Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 2: Các hàm và các ma trận phần tử - Nguyễn Xuân Thành (Tiếp)

Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
BÀI GIẢNG 5
(hệ thanh - phần 2/3
các ma trận phần tử)
Nguyễn Xuân Thành
tkris1004@nuce.edu.vn
Bộ môn Cơ học Kết cấu
Trường Đại học Xây dựng
Ngày 09 tháng 9 năm 2013
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
NỘI DUNG CHÍNH
1 Véc-tơ lực nút tương đương
Khi tải trọng phân bố đều
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
2 Ma trận khối lượng
Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học
Cách xác định
Phương trình cân bằng của phần tử
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
NỘI DUNG CHÍNH
1 Véc-tơ lực nút tương đương
Khi tải trọng phân bố đều
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
2 Ma trận khối lượng
Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học
Cách xác định
Phương trình cân bằng của phần tử
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng phân bố đều
Xét phần tử thanh chịu kéo/nén và uốn đồng thời, hai đầu
nút cứng, chịu tải trọng phân bố đều 𝑝𝑥 và 𝑝𝑦
𝑥
𝐿
𝑥
𝑅4𝑅1 𝐸,𝐴, 𝐼
𝑅5
𝑅6
𝑅2
𝑅3
𝑦
∙
𝑖
∙
𝑗
𝑝𝑥
𝑝𝑦
Véc-tơ lực nút tương đương (xem lại Bài giảng 3):
R =
∫︁
Ω
N𝑇p 𝑑Ω
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng phân bố đều
Triển khai cụ thể với p =
[︂
𝑝𝑥
𝑝𝑦
]︂
và:
N =
[︂
𝑁1(𝑥) 0 0 𝑁4(𝑥) 0 0
0 𝑁2(𝑥) 𝑁3(𝑥) 0 𝑁5(𝑥) 𝑁6(𝑥)
]︂
trong đó:
𝑁1(𝑥) = 1− 𝑥
𝐿
𝑁4(𝑥) =
𝑥
𝐿
𝑁2(𝑥) = 1− 3𝑥
2
𝐿2
+ 2
𝑥3
𝐿3
𝑁3(𝑥) = 𝑥− 2𝑥
2
𝐿
+
𝑥3
𝐿2
𝑁5(𝑥) = 3
𝑥2
𝐿2
− 2𝑥
3
𝐿3
𝑁6(𝑥) =−𝑥
2
𝐿
+
𝑥3
𝐿2
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng phân bố đều
Có kết quả sau
R =
[︂
𝑝𝑥𝐿
2
𝑝𝑦𝐿
2
𝑝𝑦𝐿
2
12
𝑝𝑥𝐿
2
𝑝𝑦𝐿
2
−𝑝𝑦𝐿
2
12
]︂𝑇
Các trường hợp phần tử loại khác...
Tiến hành tương tự trên.
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
Xét phần tử thanh chịu kéo/nén và uốn đồng thời, hai đầu
nút cứng, chịu tải trọng tập trung 𝑇, 𝑃 và 𝑀 , tương ứng
cách đầu trái của phần tử một đoạn bằng 𝜂𝐿, 𝜉𝐿, và 𝛾𝐿
𝑥
𝐿
𝜉𝐿
𝜂𝐿
𝛾𝐿
𝑅4𝑅1 𝐸,𝐴, 𝐼
𝑅5
𝑅6
𝑅2
𝑅3
𝑦
∙
𝑖
∙
𝑗
𝑃
𝑇 𝑀
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
Tải trọng tập trung có thể được coi là một dạng đặc biệt
của tải trọng phân bố, cụ thể như sau:
Tải trọng 𝑇 tại tọa độ 𝑥 = 𝜂𝐿 có thể được coi là tải trọng
phân bố 𝑝𝑥(𝑥) với quy luật:
𝑝𝑥(𝑥) = 𝑇 𝛿(𝑥− 𝜂𝐿)
Tải trọng 𝑃 tại tọa độ 𝑥 = 𝜉𝐿 có thể được coi là tải trọng
phân bố 𝑝𝑦(𝑥) với quy luật:
𝑝𝑦(𝑥) = 𝑃 𝛿(𝑥− 𝜉𝐿)
Tải trọng 𝑀 tại tọa độ 𝑥 = 𝛾𝐿 có thể được coi là giá trị giới
hạn của cộng tác dụng của hai tải trọng tập trung có giá trị
là −𝑃 đặt tại 𝑥 = 𝛾𝐿 và 𝑃 đặt tại 𝑥 = 𝛾𝐿+Δ𝑥 khi
Δ𝑥→ 0, trong đó 𝑃 = 𝑀
Δ𝑥
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
Nhắc lại kiến thức toán
Trong các công thức trên thì 𝛿(∙) là Dirac delta
Tính chất của Dirac delta
𝐿∫︁
0
𝑓(𝑥)𝛿(𝑥− 𝑎) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑎)
Phép toán giới hạn
lim
Δ𝑥→0
𝑓(𝑎+Δ𝑥)− 𝑓(𝑎)
Δ𝑥
= 𝑓 ′(𝑎)
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
Triển khai cụ thể, ta có thành phần thứ 1 của véc-tơ lực
nút tương đương như sau:
𝑅1 =
𝐿∫︁
0
𝑁1(𝑥) 𝑝𝑥(𝑥) 𝑑𝑥
=
𝐿∫︁
0
𝑁1(𝑥) 𝑇 𝛿(𝑥− 𝜂𝐿) 𝑑𝑥
= 𝑇
𝐿∫︁
0
𝑁1(𝑥)𝛿(𝑥− 𝜂𝐿) 𝑑𝑥
= 𝑇𝑁1(𝜂𝐿)
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
Triển khai cụ thể, ta có thành phần thứ 2 của véc-tơ lực
nút tương đương như sau:
𝑅2 =
𝐿∫︁
0
𝑁2(𝑥) 𝑃 𝛿(𝑥− 𝜉𝐿) 𝑑𝑥
+ lim
Δ𝑥→0
⎧⎨⎩𝑀Δ𝑥
𝐿∫︁
0
𝑁2(𝑥) 𝛿 [𝑥− (𝛾𝐿+Δ𝑥)] 𝑑𝑥
− 𝑀
Δ𝑥
𝐿∫︁
0
𝑁2(𝑥) 𝛿(𝑥− 𝛾𝐿) 𝑑𝑥
⎫⎬⎭
= 𝑁2(𝜉𝐿)𝑃 + lim
Δ𝑥→0
[︂
𝑁2(𝛾𝐿+Δ𝑥)−𝑁2(𝛾𝐿)
Δ𝑥
]︂
𝑀
= 𝑁2(𝜉𝐿)𝑃 +𝑁
′
2(𝛾𝐿)𝑀
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
Tương tự, ta có các thành phần khác ...
𝑅3 = 𝑃𝑁3(𝜉𝐿) +𝑀𝑁
′
3(𝛾𝐿)
𝑅4 = 𝑇𝑁4(𝜂𝐿)
𝑅5 = 𝑃𝑁5(𝜉𝐿) +𝑀𝑁
′
5(𝛾𝐿)
𝑅6 = 𝑃𝑁6(𝜉𝐿) +𝑀𝑁
′
6(𝛾𝐿)
Khi các tải tập trung tại giữa phần tử 𝜉 = 𝜂 = 𝛾 = 1/2:
𝑁1(𝐿/2) = 𝑁2(𝐿/2) = 𝑁4(𝐿/2) = 𝑁5(𝐿/2) =
1
2
𝑁3(𝐿/2) = −𝑁6(𝐿/2) = 𝐿
8
𝑁 ′2(𝐿/2) = −𝑁 ′5(𝐿/2) = −
3
2𝐿
𝑁 ′3(𝐿/2) = 𝑁
′
6(𝐿/2) = −
1
4
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
Như vậy, nếu 𝜉 = 𝜂 = 𝛾 = 1/2 thì: R =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
𝑇
2
𝑃
2
− 3𝑀
2𝐿
𝑃𝐿
8
− 𝑀
4
𝑇
2
𝑃
2
+
3𝑀
2𝐿
−𝑃𝐿
8
− 𝑀
4
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Các trường hợp phần tử khác ...
Thực hiện theo cách tương tự trên
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
NỘI DUNG CHÍNH
1 Véc-tơ lực nút tương đương
Khi tải trọng phân bố đều
Khi tải trọng có dạng lực tập trung
2 Ma trận khối lượng
Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học
Cách xác định
Phương trình cân bằng của phần tử
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học
𝑥
𝐿
𝑞4𝑞1 𝐸,𝐴, 𝐼, 𝜌
𝑞5
𝑞6
𝑞2
𝑞3
𝑦
𝑖 𝑗
Gọi 𝒯 là động năng của hệ và định nghĩa Lagrangian của
hệ ℒ như sau
ℒ = 𝒯 −Π𝑝
trong đó Π𝑝 là thế năng tổng cộng của hệ
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học
Nguyên lý Hamilton
Trong mọi cách chuyển động mà thỏa mãn các điều kiện biên
động học của hệ tại mọi thời điểm và bắt đầu cũng như kết
thúc với các giá trị chuyển vị thực, tại hai thời điểm 𝑡1 và 𝑡2 bất
kỳ tại mọi điểm của hệ, thì trạng thái chuyển động thực sự từ
thời điểm 𝑡1 đến thời điểm 𝑡2 của hệ là trạng thái mà làm cho
phiếm hàm 𝐼 đạt cực trị:⎛⎝𝐼 = 𝑡2∫︁
𝑡1
ℒ 𝑑𝑡
⎞⎠→ cực trị hay 𝛿𝐼 = 𝛿 𝑡2∫︁
𝑡1
ℒ 𝑑𝑡 = 0
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Phương trình Lagrange
Xuất phát với Nguyên lý Hamilton, có thể biến đổi về
phương trình Lagrange.
Gọi 𝑅𝑖 là các lực khái quát ứng với các tọa độ khái quát 𝑞𝑖
Động năng 𝒯 của hệ phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị
của hệ (thể hiện thông qua các tọa độ khái quát 𝑞𝑖) và
trạng thái vận tốc của hệ (thể hiện thông qua đạo hàm
theo thời gian ˙𝑖 của các tọa độ khái quát):
𝒯 = 𝒯 (𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑁 , ˙1, ˙2, . . . , ˙𝑁 , 𝑡)
Thế năng biến dạng 𝑈 của hệ phụ thuộc vào trạng thái
chuyển vị của hệ:
𝑈 = 𝑈(𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑁 , 𝑡)
Thế năng của các lực khái quát:
𝑉 = − (𝑅1𝑞1 +𝑅2𝑞2 + · · ·+𝑅𝑁𝑞𝑁 )
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Phương trình Lagrange
Từ các phương trình trên và biểu thức của Nguyên lý
Hamilton, giao hoán thứ tự phép tích phân và phép lấy
biến phân, ta có:
𝑡2∫︁
𝑡1
(︂
𝜕𝒯
𝜕𝑞1
𝛿𝑞1 +
𝜕𝒯
𝜕𝑞2
𝛿𝑞2 + · · ·+ 𝜕𝒯
𝜕𝑞𝑁
𝛿𝑞𝑁 +
𝜕𝒯
𝜕 ˙1
𝛿 ˙1
+
𝜕𝒯
𝜕 ˙2
𝛿 ˙2 + · · ·+ 𝜕𝒯
𝜕 ˙𝑁
𝛿 ˙𝑁 − 𝜕𝑈
𝜕𝑞1
𝛿𝑞1 − 𝜕𝑈
𝜕𝑞2
𝛿𝑞2 − · · ·
− 𝜕𝑈
𝜕𝑞𝑁
𝛿𝑞𝑁 +𝑅1𝛿𝑞1 +𝑅2𝛿𝑞2 + · · ·+𝑅𝑁𝛿𝑞𝑁
)︂
𝑑𝑡 = 0
Tích phân từng phần của số hạng sau
𝑡2∫︁
𝑡1
𝜕𝒯
𝜕 ˙𝑖
𝛿 ˙𝑖 𝑑𝑡 =
[︂
𝜕𝒯
𝜕 ˙𝑖
𝛿𝑞𝑖
]︂𝑡2
𝑡1
−
𝑡2∫︁
𝑡1
𝑑
𝑑𝑡
(︂
𝜕𝒯
𝜕 ˙𝑖
)︂
𝛿𝑞𝑖 𝑑𝑡
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Phương trình Lagrange
Số hạng đầu tiên của biểu thức tích phân từng phần có giá
trị bằng 0 vì 𝛿𝑞𝑖(𝑡1) = 𝛿𝑞𝑖(𝑡2) = 0 là điều kiện cơ bản ngay
khi phát biểu nguyên lý Hamilton.
Do đó:
𝑡2∫︁
𝑡1
(︃
𝑁∑︁
𝑖=1
[︂
− 𝑑
𝑑𝑡
(︂
𝜕𝒯
𝜕 ˙𝑖
)︂
+
𝜕𝒯
𝜕𝑞𝑖
− 𝜕𝑈
𝜕𝑞𝑖
+𝑅𝑖
]︂
𝛿𝑞𝑖
)︃
𝑑𝑡 = 0
Do biểu thức này phải đúng với mọi 𝛿𝑞𝑖 và mọi 𝑡1 ≤ 𝑡2,
nên:
𝑑
𝑑𝑡
(︂
𝜕𝒯
𝜕 ˙𝑖
)︂
− 𝜕𝒯
𝜕𝑞𝑖
+
𝜕𝑈
𝜕𝑞𝑖
= 𝑅𝑖
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Cách xác định
Động năng của phần tử
𝒯 = 1
2
∫︁
Ω
u˙𝑇 u˙𝜌 𝑑Ω
trong đó 𝜌 là khối lượng riêng của vật liệu, và u˙ là véc-tơ
vận tốc.
Do u = Nq, nên u˙ = Nq˙. Khi đó:
𝒯 = 1
2
q˙𝑇
⎛⎝∫︁
Ω
𝜌N𝑇N 𝑑Ω
⎞⎠
⏟ ⏞ 
M
q˙
Ma trận M được gọi là ma trận khối lượng.
Véc-tơ lực nút tương đương Ma trận khối lượng
Phương trình cân bằng của phần tử
Kết hợp với biểu thức của thế năng biến dạng
𝑈 =
(︀
q𝑇Kq
)︀
/2, từ các phương trình Lagrange ta có
Phương trình chuyển động không cản của phần tử:
Mq¨+Kq = R
trong đó M là ma trận khối lượng của phần tử.
Nhận xét: Khi hệ chuyển động với gia tốc nhỏ, số hạng Mq¨
không đáng kể, có thể bỏ qua, ta lại có phương trình quen
thuộc trong bài toán tĩnh
Kq = R