Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 7: Dầm chịu uống phẳng - Trần Minh Tú

bị kéo giãn
ra, các thớ dọc phía trên bị nén co
lại
→ Tồn tại những thớ vật liệu không
chịu kéo cũng không chịu nén –
thớ trung hoà
→ Tập hợp của các thớ trung hòa
– mặt trung hòa
→ Trục trung hoà: giao tuyến của
mặt trung hoà với mặt cắt
ngang
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 12Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 13Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần túy
Các giả thiết về biến dạng:
Giả thiết 1: Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng
(Bernoulli)
Mặt cắt ngang trước biến dạng là phẳng và
vuông góc với trục thanh, sau biến dạng vẫn
phẳng và vuông góc với trục thanh.
Giả thiết 2: Giả thiết về các thớ dọc
Các lớp vật liệu dọc trục không có tác dụng
tương hỗ với nhau (không chèn ép, xô đẩy lẫn
nhau).
Chú ý: Ứng xử của vật liệu tuân theo Định luật
Hooke (ứng suất tỷ lệ thuận với biến dạng)
Jacob Bernoulli
(1654-1705)
Robert Hooke
(1635 -1703)
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 14Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
 Ta tìm công thức tính ứng suất
pháp tại điểm cách trục trung
hòa một khoảng y.
 Từ công thức Định luật Hooke:
7.2. Dầm chịu uốn thuần túy
Công thức tính ứng suất pháp
E – Mô-đun đàn hồi kéo-nén của vật liệu (đã biết)
εz – Biến dạng dài của thớ dọc tại tung độ y → εz = ? → Pt biến dạng?
 Pt biến dạng (pt động học) thể hiện quan hệ giữa εz với:
 Khoảng cách y từ điểm đang xét đến trục trung hòa
 Bán kính cong của thớ trung hòa ρ
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 15Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
Biến dạng dài của một thớ dọc
Xét một thớ dọc cách trục trung hoà
một khoảng y:
→ Biến dạng dài εz tỷ lệ bậc nhất
với khoảng cách đến trục trung hoà
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 16Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
Tĩnh học: Định luật Hooke: Động học:
Do tải trọng thẳng đứng, nằm trong mặt phẳng zOy
→ Nz = 0 ; My = 0 ; Mx ≠ 0 sinh ra ứng suất pháp σz
Công thức tính ứng suất pháp
• Giả thiết 1
→ τ = 0
• Giả thiết 2
→ σx = σy = 0
→ Trên mặt cắt ngang chỉ có một thành
phần ứng suất pháp σz
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 17Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
Công thức tính ứng suất pháp
Tĩnh học:
Định luật Hooke:
Động học:
Trục trung hoà x cũng là trục
quán tính chính trung tâm
của mặt cắt ngang dầm.
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 18Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
Công thức tính ứng suất pháp
Tĩnh học:
Định luật Hooke:
Động học:
(Độ cong của dầm)
EIx – Độ cứng uốn của dầm
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 19Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
 Lấy dấu “+” nếu điểm đang xét thuộc
vùng chịu kéo
 Lấy dấu “–” nếu điểm đang xét thuộc
vùng chịu nén
Để thuận lợi cho việc tính toán, người ta
thường áp dụng công thức kỹ thuật:
Ứng suất pháp σz phân bố bậc nhất theo
khoảng cách y đến trục trung hoà và đạt
cực trị tại các mép biên của dầm.
Trục trung hoà – Phân bố ứng suất
pháp trên mặt cắt ngang
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 20Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng
Xét mặt cắt ngang hình chữ nhật:
– Mômen chống uốn
của mặt cắt ngang
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 21Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
Mặt cắt ngang có 2 trục đối xứng
Mặt cắt ngang hình chữ nhật:
Mặt cắt ngang hình tròn đặc:
Mặt cắt ngang hình vành khuyên:
Mômen chống uốn của một số mặt cắt
ngang có 2 trục đối xứng thường gặp:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 22Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
– Các mômen chống uốn của mặt cắt ngang
Mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 23Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
Mặt cắt ngang là
thép hình
Tra bảng các giá
trị kích thước; Ix;
Wx
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 24Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.2. Dầm chịu uốn thuần tuý
Điều kiện bền
Đối với vật liệu dẻo: Đối với vật liệu giòn:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 25Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Thí nghiệm: Uốn dầm như hình vẽ.
Trước khi uốn, kẻ trên bề mặt dầm:
- Hệ những đường thẳng song
song với trục dầm
- Hệ những đường thẳng vuông
góc với trục dầm
→ Tạo thành một lưới ô vuông
Quan sát biến dạng:
- Sau biến dạng, ô vuông trở thành
ô bình hành → có biến dạng góc
- Mặt cắt ngang không còn phẳng
→ giả thiết về mặt cắt ngang
phẳng của Bernoulli không còn
chính xác
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 26Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 27Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Ứng suất trên mặt cắt ngang
Trên mặt cắt ngang có hai thành phần
ứng lực:
 Mômen uốn Mx
→ Ứng suất pháp σz
 Lực cắt Qy
→ Ứng suất tiếp τzy
Công thức tính ứng suất pháp
Mx – Mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang
Ix – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối
với trục quán tính chính trung tâm Ox
y – Tung độ của điểm tính ứng suất
Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng các thớ dưới của dầm;
Mx < 0 khi làm căng các thớ trên của dầm
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 28Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Công thức tính ứng suất tiếp
Với mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp (b<<h), ứng
suất tiếp tuân theo giả thiết Zhuravskii:
• Có phương song song với lực cắt Qy, cùng chiều
lực cắt Qy
• Phân bố đều trên bề rộng mặt cắt ngang
Dmitrii Ivanovich Zhuravskii
(1821 -1891)
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 29Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Công thức tính ứng suất tiếp
Xét cân bằng của
một phân tố vô cùng
bé được tách ra từ
đoạn dầm dài dz:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 30Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Công thức tính ứng suất tiếp
Qy – Lực cắt trên mặt cắt ngang tại điểm
đang xét
Ac – Phần diện tích bị cắt
Sxc – Mômen tĩnh của diện tích Ac đối với trục
Ox
Ix – Mômen quán tính của mặt cắt ngang đối
với trục quán tính chính trung tâm Ox
bc – Chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm
tính ứng suất
– Công thức Zhuravskii
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 31Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang
Mặt cắt ngang hình chữ nhật:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 32Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Phân bố ứng suất tiếp trên
mặt cắt ngang
Trong bảng thép định hình đã cho sẵn
các kích thước h; b; d; s và các giá trị Ix;
Sx (của ½ tiết diện so với trục Ox)
Mặt cắt ngang hình chữ I:
Phần bụng: Phần cánh:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 33Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Điều kiện bền
Xét dầm tiết diện chữ nhật chịu uốn ngang phẳng. Ta có phân bố ứng
suất trên tiết diện dầm:
A, B – Trạng thái ứng suất đơn
O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý
C, D – Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 34Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Điều kiện bền
Tương tự, với dầm có tiết diện chữ I chịu uốn ngang phẳng, phân bố
ứng suất trên tiết diện dầm như sau:
A, B – Trạng thái ứng suất đơn
O – Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý
C, D – Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 35Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
 Điều kiện bền ứng suất pháp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất
đơn):
Với vật liệu dẻo:
Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất
Với vật liệu giòn:
Nếu mặt cắt ngang dầm có 2 trục đối xứng, kiểm tra tại mặt cắt ngang có
giá trị tuyệt đối của mômen uốn lớn nhất
Nếu mặt cắt ngang dầm chỉ có 1 trục đối xứng (ví dụ: mặt cắt chữ T), cần
kiểm tra tại 2 mặt cắt ngang có mômen dương và mômen âm lớn nhất
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 36Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
 Điều kiện bền ứng suất tiếp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất
trượt thuần tuý):
Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối của lực cắt lớn nhất
Với vật liệu dẻo:
Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr
: Dùng thực nghiệm tìm τo
: Dùng thuyết bền 3
: Dùng thuyết bền 4
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 37Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
 Điều kiện bền hỗn hợp (cho những điểm ở trạng thái ứng suất
phẳng đặc biệt):
Kiểm tra tại mặt cắt ngang có giá trị tuyệt đối mômen uốn và lực cắt cùng
tương đối lớn
Điểm cần kiểm tra: điểm tiếp giáp giữa bụng và cánh của tiết diện (ví dụ:
điểm K trên tiết diện chữ I)
Với vật liệu dẻo:
Với vật liệu giòn: Dùng thuyết bền Mohr
: Dùng thuyết bền 3
: Dùng thuyết bền 4
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 38Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ 7.1:
Cho dầm bằng gang mặt cắt ngang
hình chữ T chịu tải trọng như hình vẽ.
1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn.
2. Kiểm tra bền cho dầm theo điều
kiện bền ứng suất pháp, biết
[σ]k=4kN/cm2; [σ]n=12kN/cm2.
GIẢI:
1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn
Xác định phản lực liên kết:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 39Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn
Sử dụng phương pháp mặt cắt:
Đoạn AB:
Đoạn BC:
Đoạn CD:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 40Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
1. Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn
Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn
như hình vẽ
2. Kiểm tra bền cho dầm
Mặt cắt chữ T có 1 trục đối xứng
→ Cần kiểm tra tại B (mặt cắt có
mô-men âm lớn nhất) và tại C (mặt
cắt có mô-men dương lớn nhất)
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 41Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
2. Kiểm tra bền cho dầm
• Trọng tâm của mặt cắt ngang:
Oy là trục đối xứng
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 42Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
2. Kiểm tra bền cho dầm
• Mômen quán tính chính trung tâm:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 43Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
2. Kiểm tra bền cho dầm
• Xét mặt cắt ngang tại B:
Mặt cắt B
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 44Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
2. Kiểm tra bền cho dầm
• Xét mặt cắt ngang tại C:
Mặt cắt B Mặt cắt C
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 45Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
2. Kiểm tra bền cho dầm
• Áp dụng điều kiện bền:
Vậy, dầm thỏa mãn điều kiện bền.
Mặt cắt B Mặt cắt C
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 46Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ 7.2:
Cho dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật
chịu tải trọng như hình vẽ. Biết ứng
suất cho phép của thép
[σ]=16kN/cm2. Tìm các ứng suất
pháp cực trị tại điểm K trên mặt cắt
ngang ở chính giữa đoạn AB.
GIẢI:
Xác định phản lực liên kết:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 47Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Sử dụng phương pháp mặt cắt:
Đoạn AB:
Đoạn BC:
Đoạn CD:
Ta có biểu đồ lực cắt và mômen
uốn như hình vẽ.
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 48Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Xét mặt cắt ngang ở chính giữa
đoạn AB:
Ứng suất pháp tại điểm K:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 49Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Xét mặt cắt ngang ở chính giữa
đoạn AB:
Ứng suất tiếp tại điểm K:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 50Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Trạng thái ứng suất tại điểm K
được xác định bởi các giá trị:
Các ứng suất pháp cực trị tại điểm
K:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 51Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Ví dụ 7.3:
Dầm công-xôn mặt cắt ngang chữ I
chịu tải trọng như hình vẽ, q=5kN/m;
a=1m. Biết [σ]=16kN/cm2, hãy chọn
số hiệu mặt cắt ngang cho dầm theo
điều kiện bền ứng suất pháp.
GIẢI:
Vẽ biểu đồ lực cắt và mômen uốn:
Sử dụng phương pháp mặt cắt từ phải
qua trái:
Đoạn CB:
Đoạn BA:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 52Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng
Tiết diện nguy hiểm là tiết diện tại
ngàm A:
Áp dụng công thức điều kiện bền:
Tra bảng → Chọn I-No24a
có
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 53Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay
 Đường cong y(z) của trục
dầm sau khi chịu uốn được
gọi là đường đàn hồi.
 Xét mặt cắt ngang tại điểm
có hoành độ z:
 K – trọng tâm của mặt cắt
ngang trước biến dạng
 K’ – trọng tâm của mặt cắt
ngang sau biến dạng v(z) – chuyển vị đứng
u(z) – chuyển vị ngang
KK’ – chuyển vị của trọng
tâm mặt cắt ngang
Biến dạng bé → u(z) << v(z)
→ KK’ ≈ v(z)
→ v(z) = y(z) : độ võng của dầm chịu uốn
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 54Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay
 Chuyển vị thẳng đứng y(z) của trọng tâm mặt cắt ngang được gọi là độ
võng của dầm chịu uốn.
 Góc hợp bởi mặt cắt ngang của dầm trước và sau biến dạng φ(z) được gọi
là góc xoay của dầm chịu uốn.
 Biến dạng bé → φ(z) ≈ tan φ = y’(z) → Đạo hàm bậc nhất của độ võng là
góc xoay.
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 55Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay
Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi
Đã có công thức xác định độ cong
của dầm chịu uốn:
Mặt khác, theo hình học giải tích:
Vậy, ta có:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 56Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.4. Chuyển vị của dầm chịu uốn: độ võng, góc xoay
Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi
Từ hình vẽ, ta thấy y’’ và Mx luôn
ngược dấu nhau
Đây là phương trình vi phân gần
đúng của đường đàn hồi
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 57Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp
Từ phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi:
Góc xoay
Độ võng
Trong đó, C và D là các hằng số tích phân, được xác định nhờ vào các điều
kiện biên.
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 58Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp
Các điều kiện biên về độ võng và góc xoay của (a) Dầm đơn giản; (b)
Dầm công-xôn; (c) Dầm có mút thừa và (d) Điều kiện liên tục
(a) (b)
(c) (d)
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 59Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp
Nhược điểm của phương pháp: cồng kềnh về mặt toán học
khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để
xác định các hằng số tích phân (2n phương trình, 2n ẩn số
nếu dầm gồm n đoạn).
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 60Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp
Ví dụ 7.4:
Tìm độ võng và góc xoay tại đầu
tự do của dầm công-xôn có độ
cứng EIx chịu tải trọng như hình
vẽ.
GIẢI:
Ta có biểu thức của mômen uốn:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 61Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.5. Phương pháp tích phân trực tiếp
Điều kiện biên:
Chuyển vị và góc xoay tại đầu tự
do:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 62Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.6. Phương pháp thông số ban đầu
Biểu diễn phương trình đường đàn hồi đoạn thứ (i) qua phương trình
đường đàn hồi của đoạn thứ (i-1):
Ghi chú: chiều dương của mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố như trên
hình vẽ
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 63Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.6. Phương pháp thông số ban đầu
Khi độ cứng của dầm EI = const trên toàn bộ chiều dài, khai triển hàm
Δy(z) theo chuỗi Taylor tại điểm z = a ta có:
Trong đó, các thông số Δya; Δφa; ΔMa; ΔQa; Δqa; lần lượt là bước nhảy
của độ võng, góc xoay, mômen uốn, lực cắt, tải trọng phân bố tại điểm
có hoành độ z = a của dầm.
Phương trình đường đàn hồi y1(z) của đoạn dầm đầu tiên:
Trong đó, y0; φ0; M0; Q0; q0; lần lượt là giá trị độ võng, góc xoay, mômen
uốn, lực cắt, tải trọng phân bố tại điểm có hoành độ z = 0 của dầm. Đây
là các thông số ban đầu, được xác định nhờ các điều kiện biên.
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 64Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.6. Phương pháp thông số ban đầu
Ví dụ 7.5:
Dùng phương pháp thông số ban
đầu, xác định độ võng tại C và góc
xoay tại D của dầm chịu tải trọng
như hình vẽ.
GIẢI:
Xác định phản lực liên kết:
Lập bảng thông số ban đầu: z = 0 z = a z = 2a
y0 Δya = 0 Δy2a = 0
φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0
M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0
Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P
q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0
q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 65Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.6. Phương pháp thông số ban đầu
Phương trình đường đàn hồi đoạn 1
(AB):
Phương trình đường đàn hồi đoạn 2
(BC):
Phương trình đường đàn hồi đoạn 3
(CD):
z = 0 z = a z = 2a
y0 Δya = 0 Δy2a = 0
φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0
M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0
Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P
q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0
q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 66Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.6. Phương pháp thông số ban đầu
Để xác định 2 thông số ban đầu y0 và
φ0, ta xét đến điều kiện liên kết của
dầm:
Từ đó ta tính được: z = 0 z = a z = 2a
y0 Δya = 0 Δy2a = 0
φ0 Δφa = 0 Δφ2a = 0
M0 = 0 ΔMa = 0 ΔM2a = 0
Q0 = 0 ΔQa = VB ΔQ2a = –P
q0 = –q Δqa = q Δq2a = 0
q’0 = 0 Δq’a = 0 Δq’2a = 0
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 67Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
 Hệ siêu tĩnh là hệ mà ta không thể xác định được hết
các phản lực liên kết và nội lực trong hệ nếu chỉ nhờ vào
các phương trình cân bằng tĩnh học.
 Số ẩn số > Số phương trình cân bằng
→ Cần viết thêm phương trình bổ sung
→ Phương trình tương thích về biến dạng
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 68Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Ví dụ 7.6:
Cho dầm chịu lực như hình vẽ.
Xác định các phản lực gối tựa; vẽ
biểu đồ lực cắt và mômen uốn cho
dầm.
GIẢI:
Cách 1: Áp dụng phương pháp
thông số ban đầu
Coi phản lực tại B là ngoại lực, ta
có:
Lập bảng thông số ban đầu:
z = 0
y0 = 0
φ0 = 0
M0 = –MA
Q0 = VA
q0 = –q
q’0 = 0
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 69Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Phương trình đường đàn hồi của
dầm:
Áp dụng điều kiện biên:
z = 0
y0 = 0
φ0 = 0
M0 = –MA
Q0 = VA
q0 = –q
q’0 = 0
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 70Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Cách 2: Áp dụng nguyên lý cộng
tác dụng
Phân tích dầm đã cho như hình
vẽ, ta có:
Ta đã có kết quả:
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 71Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Ta có biểu đồ lực cắt và mômen
uốn như hình vẽ.
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 72Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Ví dụ 7.7:
Cho dầm chịu lực như hình vẽ.
Xác định các phản lực gối tựa,
biết: a=1m; q=10kN/m; F=2qa;
M=1,5qa2; độ cứng uốn của dầm
là EI=2×107kNcm2.
GIẢI:
Giả sử chiều phản lực tại A như
hình vẽ, coi phản lực tại B là ngoại
lực, ta có:
Lập bảng thông số ban đầu:
z = 0 z = a
y0 = 0 Δya = 0
φ0 = 0 Δφa = 0
M0 = –MA ΔMa = –M
Q0 = VA ΔQa = F
q0 = –q Δqa = q
q’0 = 0 Δq’a = 0
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 73Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Phương trình đường đàn hồi đoạn 1:
Phương trình đường đàn hồi đoạn 2:
z = 0 z = a
y0 = 0 Δya = 0
φ0 = 0 Δφa = 0
M0 = –MA ΔMa = –M
Q0 = VA ΔQa = –F
q0 = –q Δqa = q
q’0 = 0 Δq’a = 0
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 74Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Áp dụng điều kiện biên:
Với:
→ VB có chiều ngược với chiều giả thiết (hướng xuống dưới)
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 75Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản
Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 76Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
7.7. Bài toán siêu tĩnh
Độ võng, góc xoay của một số dầm cơ bản
Sơ đồ dầm Phương trình đường đàn hồi Độ võng Góc xoay
CHƯƠNG 7: Dầm chịu uốn phẳng – 77Trần Minh Tú, Nghiêm Hà Tân – ĐHXD
SỨC BỀN VẬT LIỆU 1
Thank you for your attention
Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng
E-mail: tpnt2002@yahoo.com