Bài giảng Nguyên lý thống kê - Chương 3: Mô tả dữ liệu bằng các chỉ tiêu và đặc chưng

Chương 3. MÔ TẢ DỮ LIỆU BẰNG
CÁC CHỈ TIÊU VÀ ĐẶC TRƯNG
Lê Phương
Bộ môn Toán kinh tế
Đại học Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh
Homepage: 
Nội dung
1 Số tuyệt đối
2 Số tương đối
3 Các đặc trưng đo lường khuynh hướng tập trung
Trung bình cộng
Trung bình điều hòa
Trung bình nhân
Số yếu vị (Mode)
Số trung vị
4 Các đặc trưng đo lường độ phân tán
Khoảng biến thiên
Độ lệch tuyệt đối trung bình
Phương sai và độ lệch chuẩn
Hệ số biến thiên
Số tuyệt đối
Khái niệm
Số tuyệt đối là chỉ tiêu khối lượng thống kê biểu hiện quy mô, khối
lượng của tổng thể hiện tượng nghiên cứu.
Đặc điểm
• Thu thập được từ điều tra thống kê.
• Gắn liền với một hiện tượng kinh tế xã hội.
Phân loại
1 Số tuyệt đối thời kỳ: phản ánh mặt lượng của hiện tượng nghiên
cứu trong một khoảng thời gian nhất định. Số tuyệt đối thời kỳ có
thể cộng lại để cho ra trị số của thời kỳ dài hơn.
Ví dụ: quí 1 năm 2015 xí nghiệp A bán được 120.000 sản phẩm.
2 Số tuyệt đối thời điểm: phản ánh mặt lượng của hiện tượng
nghiên cứu tại một thời điểm nhất định.
Ví dụ: lượng tiền mặt vào lúc 0 giờ ngày 1/1/2015 của công ty X
là 17.352.780.000 đồng.
Số tuyệt đối
Đơn vị tính
Có 3 loại đơn vị tính chủ yếu dùng cho các số tuyệt đối như sau
1 Hiện vật: là đơn vị tính toán phù hợp với đặc điểm vật lý của hiện
tượng (dài, cao, diện tích, khối lượng, số đơn vị. . . ).
• đơn vị hiện vật tự nhiên: người, cái, chiếc, con, sản phẩm. . .
• đơn vị hiện vật quy ước: kg, tạ, tấn, lít, mét. . .
• đơn vị hiện vật quy đổi: sức ngựa, tấn quy thóc. . .
2 Thời gian: như giờ công, ngày công. . . dùng để tính lượng lao
động hao phí.
3 Tiền tệ: đồng (VND), đôla Mỹ (USD), euro (EUR), bảng Anh
(GPD). . .
Ví dụ: 30 lao động, 100 doanh nghiệp, 10 hecta đất canh tác, 8 giờ,
500.000 USD. . .
Số tương đối
Khái niệm
Số tương đối là chỉ tiêu chất lượng thống kê biểu hiện quan hệ so
sánh giữa hai chỉ tiêu khác nhau của hiện tượng nghiên cứu. Nó phản
ánh trình độ phát triển, quan hệ so sánh, kết cấu, trình độ phổ
biến. . . của hiện tượng nghiên cứu.
Đặc điểm
• Không phải là con số thu thập được từ điều tra thống kê,
• Mỗi số tương đối đều có giá trị gốc để so sánh.
Phân loại
• động thái / kế hoạch: chỉ tiêu cùng loại nhưng khác nhau về thời
gian,
• cường độ: chỉ tiêu khác loại nhưng có quan hệ với nhau,
• kết cấu: bộ phận với tổng thể,
• không gian: các bộ phận của cùng một tổng thể.
Các loại số tương đối
Số tương đối động thái (chỉ số / tốc độ phát triển)
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức độ cùng loại của hiện tượng
nghiên cứu ở hai thời kì (thời điểm) khác nhau. Đơn vị tính: lần, phần
trăm (%).
T1/0 =
y1
y0
trong đó
+ y1: mức độ kỳ báo cáo
+ y0: mức độ kỳ gốc
y1, y0 phải bảo đảm so sánh được với các điều kiện sau:
• cùng phương pháp tính
• cùng đơn vị tính
• cùng nội dung tính
• cùng phạm vi tính
• cùng độ dài khoảng thời gian tính
Các loại số tương đối
Số tương đối kế hoạch
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa hai mức độ cùng loại của hiện tượng
nghiên cứu ở kỳ kế hoạch so với kỳ gốc hoặc kỳ báo cáo. Đơn vị tính:
lần, phần trăm (%).
• Số tương đối nhiệm vụ kế hoạch:
Tk/0 =
yk
y0
.
• Số tương đối hoàn thành kế hoạch:
T1/k =
y1
yk
,
trong đó yk là mức độ kỳ kế hoạch.
Mối liên hệ:
T1/0 = Tk/0 × T1/k .
Các loại số tương đối
Ví dụ
Lợi nhuận năm 2014 của doanh nghiệp X đạt 23 tỉ đồng, tăng 7,5%
so với năm 2013 và vượt 2% so kế hoạch do đại hội cổ đông thông
qua. Xác định lợi nhuận của doanh nghiệp năm 2013 và số tương đối
nhiệm vụ kế hoạch năm 2014 của doanh nghiệp này về lợi nhuận.
Ví dụ
Một doanh nghiệp kinh doanh 3 loại sản phẩm là mì ăn liền, nước
tương và nước mắm với doanh thu bán hàng trong năm 2014:
Sản phẩm Doanh thu (triệu đồng) % hoàn thành kế hoạch
Mì ăn liền 2.640 120
Nước tương 1.285 97
Nước mắm 1.769 101
Hãy xác định tỉ lệ % hoàn thành kế hoạch về doanh thu của cả tất cả
sản phẩm của công ty và tỉ trọng về doanh thu của từng loại sản
phẩm.
Các loại số tương đối
Số tương đối kết cấu
Biểu hiện mức độ của bộ phận so với mức độ của tổng thể. Đơn vị
tính: lần, phần trăm (%).
di =
yi
y1 + y2 + · · ·+ yn
Ví dụ: 49% dân số Việt Nam là nữ.
Số tương đối không gian
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa các hiện tượng cùng loại nhưng khác
nhau về không gian, hoặc so sánh giữa các bộ phận trong cùng một
tổng thể. Đơn vị tính: lần, phần trăm (%).
Ví dụ: giá gạo ở Cần Thơ bằng 80% giá gạo tại TP. Hồ Chí Minh.
Số tương đối cường độ
Biểu hiện quan hệ so sánh giữa mức độ của hai hiện tượng khác
nhau nhưng có mối liên hệ với nhau. Đơn vị tính: phức hợp.
Ví dụ: mật độ dân số Việt Nam là 268 người / km2.
Số trung bình (bình quân) cộng
Định nghĩa
• Số trung bình cộng giản đơn (áp dụng với dữ liệu chưa phân tổ):
x =
n∑
i=1
xi
n
=
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
.
• Số trung bình cộng gia quyền (áp dụng với dữ liệu đã phân tổ):
x =
k∑
i=1
xi fi
n
=
x1f1 + x2f2 + · · ·+ xk fk
n
,
trong đó xi là lượng biến đại diện cho tổ.
Số trung bình (bình quân) cộng
Cách chọn lượng biến đại diện
• Với tổ có khoảng cách tổ: lấy trị số giữa mỗi tổ làm lượng biến đại
diện cho tổ đó
xi =
xi(min) + xi(max)
2
,
xi(min) và xi(max): giới hạn dưới và trên của tổ thứ i .
• Với dãy số lượng biến có khoảng cách tổ mở (tổ thứ nhất là
(−∞, x1(max)), tổ cuối cùng là (xk(min),+∞)): các lượng biến đại
diện được nội suy từ tổ liền kề
x1 = x1(max) − h22
xk = xk(min) +
hk−1
2
hi : trị số khoảng cách tổ thứ i .
Số trung bình (bình quân) cộng
Ví dụ
Một doanh nghiệp có 10 nhân viên với các mức lương (triệu đồng)
trong tháng 12 năm 2015 như sau: 3; 3,5; 4; 4,1; 4,5; 5; 5,5; 5,7; 6; 7.
Xác định tiền lương trung bình của 1 nhân viên trong tháng đó.
Ví dụ
Xác định số nhân khẩu bình quân của 100 gia đình trong một xã cho
biết có 21 gia đình có 2 nhân khẩu, 45 gia đình có 3 nhân khẩu, 25
gia đình có 4 nhân khẩu, còn lại là các gia đình có 5 nhân khẩu.
Ví dụ
Xác định chiều cao trung bình của các sinh viên một lớp học với dữ
liệu được cho trong bảng sau
Chiều cao (cm) Số sinh viên
Dưới 150 6
150–160 35
160–170 41
170–180 23
Trên 180 11
Số trung bình điều hòa
Định nghĩa
• Số trung bình điều hòa giản đơn:
x =
n
n∑
i=1
1
xi
=
n
1
x1
+
1
x2
+ · · ·+ 1
xn
• Số trung bình điều hòa gia quyền:
x =
k∑
i=1
Mi
k∑
i=1
Mi
xi
=
M1 +M2 + · · ·+Mk
M1
x1
+
M2
x2
+ · · ·+ Mk
xk
trong đó Mi = xi fi là tổng lượng biến.
Ý nghĩa: Số trung bình điều hòa thường được sử dụng để tính thời
gian hao phí trung bình.
Số trung bình điều hòa
Ví dụ
Trong một xí nghiệp A có 3 tổ công nhân với số công nhân lần lượt 15
người, 20 người và 25 người. Cho biết thời gian để hoàn thành một
sản phẩm của một công nhân trong mỗi tổ lần lượt là 20 phút, 25 phút
và 30 phút. Tính thời gian hao phí bình quân để sản xuất ra một sản
phẩm của công nhân thuộc 3 tổ đó.
Ví dụ
Điều tra vận tốc tối ưu của 5 loại ôtô được sản xuất ra bởi doanh
nghiệp X bằng cách cho chạy thử trên quãng đường AB thì nhận thấy
thời gian đi hết quãng đường của mỗi loại xe lần lượt là 1 giờ, 1 giờ 10
phút, 55 phút, 1 giờ 5 phút và 57 phút. Tính thời gian trung bình đi hết
quãng đường trên của 5 loại ôtô.
Số trung bình nhân
Định nghĩa
• Số trung bình nhân giản đơn:
x = n
√√√√ n∏
i=1
xi = n
√
x1x2 . . . xn
• Số trung bình nhân gia quyền:
x = n
√√√√ k∏
i=1
x fii =
n
√
x f11 x
f2
2 . . . x
fk
k
trong đó n = f1 + f2 + · · ·+ fk .
Ý nghĩa: Số trung bình nhân thường được sử dụng để tính tốc độ
phát triển trung bình trong một khoảng thời gian nhất định.
Số trung bình nhân
Ví dụ
Lãi suất tiền gửi tiết kiệm ngân hàng trong 5 năm liên tiếp là 5%, 7%,
10%, 8% và 6%. Hãy tính lãi suất tiền gửi trung bình trong khoảng
thời gian trên.
Ví dụ
Doanh thu của một doanh nghiệp trong 7 năm như sau:
• 3 năm đầu mỗi năm có tốc độ phát triển là 120%,
• 2 năm kế tiếp mỗi năm có tốc độ phát triển là 115%,
• 2 năm cuối mỗi năm có tốc độ phát triển là 125%.
Tính tốc độ phát triển bình quân của doanh thu trong khoảng thời
gian trên.
Số yếu vị (Mode)
Định nghĩa
Số yếu vị (Mode) là giá trị, kí hiệu Mode, Mod hoặc Mo, sao cho số
đơn vị của tổng thể có lượng biến (xấp xỉ) bằng Mode là lớn nhất.
• Phân tổ không có khoảng cách tổ: Mode là xi ứng với fi lớn nhất.
• Phân tổ có khoảng cách tổ đều nhau:
Mode = xM(min) + hM
fM − fM−1
(fM − fM−1) + (fM − fM+1)
trong đó M là số thứ tự của tổ có tần số lớn nhất. Nếu không có
tổ kề trước / sau thì tần số của tổ tương ứng bằng 0.
• Phân tổ có khoảng cách tổ không đều nhau: thay fi bởi fi/hi
Mode = xM(min)+hM
fM/hM − fM−1/hM−1
(fM/hM − fM−1/hM−1) + (fM/hM − fM+1/hM+1)
trong đó M là số thứ tự của tổ có mật độ phân phối fM
hM
cao nhất.
Số yếu vị (Mode)
Ví dụ
Xác định mode về doanh thu tháng của một chuỗi cửa hàng thời
trang.
Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng
140–150 6
150–160 35
160–170 40
170–180 23
180–190 16
Ví dụ
Xác định mode về doanh thu tháng của một chuỗi quán cà phê.
Doanh thu (triệu đồng) Số quán
40–50 40
50–60 35
60–80 70
80–100 65
100–150 36
Số trung vị (Median)
Định nghĩa
Trung vị là giá trị, kí hiệu Med hoặc Me, sao cho số đơn vị của tổng
thể có lượng biến lớn hơn Med và nhỏ hơn Med là (xấp xỉ) bằng nhau.
• Dữ liệu chưa phân tổ: sắp thứ tự tăng hoặc giảm
Nếu n lẻ: Med = x(n+1)/2
Nếu n chẵn: Med =
xn/2 + x(n+2)/2
2
• Phân tổ có khoảng cách tổ:
Med = xM(min) + hM
n
2
− (f1 + f2 + · · ·+ fM−1)
fM
= xM(min) + hM
(fM + fM+1 + · · ·+ fk )− (f1 + f2 + · · ·+ fM−1)
2fM
trong đó M là số thứ tự của tổ chia đôi tần số
f1 + f2 + · · ·+ fM ≥ n2 > f1 + f2 + · · ·+ fM−1.
Số trung vị (Med)
Ví dụ
1 Xác định trung vị về doanh thu tháng 7/2015 của 7 cửa hàng
thuộc một doanh nghiệp biết doanh thu của 7 cửa hàng này
trong tháng 7/2015 lần lượt là: 540, 296, 378, 984, 153, 372, 400
(triệu đồng).
2 Khảo sát thêm một cửa hàng thứ 8 thì được kết quả cửa hàng
này đạt doanh thu vào cùng thời kì là 672 triệu đồng. Xác định
med về doanh thu tháng 7/2015 của 8 cửa hàng được khảo sát.
Ví dụ
Xác định trung vị về doanh thu tháng 7/2015 của một chuỗi cửa hàng
thời trang
Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng
140–150 6
150–160 35
160–170 40
170–180 23
180–190 16
Đo lường độ phân tán
Khoảng biến thiên
R = xmax − xmin
trong đó
xmax : lượng biến lớn nhất
xmin: lượng biến nhỏ nhất
Ví dụ
Xác định khoảng biến thiên về doanh thu tháng 7/2015 của 7 cửa
hàng thuộc một doanh nghiệp biết doanh thu của 7 doanh nghiệp này
trong tháng 7/2015 lần lượt là: 540, 296, 378, 984, 153, 372, 400
(triệu đồng).
Đo lường độ phân tán
Độ lệch tuyệt đối trung bình
• Với dữ liệu chưa phân tổ
d =
n∑
i=1
|xi − x |
n
=
|x1 − x |+ |x2 − x |+ · · ·+ |xn − x |
n
• Với dữ liệu đã phân tổ
d =
k∑
i=1
|xi − x |fi
n
=
|x1 − x |f1 + |x2 − x |f2 + · · ·+ |xk − x |fk
n
Ví dụ
Xác định độ lệch tuyệt đối của dữ liệu trong ví dụ ở mục trước.
Đo lường độ phân tán
Phương sai
• Với dữ liệu chưa phân tổ
σ2 =
n∑
i=1
(xi − x)2
n
=
(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + · · ·+ (xn − x)2
n
• Với dữ liệu đã phân tổ
σ2 =
k∑
i=1
(xi − x)2fi
n
=
(x1 − x)2f1 + (x2 − x)2f2 + · · ·+ (xk − x)2fk
n
Độ lệch (tiêu) chuẩn
Là căn bậc 2 của phương sai: σ =
√
σ2.
Ý nghĩa: đánh giá độ biến thiên của tiêu thức. Khi giá trị trung bình cố
định, độ lệch tiêu chuẩn càng nhỏ thì tổng thể càng đồng đều.
Đo lường độ phân tán
Hệ số biến thiên
Vd = d/x
hoặc
Vσ = σ/x
Ý nghĩa: đánh giá tỉ lệ giữa độ lệch và trung bình tổng thể.
Ví dụ
Xác định độ lệch tuyệt đối, độ lệch tiêu chuẩn và hệ số biến thiên về
doanh thu tháng 7/2015 của một chuỗi cửa hàng thời trang
Doanh thu (triệu đồng) Số cửa hàng
140–150 6
150–160 35
160–170 40
170–180 23
180–190 16