Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 6: Thanh chịu xoắn thuần túy - Trần Minh Tú

CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 1Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng
Email: tpnt2002@yahoo.comTháng 01/2015
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 2Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
MỤC LỤC
CHƯƠNG 6 – THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
6.1. Khái niệm – Nội lực
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
6.4. Điều kiện bền, điều kiện cứng, ba bài toán cơ bản
6.5. Bài toán siêu tĩnh
6.6.* Thế năng biến dạng đàn hồi của thanh chịu xoắn
6.7.* Xoắn thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật
6.8.* Lò xo hình trụ bước ngắn
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 3Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.1. Khái niệm – Nội lực
Thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên các mặt cắt
ngang của nó chỉ tồn tại một thành phần ứng lực là mômen
xoắn Mz nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh.
Ví dụ: Các trục truyền động, các thanh
kết cấu trong không gian,
Ngoại lực gây xoắn: mômen xoắn tập
trung, mômen xoắn phân bố, ngẫu lực
trong mặt cắt ngang
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 4Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.1. Khái niệm – Nội lực
Ví dụ về các thanh chịu xoắn thuần tuý:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 5Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.1. Khái niệm – Nội lực
Ví dụ về các thanh chịu xoắn thuần tuý:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 6Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.1. Khái niệm – Nội lực
Ví dụ về các thanh chịu xoắn thuần tuý:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 7Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Cách xác định nội lực:
Phương pháp mặt cắt.
 Quy ước dấu của Mz:
Nhìn từ bên ngoài vào
mặt cắt ngang, nếu Mz
có chiều thuận chiều
kim đồng hồ thì nó
mang dấu dương và
ngược lại.
6.1. Khái niệm – Nội lực
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 8Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Thí nghiệm: Trước khi cho thanh chịu
xoắn, kẻ trên bề mặt thanh:
- Hệ những đường thẳng song song
với trục thanh
- Hệ những đường tròn vuông góc
với trục thanh
→ Tạo thành một lưới ô vuông
- Các bán kính trên các mặt cắt
ngang ở 2 đầu thanh
Quan sát biến dạng:
- Các đường song song với trục
thanh nghiêng đều một góc γ so với
phương ban đầu
- Các đường tròn vẫn vuông góc với
trục thanh; khoảng cách giữa chúng
không đổi
- Các bán kính vẫn thẳng và có độ
dài không đổi
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 9Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Các giả thiết về biến dạng:
Giả thiết 1: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng
(Bernoulli)
Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và vuông
góc với trục thanh, sau biến dạng vẫn phẳng và
vuông góc với trục thanh.
Giả thiết 2: Giả thiết về các bán kính
Các bán kính trước và sau biến dạng vẫn thẳng và
có độ dài không đổi.
Chú ý: Ứng xử của vật liệu tuân theo Định luật
Hooke (ứng suất tỷ lệ thuận với biến dạng)
Jacob Bernoulli
(1654-1705)
Robert Hooke
(1635 -1703)
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 10Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Công thức tính ứng suất tiếp
• Giả thiết 1
→ εz = 0
→ σz = 0
• Giả thiết 2
→ εx = εy = 0
→ σx = σy = 0
→ Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng
suất tiếp
Ứng suất tiếp τ có phương vuông
góc với bán kính, cùng chiều
mômen xoắn nội lực.
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 11Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Ta tìm công thức tính ứng suất tiếp tại
điểm cách tâm O một khoảng là ρ.
 Từ công thức Định luật Hooke cho biến
dạng góc:
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Công thức tính ứng suất tiếp
G – Mô-đun đàn hồi trượt của vật liệu (đã biết)
γ – Biến dạng góc → γ = ? → Pt biến dạng?
 Để viết pt biến dạng (pt động học), người
ta đưa ra các khái niệm sau:
 Góc xoắn giữa hai tiết diện cách nhau L, ký
hiệu là φ
 Góc xoắn tỷ đối: góc xoắn giữa hai tiết diện
cách nhau 1 đơn vị dài, ký hiệu là θ
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 12Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Công thức tính ứng suất tiếp
Tĩnh học:
Động học:
Định luật Hooke:
Đặt Góc xoắn tỷ đối
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 13Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang
Ứng suất tiếp τ phân bố bậc nhất theo khoảng cách ρ
đến tâm và đạt cực đại trên chu vi.
: Mô-men chống xoắn của mặt cắt ngang
Với tiết diện tròn đặc:
Với tiết diện hình vành khuyên:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 14Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Các phân tố với các mặt song song và
vuông góc với trục (phân tố a) ở trạng
thái ứng suất trượt thuần túy.
 Phân tố nghiêng một góc bất kỳ (phân
tố b) ở trạng thái ứng suất phẳng (tồn
tại cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp
trên các mặt).
 Xét phân tố nghiêng 45o so với trục
thanh (phân tố c):
→ Đây là phân tố chính, chịu ứng suất
kéo trên 2 mặt và chịu ứng suất nén
trên 2 mặt.
Trạng thái ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 15Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.2. Ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
Trạng thái ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn
 Vật liệu dẻo: độ bền trượt kém,
thường bị phá hủy do cắt → Khi
chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo bi phá
hủy tại mặt cắt có ứng suất tiếp lớn
nhất – mặt cắt ngang.
 Vật liệu giòn: chịu kéo yếu hơn chịu cắt → Khi chịu xoắn, mẫu vật
liệu giòn bi phá hủy theo phương có ứng suất kéo lớn nhất – nghiêng
45o so với trục thanh.
 Vật liệu có thớ (gỗ): bị phá hủy theo phương ngang thớ khi chịu xoắn.
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 16Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Đã có:
Góc xoắn (góc xoay) giữa hai tiết diện cách nhau L là:
G – Mô-đun đàn hồi trượt của vật liệu; Còn gọi là mô-đun Coulomb
Ip – Mômen quán tính độc cực của tiết diện
GIp – Độ cứng xoắn của thanh
Charles Augustine de Coulomb
(1736 -1806)
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 17Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
• Thanh có :
• Thanh có trên từng
đoạn:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 18Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Ví dụ 6.1:
Cho trục tròn có tiết diện thay đổi chịu
tác dụng của mômen xoắn ngoại lực
như hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực.
2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn
nhất.
3. Tính góc xoắn của tiết diện C.
Biết M=5kNm; a=1m; D=10cm;
G=8×103kN/cm2
GIẢI:
1. Vẽ biểu đồ mômen xoắn nội lực
Dùng phương pháp mặt cắt tính
mômen xoắn trên từng đoạn thanh:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 19Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Ta có biểu đồ mômen xoắn nội lực
như hình vẽ
2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn
nhất
3. Góc xoắn của tiết diện C
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 20Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.4. Điều kiện bền, điều kiện cứng, ba bài toán cơ bản
 Điều kiện bền:
 Điều kiện cứng:
: Dùng thực nghiệm tìm τo
: Dùng thuyết bền 3
: Dùng thuyết bền 4
Nếu [θ] cho bằng o/m → đổi ra rad/m
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 21Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.4. Điều kiện bền, ba bài toán cơ bản
 Ba bài toán cơ bản:
Từ công thức của điều kiện bền và điều kiện cứng, có 3
dạng bài toán cơ bản:
 Kiểm tra điều kiện bền, điều kiện cứng:
 Tìm kích thước của tiết diện theo điều kiện bền, điều kiện cứng:
 Tìm giá trị tải trọng cho phép theo điều kiện bền, điều kiện cứng:
Tiết diện
tròn đặc
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 22Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.5. Bài toán siêu tĩnh
 Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được hết
các phản lực liên kết và nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào
các phương trình cân bằng tĩnh học.
 Số ẩn số > Số phương trình cân bằng
→ Cần viết thêm phương trình bổ sung
→ Phương trình tương thích về biến dạng
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 23Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.5. Bài toán siêu tĩnh
Ví dụ 6.2:
Cho thanh có tiết diện thay đổi
chịu xoắn như hình vẽ. Vẽ biểu đồ
mômen xoắn nội lực.
GIẢI:
1. Giả sử phản lực tại ngàm A và
C có chiều như hình vẽ. Pt cân
bằng:
→ Bài toán siêu tĩnh
2. Pt tương thích về biến dạng:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 24Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.5. Bài toán siêu tĩnh
Dùng phương pháp mặt cắt
Ta có biểu đồ mômen xoắn nội lực
như hình vẽ.
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 25Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
6.6.* Thế năng biến dạng đàn hồi của thanh chịu xoắn
 Thế năng biến dạng đàn hồi:
Ta có dV = dA dz
Thanh tiết diện không đổi chịu mômen xoắn
không đổi:
 Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u do
ứng suất tiếp gây ra:
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 26Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Khi biến dạng, giả thiết
mặt cắt ngang phẳng
không còn đúng: bị vặn,
xoắn.
 Bài toán xoắn thanh tiết
diện chữ nhật: giải theo
Lý thuyết đàn hồi.
 Luồng ứng suất tiếp trên
mặt cắt ngang của thanh
tiết diện chữ nhật như
hình vẽ.
6.7.* Xoắn thanh mặt cắt ngang chữ nhật
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 27Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Ở tâm và ở các góc, ứng suất
tiếp bằng 0.
 Ở phía ngoài, ứng suất tiếp
hướng theo chu tuyến.
 Biểu đồ ứng suất tiếp dọc
theo chu tuyến như hình vẽ.
 Ứng suất tiếp lớn nhất tại
điểm giữa cạnh dài.
 Góc xoắn
6.7.* Xoắn thanh mặt cắt ngang chữ nhật
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 28Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Các hệ số α, β, γ phụ thuộc vào tỉ số a/b (a >> b)
a/b 1 2 3 4 6 8 10 ∞
a 0,203 0,246 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
b 0,141 0,299 0,263 0,281 0,299 0.307 0,313 0,333
g 1,000 0,795 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742
 Khi tỉ số a/b lớn thì các hệ số α, β, γ = 1/3 ≈ 0,333
6.7.* Xoắn thanh mặt cắt ngang chữ nhật
CHƯƠNG 6: Thanh chịu xoắn thuần tuý – 29Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
SỨC BỀN VẬT LIỆU 1
Thank you for your attention
Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng
E-mail: tpnt2002@yahoo.com