Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 2: Lý thuyết nội lực - Trường Đại học Bách khoa TP.HCM

Chương 2
LÝ THUYẾT NỘI LỰC
(INTERNAL FORCES)
TS. Lương Văn Hải
Khoa Kỹ thuật Xây dựng
Đại học Bách khoa Tp HCM.
Email: luongvanhai@gmail.com
Điện thoại: 0944 282 090
Cập nhập: 29 August 2014 
NỘI DUNG
I. Khái niệm
• Nội lực
• Phương pháp mặt cắt
Ứ ất• ng su
II. Các thành phần nội lực
à á ẳIII. B i to n ph ng
IV. Biểu đồ nội lực
V. Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng
VI. Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực
• Phương pháp vẽ từng điểm
• Phương pháp cộng tác dụng
VII. Biểu đồ nội lực khung phẳng
I. KHÁI NIỆM
Nội lực
•Vật thể thực có biến dạng khi chịu tác dụng của 
nguyên nhân ngoài. Các phân tử vật chất di 
chuyển tương đối, lực liên kết giữa chúng thay đổi.
•Định nghĩa: Sự thay đổi lực tương tác giữa các 
hâ tử t ật thể đ i là ội lựp n rong v ược gọ n c
I. KHÁI NIỆM
Phương pháp mặt cắt 
I. KHÁI NIỆM
Phương pháp mặt cắt 
P1P1 P4
PB
A
P2
P
CB B'P2
P3
P5
P6
Vectơ nội lực tác dụng trên A P

3
Ứng suất trung bình trên Atb
Pp 

P
Ứ
A
A
limp
0A   ng suất toàn phần tại C
I. KHÁI NIỆM
Các thành phần ứng suất 
p
2 2 2 p  
Ứng suất toàn phần p thường được phân làm 2 
thành phần: 
• Ứng suất pháp  có phương là pháp tuyến của 
mặt phẳng 
• Ứng suất tiếp  nằm trong mặt phẳng  
NỘI DUNG
I. Khái niệm
• Nội lực
• Phương pháp mặt cắt
Ứ ất• ng su
II. Các thành phần nội lực
à á ẳIII. B i to n ph ng
IV. Biểu đồ nội lực
V. Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng
VI. Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực
• Phương pháp vẽ từng điểm
• Phương pháp cộng tác dụng
VII. Biểu đồ nội lực khung phẳng
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC
Các thành phần nội lực tổng quát 
R
P1P1
B
P2PBP2 C
P3AP3
Hợp các thành phần nội lực trên toàn mặt cắt A 
được lực R
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC
Các thành phần nội lực tổng quát 
RP1 RP1
M
B
P2
B
P2
x
zO
P3 P3 y
Tại trọng tâm O của mặt cắt, gắn hệ trục tọa độ 
vuông góc Oxyz
Dời R về trọng tâm được lực R và momen M
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC
Sáu thành phần nội lực tổng quát 
Nz Lực dọc
R Qx Lực cắt
Q Lực cắtY 
Dời lực R về O
M Momen uốn
M
x 
MY Momen uốn
Mz Momen xoắn
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC
Các thành phần nội lực tổng quát 
RP1 RP1
B
P2
B M
x
z
P2
P3 yP3
Qx
x
z
P1
P
MxMz
x
z
P1
P+B
Qy
Nz
2
P3
B2
P3 My
y y
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC
Sáu thành phần nội lực tổng quát
y
Qy
M
z
Mz O
N
x
z
Qx
My
x
Nz: lực dọc theo phương trục z
Qx Qy: lực cắt theo phương trục x và y, 
Mx, My: momen uốn trong mặt phẳng vuông 
góc trục x và y
Mz: momen xoắn trong mặt phẳng vuông 
góc trục thanh z
II. CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC
Cách xác định thành phần nội lực
Qx
xP1
MxMz
x
z
P1RP1
P
B
Qy
Nz
zP2
P
BP2
P3 My
+B
P
2
y
3
y
3
Dù á hươ t ì h â bằ tĩ h h
 Nz M/Ox  Mx
ng c c p ng r n c n ng n ọc:
Y  Qy

M/Oy  My
X  Qx M/Oz  Mz
NỘI DUNG
I. Khái niệm
• Nội lực
• Phương pháp mặt cắt
Ứ ất• ng su
II. Các thành phần nội lực
à á ẳIII. B i to n ph ng
IV. Biểu đồ nội lực
V. Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng
VI. Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực
• Phương pháp vẽ từng điểm
• Phương pháp cộng tác dụng
VII. Biểu đồ nội lực khung phẳng
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Các thành phần nội lực bài toán phẳng
Ngoại lực nằm trong một mặt phẳng (Oyz) và chỉ 
ằcó ba thành phần nội lực Nz , Qy , Mx n m 
trong mp Oyz
P1 P4Mx > 0 Qy > 0
y
B
OP2 z B'
P5
z
O
Nz > 0
Nz > 0
P3
y y
P6Qy > 0
Mx > 0
Phần bên trái Phần bên phải
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Các thành phần nội lực bài toán phẳng
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Qui ước dấu
P
P1 P4
P
Mx > 0
Nz > 0
N 0
Qy > 0
y
B
O
P
2 z B'
5
P
z
O
Qy > 0
z > 
Mx > 0
Nz > 0: khi gây kéo phần đang xét
3
y y
6
Qy > 0: xoay Nz > 0 một góc 900 cùng chiều kim 
đồng hồ hay làm cho phần đang xét quay thuận 
chiều kim đồng hồ
Mx > 0: khi gây căng thớ dưới (thớ có trục y>0)
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Cách xác định các thành phần nội lực
P
P1 P4
P
Mx > 0
Nz > 0
N 0
Qy > 0
y
B
O
P
2 z B'
5
P
z
O
Qy > 0
z > 
Mx > 0
Xét cân bằng phần trái (B) hay phải (B'), với các
3
y y
6
phương trình cân bằng tĩnh học:
 Z = 0  Nz  Y = 0  Qy M/O = 0  Mx
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Ví dụ 3.1 Tính nội lực tại mặt cắt đi qua C
270 N/m
A BC3m 6m

Xét cân bằng của mặt cắt 
180 N/m 540 N
NZ
QY
bên phải (đoạn BC)
Z = 0  N 0 BC
6m

MX 2mY = 0  Qy = 540 N
 z = 
M/C = 0  Mx = -1080 Nm
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Ví dụ 3.2 Tính nội lực tại mặt cắt đi qua C
Tính các phản lực 
Y = 0  Ay+ By - 120 - 225=0
M/B = 0  Ay = -18,75 N
 By = 363,75 N
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Ví dụ 3.2 Tính nội lực tại mặt cắt đi qua C
Tính các nội lực 
Z = 0  NC = 0
Y = 0  VC = -58,75 N
M/C = 0  MC = -5,6875 Nm
III. BÀI TOÁN PHẲNG
Ví dụ 3.3 Tính nội lực tại mặt cắt 1-1, cho 
biết: P=4qa, =300
M 2 2
q P = qa
kA
1 5
B
HA
1
1

, a
a aVA VB
Các phản lực
  H P cos 2 3qa
Các nội lực
 qaQN 0A
 11V qa B 1V qa
y 4z
 217M qa
A 4 4 x 8
NỘI DUNG
I. Khái niệm
• Nội lực
• Phương pháp mặt cắt
Ứ ất• ng su
II. Các thành phần nội lực
à á ẳIII. B i to n ph ng
IV. Biểu đồ nội lực
V. Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng
VI. Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực
• Phương pháp vẽ từng điểm
• Phương pháp cộng tác dụng
VII. Biểu đồ nội lực khung phẳng
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Định nghĩa & ứng dụng
• Định nghĩa: Biểu đồ nội lực (BĐNL) là đồ thị 
ễbiểu di n sự biến thiên của các nội lực theo vị trí 
của các mặt cắt ngang
• Ứng dụng: 
+ Xác định trị số nội lực lớn nhất và vị trí 
mặt cắt ngang có nội lực này (mặt cắt ngang 
nguy hiểm)
Xá đị h t ị ố ội lự t i ặt ắt+ c n r s n c ạ m c ngang 
bất kỳ 
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Vẽ BĐNL bằng phương pháp giải tích
1. Tính nội lực trên mặt cắt ngang tại vị trí bất kỳ 
ó h à h độ ới ố t độ đượ h t ước o n z so v g c ọa c c ọn r c
2. Mặt cắt ngang chia thanh làm 2 phần. Xét cân 
bằng của phần trái hay phải và viết biểu thức 
giải tích của nội lực theo z
3. Vẽ đường biểu diễn trên hệ trục toạ độ có trục 
hoành song song với trục thanh (còn gọi là 
đường chuẩn), tung độ của biểu đồ nội lực sẽ 
được diễn tả bởi các đoạn thẳng vuông góc các 
đường chuẩn
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
PVí dụ 4.1 Vẽ BĐNL dầm consol
B
LA
Xét mặt cắt ngang 1-1 có 1P
hoành độ z so với gốc A, 
ta có ( 0  z  L )
z
1
K M
N
Q
A
Xét cân bằng phần trái: N
 Z=0  N =0
 Y=0 Q+P 0 Q P
z
P
Qy =  y =- 
 M/O1=0  Mx + P.z =0 zMx
PL
 Mx = -P.z 
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Ví dụ 4.2 Vẽ BĐNL dầm đơn giản chịu lực 
phân bố đều q
B
q
A
H
Tính các phản lực
 Z=0  HA =0
A
VA VB
L
 Y=0  VA=VB=qL/2 (đối xứng)
1 q
K
B
A
HA = 0
Xét mặt cắt ngang 1-1 có 
hoành độ z so với gốc A
1
VA = qL/2 VB = qL/2
L
z
 , 
ta có ( 0  z  L )
Xét cân bằng phần trái:
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
1 q
1
K
B
A
HA = 0
z
 Z=0  Nz =0 Y=0  Qy =qL/2 - qz M/O 0
VA = qL/2 VB = qL/2
L1= 
Mx=qLz/2 – q.z.z/2 
Cho z biến thiên từ 0 đến 
L ta sẽ được BĐNL
z
q 1
Mx
VA = qL/2 Qy
Nzz
1Nhận xét
y
• Tải trọng q phân bố đều
• Q là hàm bậc nhất theo zy 
• Mx là hàm bậc hai theo z 
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Nz =0 và Qy =qL/2 - qz
q
Mx=qLz/2 – q.z.z/2 
B
A
HA
Khi z=0  Qy = qL/2 , Mx = 0
Khi z L Q = qL/2 M 0
VA VB
L
 =  y - , x = 
Tìm Mx cực trị: cho đạo hàm Nz+qL
dMx/dz = 0: -
Qy
2 qL
2L / 2
2qL / 8 qL qz 0
2
suy ra  Lz
2
2qL MxmaxxM 8
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Ví dụ 4.3 Vẽ BĐNL dầm đơn giản AB
Tính các phản lực q
P=qL
Mo=qL2
A B Z=0  HA =0
Y=0 & M=0  LL
CHA =0
VA=VB=3qL/4 (ngược chiều)
â ì í ê ủ á à
VA = 3qL/4 VB = 3qL/4
Ph n đoạn thanh: V t nh li n tục c a c c h m 
số giải tích biểu diễn các nội lực nên phải tính 
nội lực trong từng đoạn của thanh; i.e. trong 
mỗi đoạn phải không có sự thay đổi đột ngột 
của ngoại lực. Chia thành 2 đoạn AC và CB.
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Đoạn AC: Xét mặt cắt
P=qL
M L21 
ngang 1-1 có hoành độ z 
q o=q
A B
C1so với gốc A ( 0  z  L ) LL
VA = 3qL/4 VB = 3qL/4Xét cân bằng phần bên trái
1 Qyq
A
ZN 0
Nz
Mx1z   y A 3qLQ V qz qz4
VA = 3qL/4
   
2
x A
z 3qL zM V z qz z q
2 4 2
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Đoạn CB: Xét mặt cắt
P=qL
M L2 2 
ngang 2-2 có hoành độ z 
q o=q
A B
C 2so với gốc A ( L  z  2L )
Xét cân bằng phần bên phải
LL
VA = 3qL/4 VB = 3qL/4 
ZN 0
2Qy
 y B 3qLQ V 4 2L -z
Nz
M
B
    x B 3qLM V (2L z) (2L z)4
VB =3qL/4
x
2
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Nhận xét (1) P=qL
M L2
• Nơi nào có lực tập trung, 
biểu đồ lực cắt nơi đó có
q o=q
A B
C 
bước nhảy. 
LL
VA = 3qL/4 VB = 3qL/4
• Trị số của bước nhảy bằng 
trị số lực tập trung
3
NZ
 .
• Nếu vẽ từ trái sang phải 
qL1 Qy
qL
4
3 qL
4
thì chiều bước nhảy 
theo chiều lực tập 
4
M
2
4
3 qL
trung.
x
2
4
1 qL2qL
32
9
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
Nhận xét (2) P=qL
M L2
• Nơi nào có mômen tập 
trung, biểu đồ mômen 
q o=q
A B
C
uốn nơi đó có bước 
nhảy. 
LL
VA = 3qL/4 VB = 3qL/4
• Trị số của bước nhảy bằng 
trị số mômen tập trung
3
NZ
 .
• Nếu vẽ từ trái sang phải, 
ô tậ t ù qL
1 Qy
qL
4
3 qL
4
m men p rung c ng 
chiều kim đồng hồ thì 
bướ hả ố &
4
M
2
4
3 qL
c n y xu ng 
ngược lại.
x
2
4
1 qL2qL
32
9
IV. BIỂU ĐỒ NỘI LỰC
PChứng minh qui luật bước nhảy
M0
0
Khảo sát đoạn thanh VCB có 
bề rộng z các phương
z
1 2
z , 
trình cân bằng:
P0
1
M
2
Y = 0  Q1+P0 -Q2 = 0 
Q Q = P Q1
K
0
M2
2 - 1 0
M/K = 0  M1+M0- M2+ Q1. 
z
Q2
M1z/2 +Q2 . z/2 =0 (Bỏ qua VCB 
bậc 1)
M2 - M1 = M0
NỘI DUNG
I. Khái niệm
• Nội lực
• Phương pháp mặt cắt
Ứ ất• ng su
II. Các thành phần nội lực
à á ẳIII. B i to n ph ng
IV. Biểu đồ nội lực
V. Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng
VI. Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực
• Phương pháp vẽ từng điểm
• Phương pháp cộng tác dụng
VII. Biểu đồ nội lực khung phẳng
V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC 
VÀ TẢI TRỌNG 
Xét thanh chịu tải trọng có q(z)P0 
q(z) chiều dương hướng 
lê Khả át đ i hâ
M0
dzn. o s oạn v p n 
dz. Vì dz rất bé nên có thể 
z
1 2
xem tải trọng phân bố đều. 
Các phương trình cân bằng:
q(z)
1
Q
2
M dM y x + x 
Mx
NZ
NZ + dNZ Z = 0  -Nz +(Nz + dNz) = 0
dNz = 0 dz
Qy+d Qy
V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC 
VÀ TẢI TRỌNG 
q(z)
P0Y = 0  Q + q(z)dz (Q M0
dz
 y – y
+ dQy) = 0
z
1 2 ydQq(z)
dz q(z)
1
Q
2
M dMNhận xét (1) y x + x 
Mx
NZ
NZ + dNZ 
• Đạo hàm của lực cắt 
dz
Qy+d Qybằng cường độ của lực 
phân bố vuông góc với 
trục thanh
V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC 
VÀ TẢI TRỌNG 
q(z)
P0M/O2 = 0  Qydz + 
M0
dz
q(z).dz.dz/2 + Mx - (Mx + 
dM ) = 0 và bỏ qua các VCB z
1 2
x 
dM
q(z)
1
Q
2
M dM
 xyQ dz
y x + x 
Mx
NZ
NZ + dNZ 
Nhận xét (2)
• Đạo hàm của biểu thức
dz
Qy+d Qy
mômen bằng biểu thức 
ủ lự ắtc a c c
V. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC 
VÀ TẢI TRỌNG 
q(z)
P0Hệ quả
M0
dz

2
x
2
d M
q(z)
d z
1 2
z
Nhận xét (3) q(z)
1
Q
2
M dM
• Đạo hàm bậc 2 của 
y x + x 
Mx
NZ
NZ + dNZ 
mômen tại một mặt cắt 
bằng cường độ lực phân
dz
Qy+d Qy
bố tại mặt cắt đó
NỘI DUNG
I. Khái niệm
• Nội lực
• Phương pháp mặt cắt
Ứ ất• ng su
II. Các thành phần nội lực
à á ẳIII. B i to n ph ng
IV. Biểu đồ nội lực
V. Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng
VI. Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực
• Phương pháp vẽ từng điểm
• Phương pháp cộng tác dụng
VII. Biểu đồ nội lực khung phẳng
VI. CÁCH VẼ NHANH BĐNL
Phương pháp vẽ từng điểm P=qLM L2
Quy luật dạng biểu đồ
q o=q
A B
C
q(z) =0  Qy = hằng số, Mx
= bậc nhất
LL
VA = 3qL/4 VB = 3qL/4 
q(z) = const  Qy = bậc 
nhất M bậc hai
3
NZ
, x = 
qL1 Qy
qL
4
3 qL
4
Nơi q(z)=0, Qy cực trị 4
M
2
4
3 qL
Nơi Qy=0, Mx cực trị
x
2
4
1 qL2qL
32
9
VI. CÁCH VẼ NHANH BĐNL
Phương pháp vẽ từng điểm P=qLM L2
Biểu đồ Mx luôn có chiều 
q o=q
A B
C
hứng tải trọng q(z) LL
VA = 3qL/4 VB = 3qL/4
Công thức diện tích:
M M =Diện tích biểu đồ
3
NZ
ph- tr 
Qy trong khoảng trái -
ả qL
1 Qy
qL
4
3 qL
4
ph i 4
M
2
4
3 qL
x
2
4
1 qL2qL
32
9
VI. CÁCH VẼ NHANH BĐNL
Phương pháp cộng tác dụng 
P = 2qLq q P = 2qL
L L
= +
L
Q+
qa P ++
qL+P
2/2 P
M
qa2/2
Pa
qa + a
VI. CÁCH VẼ NHANH BĐNL
Ví dụ 6.1 Dùng phương pháp cộng tác dụng, 
vẽ biểu đồ nội lực của dầm
P=qL M=qL
2
q
A
B C D
LL L
NỘI DUNG
I. Khái niệm
• Nội lực
• Phương pháp mặt cắt
Ứ ất• ng su
II. Các thành phần nội lực
à á ẳIII. B i to n ph ng
IV. Biểu đồ nội lực
V. Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng
VI. Cách vẽ nhanh biểu đồ nội lực
• Phương pháp vẽ từng điểm
• Phương pháp cộng tác dụng
VII. Biểu đồ nội lực khung phẳng
VII. BĐNL KHUNG PHẲNG
Vẽ BĐNL khung phẳng
Tính các phản lực
q
P = qa2qa
 X=0  HA = P = qa a
2 B C
 M/A=0  VD=qa
 Y=0  VA = 0
HA
A D
a
VDVA
VII. BĐNL KHUNG PHẲNG
Biểu đồ nội lực q 
qa
P = qa2qa
2 B C
Q
Cân bằng nút a
HA = qa A D
qa2 qa
2qa
2
2qa
2
B
a VD = qaVA = 0
2qa
2 2qa qa
qa2
B
M
8
qa
qa
C
N
qa
qa P=qa