Bài giảng Phương pháp số - Phan Thị Hà

=yi +r1k1(i) + r2k2(i) (6.18) 
 110 
Chương 6: Giải gần đúng các phương trình vi phân 
Trong đó 
 k1(i) = hf(xi, yi) 
 k2(i) = hf(xi +αh, yi +β k1(i)) (6.19) 
và chọn α, β, r1, r2 sao cho khai triển theo lũy thừa của h của yi+1 xác định bởi (6.18) trùng 
nhau đến 3 số hạng đầu của vế phải công thức (6.17). 
Dùng công thức Taylor của hàm hai biến, ta có: 
f(xi +αh, yi +β k1(i)) = f(xi,yi) + αhfx'(xi,yi) + β k1(i) fy'(xi,yi) + O(h2) = 
 = yi' + αhfx'(xi,yi) + β k1(i) fy'(xi,yi) + O(h2) 
Từ đây ta có 
 k1(i) = hf(xi, yi) = hyi' 
 k2(i) = hf(xi +αh, yi +β k1(i)) = 
 = h yi' + αh2 fx'(xi,yi) + β h2yi' fy'(xi,yi) + O(h3) 
Do đó (6.18) có thể viết dưới dạng 
yi+1 = yi + r1h yi' + r2[ h yi' + αh2 fx'(xi,yi) + β h2yi' fy'(xi,yi)] + O(h3) = 
=yi + r1h yi' + r2h yi' + α r2h2 fx'(xi,yi) + β r2 h2yi' fy'(xi,yi) + O(h3) = 
 =yi + (r1+ r2) h yi' + h2 (αr2fx'(xi,yi) + β r2 fy'(xi,yi) yi'] + O(h3) (6.20) 
So sánh các hệ số lũy thừa của h trong (6.17) và (6.20) ta có 
r1+ r2 = 1 
αr2 = β r2 = 1/2 
Đây là một hệ thống 3 phương trình, 4 ẩn số nên là một hệ vô định. Ta xét một vài họ 
nghiệm đơn giản 
(1) r1 = 0, r2 =1, α = β = 1/2. Khi đó (6.18) và (6.19) có dạng 
 y0 =y(x0) đã biết 
 k1(i) = hf(xi, yi) 
 k2(i) = hf(xi +h/2, yi + k1(i)/2) 
 yi+1 = yi +k2(i) i=0,1,...,n-1 (6.21) 
(2) r1 = r2 = 1/2 , α = β = 1. Khi đó (6.18) và (6.19) có dạng 
 y0 =y(x0) đã biết 
 k1(i) = hf(xi, yi) 
 k2(i) = hf(xi +h, yi + k1(i)) 
 yi+1 = yi +(1/2)( k1(i) + k2(i) ) i=0,1,...,n-1 (6.22) 
Khi thành lập các công thức (6.18) và (6.19) trên đây ta bỏ qua số hạng O(h3) trong khai 
triển Taylor. Ta có thể chứng minh được rằng sai số tại điểm xi thỏa mãn: 
 |yi -y(xi)| ≤ Mh2, trong đó M là hằng số dương không phụ thuộc h. 
Vậy các phương pháp Runge-Kutta trên đây có độ chính xác cấp hai. 
 111
Chương 6: Giải gần đúng các phương trình vi phân 
Hoàn toàn tương tự, nếu trong khai triển Taylor của y(xi+1) tại xi ta bỏ qua số hạng o(h4) 
thì sẽ nhận được công thức Runge-Kutta có độ chính xác cấp ba, nghĩa là 
|yi -y(xi)| ≤ Mh3, trong đó M là hằng số dương không phụ thuộc h. 
y0 =y(x0) đã biết 
k1(i) = hf(xi, yi) 
k2(i) = hf(xi +h/2, yi + k1(i)/2) 
k3(i) = hf(xi +h, yi -k1(i) + 2k2(i)) 
yi+1 = yi +(1/6)( k1(i) + 4k2(i) + k3(i)) i=0,1,...,n-1 (6.23) 
Nếu bỏ qua số hạng O(h5) thì ta nhận được công thức Runge-Kutta có độ chính xác cấp 4: 
y0 =y(x0) đã biết 
k1(i) = hf(xi, yi) 
k2(i) = hf(xi +h/2, yi + k1(i)/2) 
k3(i) = hf(xi +h/2, yi + k2(i)/2) 
k4(i) = hf(xi +h/2, yi + k3(i)) 
yi+1 = yi +(1/6)( k1(i) + 2k2(i) + 2k3(i) + k4(i)) i=0,1,...,n-1 (6.24) 
Trong các công thức Runge-Kutta nêu trên người ta thường dùng công thức (6.24) vì nó có 
độ chính xác cao mà lại không quá phức tạp. Trong thực tế việc xác định hằng số M trong đánh 
giá sai số của phương pháp Runge-Kutta khá phức tạp, do đó người ta thường xác định sai số 
bằng cách "tính 2 lần" như sau: 
Lần đầu tính bằng công thức (6.24) với bước h, nhận được là giá trị gần đúng của 
y(b) . Sau đó ta lại tính với bước h/2 nhận được 
)(h
ny
)
2
(
2
h
ny là giá trị gần đúng của y(b) và sai số được 
xác định bởi: 
| 
)
2
(
2
h
ny -y(b) | ≈ (1/15) | 
)
2
(
2
h
ny - | (6.25) 
)(h
ny
Ví dụ. 
Cho bài toán Cauchy như sau: 
y' =x + y, y(0) =1 
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge-Kutta (6.24) trên [0,0.5] với bước 
h=0.1 
Giải: Ta có xi = 0.1i; i = 0,1,2,3,4,5 
y0 =1 
k1(0) = 0.1(0+1)=0.1 
k2(0) = 0.1(0+0.05) +(1+0.05)]=0.11 
k3(0) = 0.1(0+0.05) + (1 + 0.055)] = 0.1105 
k4(0) = 0.1(0+0.1) + (1 + 0.1105)] = 0.12105 
 112 
Chương 6: Giải gần đúng các phương trình vi phân 
Từ đó 
y1 =1+ 
6
1 (0.1+2*0.11 +2*0.1105+0.12105) = 1.1103 
Tương tự ta có thể tính y2, y3,y4 và y5. 
Ta có thể thấy rằng y(0.5) ≈ y5 =1.7974 
Nghiệm đúng của bài toán Cauchy đã cho là y=2ex - x -1 
từ đó: 
y(0.5) = 2 e0.5 -0.5 -1 = 1.79744 
Như vậy kết quả nhận được dúng đến 4 số lẻ thập phân. 
Các phương pháp Runge - Kutta nêu trên đều có thể áp dụng cho hệ phương trình vi phân 
cấp một. 
Bạn đọc có thể tự viết chương trình theo công thức (6.24) và thử in ra các kết quả trên đây. 
6.5. BÀI TẬP 
Bài 1. Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler 
 y' = 
2
xy ; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,1 
Bài 2. Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler 
 y' = x2 + y2 ; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,2 
Bài 3. Giải phương trình sau bằng phương pháp Runge-Kutta: 
y' = y-2x/y ; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,2 
Bài 4. Giải bài toán sau bằng phương pháp Euler cải tiến và so sánh kết quả với nghiệm đúng: 
y' = x2+y2; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,2 
Bài 5. Thử lại hoặc viết mới các chương trình cài đặt các thuật toán Euler rồi chạy thử để kiểm 
tra các kết quả trên đây. 
 113
Chương 6: Giải gần đúng các phương trình vi phân 
TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG 6 
Trong chương này chúng ta cần chú ý nhất là các vấn đề sau: 
1. Bài toán Cauchy 
Tìm hàm y=y(x) thỏa mãn: 
 y'(x) = f(x,y) x∈ [a,b], x0 = a (6.1) 
 y(x0) =y0 (6.1b) 
Điều kiện (6.1b) được gọi là điều kiện ban đầu hay điều kiện Cauchy. 
2. Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy 
a.Phương pháp EULER 
b.Phương pháp EULER cải tiến 
c. Phương pháp EULER-CAUCHY 
d.Phương pháp RUNGE-KUTTA 
 114 
Hướng dẫn trả lời 
HƯỚNG DẪN TRẢ LỜI 
CHƯƠNG 1 
1. Khi đo 1 số góc ta được các giá trị sau: 
 a= 21o37’3” ; b=1o10’ 
 Sai số tương đối của các số xấp xỉ đó là 
 δ a = 0,13.10 –4 ; δ b = 0,28.10-3
2. Sai số tuyệt đối của các số xấp là : 
 ∆ a = 0,13.102 ; ∆ b = 0,16.10-1
3. Số các chữ số đáng tin trong các số a,b là: 
 a) 2 ; b) 4 
4. Số những chữ số đáng tin trong các số a là: 
 a) 3 ; b) 1 
 Các số qui tròn với 3 chữ số có nghĩa đáng tin, sai số tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ 
của chúng là: 
a) 2,15 ∆ = -0,14.10-2 ; δ = 0,65.10-3
b) 0,162 ∆ = 0,48.10-3 ; δ = 0,3.10-2 
c) 0,0120 ∆ = 0,4.10- 4 ; δ = 0,33.10-2 
d) –0,00153 ∆ = 0,19.10 - 5 ; δ = 125.10-26. 
5. Giá trị của các hàm số, sai số tuyệt đối và sai số tương : 
 a) u = 0,81 ∆u = 0,27.10-2 ; δ u = 0,33.10-2
 b) u = 3,665 ∆ u = 0,7.10-2 ; δ u = 0,20.10-2
CHƯƠNG 2 
1. Tính và kiểm tra bằng chương trình định thức của ma trận 
+ Dựa vào thuật toán Gauss đã được mô tả bằng ngôn ngữ lập trình C để hoàn thiện 
chương trình để tính định thức. 
+Det A=52 
2. Tìm và kiểm tra bằng chương trình nghịch đảo của ma trận 
+ Ma trận nghịch đảo là: 
 115
Hướng dẫn trả lời 
A-1 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
796
111
564
+ Dựa vào thuật toán khử Gauss-Jordan đã được mô tả bằng ngôn ngữ lập trình C để 
hoàn thiện chương trình tìm ma trận nghịch đảo. 
3. Nghiệm của hệ phương trình là: 
 x1=1;x2=2;x3=3 
4. Giải bằng các phương pháp khử Gauss, khử Gauss-Jordan, phương lặp Jacobi và lặp 
Gauss-Seidel (nếu thỏa mãn điều kiện) : 
+ Phương pháp Gauss x=(-2,09;3,977;1,451;-2,401) 
+ Phương pháp Gauss-Jordan x=(-2,057;3,976;1,451;-2,401) 
+Hệ phương trình đã cho không thoả mãn tính chất đường chéo trội 
+ Phần viết chương trình: Xem phần đoạn chương trình chính thể hiện thuật toán 
Gauss - Seidel để hoàn thiện chương trình với dữ liệu cụ thể trong bài toán. 
5. Giải bằng các phương pháp lặp hệ phương trình sau: 
+Phương pháp lặp jacobi qua 3 bước lặp; x(3)≈(1,01;-2,008;3,045) 
+Phương pháp lặ Gauss Seidel qua 3 bước lặ; x(3)≈(1;-2;3) 
CHƯƠNG 3 
1. Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút 3,50 là: 
p 3 (x) | x = 3,50 + 0,05t 
= 33,115 + 1,698 t + 0,0435 t ( t – 1 ) + 0,00083 t ( t - 1)(t - 2) 
2. Tích phân xác xuất 
 Φ ( 1,43 ) ≈ 0,95686 
3. Cho hàm số y = ex tại x = 0,65 + 0,1i i=0,1,...,5 tuần tự là 1,91554; 2,11700; 2,33965; 
2,58571; 2,85765; 3,15819. Tính ln2. 
 Ln 2 = 0,693148 
4. Công thức y biểu diễn qua x là: 
 y = 5,045 - 4,043x + 1,009 x 2 
5. Xác định gía trị của sai số khi x = 12030'. 
R(12030’) ≈9,094.10-10 
6. Các đa thức xấp xỉ có dạng tương ứng là: 
Y=6,373+0,471x 
Y=6,36+0,468x+0,0001786x2
Y=2,15x1,31
 116 
Hướng dẫn trả lời 
CHƯƠNG 4 
(Gợi ý) 
5. Tìm 1 khoảng phân ly nghiệm bất bỳ thoả mãn phương trình. Ví dụ[0,Π/2] 
- Tìm hàm Ψ(x)=1/2sinx+0,25 
- Xét đạo hàm Ψ’(x). Nếu Ψ’(x)<1 thì thực hiện quá trình lặp theo thuật toán xn=Ψ(xn-
1), với x0=0 qua 4 lần lặp ta sẽ tìm được x1,x2,x3,x4 
6. Tìm 1 khoảng phân ly nghiệm bất bỳ thoả mãn phương trình. Ví dụ[1,2] 
Áp dụng phương pháp chia đôi ta có bảng giá trị xn=(an+bn )/2 và các khoảng phân ly mới 
[an,bn] tương ứng qua các bước lặp sau: 
N an 
bn Xn=(an+bn)/2 f(xn) 
0 
1 
2 
3 
4 
1 
1 
1.25 
1.25 
1.3125 
2 
1.5 
1.5 
1.375 
1.375 
1.5 
1.25 
1.375 
1.3125 
1.34375 
0.875 
-0.29 
0.22 
-0.05 
0.08 
 ⇒ x4 ≈ 1.34375 
sai số: ⏐x4-α⏐ ≤ ⏐(b0-a0)⏐/25=1/25=0.03125. 
7. Tìm 1 khoảng phân ly nghiệm bất kỳ thoả mãn phương trình. Ví dụ[1,2] 
f’(x)=3x2-1 ⇒ ⏐f’(x)⏐∈[2,11] = [m,M] 
áp dụng phương pháp dây cung ta có bảng giá trị 
xn=(anf(bn)+bnf(an)/(f(bn)-f(an)) và các khoảng phân ly mới [an,bn] tương ứng qua các 
bước lặp sau: 
n an
bn
xn=anf(bn)-bnf(an)/f(bn)-f(an) f(xn) 
0 
1 
2 
3 
4 
1 
1.1667 
1.25313 
1.29395 
1.31129 
2 
2 
2 
2 
2 
1.1667 
1.25313 
1.29345 
1.31129 
1.31889 
-0.57 
-0.285 
-0.1295 
-0.06 
-0.02 
⇒ x4 ≈ 1.31899 
 117
Hướng dẫn trả lời 
sai số 
⏐x4-α⏐≤ ((M-m)/m)*⏐x4-x3⏐ 
⏐x4-α⏐≤ ((11-2)/2)*⏐1.31899-1.31129⏐=0.03465. 
8. Để tính 5 bằng phương pháp chia đôi thì ta phải đưa về giải gần đúng phương trình 
f(x)=x2-5=0 (1) trên khoảng [2,3] 
áp dụng phương pháp chia đôi ta có bảng giá trị xn=(an+bn )/2 và các khoảng phân ly 
mới [an,bn] tương ứng qua các bước lặp sau 
N an bn xn=(an+bn)/2 f(xn) 
0 
1 
2 
3 
4 
2 
2 
2.25 
2.25 
2.25 
3 
2.5 
2.5 
2.375 
2.3125 
2.5 
2.25 
2.375 
2.3125 
2.28125 
1.25 
0.06 
0.64 
0.34 
0.204 
⇒ x≈x4=2.28125 
⏐x4- 5 ⏐≤ (b0-a0)/25=1/32=0.03125 
CHƯƠNG 5 
1. Cho hàm số y = logx với số các giá trị tại x = 50; 55; 60; 65 tuần tự là 1,6990; 
1,7404;1,7782; 1,8129. Hãy tính đạo hàm của y tại x = 50 và so sánh với kết quả 
trực tiếp: 
Dùng nội suy : y ‘( 50 ) = 0,0087 
 Tính trực tiếp : y’ ( 50 ) = 0,43429/ x |x =5 0 = 0,0087 
2. Cho tích phân 
 I = ∫1
0 x
dx
+1 
 a) 
 b) I = 0,69315 ±0,00002 
3. Cho tích phân 
 I = ∫1
0 x
xsin dx 
 118 
Hướng dẫn trả lời 
a) n> = 10 
b)Với n = 10 thì sai số < 1,2.10 –7 
c)Theo công thức hình thang : I = 0,9458 
 Theo công thức Simson ta có : I = 0,94608 
CHƯƠNG 6 
1. Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler 
 y' = 
2
xy ; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,1 
Áp dụng công thức Euler (6.7) ta có bảng giá trị sau: 
I xi yi
0 0 1 
1 0,1 1 
2 0,2 1,005 
3 0,3 1,0105 
4 0,4 1,030275 
5 0,5 1,05088 
6 0,6 1,07715 
7 0,7 1,109468 
8 0,8 1,148299 
9 0,9 1,194231 
10 1 1,2479715
2. Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler 
 y' = x2 + y2 ; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,2 
Áp dụng công thức Euler (6.7) ta có bảng giá trị sau: 
i xi yi
0 0 1 
1 0,2 1,2 
2 0,4 1,496 
3 0,6 1,9756 
4 0,8 2,8282 
5 1 4,5559 
 119
Hướng dẫn trả lời 
3. Giải phương trình sau bằng phương pháp Runge-Kutta: 
y' = y-2x/y ; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,2 
+ Sử dụng công thức Runge-Kutta có độ chính xác cấp 4 ta có bảng giá trị: 
i xi yi
0 0,0 1 
1 0,2 1,1832292
2 0,4 1,3416668
3 0,6 1,4832847
4 0,8 1,6124665
5 1 1,7320713
4. Giải bài toán sau bằng phương pháp Euler cải tiến và so sánh kết quả với nghiệm đúng: 
y' = y - 
y
x2 ; x∈ [0,1], y(0) =1; h=0,2. 
Gợi ý: Áp dụng công thức Euler cải tiến (6.13) để tìm nghiệm xi=xi-1+h với x0=0, 
sau đó mới so sánh với nghiệm đúng tại các điểm y(0,2), y(0,4), y(0,6), y(0,8), y(1) 
 120 
Mục lục Tµi liÖu tham kh¶o 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Dương Thùy Vỹ, Phương pháp tính, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2001 
2. Đinh Văn Phong, Phương pháp số trong cơ học, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 1999 
3. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2000. 
4. Phạm Kỳ Anh , Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 1966. 
5. Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường, Giải tích số, thuật toán, chương trình Pascal, 
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 
6. Szidarovszky Ferenc, Nhập môn phương pháp số (tiếng Hung), Kozgazdasági és Jogi 
Konyvkiado, Budapest 1974. 
7. Tạ Văn Đỉnh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản Giáo dục – 1995 
8. Trần Văn Minh, Phương pháp số và chương trình bằng Turbo Pascal, Nhà xuất bản 
Khoa học và Kỹ thuật, 1998. 
9. Phan Đăng Cầu-Phan Thị Hà, Phương pháp số, Học viện CNBCVT,2002 
 121
Hướng dẫn trả lời Môc lôc 
MỤC LỤC 
Giíi thiÖu m«n häc...............................................................................................................3 
I. Giíi thiÖu chung.....................................................................................................................3 
II. Môc ®Ých ...............................................................................................................................3 
III. Ph¹m vi nghiªn cøu .............................................................................................................3 
IV. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu .....................................................................................................4 
Ch−¬ng 1 - Sè xÊp xØ vµ sai sè..........................................................................................5 
Môc ®Ých, yªu cÇu .....................................................................................................................5 
1.1. Tæng quan vÒ ph−¬ng ph¸p sè ............................................................................................5 
1.2. Sai sè tuyÖt ®èi vµ sai sè t−¬ng ®èi.....................................................................................6 
1.3. C¸ch viÕt sè xÊp xØ..............................................................................................................7 
1.4. C¸c quy t¾c tÝnh sai sè ........................................................................................................8 
1.5. Sai sè tÝnh to¸n vµ sai sè ph−¬ng ph¸p ...............................................................................10 
1.6. Sù æn ®Þnh cña mét qu¸ tr×nh tÝnh to¸n...............................................................................11 
1.7. Mét vµi ®iÒu vÒ mèi quan hÖ gi÷a thùc tÕ vµ m« h×nh........................................................11 
Ch−¬ng 2 - C¸c ph−¬ng ph¸p sè trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh ................................13 
Môc ®Ých yªu cÇu ......................................................................................................................13 
2.1. Ma trËn vµ ®Þnh thøc...........................................................................................................13 
2.2. HÖ ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh ......................................................................................17 
2.3. Bµi tËp.................................................................................................................................38 
Tãm t¾t néi dung ch−¬ng 2........................................................................................................40 
Ch−¬ng 3 - PhÐp néi suy vµ håi quy..............................................................................42 
Môc ®Ých yªu cÇu ......................................................................................................................42 
3.1. Më ®Çu................................................................................................................................42 
3.2. Néi suy ®a thøc...................................................................................................................44 
3.3. Khíp ®−êng cong - Néi suy Spline.....................................................................................59 
3.4. Ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng cùc tiÓu.....................................................................................60 
3.5. Bµi tËp.................................................................................................................................65 
Tãm t¾t néi dung ch−¬ng 3........................................................................................................66 
 122 
Mục lục 
Ch−¬ng 4 - TÝnh gÇn ®óng nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn ..................68 
Môc ®Ých yªu cÇu ......................................................................................................................68 
4.1. NghiÖm vµ kho¶ng ph©n ly nghiÖm....................................................................................68 
4.2. Mét sè ph−¬ng ph¸p lÆp gi¶i ph−¬ng tr×nh.........................................................................71 
4.3. Bµi tËp.................................................................................................................................86 
Tãm t¾t néi dung ch−¬ng 4........................................................................................................87 
Ch−¬ng 5 - TÝnh gÇn ®óng ®¹o hµm vµ tÝch ph©n x¸c ®Þnh ............................89 
Môc ®Ých yªu cÇu ......................................................................................................................89 
5.1. TÝnh ®¹o hµm......................................................................................................................89 
5.2. TÝnh gÇn ®óng tÝch ph©n x¸c ®Þnh ......................................................................................91 
5.3. Bµi tËp.................................................................................................................................97 
Tãm t¾t néi dung ch−¬ng 5........................................................................................................98 
Ch−¬ng 6 - Gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh vi ph©n...................................................99 
Môc ®Ých yªu cÇu ......................................................................................................................99 
6.1. Më ®Çu................................................................................................................................99 
6.2. Ph−¬ng ph¸p Euler............................................................................................................100 
6.3. Ph−¬ng ph¸p Euler c¶i tiÕn ...............................................................................................106 
6.4. Ph−¬ng ph¸p Euler - Cauchy ............................................................................................108 
6.5. Ph−¬ng ph¸p Runge - Kutta..............................................................................................110 
6.6. Bµi tËp...............................................................................................................................113 
Tãm t¾t néi dung ch−¬ng 6......................................................................................................114 
H−íng dÉn tr¶ lêi..............................................................................................................115 
Ch−¬ng 1 .................................................................................................................................115 
Ch−¬ng 2 .................................................................................................................................115 
Ch−¬ng 3 .................................................................................................................................116 
Ch−¬ng 4 .................................................................................................................................117 
Ch−¬ng 5 .................................................................................................................................118 
Ch−¬ng 6 .................................................................................................................................119 
Tµi liÖu tham kh¶o ............................................................................................................121 
 123