Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Bài 2: Cơ sở của phương pháp - Nguyễn Xuân Thành (Tiếp)

hả dĩ
Thế năng biến dạng bù khả dĩ
2 Các nguyên lý "khả dĩ"
Nguyên lý công khả dĩ
Nguyên lý công bù khả dĩ
Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng
Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng
3 Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Triển khai cụ thể
Ví dụ
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Giới thiệu
Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị
của vô hạn phân tố)
Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE)
thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể
PDE khó giải ... nên ...
Lược sử
Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài
toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham
số (một bậc tự do).
Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài
toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được
xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên
động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Giới thiệu
Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị
của vô hạn phân tố)
Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE)
thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể
PDE khó giải ... nên ...
Lược sử
Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài
toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham
số (một bậc tự do).
Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài
toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được
xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên
động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Giới thiệu
Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị
của vô hạn phân tố)
Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE)
thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể
PDE khó giải ... nên ...
Lược sử
Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài
toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham
số (một bậc tự do).
Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài
toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được
xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên
động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Giới thiệu
Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị
của vô hạn phân tố)
Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE)
thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể
PDE khó giải ... nên ...
Lược sử
Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài
toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham
số (một bậc tự do).
Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài
toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được
xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên
động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Giới thiệu
Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị
của vô hạn phân tố)
Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE)
thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể
PDE khó giải ... nên ...
Lược sử
Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài
toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham
số (một bậc tự do).
Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài
toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được
xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên
động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Giới thiệu
Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị
của vô hạn phân tố)
Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE)
thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể
PDE khó giải ... nên ...
Lược sử
Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài
toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham
số (một bậc tự do).
Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài
toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được
xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên
động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Phương pháp biến phân là phương pháp Rayleight-Ritz xác
định các tham số của một trường xấp xỉ để một phiếm hàm
của trường này đạt cực trị.
Sử dụng thế năng tổng cộng Π𝑝 làm phiếm hàm
Xét một vật thể đàn hồi có chuyển vị 𝑢, 𝑣 và 𝑤 tại một
phân tố tại tọa độ (𝑥, 𝑦, 𝑧) được biểu diễn gần đúng như
sau:
𝑢 =
𝑙∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑣 =
𝑚∑︁
𝑖=𝑙+1
𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑤 =
𝑛∑︁
𝑖=𝑚+1
𝑎𝑖𝑓𝑖
trong đó 𝑓𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) là các hàm cơ sở, được chọn trước
thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Phương pháp biến phân là phương pháp Rayleight-Ritz xác
định các tham số của một trường xấp xỉ để một phiếm hàm
của trường này đạt cực trị.
Sử dụng thế năng tổng cộng Π𝑝 làm phiếm hàm
Xét một vật thể đàn hồi có chuyển vị 𝑢, 𝑣 và 𝑤 tại một
phân tố tại tọa độ (𝑥, 𝑦, 𝑧) được biểu diễn gần đúng như
sau:
𝑢 =
𝑙∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑣 =
𝑚∑︁
𝑖=𝑙+1
𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑤 =
𝑛∑︁
𝑖=𝑚+1
𝑎𝑖𝑓𝑖
trong đó 𝑓𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) là các hàm cơ sở, được chọn trước
thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Phương pháp biến phân là phương pháp Rayleight-Ritz xác
định các tham số của một trường xấp xỉ để một phiếm hàm
của trường này đạt cực trị.
Sử dụng thế năng tổng cộng Π𝑝 làm phiếm hàm
Xét một vật thể đàn hồi có chuyển vị 𝑢, 𝑣 và 𝑤 tại một
phân tố tại tọa độ (𝑥, 𝑦, 𝑧) được biểu diễn gần đúng như
sau:
𝑢 =
𝑙∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑣 =
𝑚∑︁
𝑖=𝑙+1
𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑤 =
𝑛∑︁
𝑖=𝑚+1
𝑎𝑖𝑓𝑖
trong đó 𝑓𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) là các hàm cơ sở, được chọn trước
thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Như vậy, các chuyển vị thực của hệ 𝑢, 𝑣 và 𝑤 sẽ được xác
định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 𝑎𝑖.
Các 𝑎𝑖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái
quát), cần được xác định để phiếm hàm Π𝑝 đạt giá trị
dừng.
Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác
định thế năng biến dạng 𝑈 .
Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các
hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định:
Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)
Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái
cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương
trình:
𝜕Π𝑝
𝜕𝑎𝑖
= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Như vậy, các chuyển vị thực của hệ 𝑢, 𝑣 và 𝑤 sẽ được xác
định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 𝑎𝑖.
Các 𝑎𝑖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái
quát), cần được xác định để phiếm hàm Π𝑝 đạt giá trị
dừng.
Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác
định thế năng biến dạng 𝑈 .
Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các
hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định:
Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)
Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái
cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương
trình:
𝜕Π𝑝
𝜕𝑎𝑖
= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Như vậy, các chuyển vị thực của hệ 𝑢, 𝑣 và 𝑤 sẽ được xác
định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 𝑎𝑖.
Các 𝑎𝑖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái
quát), cần được xác định để phiếm hàm Π𝑝 đạt giá trị
dừng.
Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác
định thế năng biến dạng 𝑈 .
Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các
hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định:
Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)
Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái
cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương
trình:
𝜕Π𝑝
𝜕𝑎𝑖
= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Như vậy, các chuyển vị thực của hệ 𝑢, 𝑣 và 𝑤 sẽ được xác
định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 𝑎𝑖.
Các 𝑎𝑖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái
quát), cần được xác định để phiếm hàm Π𝑝 đạt giá trị
dừng.
Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác
định thế năng biến dạng 𝑈 .
Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các
hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định:
Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)
Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái
cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương
trình:
𝜕Π𝑝
𝜕𝑎𝑖
= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Nội dung phương pháp
Như vậy, các chuyển vị thực của hệ 𝑢, 𝑣 và 𝑤 sẽ được xác
định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 𝑎𝑖.
Các 𝑎𝑖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái
quát), cần được xác định để phiếm hàm Π𝑝 đạt giá trị
dừng.
Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác
định thế năng biến dạng 𝑈 .
Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các
hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định:
Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)
Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái
cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương
trình:
𝜕Π𝑝
𝜕𝑎𝑖
= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Trong thực tế, việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn
cho cả hệ thường được xuất phát từ việc xây dựng công
thức cho phần tử, với các bậc tự do khái quát là các chuyển
vị tại các nút q𝑖 của phần tử.
Chuyển vị u ở một điểm bên trong phần tử 𝑖 được biểu
diễn từ các chuyển vị tại nút q𝑖
u = Nq𝑖
trong đó N là ma trận các hàm dạng.
Biến dạng của phân tố:
ε =∇u = Bq𝑖 trong đó B =∇N
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Trong thực tế, việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn
cho cả hệ thường được xuất phát từ việc xây dựng công
thức cho phần tử, với các bậc tự do khái quát là các chuyển
vị tại các nút q𝑖 của phần tử.
Chuyển vị u ở một điểm bên trong phần tử 𝑖 được biểu
diễn từ các chuyển vị tại nút q𝑖
u = Nq𝑖
trong đó N là ma trận các hàm dạng.
Biến dạng của phân tố:
ε =∇u = Bq𝑖 trong đó B =∇N
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Trong thực tế, việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn
cho cả hệ thường được xuất phát từ việc xây dựng công
thức cho phần tử, với các bậc tự do khái quát là các chuyển
vị tại các nút q𝑖 của phần tử.
Chuyển vị u ở một điểm bên trong phần tử 𝑖 được biểu
diễn từ các chuyển vị tại nút q𝑖
u = Nq𝑖
trong đó N là ma trận các hàm dạng.
Biến dạng của phân tố:
ε =∇u = Bq𝑖 trong đó B =∇N
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng
𝑈0 =
ε∫︁
0
𝜎𝑇 𝑑ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích
phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích
phân*):
𝑈0 =
1
2
𝜎𝑇ε =
1
2
ε𝑇Eε
Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và
ứng suất ban đầu 𝜎0 thì:
𝜎 = E(ε− ε0) + 𝜎0
Dẫn đến:
𝑈 =
∫︁
𝑈0 𝑑Ω =
∫︁ (︂
1
2
ε𝑇Eε− ε𝑇Eε0 + ε𝑇𝜎0
)︂
𝑑Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng
𝑈0 =
ε∫︁
0
𝜎𝑇 𝑑ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích
phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích
phân*):
𝑈0 =
1
2
𝜎𝑇ε =
1
2
ε𝑇Eε
Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và
ứng suất ban đầu 𝜎0 thì:
𝜎 = E(ε− ε0) + 𝜎0
Dẫn đến:
𝑈 =
∫︁
𝑈0 𝑑Ω =
∫︁ (︂
1
2
ε𝑇Eε− ε𝑇Eε0 + ε𝑇𝜎0
)︂
𝑑Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng
𝑈0 =
ε∫︁
0
𝜎𝑇 𝑑ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích
phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích
phân*):
𝑈0 =
1
2
𝜎𝑇ε =
1
2
ε𝑇Eε
Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và
ứng suất ban đầu 𝜎0 thì:
𝜎 = E(ε− ε0) + 𝜎0
Dẫn đến:
𝑈 =
∫︁
𝑈0 𝑑Ω =
∫︁ (︂
1
2
ε𝑇Eε− ε𝑇Eε0 + ε𝑇𝜎0
)︂
𝑑Ω
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Cộng thế năng của ngoại lực vào thế năng biến dạng trên,
ta có:
Π𝑝 =
∫︁ (︂
1
2
ε𝑇Eε− ε𝑇Eε0 + ε𝑇𝜎0
)︂
𝑑Ω
−
∫︁
u𝑇 f 𝑑Ω−
∫︁
u𝑇 t 𝑑𝑆 − q𝑇P
Thay thế các u = Nq𝑖 và ε = Bq𝑖 ở trên vào, ta có:
Π𝑝 =
1
2
q𝑇𝑖 K𝑖q𝑖 − q𝑇𝑖 R𝑖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Cộng thế năng của ngoại lực vào thế năng biến dạng trên,
ta có:
Π𝑝 =
∫︁ (︂
1
2
ε𝑇Eε− ε𝑇Eε0 + ε𝑇𝜎0
)︂
𝑑Ω
−
∫︁
u𝑇 f 𝑑Ω−
∫︁
u𝑇 t 𝑑𝑆 − q𝑇P
Thay thế các u = Nq𝑖 và ε = Bq𝑖 ở trên vào, ta có:
Π𝑝 =
1
2
q𝑇𝑖 K𝑖q𝑖 − q𝑇𝑖 R𝑖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Trong công thức trên, K𝑖 và R𝑖 tương ứng là ma trận độ
cứng và véc-tơ lực tại nút của phần tử thứ 𝑖. Cụ thể:
K𝑖 =
∫︁
B𝑇EB 𝑑Ω
R𝑖 =
∫︁
B𝑇Eε0 𝑑Ω−
∫︁
B𝑇𝜎0 𝑑Ω
+
∫︁
N𝑇 f 𝑑Ω+
∫︁
N𝑇 t 𝑑𝑆 +P
Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng của phần tử 𝑖 cho
ta công thức để xác định các bậc tự do khái quát của phần
tử (là các chuyển vị nút q𝑖 của phần tử
*) sau:
𝜕Π𝑝
𝜕q𝑖
= 0 hay K𝑖q𝑖 = R𝑖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Triển khai cụ thể
Trong công thức trên, K𝑖 và R𝑖 tương ứng là ma trận độ
cứng và véc-tơ lực tại nút của phần tử thứ 𝑖. Cụ thể:
K𝑖 =
∫︁
B𝑇EB 𝑑Ω
R𝑖 =
∫︁
B𝑇Eε0 𝑑Ω−
∫︁
B𝑇𝜎0 𝑑Ω
+
∫︁
N𝑇 f 𝑑Ω+
∫︁
N𝑇 t 𝑑𝑆 +P
Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng của phần tử 𝑖 cho
ta công thức để xác định các bậc tự do khái quát của phần
tử (là các chuyển vị nút q𝑖 của phần tử
*) sau:
𝜕Π𝑝
𝜕q𝑖
= 0 hay K𝑖q𝑖 = R𝑖
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Phát biểu
Xét 1 thanh chịu lực dọc trục 𝑞 = 𝑐𝑥 như hình vẽ sau
𝑦
𝑥
𝐸,𝐴
𝑞 = 𝑐𝑥
𝐿
Hãy: (a) xác định chuyển vị dọc trục tại điểm có tọa độ 𝑥
và tại đầu tự do theo phương pháp biến phân; và (b) nếu
coi hệ trên chỉ có một phần tử, xác định ma trận độ cứng
và véc-tơ lực nút tương đương của phần tử đó.
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (a)
Gọi 𝑢(𝑥) là chuyển vị dọc trục tại phân tố có tọa độ 𝑥. Thế
năng tổng cộng của hệ là:
Π𝑝 =
𝐿∫︁
0
1
2
𝐸𝑢,2𝑥𝐴 𝑑𝑥−
𝐿∫︁
0
𝑢 𝑐𝑥 𝑑𝑥
Chọn các hàm cơ sở 𝑓𝑖 = 𝑥𝑖, khi đó:
𝑢(𝑥) =
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖𝑓𝑖 = 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 + · · ·+ 𝑎𝑛𝑥𝑛
Chú ý! Không có số hạng 𝑎0 (do điều kiện biên chuyển vị
yêu cầu 𝑢 phải bằng 0 tại 𝑥 = 0).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (a)
Gọi 𝑢(𝑥) là chuyển vị dọc trục tại phân tố có tọa độ 𝑥. Thế
năng tổng cộng của hệ là:
Π𝑝 =
𝐿∫︁
0
1
2
𝐸𝑢,2𝑥𝐴 𝑑𝑥−
𝐿∫︁
0
𝑢 𝑐𝑥 𝑑𝑥
Chọn các hàm cơ sở 𝑓𝑖 = 𝑥𝑖, khi đó:
𝑢(𝑥) =
𝑛∑︁
𝑖=1
𝑎𝑖𝑓𝑖 = 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 + · · ·+ 𝑎𝑛𝑥𝑛
Chú ý! Không có số hạng 𝑎0 (do điều kiện biên chuyển vị
yêu cầu 𝑢 phải bằng 0 tại 𝑥 = 0).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (a)
Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ,
tức 𝑢 = 𝑎1𝑥, thì từ biểu thức của Π𝑝 ở trên, ta có:
Π𝑝 =
𝐴𝐸𝐿
2
𝑎21 −
𝑐𝐿3
3
𝑎1
Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta:
𝑑Π𝑝
𝑑𝑎1
= 0 =⇒ 𝑎1 = 𝑐𝐿
2
3𝐴𝐸
Do vậy:
𝑢 =
𝑐𝐿2
3𝐴𝐸
𝑥 và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿
3
3𝐴𝐸
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (a)
Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ,
tức 𝑢 = 𝑎1𝑥, thì từ biểu thức của Π𝑝 ở trên, ta có:
Π𝑝 =
𝐴𝐸𝐿
2
𝑎21 −
𝑐𝐿3
3
𝑎1
Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta:
𝑑Π𝑝
𝑑𝑎1
= 0 =⇒ 𝑎1 = 𝑐𝐿
2
3𝐴𝐸
Do vậy:
𝑢 =
𝑐𝐿2
3𝐴𝐸
𝑥 và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿
3
3𝐴𝐸
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (a)
Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ,
tức 𝑢 = 𝑎1𝑥, thì từ biểu thức của Π𝑝 ở trên, ta có:
Π𝑝 =
𝐴𝐸𝐿
2
𝑎21 −
𝑐𝐿3
3
𝑎1
Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta:
𝑑Π𝑝
𝑑𝑎1
= 0 =⇒ 𝑎1 = 𝑐𝐿
2
3𝐴𝐸
Do vậy:
𝑢 =
𝑐𝐿2
3𝐴𝐸
𝑥 và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿
3
3𝐴𝐸
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (a)
Nếu ta chỉ sử dụng 2 số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ,
tức 𝑢 = 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2, thì sau khi thay vào biểu thức của Π𝑝
rồi lấy đạo hàm riêng phần theo 𝑎1 và 𝑎2, ta có:
𝐴𝐸𝐿
[︂
1 𝐿
𝐿 4𝐿2/3
]︂ [︂
𝑎1
𝑎2
]︂
=
𝑐𝐿3
12
[︂
4
3𝐿
]︂
hay [︂
𝑎1
𝑎2
]︂
=
𝑐𝐿
12𝐴𝐸
[︂
7𝐿
−3
]︂
Do vậy: 𝑢 =
𝑐𝐿
12𝐴𝐸
(7𝐿𝑥− 3𝑥2) và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿
3
3𝐴𝐸
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (a)
Nếu ta chỉ sử dụng 2 số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ,
tức 𝑢 = 𝑎1𝑥+ 𝑎2𝑥2, thì sau khi thay vào biểu thức của Π𝑝
rồi lấy đạo hàm riêng phần theo 𝑎1 và 𝑎2, ta có:
𝐴𝐸𝐿
[︂
1 𝐿
𝐿 4𝐿2/3
]︂ [︂
𝑎1
𝑎2
]︂
=
𝑐𝐿3
12
[︂
4
3𝐿
]︂
hay [︂
𝑎1
𝑎2
]︂
=
𝑐𝐿
12𝐴𝐸
[︂
7𝐿
−3
]︂
Do vậy: 𝑢 =
𝑐𝐿
12𝐴𝐸
(7𝐿𝑥− 3𝑥2) và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿
3
3𝐴𝐸
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (b)
Nếu coi cả thanh như một phần tử có chuyển vị dọc trục
tại đầu trái là 𝑞1 và tại đầu phải là 𝑞2.
𝑥
𝐸,𝐴𝑞1 𝑞2
𝑢(𝑥)
𝑥
𝐿
Khi đó, có thể biểu diễn 𝑢 = Nq (hồi sau sẽ rõ) với:
N =
[︁
1− 𝑥
𝐿
𝑥
𝐿
]︁
và q =
[︂
𝑞1
𝑞2
]︂
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (b)
Nếu coi cả thanh như một phần tử có chuyển vị dọc trục
tại đầu trái là 𝑞1 và tại đầu phải là 𝑞2.
𝑥
𝐸,𝐴𝑞1 𝑞2
𝑢(𝑥)
𝑥
𝐿
Khi đó, có thể biểu diễn 𝑢 = Nq (hồi sau sẽ rõ) với:
N =
[︁
1− 𝑥
𝐿
𝑥
𝐿
]︁
và q =
[︂
𝑞1
𝑞2
]︂
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (b)
Dễ thấy rằng*: B =
𝑑
𝑑𝑥
N =
[︀−1/𝐿 1/𝐿]︀
Bài toán kéo nén đơn: E = 𝐸, nên:
K =
𝐿∫︁
0
B𝑇𝐸B 𝐴𝑑𝑥 =
𝐴𝐸
𝐿
[︂
1 −1
−1 1
]︂
R =
𝐿∫︁
0
N𝑇 f 𝑑𝑥 =
[︂
𝑐𝐿2/6
𝑐𝐿2/3
]︂
Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1
cột 1 trong Kq = R), ta lại được 𝑞2 = 𝑐𝐿3/(3𝐴𝐸).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (b)
Dễ thấy rằng*: B =
𝑑
𝑑𝑥
N =
[︀−1/𝐿 1/𝐿]︀
Bài toán kéo nén đơn: E = 𝐸, nên:
K =
𝐿∫︁
0
B𝑇𝐸B 𝐴𝑑𝑥 =
𝐴𝐸
𝐿
[︂
1 −1
−1 1
]︂
R =
𝐿∫︁
0
N𝑇 f 𝑑𝑥 =
[︂
𝑐𝐿2/6
𝑐𝐿2/3
]︂
Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1
cột 1 trong Kq = R), ta lại được 𝑞2 = 𝑐𝐿3/(3𝐴𝐸).
Các khái niệm về "khả dĩ" Các nguyên lý "khả dĩ" Phương pháp biến phân
Ví dụ
Lời giải câu (b)
Dễ thấy rằng*: B =
𝑑
𝑑𝑥
N =
[︀−1/𝐿 1/𝐿]︀
Bài toán kéo nén đơn: E = 𝐸, nên:
K =
𝐿∫︁
0
B𝑇𝐸B 𝐴𝑑𝑥 =
𝐴𝐸
𝐿
[︂
1 −1
−1 1
]︂
R =
𝐿∫︁
0
N𝑇 f 𝑑𝑥 =
[︂
𝑐𝐿2/6
𝑐𝐿2/3
]︂
Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1
cột 1 trong Kq = R), ta lại được 𝑞2 = 𝑐𝐿3/(3𝐴𝐸).