Bài giảng Phương pháp bề mặt Cad - Cam - Đặng Thái Việt (Phần 2)

PHƯƠNG PHÁP
BỀ MẶT CAD-CAM
TS. Đặng Thái Việt
ĐHBK Hà nội
1
CHƯƠNG 2
2
MÔ HÌNH TOÁN HỌC MÔ TẢ
ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC DÙNG
TRONG KỸ THUẬT
3 MÔ TẢ ĐƯỜNG CONG 2D
 Vật thể 3D trong kỹ thuật được biểu diễn từ
đường cong 2D
 Đoạn cong được biểu diễn
 Tường minh: 23y x
 Dễ chuyển sang hàm ẩn
 Dễ khảo sát vị trí điểm so với đường cong
 Dễ nối đường cong thành đường cong lớn
 Khó biểu diễn góc nghiêng
4 Ẩn: 2 2 2 0x y r  
 Làm trơn chỗ nối khó khăn
 Tham số:    ;x f t y g t 
 Độ nghiêng được biểu diễn như là tiếp tuyến
véc tơ tham số d/dt
 Dễ làm trơn chỗ nối giữa các đoạn
BIỂU DIỄN ĐOẠN CONG BẰNG HÀM ĐA THỨC
 Dễ biểu diễn và tính toán
5 Dạng đường cong đa thức chuẩn:
 Hàm cho dưới dạng ẩn:  , 0g x y 
 Ví dụ: Hàm đa thức biểu diễn đường thẳng
0ax b 
 Phương trình tiếp tuyến của đường cong ở P1
     1 1 1 1 1 1, , 0y xg x y x x g x y y y   
 Phương trình pháp tuyến của đường cong ở P1
     1 1 1 1 1 1, , 0x yg x y x x g x y y y   
6 Ví dụ: Xác định tiếp tuyến của đường tròn
đơn vị , tại điểm P1(1,0)
 Giải: 2xx
gg
x
 
 Tại điểm P1(1,0) 2xg 
 Đạo hàm 2yy
gg
x
 
 Tại điểm P1(1,0) 2yg 
 Phương trình tiếp tuyến  
 
12 0
2 1 0 1
x x
x x
 
    
2 2 1x y 
7 Trong kỹ thuật thường dùng hàm bậc 2 là
giao các mặt
 Elíp: giao của mặt phẳng và nón
2 2
2 2 1
x y
a b
 
 Parabol: giao của mặt phẳng (mặt
phẳng  mặt bên) và nón
2 4 0y ax 
8 Hypecbol: giao của mặt phẳng (mặt phẳng
đi qua đường cao mặt nón) và nón
 Hàm cho dưới dạng tường minh:  y f x
MÔ TẢ ĐOẠN CONG BẰNG ĐA THỨC
THAM SỐ
 Đa thức chuẩn:
 Dạng đa thức chuẩn bậc 3
        , ,r u x u y u z u 2 3u u ua b c d   
0 1u 
9 Ma trận   2 31
a
b
r u u u u
c
d
          Hoặc  r u UA
 Ma trận véc tơ cơ sở 321U u u u   
 Ma trận véc tơ hệ số  TA a b c d
 Mô hình đường cong Ferguson (đường spline
tự nhiên)
 Xây dựng đường cong qua 2 điểm mút
   0 10 ; 1P r P r 
10
 Tiếp tuyến tại 2 điểm
       0 0 ; 1 1t r t r  
 Xây dựng trên cơ sở đa thức chuẩn bậc 3
  2 3r u a bu cu du   
 
 
 
 
0
1
0
1
0
1
0
1 2 3d
P r a
P r a b c d
t r b
t r b c
 
    
 
   


11
 Xác định hệ số hàm bậc 3
0
0
0 1 0 1
0 1 0 1
;
;
3 3 2 ;
2 2 .
a P
b t
c P P t t
d P P t t


    
   
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG CONG
FERGUSON
     2 30 0 0 1 1 0 1 0 13 3 2 2 2or u P t u P P t t u P P t t u          
12
 Dạng ma trận   ;0 1r u UA UCS u   
0 0
1 1
0 0
1 1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
; ;
3 3 2 1 3 3 2 1
2 2 1 1 2 2 1 1
P Pa
P Pb
A C S
t tc
t td
                                                         
 Sắp xếp lại phương trình Ferguson
         2 3 2 3 2 3 2 30 1 0 11 3 2 3 2 2r u u u P u u P u u u t u u t          
13
 
 
 
 
2 3
0,3
2 3
1,3
2 3
2,3
2 3
3,3
1 3 2
1 2
3 2
F u u u
F u u u
F u u u
F u u u
           
Tập hàm
 Viết lại phương trình
  0,3 0 1,3 1 2,3 0 3,3 1r u F P F P F t F t   
 Tập hàm biểu diễn ảnh hưởng của hệ số hình
học dọc theo đường cong
14
 Dạng toán học là biểu thức
đại số Hermit
 Biểu thức đại số là trực giao
 Mỗi một giá cho ta giá trị
mới nội suy
15
 Tập hợp đường cong hàm cơ sở Hermit
 Đặc điểm
   
   
   
0 3
0 1
1 2
0 1 1
1 1 0
0 1 0 ; 0 1
F F
F F
F F j or j
       
 Xây dựng đường cong Ferguson với điều kiện
0 1 1 0t t P P  
16
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG CONG BEZIER
 Xây dựng khi biết nút điều khiển V1,V2,V3,V4
 V0 như điểm đầu P0 trong Ferguson
 V1 nằm trên tiếp tuyến ở điểm đầu và = 00 3
tV 
 V2 nằm trên tiếp tuyến ở điểm cuối và = 13 3
tV 
 V3 như điểm cuối P1 trong Ferguson
 Xây dựng Bezier từ Ferguson tìm quan hệ V và P
   0 0 1 3 0 1 0 1 2 3; ; 3 ; 3P V P V t V V t V V     
17
 Ma trận đường cong Bezier bậc 3
 r u UCS UCLR 
00
11
2
20
3
31
1 0 0 0 1
0 0 0 1
;
3 3 0 0
0 0 3 3
TVp
Vp u
S u
Vt u
Vt u
                                       
0
1
2
3
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0
; ;
3 3 0 0 3 3 2 1
0 0 3 3 2 2 1 1
V
V
L R C
V
V
                              
18
 Đặt
1 0 0 0
3 3 0 1
3 6 3 0
1 3 3 1
M CL
         
 Viết dạng khác của ma trận đường cong Bezier
   
       
 
0,3 0 1,3 1 2,3 2 3,3 3
3
,3
0
i i
i
r u UM R
B u V B u V B u V B u V
B u V


   

19
 Với
   
   
   
 
3
0,3
2
1,3
2
2,3
3
3,3
1
3 1
3 1
B u u
B u u u
B u u u
B u u
 
 
 

 Hệ số của đường cong Bezier 
,3iB u
 Dạng chung xác định hệ số của đường cong
Bezier được gọi là hàm cơ sở Bezier
     ,
! 1
! !
n ii
i n
nB u u u
n i i
 
20
 Đồ thị biểu diễn ảnh hưởng của hệ số tới
đường cong Bezier dọc theo u
 Ví dụ:Xây dựng đường cong Bezier bậc 2 từ
đa thức bậc 2:   2r u a bu cu  
21
 Tại với các đánh giá tại các điểm này là
và tiếp tuyến tại các điểm đầu
cuối
 0,1u 
   0 0 1 20 ; 1r V r V 
   0 1 00 2r V V     1 2 10 2r V V 
 Giải: Hàm cơ sở bậc 2 chuẩn   2r u a bu cu  
 
 
   
   
0
2
1 0
2 1
0
1
0 2
1 2 2
r a V
r a b c V
r b V V
r b c V V
 
   
  
   


22
 Kết quả  
0
1 0
0 1 2
2
2
a V
b V V
c V V V
     
Thay vào hàm cơ sở bậc 2
     
   
 
2
0 1 0 0 1 2
2 2
0 1 2
2
,2
0
2 2
1 2 1
i i
i
r u V V V u V V V u
u V u u V u V
B u V

     
    

23
Viết dưới dạng ma trận
  02 1
2
1 0 0
1 2 2 0
1 2 1
V
r u u u V
V
                   
GiẢI THUẬT CASTELJAU
Tập điểm điều khiển 3D xác định đường cong
Bezier  : 0,1,...,iV i n
24
Viết phương trình đường cong dưới dạng đệ quy
       1 111r r ri i ib u u b u ub u   
Với 1,..., ; 0,..., .r n i n r  
Cho  0i ib u V
Biểu diễn đường cong Bezier theo tham số u
     
,
1
n
n n
i i n i
i
b u B u V r u

 
25
Xây dựng đường cong
Cho trùng với0V 00b
Cho trùng với1V 01b
Xác định trên10b 0 1V V
Điểm trùng với2V 02b
Xác định trên11b 1 2VV
Điểm trùng với3V 03b
Từ và xác định1
ob
2
0b
1
1b
Từ và xác định2
ob
3
2b
2
1b
26
Nếu n điểm điều khiển ta cho 0n nV b
Tìm được điểm trên các đoạn nối giữa các
điểm điều khiển và từ các điểm mới ta tìm các
điểm tiếp theo
1
n
nb 
Ví dụ: Dùng giải thuật Casteljau để dựng đường
cong bậc 3 đi qua điểm 1
3
u 
Giải: Tính qua công thức01b
       1 111r r ri i ib u u b u ub u   
27
Nếu u=1/3 ta có
1 0 0 0 0
0 1 0 1
1 1 2 11
3 3 3 3o
b b b b b       
 và00 0V b 01 1V b
Có thể viết
1 0 0
0 1 0 1
2 1 2 1
3 3 3 3o
b b b V V   
Tương tự tính cho các điểm khác
28
1 0 0
0 1 0 1
1 0 0
1 1 2 1 2
1 0 0
2 2 3 2 3
2 1 1
0 0 1
2 1 1
1 1 2
3 2 2
0 0 1
2 1 2 1
3 3 3 3
2 1 2 1
3 3 3 3
2 1 2 1
3 3 3 3
2 1
3 3
2 1
3 3
2 1 1
3 3 3
ob b b V V
b b b V V
b b b V V
b b b
b b b
b b b r
   
   
   
 
 
      
29
Phương trình tiếp tuyến đường cong Bezier tại
u=1/3    2 21 01/ 3 3r b b 
Phương trình tiếp tuyến tổng quát đường cong
Bezier bậc n
     1 11 0n nd r u n b u b udu     
Đường cong Bezier ra(u) trong khoảng [0,1/3) có
các điểm điều khiển  0 1 2 30 0 0 0, , ,b b b b
30
Đường cong rb(u) xác định trong khoảng [1/3,1],
có điểm điều khiển  3 2 1 00 1 2 3, , , ,b b b b
Đường cong Bezier chia làm 2 đoạn
ĐẠO HÀM PHƯƠNG TRÌNH BEZIER
Để đạo hàm phương trình Bezier cần tính được
đạo hàm đa thức Bernstein
Đạo hàm bậc 1 của đa thức Bernstein
31
     
   
 
   
    
,
11
1, 1 , 1
! 1
! !
!! 1 1
! ! ! !
n ii
i n
n i n ii i
i n i n
d d nB u u u
du du n i i
n i nin
u u u u
i n i i n i
n B u B u

  
  
     
    

Đạo hàm bậc n của phương trình đường cong
Bezier    
        
,
0
1, 1 , 1 1, 1 , 1
0 0 0
n
n
i n i
i
n n n
i n i n i i i n i i n
i i i
d d
r u B u V
du du
n B u B u V n VB u n VB u

     
  
    
   

  
32
Đặt j=i-1
     
   
1 1
1 , 1 , 1
0 0
1
1 , 1
0
n n
n
j j n i i n
j i
n
i i i n
j
d
r u n V B u n V B u
du
n V V B u
 
  
 

 

 
 
 

TĂNG BẬC ĐƯỜNG CONG BEZIER
Đường cong Bezier rn(u) được xác định bởi n+1
đỉnh điều khi     1
0
1
n
nn i
i
i
n
r u V u u
i


    
33
Đường cong Bezier bậc n được biểu diễn bởi
đường cong bậc n+1    1 1 11
0
1
1
n
nn i
i
i
n
r u V u u
i
   

    
Với đỉnh điều khiển đường cong
Bezier bậc cao hơn
 : 0,1,..., 1iV n 
Chứng minh bằng cách nhân với nr u   1 1u u  
Xác định đỉnh có bậc cao hơn
1 1 11 1i i
i iV V V
n n


      
34
Ví dụ nâng đường cong Bezier từ n=3 lên n=4
Giải
Cho 0 0 4 4;V V V V  
Tính đỉnh của n+4
1 11 1i i i
i iV V V
n n


      
Tính 1V  1 1 1 0 1
1 1 1 31
3 1 3 1 4 4
V V V V
        
35
Tính 2V 
2 2 1 2 1 2
2 2 1 11
3 1 3 1 2 2
V V V V V 
        
Tính 3V 
3 3 1 3 2 3
3 3 3 11
3 1 3 1 4 4
V V V V V 
        
GIẢM BẬC ĐƯỜNG CONG BEZIER
Cần tăng bậc của đường cong Bezier lên
bậc
 1nr u
 nr u
36
Dùng phương pháp tăng bậc
Tính toán điểm điều khiển 11 11i i iV V V
n n
 

     
 đỉnh điều khiển của: 0,..., 1iV i n    1nr u
Xác định theoiV  iV
1
1
1
1 11
1 11 ; 0,..., 1
1
i i i
i i i
i i i
V V V
n n
V V V i n
n n
n iV V V
n n i
 

 

 

     
       
  
37
Xác định theo1iV  iV
1 ; 0,..., 1i i i
n n iV V V i n
i i
 

   
Điều kiện giảm bậc  
0
1 0
n
n
i
i
n
V
i
     
Nếu không thỏa mãn điều kiện trên thì thực hiện
giảm bậc bằng công thức
1; 0,..., / 2i i i
n iV V V i n
n i n i
 
   
38
Kết quả ta có đường cong Bezier sai số nhỏ
Phần còn lại tính đỉnh điều khiển theo
1 ; 0,..., 1i i i
n n iV V V i n
i i
 

   
ĐẶC TRƯNG ĐƯỜNG CONG BEZIER
 Tính chất bất biến với Afin
Định nghĩa ánh xạ Afin Qr rA t 
A là ma trận 3×3, t là véc tơ 3D
39
Chú ý: Chuyển đổi 1 điểm trong 3D có tính ánh
xạ Afin
Đường cong Bezier có tính Afin cho phép
Chuyển đổi điểm của r(u)
Chuyển đổi đỉnh điều khiển Vi
 Tính bao lồi
Bezier là tổ hợp lồi của các đỉnh điều khiển {Vi}
     
, ,
0
1; 0, 0,1
n
i n j n
i
B u B u u

  
40
 Tính bất biến dưới sự chuyển đổi Afin
Đường cong Bezier xác định tương
đương với trong đó
 r u  0,1u
 r t   ;t a b a u a b   
 Tính giảm biến thiên
Đường cong Bezier có ít giao điểm với mặt
phẳng so với đa giác điều khiển nó
 r u
41
MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG B-SPLINE
ĐỒNG NHẤT
Giả thiết cần xây dựng đường cong bậc 3: r(u)
với các đỉnh điều khiển V0, V1, V2, V3.
Định nghĩa
0 2
0 2
V VM  Điểm giữa V0, V2
1 3
1 2
V VM  Điểm giữa V1, V3
1 0
0
2
3
V MP  Nằm 1/3 của điểm V1, M0
42
2 1
1
2
3
V MP  Nằm 1/3 của điểm V2, M1
Mong có đường cong r(u)
Điểm đầu đường cong P0
Điểm đầu đường cong P1
Chiều dài véc tơ tiếp tuyến t0 ở P1 = M0 -V0
Chiều dài véc tơ tiếp tuyến t1 ở P1 = M1 –V1
Xác định P0 với u = 0:    1 0 20 40 6
V V V
P r
  
43
Xác định P1 với u = 1:    2 1 31 41 6
V V V
P r
  
Xác định t0 :   2 00 0 2
V V
t r
 
Xác định t1 :   3 11 1 2
V V
t r
 
Nhận được hệ phương trình tuyến tính
   
   
0 0 1 2 1 1 2 3
0 0 2 1 1 3
1 14 ; 4
6 6
1 13 3 ; 3 3
6 6
P V V V P V V V
t V V t V V
     
     
44
Viết dưới dạng ma trận:
00
11
20
31
1 4 1 0
0 1 4 11 R
3 0 3 06
0 3 0 3
VP
VP
S K
Vt
Vt
                             
Phương trình biểu diễn B-spline bậc 3:
  ( ) ; 0 1r u UCS UCKR U CK R u    
45
 2 3 0 1 2 31 ; ;
1 4 1 0 1 0 0 0
0 1 4 1 0 0 1 01
;
3 0 3 0 3 3 2 16
0 3 0 3 2 2 1 1
U u u u R V V V V
K C
   
                       
Trong đó N=C.K, C là ma trận Ferguson.
N là ma trận hệ số đường cong B-spline.
46
Đường cong B-spline bậc 3 viết dưới dạng biểu
thức đại số.
  2 3 2 3 2 3 30 1 2 31 3 3 4 6 3 1 3 3 36 6 6 6
u u u u u u u u u
r u V V V V          
Viết tổng quát
   3
,
0
i n i
i
r u S u V


Biểu thức đại số hàm cơ sở của đường
cong B-spline bậc 3
 
,3iS u
47
Hàm B-spline bậc n:    
,
0
n
i n i
i
r u S u V


Ví dụ: Đường cong B-spline bậc 2
  2 ; 0 1r u UN R u  
 2 0 1 2 2
1 1 0
1 ; ; 2 2 0
1 2 1
TU u u R V V V N
           
MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG B-SPLINE
KHÔNG ĐỒNG NHẤT
48
Hàm B-spline không đồng nhất được định nghĩa
trên cơ sở hàm đệ quy vô hướng
Hàm đệ quy
   1 11
1
n n ni i n
i i i
i n i i n i
t t t tL L t L t
t t t t
 

  
   
Hàm đệ quy bậc 1
   1 1 11; , ;
0; er
i i i i
i
t t t t t
L t
oth
    
49
Đồ thị hàm đệ quy bậc 1
 t<ti hàm bằng 0
 t<ti+1 hàm bằng 1
 t>ti hàm bằng 0
Hàm đệ quy bậc 2
   2 1 12 1
2 1
i i
i i i
i i i n i
t t t tL L t L t
t t t t


  
   
 khi , khoảng này hàm tăng2
2
i
i
i i
t tL
t t
  1i it t t  
50
khoảng 1 2;i it t t   2 2
2 1
i
i
i i
t tL
t t

 
 
Khoảng này hàm giảm
Đồ thị hàm đệ quy bậc 2
51
Hàm đệ quy bậc 3
   3 2 23 12 2
1
i i
i i i
i i
t t t tL L t L t 

   
 Với
 
1
1...
i i i
k
i i i k i k i
t t
t t

  
  
      
 Khoảng 1.i it t t    
2
13
2i
i i
t t
L
  
 Khoảng 1 2;i it t t        
2 33
1 13
2 2
1 1
i i
i
i i i i i
t t t t
L t 
 
       
52
 Khoảng 2 3;i it t t  
   
2
33
2
1 2
i
i
i i
t t
L t 
 
  
 Hàm đệ quy n=3
53
 Tập hàm
 
   
     
   
2
1
12
2 23
1 1
3 1 22 2
1 1
2
3
2 32
1 2
; ,
; ,
; ,
0; other
i i
i i
i i
i i
i i i i i i
i
i i
i i
t t
t t t
t t t t
t t tL t
t t
t t t


 
 

 
 
                  
 Là tập hàm B-spline với n=2
54
 Định nghĩa hàm chuyển đổi tuyến tính giữa t và u
1
i i
i i i
t t t t
u
t t
   
 Chuyển đổi từ t sang u
 Chuyển đổi đoạn  1,i it t t 
     
 
2
13
2 3 2
1 1
2
2 2 2
1 1 1
0,2
2
; 0 1
i
i
i i
i i i
i i i
t t
L t
u u i
N u


 
  
  
         

55
       
 
2 23
1 13
2 3 2 2
1 1 1
3
21 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1,2
2
; 0 1
i i i
i
i i i i i
i i i i i
i i i i i
t t t t
L t
u u i
N u
 

  
 
   
       
                

 Chuyển đổi đoạn  1 2,i it t t 
 Chuyển đổi đoạn  2 3,it t t
       
2 2
3
1 2 2 ; 0 1
i i
i
i i i i
t t u
L t i
       
56
 Hàm B-spline bậc 2 khác không trong khoảng
ti ,ti+1
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107