Bài giảng Phép biến đổi Laplace - Lê Xuân Đại

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 1 / 24
Phép biến đổi Laplace Định nghĩa
Định nghĩa
Phép biến đổi Laplace L là 1 quy luật liên kết với
hàm f (t) 1 hàm F (s) xác định bởi
F (s) = L{f (t)} =
∫ ∞
0−
f (t)e−stdt.
F (s) gọi là biến đổi Laplace của f (t), còn f (t) là
biến đổi Laplace ngược của F (s). Kí hiệu
f (t) : F (s).
Biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân suy rộng
trên hội tụ khi s ở trong 1 khoảng nào đó.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 2 / 24
Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của các hàm thông dụng
Hàm bậc thang đơn vị
Hàm bậc thang đơn vị được định nghĩa như sau
u(t) =
{
0, t < 0
1, t > 0
L{u(t)} =
∞∫
0−
1.e−stdt =
e−st
−s
∣∣∣∣∞
0−
=
1
s
, nếu s > 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 3 / 24
Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của các hàm thông dụng
Hàm mũ e−at
Ta có L{e−at} =
∞∫
0−
e−at.e−stdt =
e−(s+a)t
−(s + a)
∣∣∣∣∞
0−
=
1
s + a
, nếu s > −a.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 4 / 24
Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của các hàm thông dụng
Hàm lượng giác cos at, sin at
Ta có L{cos at} =
∞∫
0−
e−st cos atdt =
e−st
s2 + a2
(−s cos at + a sin at)
∣∣∣∣∞
0−
=
s
s2 + a2
, nếu
s > 0.
và L{sin at} =
∞∫
0−
e−st sin atdt =
e−st
s2 + a2
(−s sin at − a cos at)
∣∣∣∣∞
0−
=
a
s2 + a2
, nếu
s > 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 5 / 24
Phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của các hàm thông dụng
Hàm lũy thừa tn, với n = 0, 1, 2, . . .
Ta có L{tn} =
∞∫
0−
tn.e−stdt =
tne−st
−s
∣∣∣∣∞
0−
+
n
s
∞∫
0−
tn−1e−stdt =
n
s
L{tn−1}, nếu
s > 0.
Quá trình này cứ tiếp tục ta được
L{tn} = n
s
.
n − 1
s
.
n − 2
s
. . . . L{u(t)} = n!
sn+1
nếu
s > 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 6 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tuyến tính
Định lý
Nếu F1(s) và F2(s) lần lượt là biến đổi Laplace
của f1(t) và f2(t), còn c1, c2 là hằng số bất kỳ thì
L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)
Ví dụ
Tính L{4t2 − 3 cos 2t + 5e−t}.
Đáp số.
8
s3
− 3s
s2 + 4
+
5
s + 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 7 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì L{e−atf (t)} = F (s + a)
Các công thức quan trọng
1 L{e−at cos bt} = s + a
(s + a)2 + b2
, với s > −a
2 L{e−at sin bt} = b
(s + a)2 + b2
, với s > −a
3 L{e−attn} = n!
(s + a)n+1
, với s > −a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 8 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
Ví dụ
Tính
1 L{e−2t cos 4t} = s + 1
(s + 1)2 + 42
, với s > 2
2 L{e−t sin 4t} = 4
(s + 1)2 + 42
, với s > 1
3 L{e3tt2} = 2!
(s − 3)3 , với s > −3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 9 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất dời thứ nhất (dời theo t)
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
L{f (t − a)u(t − a)} = e−asF (s), trong đó
u(t − a) =
{
0, t < a
1, t > a
Ví dụ
Tìm F (s) nếu f (t) =

0, t <
2pi
3
cos(t − 2pi
3
), t >
2pi
3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 10 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất đổi thang đo
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì L{f (at)} = 1
a
F
(s
a
)
,
(a > 0)
Ví dụ
Biết rằng L
{
sin t
t
}
= arctan
1
s
hãy tìm
L
{
sin at
t
}
Đáp số. arctan
a
s
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 11 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của đạo hàm
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
L{f ′(t)} = sF (s)− f (0−)
Hệ quả
1 L{f ′′(t)} = s2F (s)− sf (0−)− f ′(0−)
2 L{f (n)(t)} = snF (s)− sn−1f (0−)−
sn−2f ′(0−)− . . .− f n−1(0−)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 12 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của tích phân
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì L
{
t∫
0−
f (x)dx
}
=
F (s)
s
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 13 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Nhân cho tn
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
L{tnf (t)} = (−1)n d
n
dsn
F (s)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 14 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Chia có t
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì L
{
f (t)
t
}
=
∞∫
s
F (x)dx
với điều kiện lim
t→0−
f (t)
t
tồn tại.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 15 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn
Định lý
Nếu f (t) là 1 hàm tuần hoàn với chu kỳ T > 0 thì
L{f (t)} =
T∫
0
e−stf (t)dt
1− e−sT
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 16 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Định lý giá trị đầu
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
lim
t→0+
f (t) = f (0+) = lim
s→∞ sF (s), với điều kiện các
giới hạn trên tồn tại.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 17 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Định lý giá trị cuối
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
lim
t→∞ f (t) = f (∞) = lims→0 sF (s), với điều kiện các
giới hạn trên tồn tại.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 18 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ
Ví dụ
1 Tính L
{∞∫
t
cos x
x
dx
}
2 Tính L
{
t∫
0
sin x
x
dx
}
3 Tính L
{∞∫
t
e−x
x
dx
}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 19 / 24
Tính chất của phép biến đổi Laplace Tính tích phân suy rộng
Định lý
Nếu L{f (t)} = F (s) thì
∞∫
0−
f (t)dt = F (0), với
điều kiện tích phân suy rộng trên hội tụ.
Ví dụ
Tính
∞∫
0−
e−t − e−3t
t
dt
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 20 / 24
Bài tập
Tìm biến đổi Laplace của mỗi hàm sau và chỉ ra
giá trị s để biến đổi Laplace tồn tại.
1 2t2 − e−t
2 6 sin 2t − 5 cos 2t
3 3 cosh 5t − 4 sinh 5t.
4 (5e2t − 3)2
5 f (t) =
{
2t, 0 6 t 6 5
1, t > 5
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 21 / 24
Bài tập
Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau
1 3t4 − 2t3 + 4e−3t − 2 sin 5t + 3 cos 2t
2 t3e−3t
3 (t + 2)2et
4 e−4t cosh 2t
5 e−t(3 sinh 2t − 5 cosh 2t)
6 e−t sin2 t
7 (1 + te−t)3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 22 / 24
Bài tập
Tính tích phân
1
∞∫
0
t3e−t sin tdt
2
∞∫
0
e−t sin t
t
dt
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 23 / 24
Bài tập
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TP. HCM — 2011. 24 / 24