Bài giảng môn Xác suất và thống kê (Phần 1)

nghĩa 3.4 (Phân phối Poisson). Biến ngẫu nhiên X được gọi là có
phân phối Poisson tham số λ (ký hiệu X ∼ P (λ) nếu biến ngẫu nhiên X
nhận giá trị k = 0, 1, . . . với
P (X = k) =
λke−λ
k!
Tính chất 3.5. Các đặc trưng của X ∼ P (λ)
i. EX = λ.
ii. VarX = λ.
iii. λ− 1 ≤ ModX ≤ λ.
Chú ý: Biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện A tại những thời điểm ngẫu
nhiên trong khoảng (t1; t2) thỏa 2 điều sau:
• Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng (t1; t2) không ảnh hưởng đến
xác suất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp.
• Số lần xuất hiện biến cố A trong 1 khoảng thời gian bất kỳ tỉ lệ với độ
dài của khoảng đó.
Khi đó biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson.
Ví dụ 3.6. Tại một siêu thi, trung bình cứ 5 phút có 10 khách đến quầy
tính tiền.
a. Tính xác suất để trong 1 phút có 3 khách đến quầy tính tiền.
b. Tính xác suất để trong 1 phút có từ 1 đến 3 khách đến quầy tính tiền.
c. Số khách có khả năng đến quầy tính tiền lớn nhất trong 1 giờ.
Giải.
3.5 Phân phối Chuẩn 56
3.5 Phân phối Chuẩn
Định nghĩa 3.6 (Phân phối chuẩn). Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân
phối chuẩn tham số µ và σ2, ký hiệu X ∼ N (µ; σ2), nếu X có hàm mật độ:
f(x) =
1
σ
√
2pi
e
−
(x− µ)2
2σ2 , x ∈ R
Đồ thị hàm mật độ của X ∼ N(µ; σ2)
x
µ
Nhận xét: Đồ thị hàm mật độ chuẩn có dạng hình “chuông” đối xứng qua
x = µ
Tính chất 3.7. Các đặc trưng của X ∼ N (µ; σ2)
i. EX = µ.
ii. VarX = σ2.
iii. ModX = µ.
Các đồ thị hàm mật độ biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình là µ và σ =
2, σ = 1, σ = 1/2.
3.5 Phân phối Chuẩn 57
x
σ = 1/2
σ = 1
σ = 2
Định nghĩa 3.8 (Phân phối chuẩn: µ = 0; σ2 = 1). Hàm mật độ của biến
ngẫu nhiên Z ∼ N (0; 1) có dạng
f(z) =
1√
2pi
e−
z
2
2 , z ∈ R
Hình sau là đồ thị hàm mật độ của z ∼ N (0; 1)
0 1 2 3−1−2−3 x
Định nghĩa 3.9 (Hàm Laplace). Cho biến ngẫu nhiên Z ∼ N (0; 1) . Đặt
hàm
ϕ(x) =
x∫
0
1√
2pi
e−
z
2
2 dz, x ≥ 0
gọi là hàm Laplace. (Giá trị của ϕ(x) được cho trong bảng A.2)
O x
ϕ(x)
Tính chất 3.10. Hàm Laplace ϕ(x) có các tính chất:
i. ϕ(−x) = −ϕ(x).
ii. ϕ(+∞) = 0, 5;ϕ(−∞) = −0, 5.
iii. Nếu Z ∼ N(0; 1) thì P (a < Z < b) = ϕ(b)− ϕ(a).
3.5 Phân phối Chuẩn 58
iv. Nếu X ∼ N (µ; σ2) thì biến ngẫu nhiên Z = X − µ
σ
∼ N (0; 1) . và
P (a < X < b) = ϕ
(
b− µ
σ
)
− ϕ
(
a− µ
σ
)
Ví dụ 3.7. Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N (0; 1) , tính các xác suất.
a. P (−1 < X < 2) .
b. P (1, 5 < X) .
c. P (X < −1) .
Ví dụ 3.8. Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N (3; 22) . Tính các xác suất:
a. P (1 < X) .
b. P (|X − 1| < 2) .
c. P (|X − 1| > 1) .
3.5 Phân phối Chuẩn 59
Ví dụ 3.9. Điểm Toeic của sinh viên sắp tốt nghiệp ở trường đại học có
phân phối chuẩn với giá trị trung bình 560 và độ lệch chuẩn 78. Tính:
a. Tỷ lệ sinh viên có điểm nằm giữa 600 và 700.
b. Tỷ lệ sinh viên có điểm Toeic trên 500.
c. Giả sử nhà trường muốn xác định điểm Toeic tối thiểu để sinh viên có
thể ra trường với tỉ lệ 80%. Tính điểm Toeic tối thiểu (lấy phần nguyên).
Giải.
3.5 Phân phối Chuẩn 60
Ví dụ 3.10. Tuổi thọ của máy cắt cỏ là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với trung bình là 82 tháng. Nhà sản xuất bảo hành sản phẩm khi bán ra là
33 tháng. Giả sử 2,5% sản phẩm bị trả lại (hỏng) trong thời gian bảo hành.
Tính:
a. Độ lệch chuẩn của tuổi thọ sản phẩm này.
b. Xác suất một máy loại này có tuổi thọ trên 50 tháng.
c. Một cửa hàng bán 10 máy cắt cỏ loại này. Tính:
i) Xác suất có 2 máy hỏng trong thời gian bảo hành.
ii) Số máy trung bình hỏng trong thời gian bảo hành.
Giải.
3.6 Bài tập chương 3 61
3.6 Bài tập chương 3
Bài tập 3.1. Một nhà vườn trồng 121 cây mai với xác suất nở hoa của mỗi
cây trong dịp tết năm nay là 0,75. Giá bán 1 cây mai nở hoa là 0,5 triệu
đồng.
a. Tính số cây trung bình nở hoa trong dịp tết. (90,75 cây)
b. Giả sử nhà vườn bán hết những cây mai nở hoa, tính số tiến trong dịp
tết năm nay nhà vườn thu được chắc chắn nhất. (45,5 triệu đồng)
Giải.
3.6 Bài tập chương 3 62
Bài tập 3.2. Chủ vườn lan đã để nhầm 20 chậu lan có hoa màu đỏ với 100
chậu lan có hoa màu tím (lan chưa nở hoa). Một khách hàng chọn ngẫu nhiên
15 chậu từ 120 chậu lan đó (chọn 1 lần).
a. Tính xác suất có từ 5 đến 6 chậu lan có hoa màu đỏ. (0,0723)
b. Gọi X là số chậu lan có hoa màu đỏ khách chọn được. Tính giá trị của
EX và VarX. (5/2; 125/68)
Giải.
Bài tập 3.3. Tại bệnh viện A trung bình 3 giờ có 8 ca mổ. Tính
a. Số ca mổ chắc chắn nhất sẽ xảy ra tại bệnh viện A trong 25 giờ. (66
ca)
b. Tính xác suất trong 5 giờ có từ 10 đến 12 ca mổ. (0,2821)
Giải.
3.6 Bài tập chương 3 63
Bài tập 3.4. Một lô hàng chứa 20 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Chọn
liên tiếp 3 lần (có hoàn lại) từ lô hàng, mỗi lần chọn ra 4 sản phẩm. Tính
xác suất để trong 3 lần chọn có:
a. Đúng 1 lần chọn được không quá 1 phế phẩm. (0,066)
b. Trung bình số lần chọn được không quá 1 phế phẩm. (2,514)
Giải.
Bài tập 3.5. Giá cà phê trên thị trường là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với trung bình là 26000 đồng/kg và độ lệch chuẩn 2000 đồng. k là giá
trị tại đó cà phê có giá lớn hơn k với xác suất 90%. Tính giá trị k. (23420
đồng)
Giải.
3.6 Bài tập chương 3 64
Bài tập 3.6. Thời gian mang thai của sản phụ là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn với trung bình 280 ngày. Cho biết tỷ lệ một sản phụ mang thai
trên 290 ngày là 25,14%, tính độ lệch chuẩn của thời gian mang thai. (15
ngày)
Giải.
Bài tập 3.7. Chiều dài của loại linh kiện điện tử A tại cửa hàng B là biến
ngẫu nhiên X (mm) có phân phối chuẩn N(12; 2, 5). Một công ty cần mua
loại linh kiện này với chiều dài từ 11,98mm đến 13mm và họ chọn lần lượt 7
chiếc từ cửa hàng B. Tính xác suất để trong 7 chiếc được chọn có:
a. Từ 5 đến 6 chiếc sử dụng được. (1,06%)
3.6 Bài tập chương 3 65
b. Ít nhất một chiếc sử dụng được. (0,8531)
Giải.
Bài tập 3.8. Thời gian chơi thể thao trong một ngày của một thanh niên
là biến ngẫu nhiên X (giờ/ngày) có hàm mật độ
f(x) =

A sin
(pi
3
x
)
khi 0 < x < 1
0 nơi khác
a. Tính hằng số A. (2pi/3)
b. Tính thời gian chơi thể thao trung bình. (0,6530 giờ/ngày)
c. Tính xác suất một thanh niên có thời gian chơi thể thao chưa tới 30
phút/ngày. (0,2679)
d. Trung bình có bao nhiêu thanh niên chơi thể thao hơn 30 phút/ngày
trong 100 thanh niên. 26,79 thanh niên
e. Ta phải chọn ít nhất bao nhiêu thanh niên để gặp được ít nhất 1 người
có thời gian chơi thể thao chưa tới 30 phút/ngày xảy ra với xác suất hơn
95%. (10 thanh niên)
Giải.
3.6 Bài tập chương 3 66
Bài tập 3.9. Tuổi thọ của người dân ở một địa phương là một biến ngẫu
nhiên - X (tuổi) có hàm mật độ
f(x) =
{
λe−λx khi x > 0
0 nơi khác
, λ = 0, 013
a. Tính tuổi thọ trung bình của người dân ở địa phương. (76,9231 tuổi)
b. Tính tỉ lệ người dân thọ trên 60 tuổi. (0,4584)
3.6 Bài tập chương 3 67
c. Trung bình có bao nhiêu người thọ trên 60 tuổi tuổi trong 1000 dân.
(458,4)
Giải.
Bài tập 3.10. Thời gian học rành nghề sửa ti vi của một người là một biến
ngẫu nhiên - X (năm) có hàm mật độ.
f(x) =

Ax
2 +
1
5
khi 0 < x < 2
0 nơi khác
a. Xác định hằng số A. (9/40)
b. Thời gian học rành nghề trung bình của một người. (1,3 năm)
c. Tính xác suất một người học rành nghề dưới 6 tháng. (0,1094)
d. Chọn ngẫu nhiên 5 học viên, tính xác suất có 2 người học rành nghề
dưới 6 tháng. (0,0845)
3.6 Bài tập chương 3 68
Giải.
Chương 4
Luật số lớn và các định lý giới hạn
4.1 Hội tụ theo xác suất và phân phối
Định nghĩa 4.1 (Hội tụ theo xác suất). Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn}
và biến ngẫu nhiên X. Ta nói {Xn} hội tụ theo xác suất đến X, ký hiệu
Xn
P−→ X, nếu với mọi ε > 0 thì
lim
n→+∞
P (|Xn −X| < ε) = 1
Nếu Xn
P−→ X thì với n lớn chúng ta có Xn ≈ X với xác suất gần 1. Thông
thường, Xn hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X là hằng số (Xn
P−→ θ,
θ là hằng số) nghĩa là khi n lớn thì hầu như biến ngẫu nhiên Xn không có sự
thay đổi.
Định nghĩa 4.2 (Hội tụ theo phân phối). Định nghĩa hội tụ theo phân phối
Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn} và biến ngẫu nhiên X. Ta nói {Xn} hội tụ
theo phân phối đến X, ký hiệu Xn
F−→ X, nếu
lim
n→+∞P (Xn < x) = P (X < x) = F (x)
tại mọi điểm liên tục của hàm phân phối F (x)
Nếu Xn
F−→ X thì với n đủ lớn chúng ta có thể xấp xỉ phân phối của Xn bởi
phân phối của X. Vậy hội tụ theo phân phối rất tiện lợi cho việc xấp xỉ phân
phối của biến ngẫu nhiên Xn.
Định nghĩa 4.3 (Hội tụ hầu chắc chắn). Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn}
và biến ngẫu nhiên X. Ta nói {Xn} hội tụ hầu chắc chắn đến X, ký hiệu
Xn
a.s.−−→ X, nếu Xn 6→ X với xác suất là không.
4.2 Bất đẳng thức Markov, Chebyshev 70
4.2 Bất đẳng thức Markov, Chebyshev
4.2.1 Bất đẳng thức Markov
Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị không âm thì với mọi hằng số dương
ε ta có
P (X ≥ ε) ≤ E (X)
ε
Chứng minh. X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) thì
E (X) =
+∞∫
0
xf(x)dx =
ε∫
0
xf(x)dx+
+∞∫
ε
xf(x)dx
≥
+∞∫
ε
xf(x)dx ≥
+∞∫
ε
εf(x)dx = εP (X ≥ ε)
Nhân hai vế của bất phương trình với 1/ε thì ta đươc kết quả.
4.2.2 Bất đẳng thức Chebyshev
Nếu X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng là µ và phương sai σ2 hữu hạn thì với
mọi hằng số dương ε bé tùy ý ta có
P (|X − µ| ≥ ε) ≤ Var (X)
ε2
hay tương đương
P (|X − µ| Var (X)
ε2
Chứng minh. Ta thấy
(
X − µ2) là biến ngẫu nhiên không âm và ε > 0. Sử
dụng bất đẳng thức Markov với ε := ε2 ta được
P
[
(X − µ)2 ≥ ε2
]
≤ E (X − µ)
2
ε
Vì (X − µ)2 ≥ ε2 khi và chỉ khi |X − µ| ≥ ε nên
P (|X − µ| ≥ ε) ≤ Var (X)
ε2
4.3 Luật số lớn 71
Bất đẳng thức Markov và Chebyshev cho ta phương tiện thấy được giới hạn
xác suất khi biết kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên chưa biết phân
phối xác suất.
Ví dụ 4.1. Giả sử số phế phẩm của một nhà máy làm ra trong một tuần là
một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng là µ = 50.
a. Có thể nói gì về xác suất sản phẩm hư tuần này vượt quá 75.
b. Nếu phương sai của phế phẩm trong tuần này là σ2 = 25 thì có thể nói
gì về xác suất sản phẩm tuần này sẽ ở giữa 40 và 60.
Giải.
a. Theo bất đẳng thức Markov P (X > 75) ≥ E (X)
75
=
50
75
=
2
3
b. Theo bất đẳng thức Chebyshev P (|X − 50| ≥ 10) ≤ σ
2
102
=
25
100
=
1
4
. Do
đó
P (40 1− 1
4
=
3
4
4.3 Luật số lớn
Định lý 4.4 (Luật số lớn). Gọi X1, . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và
cùng phân phối xác suất với kỳ vọng µ = E (X) và phương sai σ2 = Var (X)
hữu hạn. Đặt Sn = X1 + · · ·+Xn. Khi đó với mọi ε > 0,
P
(∣∣∣∣Snn − µ
∣∣∣∣ ≥ ε
)
→ 0
khi n→ +∞.
Chứng minh. Bởi vì X1, . . . , Xn là độc lập và cùng phân phối, ta có
Var
(
Sn
n
)
=
σ2
n
và E
(
Sn
n
)
= µ. Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, với
mọi ε > 0,
P
(∣∣∣∣Snn − µ
∣∣∣∣ ≥ ε
)
≤ σ
2
nε2
4.4 Định lý giới hạn trung tâm 72
Cố định ε và khi n→ +∞
P
(∣∣∣∣Snn − µ
∣∣∣∣ ≥ ε
)
→ 0
Sn/n là trung bình của các biến ngẫu nhiên Xi, (i = 1, . . . , n), do đó người
ta thường gọi luật số lớn là luật “trung bình”.
4.4 Định lý giới hạn trung tâm
Định lý 4.5. Cho X1, . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân
phối với kỳ vọng µ và phương sai σ2 hữu hạn. Ta đặt
Sn = X1 + · · ·+Xn
Khi n→∞ thì biến ngẫu nhiên
Sn
F−→ X, với X ∼ N (E (Sn) ;Var (Sn))
Nhận xét: Định lý trên cho ta kết quả là khi n lớn phân phối của biến
ngẫu nhiên Sn được xấp xỉ bằng phân phối chuẩn N (E (Sn) ;Var (Sn)). Để
đơn giản ta viết Sn
.∼ N (E (Sn) ;Var (Sn)), dấu “ .∼” nghĩa là “xấp xỉ phân
phối”.
Ví dụ 4.2. Tung 1000 lần 1 xúc sắc, tính xác suất tổng số chấm trong 1000
lần tung lớn hơn 3600.
Giải.
4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 73
4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất
4.5.1 Liên hệ giữa phân phối nhị thức và chuẩn
Cho X1, . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và Xi ∼ B(p). Ta có
X = X1 + · · ·+Xn ∼ B(n; p)
Theo định lý giới hạn trung tâm X .∼ N(np;√npq2) khi n→∞. Khi đó:
• P (a ≤ X ≤ b) = ϕ
(
b− np√
npq
)
− ϕ
(
a− np√
npq
)
• P (X = k) = 1√
npq
f(z), (f(x)-A.1) trong đó z =
k − np√
npq
Chú ý: Xấp xỉ trên chúng ta thường sử dụng khi p không quá gần 0 hoặc 1.
Ví dụ 4.3. Trong một kho lúa giống có tỉ lệ hạt lúa lai là 20%. Tính xác
suất sao cho khi chọn lần lượt 1000 hạt lúa giống trong kho thì có:
a. Đúng 192 hạt lúa lai.
b. Có từ 185 đến 195 hạt lúa lai.
Giải.
4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 74
4.5.2 Liên hệ giữa siêu bội và nhị thức
Cho X ∼ H(N,NA, n). Nếu cố định n, N → ∞ và NA
N
→ p thì X .∼
B(n, p), p =
NA
N
Nhận xét: Khi X ∼ H(N,NA, n), nếu N khá lớn và n << N, (n < 0, 05N)
thì
P (X = k) =
CkNAC
n−k
N−NA
CnN
≈ Cknpkqn−k,
(
p =
NA
N
)
Ví dụ 4.4. Một ao cá có 10.000 cá da trơn, trong đó có 1.000 con cá tra.
a. Tính xác suất để khi bắt ngẫu nhiên 20 con từ ao thì được 5 con cá tra.
b. Tính xác suất để khi bắt ngẫu nhiên 50 con từ ao thì được 10 con cá
tra.
Giải.
4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 75
4.5.3 Liên hệ giữa nhị thức và Poisson
Cho X ∼ B(n, p) và khi n→∞ thì X .∼ P (λ) trong đó λ = np
Nhận xét: Khi X ∼ B(n, p) và khi n khá lớn thì
P (X = k) = Cknp
kqn−k ≈ λ
ke−λ
k!
Chú ý: Xấp xỉ trên chúng ta thường dùng khi n lớn và p gần 0 hoặc 1.
Ví dụ 4.5. Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu có chứa 0,6% bị
nhiểm khuẩn. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lô hàng
này có:
a. Không quá 2 gói bị nhiểm khuẩn.
b. Đúng 40 gói bị nhiểm khuẩn.
Giải.
4.5 Liên hệ giữa các phân phối xác suất 76
Chương 5
Véctơ ngẫu nhiên
5.1 Khái niệm véctơ ngẫu nhiên
• Một bộ có thứ tự n biến ngẫu nhiên (X1, . . . , Xn) gọi là một véctơ ngẫu
nhiên n chiều.
• Véctơ ngẫu nhiên n chiều là liên tục hay rời rạc nếu, các biến ngẫu nhiên
thành phần là liên tục hay rời rạc.
Ví dụ 5.1. Năng xuất lúa ở một thửa ruộng ở địa phương A là biến ngẫu
nhiên X, nếu xét đến lượng phân Y thì ta có véctơ ngẫu nhiên hai chiều
(X, Y ), còn nếu xét thêm lượng nước Z thì ta có véctơ ngẫu nhiên 3 chiều
(X, Y, Z).
Trong giới hạn của chương trình ta chỉ xét véctơ ngẫu nhiên hai chiều, ký
hiệu (X, Y ).
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y )
5.2.1 (X, Y ) là véctơ ngẫu nhiên rời rạc
a) Phân phối xác suất đồng thời: Véctơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y ) được
biểu diễn bằng bảng phân phối xác suất đồng thời:
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 78
H
H
H
H
HH
X
Y
y1 y2 · · · yj · · · yn Tổng dòng
x1 f(x1, y1) f(x1, y2) · · · f(x1, yj) · · · f(x1, yn) f(x1, •)
x2 f(x2, y1) f(x2, y2) · · · f(x2, yj) · · · f(x2, yn) f(x2, •)
...
...
... · · · ... · · · ... ...
xi f(xi, y1) f(xi, y2) · · · f(xi, yj) · · · f(xi, yn) f(xi, •)
...
...
... · · · ... · · · ... ...
xm f(xm, y1) f(xm, y2) · · · f(xm, yj) · · · f(xm, yn) f(xm, •)
Tổng cột f(•, y1) f(•, y2) · · · f(•, yj) · · · f(•, yn) 1
Trong đó:
• f(xi, yj) = P (X = xi; Y = yj)
•
m∑
i=1
n∑
j=1
f(xi; yj) = 1
Ví dụ 5.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị 6, 7 và 8. Biến ngẫu
nhiên Y nhận các giá trị 1, 2, 3. Phân phối đồng thời của véctơ ngẫu nhiên
(X, Y ) cho bởi bảng
H
H
H
H
H
H
X
Y 1 2 3
6 0,1 0,15 0,05
7 0,1 0,2 0,1
8 0,05 0,2 0,05
Tính:
a. P (X = 6; Y = 2) ;P (X = 4; Y = 6) .
b. P (X ≥ 7; Y ≥ 2) .
Giải.
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 79
b) Phân phối xác suất thành phần (lề)
• Bảng phân phối xác suất của X
X x1 x2 · · · xm
P(X = x) f(x1, •) f(x3, •) · · · f(xm, •)
Trong đó f(xi, •) là tổng dòng i.
• Bảng phân phối xác suất của Y
Y y1 y2 · · · yn
P(Y = y) f(•, y1) f(•, y2) · · · f(•, yn)
Trong đó f(•, yj) là tổng cột j.
Ví dụ 5.3. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:
H
H
H
H
H
H
X
Y 1 2 3
6 0,1 0,15 0,05
7 0,1 0,2 0,1
8 0,05 0,2 0,05
a. Lập bảng phân phối xác suất của X.
b. Tính P (X > 6) .
c. Lập bảng phân phối xác suất của Y.
d. Tính P (Y < 3) .
Giải.
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 80
c) Phân phối xác suất có điều kiện
• Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y = yj
X x1 x2 · · · xm
P(X = x|Y = yj) f(x1, yj)
f(•, yj)
f(x2, yj)
f(•.yj) · · ·
f(xm, yj)
f(•, yj)
• Bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X = xi
Y y1 y2 · · · yn
P(Y = y|X = xi) f(xi, y1)
f(xi, •)
f(xi, y2)
f(xi, •) · · ·
f(xi, yn)
f(xi, •)
Ví dụ 5.4. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời như sau:
H
H
H
H
H
H
X
Y 1 2 3
6 0,1 0,15 0,05
7 0,1 0,2 0,1
8 0,05 0,2 0,05
a. Lập bảng phân phối xác suất của X biết Y = 2.
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 81
b. Tính xác suất P (X > 6|Y = 2) .
c. Lập bảng phân phối xác suất của Y biết X = 6.
d. Tính xác suất P (Y > 1|X = 6) .
Giải.
5.2.2 (X, Y ) là véctơ ngẫu nhiên liên tục
a) Hàm mật độ đồng thời
Định nghĩa 5.1 (Hàm mật độ đồng thời). Hàm số f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ R2
được gọi là hàm mật độ đồng thời của (X, Y ) nếu
P ((X, Y ) ∈ A) =
∫∫
A
f(x, y)dxdy, A ⊂ R2
Chú ý. Với định nghĩa hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên ta có
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 82
i. Nếu (X, Y ) là véctơ ngẫu nhiên liên tục thì xác suất (X, Y ) thuộc một
tập A ⊂ R2 được tính bằng tích phân của hàm mật độ f(x, y) trên
tập A.
ii. Mọi hàm mật độ đồng thời của véctơ ngẫu nhiên (X,Y) phải thỏa hai
điều kiện f(x, y) ≥ 0 và
P
(
(X, Y ) ∈ R2) = ∫∫
R2
f(x, y)dxdy = 1
Ví dụ 5.5. Cho hàm số
f(x, y) =
{
10x2y khi 0 < y < x < 1
0 nơi khác
a. Chứng tỏa f(x, y) là hàm mật độ (X, Y ).
b. Tính P (2Y > X) .
Giải.
0
1
0 1
x
y = x
D :
{
0 < x < 1
0 < y < x
hoặc
{
0 < y < 1
y < x < 1
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 83
0
1
0 1
x
y = x
y = x/2
D′ :
{
0 < x < 1
x/2 < y < x
b) Hàm mật độ thành phần (lề)
• Hàm mật độ của X.
fX(x) =
+∞∫
−∞
f(x, y)dy
• Hàm mật độ của Y.
fY (y) =
+∞∫
−∞
f(x, y)dx
Ví dụ 5.6. Cho véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ
f(x, y) =
{
10x2y khi 0 < y < x < 1
0 nơi khác
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 84
a. Tìm hàm mật độ của X.
b. Tìm hàm mật độ của Y.
c. Tính P (X > 1/2) và EX.
d. Tính P (Y < 1/2) và EX.
Giải.
0
1
0 1
y = x
D :
{
0 < x < 1
0 < y < x
hoặc
{
0 < y < 1
y < x < 1
x
5.2 Phân phối xác suất của (X, Y ) 85
c) Hàm mật độ có điều kiện
• Hàm mật độ của X với điều kiện Y = y
fX(x|Y = y) = f(x, y)
fY (y)
• Hàm mật độ của Y với điều kiện X = x
fY (y|X = x) = f(x, y)
fX(x)
Ví dụ 5.7. Cho véctơ ngẫu nhiên (X, Y ) có hàm mật độ
f(x, y) =
{
10x2y khi 0 < y < x < 1
0 nơi khác
a. Tìm hàm mật độ của X với điều kiện Y = 1/2.
b. Tìm hàm mật độ của Y với điều kiện X = 1/3.
c. Tính P (X > 2/3|Y = 1/2) và E(X|Y = 1/2).
5.3 Bài tập chương 5 86
d. Tính P (Y < 1/4|X = 1/3) và E(Y |X = 1/3).
5.3 Bài tập chương 5
Bài tập 5.1. Chi phí quảng cáo (X: triệu đồng) và doanh thu (Y : triệu
đồng) của một cửa hàng có bảng phân phối đồng thời cho như sau:
5.3 Bài tập chương 5 87
H
H
H
H
H
H
H
X
Y 500 700 900
(400-600) (600-800) (800-1000)
30 0,10 0,05 0
50 0,15 0,20 0,05
80 0,05 0,05 0,35
a. Lập bảng phân phối xác suất chi phí chi cho quảng cáo.
b. Cho doanh thu là 500 triệu, lập bảng phân phối xác suất chi phí quảng
cáo.
c. Lập bảng phân phối xác suất doanh thu của cửa hàng.
d. Cho biết chi phí quảng cáo là 30 triệu, lập bảng phân phối xác suất của
doanh thu.
e. Tính chi phí chi cho quảng cáo trung bình.
f. Cho doanh thu là 500 triệu, tính chi phí quảng cáo trung bình.
g. Tính doanh thu trung bình của cửa hàng.
h. Cho chi phí quảng cáo là 30 triệu, tính doanh thu trung bình.
Giải.
5.3 Bài tập chương 5 88
5.3 Bài tập chương 5 89
Bài tập 5.2. Năng suất lúa X(tấn/ha) và lượng phân Urê Y(x 100 kg) có
hàm mật độ đồng thời
f(x, y) =


1
40
y2 +
xy
20
khi 0 ≤ 3y ≤ x ≤ 6
0 nơi khác
a. Tìm hàm mật độ xác suất của năng suất lúa.
b. Tìm hàm mật độ xác suất của lượng phân Urê.
c. Tính năng suất lúa trung bình.
d. Tính lượng phân bón trung bình.
e. Tìm hàm mật độ xác suất của năng suất khi lượng phân bón 1 (x 100kg).
f. Tìm hàm mật độ xác suất của lượng phân bón khi năng suất 3 (tấn/ha).
g. Cho biết lượng phân bón 1(x100kg), tính xác suất năng suất lúa dưới
4(tấn/ha).
h. Cho biết lượng phân bón 1(x100 kg), tính năng suất lúa trung bình.
i. Cho biết năng suất lúa 3(tấn/ha), tính lượng phân bón trung bình.
Giải.
5.3 Bài tập chương 5 90
5.3 Bài tập chương 5 91