosα − sinα
sinα cosα
)
và B =
(
cos β − sin β
sin β cos β
)
.
Lúc này AB =
(
cosα − sinα
sinα cosα
)
.
(
cos β − sin β
sin β cos β
)
=(
cos(α + β) − sin(α + β)
sin(α + β) cos(α + β)
)
và
BA =
(
cos β − sin β
sin β cos β
)
.
(
cosα − sinα
sinα cosα
)
=(
cos(α + β) − sin(α + β)
sin(α + β) cos(α + β)
)
. Vậy AB = BA
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 52 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Chú ý.
Nói chung A.B 6= B .A
Ví dụ
Cho ma trận A =
(
2 1 1
0 3 2
)
và ma trận
B =
 0 31 5
−1 1
 . Lúc này A2×3.B3×2 = C2×2,
trong khi đó B3×2.A2×3 = D3×3. Như vậy ma trận
C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 53 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận
vuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể
không bằng nhau.
Ví dụ (
2 1
0 1
)(
1 0
−2 1
)
=
(
0 1
−2 1
)
trong khi đó(
1 0
−2 1
)(
2 1
0 1
)
=
(
2 1
−4 −1
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 54 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Chú ý. Ma trận đơn vị là ma trận có tính chất
giao hoán với ma trận vuông A bất kỳ cùng cỡ:
AI = IA = A
Chú ý.
A.B = A.C không suy ra được B = C
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 55 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Ví dụ
Cho A =
(
1 0
0 0
)
, B =
(
1 1
1 2
)
, C =(
1 1
2 2
)
. Lúc này
AB =
(
1 0
0 0
)
.
(
1 1
1 2
)
=
(
1 1
0 0
)
và
AC =
(
1 0
0 0
)
.
(
1 1
2 2
)
=
(
1 1
0 0
)
.
Vậy AB = AC nhưng B 6= C .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 56 / 103
Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận
Chú ý.
A.B = 0 không suy ra được A = 0 ∨ B = 0
Ví dụ
Cho A =
(
1 0
0 0
)
, B =
(
0 0
1 0
)
là những ma
trận khác ma trận không. Khi đó
A.B =
(
1 0
0 0
)
.
(
0 0
1 0
)
=
(
0 0
0 0
)
= 0
nhưng không thể suy ra được A = 0 ∨ B = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 57 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp
Ma trận sơ cấp
Định nghĩa
Ma trận nhận được từ ma trận đơn vị I ∈ Mn(K )
bằng các phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận
sơ cấp
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 58 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp
Định lý
1 Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma
trận A tương đương với việc nhân bên trái A
một ma trận sơ cấp tương ứng.
2 Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma
trận A tương đương với việc nhân bên phải A
một ma trận sơ cấp tương ứng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 59 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp
Ví dụ
Cho A ∈ M3×4(R). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp:
cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số
2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên
trái ma trận A cho ma trận nào?
A3×4
h3→h3+2h1−−−−−−→ B3×4 ⇔ B3×4 = E3×3.A3×4 Trong
đó, ma trận sơ cấp E thu được như sau: 1 0 00 1 0
0 0 1
 h3→h3+2h1−−−−−−→
 1 0 00 1 0
2 0 1
 = E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 60 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp
Thật vậy, giả sử
A =
 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 h3→h3+2h1−−−−−−→ B =
 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 + 2a11 a32 + 2a12 a33 + 2a13 a34 + 2a14

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 61 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp
E .A =
 1 0 00 1 0
2 0 1
 .
 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 = B =
 a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 + 2a11 a32 + 2a12 a33 + 2a13 a34 + 2a14

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 62 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận sơ cấp
Cho A ∈ M3×4(R). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp:
đổi chỗ cột 1 và cột 3 cho nhau. Phép biến đổi
trên tương đương với nhân bên phải ma trận A
cho ma trận nào?
A3×4
c1↔c3−−−→ B3×4 ⇔ B3×4 = A3×4.E4×4. Trong đó,
ma trận sơ cấp E thu được như sau:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 c1↔c3−−−→

0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
 = E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 63 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Ma trận vuông A ∈ Mn(K ) được gọi là ma trận
khả nghịch nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K ) sao
cho BA = I , trong đó I là ma trận đơn vị. Khi đó
B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A
và ký hiệu là A−1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 64 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo
Chú ý. Không phải ma trận vuông nào cũng khả
nghịch. Có nhiều ma trận vuông không khả nghịch.
Định nghĩa
Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không
suy biến. Ma trận không khả nghịch được gọi là
ma trận suy biến.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 65 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo
Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Định lý
Cho ma trận vuông A ∈ Mn(K ). Các mệnh đề sau
đây tương đương
1 Tồn tại ma trận nghịch đảo (ma trận không
suy biến)
2 A
các phép biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ I
3 r(A) = n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 66 / 103
Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng
Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên
hàng
Thuật toán
(A|I ) các phép biến đổi sơ cấp trên hàng−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (I |A−1)
En.En−1. . . . .E2E1.A = I
⇒ A−1 = En.En−1. . . . .E2E1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 67 / 103
Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng
Ví dụ
Tìm A−1 (nếu có) với A =

1 2 3 4
2 5 4 7
3 7 8 12
4 8 14 19

(A|I4) =

1 2 3 4
2 5 4 7
3 7 8 12
4 8 14 19
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

h2→h2−2h1
h3→h3−3h1
h4→h4−4h1−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 68 / 103
Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng
1 2 3 4
0 1 −2 −1
0 1 −1 0
0 0 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
−2 1 0 0
−3 0 1 0
−4 0 0 1
 h1→h1−2h2h3→h3−h2−−−−−−→

1 0 7 6
0 1 −2 −1
0 0 1 1
0 0 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
5 −2 0 0
−2 1 0 0
−1 −1 1 0
−4 0 0 1

h1→h1−7h3
h2→h2+2h3
h4→h4−2h3−−−−−−→

1 0 0 −1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
12 5 −7 0
−4 −1 2 0
−1 −1 1 0
−2 2 −2 1

h1→h1+h4
h2→h2−h4
h3→h3−h4−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 69 / 103
Các phép toán trên ma trận Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
10 7 −9 1
−2 −3 4 −1
1 −3 3 −1
−2 2 −2 1
 = (I4|A−1)
⇒ A−1 =

10 7 −9 1
−2 −3 4 −1
1 −3 3 −1
−2 2 −2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 70 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị
Ma trận chuyển vị
Định nghĩa
Ma trận chuyển vị của ma trận A = (aij)m×n là ma
trận AT = (aji)n×m
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
am1 am2 . . . amn
 ,AT =

a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
...
... . . .
...
a1n a2n . . . amn

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 71 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị
Ví dụ
Cho
A =
(
1 3 5
2 4 6
)
⇒ AT =
 1 23 4
5 6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 72 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị
Tính chất
1 (AT )T = A.
2 (λA)T = λAT .
3 (A + B)T = AT + BT .
4 (A.B)T = BT .AT .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 73 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp
Ma trận liên hợp
Định nghĩa
Ma trận AT = (aji)n×m được gọi là ma trận liên
hợp của Am×n.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn

m×n
⇒ AT =

a11 a21 . . . am1
a12 a22 . . . am2
...
...
. . .
...
a1n a2n . . . amn

n×m
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 74 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp
Ví dụ
A =
( −i 2− i 3
0 −3i 5 + i
)
⇒ AT =
 i 02 + i 3i
3 5− i
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 75 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng
Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng
nếu AT = A tức là aij = aji ,∀i , j = 1, 2, .., n.
Chú ý. Mọi ma trận chéo là ma trận đối xứng.
Ví dụ
Ma trận A =
 1 5 −45 −2 7
−4 7 3
 là ma trận đối
xứng cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 76 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận phản đối xứng
Ma trận phản đối xứng
Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận phản đối
xứng nếu AT = −A tức là
aij = −aji ,∀i , j = 1, 2, .., n.
Chú ý. Tất cả những phần tử nằm trên đường
chéo chính của ma trận phản đối xứng đều bằng
0, có nghĩa là aii = 0,∀i = 1, 2, . . . , n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 77 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận phản đối xứng
Ví dụ
Ma trận A =

0 2 −3 7
−2 0 −1 5
3 1 0 8
−7 −5 −8 0
 là ma trận
phản đối xứng cấp 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 78 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên
Ma trận tam giác trên
Định nghĩa
Ma trận vuông A =

a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n... ... . . . ...
0 0 . . . ann
 được
gọi là ma trận tam giác trên.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 79 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên
Tính chất
1 Nếu A,B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác
trên thì αA + βB ,∀α, β ∈ K cũng là ma trận
tam giác trên.
2 Nếu A,B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác
trên thì A.B cũng là ma trận tam giác trên.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 80 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên
Ví dụ 2 1 10 1 2
0 0 2
 .
 1 2 10 1 3
0 0 3
 =
 2 5 80 1 9
0 0 6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 81 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới
Ma trận tam giác dưới
Định nghĩa
Ma trận vuông

a11 0 0 0
a21 a22 . . . 0... ... . . . ...
an1 an2 . . . ann
 được gọi là
ma trận tam giác dưới.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 82 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới
Tính chất
1 Nếu A,B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác
dưới thì αA + βB ,∀α, β ∈ K cũng là ma trận
tam giác dưới.
2 Nếu A,B ∈ Mn(K ) là những ma trận tam giác
dưới thì A.B cũng là ma trận tam giác dưới.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 83 / 103
Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa
Nâng ma trận lên lũy thừa
Định nghĩa
Ma trận mũ không A0 = I , còn mũ nguyên dương
Am(m > 0) của ma trận A là tích Am = A.A . . .A︸ ︷︷ ︸
m lần
Chú ý. Mũ nguyên dương của ma trận chỉ có ý
nghĩa khi số hàng và số cột của ma trận phải bằng
nhau, có nghĩa là ma trận đó là ma trận vuông.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 84 / 103
Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa
Tính chất
1 Am.Ak = Am+k .
2 (Am)k = Amk .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 85 / 103
Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa
Ví dụ
Tìm An, với A =
(
1 1
−1 −1
)
Giải.
A2 =
(
1 1
−1 −1
)
.
(
1 1
−1 −1
)
=
(
0 0
0 0
)
= 0
Vậy An = A2.An−2 = 0.An−2 = 0,∀n > 3. Như
vậy từ An = 0 không thể suy ra được A = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 86 / 103
Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa
Ví dụ
Tính f (A), với f (x) = x2 − x − 1 và
A =
 2 1 13 1 2
1 −1 0
 f (A) = A2 − A− A0
Giải. f (A) =
 2 1 13 1 2
1 −1 0
 .
 2 1 13 1 2
1 −1 0
−
 2 1 13 1 2
1 −1 0
−
 1 0 00 1 0
0 0 1
 =
 5 1 38 0 3
−2 1 −2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 87 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh
Ma trận lũy linh
Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu
Ak = 0, k ∈ N. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa
Ak = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 88 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh
Ví dụ
Tìm chỉ số của ma trận A =
 −2 1 1−3 1 2
−2 1 1

Giải. A2 =
 −2 1 1−3 1 2
−2 1 1
 .
 −2 1 1−3 1 2
−2 1 1
 =
 −1 0 1−1 0 1
−1 0 1
 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 89 / 103
Các phép toán trên ma trận Ma trận lũy linh
A3 = A.A2 =
 −2 1 1−3 1 2
−2 1 1
 .
 −1 0 1−1 0 1
−1 0 1
 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
 . Vậy k = 3 là số nguyên dương nhỏ
nhất để Ak = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 90 / 103
Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận
Vết của ma trận
Định nghĩa
Vết của ma trận A ∈ Mn×n(K ) là một số bằng
tổng tất cả các phần tử aii , i = 1..n thuộc đường
chéo chính của ma trận
Tr A =
n∑
i=1
aii
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 91 / 103
Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận
Ví dụ
Cho A =
 5 1 38 0 3
−2 1 −2
 . Khi đó vết của A là
Tr A = 5 + 0 + (−2) = 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 92 / 103
Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận
Tính chất
1 Tr (αA + βB) = αTr A + βTr B .
2 Tr AT = Tr A.
3 Tr (A.B) = Tr (B .A).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 93 / 103
Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius
Chuẩn Frobenius
Định nghĩa√
Tr(AT .A) là chuẩn Frobenius của ma trận A.
Ví dụ
Tìm chuẩn Frobenius của A =
 3 4 62 1 7
−2 5 3

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 94 / 103
Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius
Giải. AT .A =
 3 2 −24 1 5
6 7 3
 .
 3 4 62 1 7
−2 5 3
 =
 17 4 264 42 46
26 46 94
 . Vậy chuẩn Frobenius của ma
trận A bằng√
Tr (AT .A) =
√
17 + 42 + 94 =
√
153.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 95 / 103
Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius
Ví dụ
Cho ma trận A =
 1 0 02 1 0
3 2 2
 . Tìm vết của ma
trận A100.
Giải. A2 = A.A =
 1 0 02 1 0
3 2 2
 .
 1 0 02 1 0
3 2 2
 =
 1 0 04 1 0
13 6 22
⇒ Tr A2 = 1 + 1 + 22
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 96 / 103
Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius
A3 = A2.A =
 1 0 04 1 0
13 6 22
 .
 1 0 02 1 0
3 2 2
 =
 1 0 06 1 0
37 14 23
⇒ Tr A3 = 1 + 1 + 23. Bằng
phương pháp quy nạp ta sẽ được
Tr A100 = 1 + 1 + 2100 = 2 + 2100.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 97 / 103
Thực hành MatLab Khai báo ma trận
Thực hành MatLab
Ví dụ
A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 98 / 103
Thực hành MatLab Các ma trận đặc biệt
Các ma trận đặc biệt
1 Tạo ma trận không: zeros(số dòng, số cột)
2 Tạo ma trận vuông không cấp n: zeros(n)
3 Tạo ma trận đơn vị cấp n: eye(n)
4 Tạo ma trận chéo: diag([các phần tử trên
đường chéo chính])
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 99 / 103
Thực hành MatLab Các phép toán đối với ma trận
1 Hạng của ma trận: rank(A)
2 Tìm dạng bậc thang rút gọn: rref (A) (Reduced
row echelon form)
3 Phép cộng: A + B
4 Phép trừ: A− B
5 Phép nhân: A ∗ B
6 Lũy thừa: Aˆn
7 Nhân với 1 số: k ∗ A
8 Chuyển vị: A.′ Liên hợp A′
9 Vết của ma trận: trace(A)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 100 / 103
Thực hành MatLab Các phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sơ cấp
1 Biến dòng i thành k lần dòng i :
A(i , :) = A(i , :) ∗ k
2 Biến dòng i thành dòng i cộng k lần dòng j :
A(i , :) = A(i , :) + A(j , :) ∗ k
3 Hoán vị các dòng A = A([thứ tự dòng], :)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 101 / 103
Thực hành MatLab Các phép biến đổi sơ cấp
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Khi viết A([1 3 2 4], :) ta được
1 2 3 4
9 10 11 12
5 6 7 8
13 14 15 16
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 102 / 103
Kết thúc
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) MA TRẬN TP. HCM — 2013. 103 / 103