Bài giảng Sức bền vật liệu - Chương 7: Thanh chịu xoắn thuần túy - Ngô Văn Cường

Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 1/6102/08/2015
Ngô Văn Cường
Đại học công nghiệp TPHCM
(Serious learning is the key to success.)
Strength Of Materials
SỨC BỀN 
VẬT LIỆU
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 2/6102/08/2015
Thanh chịu xoắn thuần túy
Chương 7: THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 3/6102/08/2015
7.1. Khái niệm chung
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
7.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
7.4. Điều kiện bền
7.5. Điều kiện cứng
7.6. Thế năng biến dạng đàn hồi
Thanh chịu xoắn thuần túy
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 4/6102/08/2015
Ví dụ thanh chịu xoắn
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 5/6102/08/2015
Ví dụ thanh chịu xoắn
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 6/6102/08/2015
1. Định nghĩa
Thanh chịu xoắn thuần túy là thanh mà trên các
mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần
nội lực là moment xoắn Mz nằm trong mặt
phẳng vuông góc với trục thanh.
7.1. Khái niệm chung
Ví dụ: Các trục truyền động, các thanh trong
kết cấu không gian,
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 7/6102/08/2015
Ngoại lực gây xoắn: moment tập trung,
moment phân bố, ngẫu lực trong mặt cắt
ngang
7.1. Khái niệm chung
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 8/6102/08/2015
7.1. Khái niệm chung
Ví dụ thanh chịu xoắn
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 9/6102/08/2015
2. Biểu đồ moment xoắn nội lực
7.1. Khái niệm chung
 Qui ước dấu của Mz
Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt ngang, nếu Mz
có chiều thuận chiều kim đồng hồ thì nó mang
dấu dương và ngược lại.
 Xác định moment xoắn nội lực trên mặt cắt
ngang– PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT 
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 10/6102/08/2015
Mz nội lực trên mặt cắt ngang bằng tổng
moment quay đối với trục thanh của những
ngoại lực ở về một bên mặt cắt
7.1. Khái niệm chung
 Ví dụ 0zM  Mz= ?
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 11/6102/08/2015
Vẽ biểu đồ Mz của một trục chịu xoắn như hình
Ví dụ
M1=10kNm
m=5kNm/m
M2=5kNm
A
B C D
1m 0,5m 1m
Bài giải
Dùng phương pháp mặt cắt
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 12/6102/08/2015
Ví dụ
 Trong đoạn AB dùng mặt cắt 1-1
M1=10kNm
m=5kNm/m
M2=5kNm
A
B C D
1m 0,5m
A
Mz
1
1
z
1m
0 . 0
5.
z z
z
M M m z
M z
   
 

Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 13/6102/08/2015
Ví dụ
 Trong đoạn BC dùng mặt cắt 2-2
0 5 0
5
z z
z
M M
M kNm
   
 

M1=10kNm
m=5kNm/m
M2=5kNm
A
B
C D
1m 0,5m
A
Mz
1
1 1m
2
2
3
3
m
B
z
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 14/6102/08/2015
Ví dụ
M1=10kNm
m=5kNm/m
M2=5kNm
A
B
C D
1m 0,5m
A
Mz
1
1 1m
2
2
3
3
M1
B C
z
 Trong đoạn CD dùng mặt cắt 3-3
0 10 5 0
5
z z
z
M M
M kNm
    
  

Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 15/6102/08/2015
Ví dụ
M1=10kNm
m=5kNm/m
M2=5kNm
A
B
C D
1m 0,5m
5kNm
5kNm
1m
 Biểu đồ được vẽ như sau
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 16/6102/08/2015
7.1. Khái niệm chung
 Liên hệ giữa moment xoắn ngoại lực với
công suất và số vòng quay của trục truyền
Khi biết công suất của động cơ chuyển đến 
trục truyền ta có thể xác định moment xoắn 
ngoại lực tác dụng lên trục đó.
 Công A do M (hoặc ngẫu lực) thực hiện khi
trục quay một góc  trong thời gian t là:
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 17/6102/08/2015
7.1. Khái niệm chung
O
M

.A M 
Vậy công suất W sẽ là:
.
.W
A M
M
t t

  
W
M

  Trong đó M: moment xoắn ngoại 
lực tính ra N.m
W: công suất tính ra W (Watt)
: vận tốc góc tính ra rad/s
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 18/6102/08/2015
7.1. Khái niệm chung
2. . .
/
60 30
n n
rad s
 
   Với n: số vòng/phút
Ví dụ
Trên trục truyền có 3 puli bị động (1, 2, 4) và 
một puli chủ động (3).
 Puli (3) truyền cho trục truyền một công suất
W3 = 110kW
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 19/6102/08/2015
 Puli (1) nhận được một công suất W1 = 40kW
 Puli (2) nhận được một công suất W2 = 20kW
 Puli (4) nhận được một công suất W4 = 50kW
Ví dụ
Các puli này truyền công suất nhận được đến
những nguồn tiêu thụ. Trục truyền quay đều
với vận tốc n = 100 vòng/phút. Vẽ biểu đồ
moment xoắn Mz.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 20/6102/08/2015
W1
W2 W3 W4
M1 M2 M3 M4
Bài giải
Ví dụ
Ta có
. 3,14.100
10,46 /
30 30
n
rad s

   
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 21/6102/08/2015
Ví dụ
Moment tác động lên các puli
Wi
iM


1
1
2
2
3
3
4
4
40
3,822
10,46
20
1,911
10,46
110
10,515
10,46
50
4,78
10,46
W
W
W
W
M kNm
M kNm
M kNm
M kNm




  
  
  
  
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 22/6102/08/2015
Ví dụ
Vì trục quay đều nên ta có thể xem trục được 
cân bằng dưới tác dụng của các moment M1, 
M2, M3, M4.
 Biểu đồ Mz được vẽ như sau:
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 23/6102/08/2015
Ví dụ
W1
W2 W3 W4
M1 M2 M3 M4
3,822
5,733
4,780
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 24/6102/08/2015
Thanh tròn chịu xoắn
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 25/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
2. Công thức tính ứng suất
 Từ gt1 => εz= 0 => σz= 0
 Từ gt2 => εx= εy= 0 => σx= σy= 0
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp
 Ứng suất tiếp có phương
vuông góc với bán kính, 
chiều cùng chiều moment
xoắn nội lực 
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 26/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
 Tìm ứng suất tiếp tại điểm trên mặt cắt ngang
cách tâm khoảng ρ với Mz nội lực đã biết
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 27/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
− Xét hai mặt cắt ngang
cách nhau vi phân chiều
dài dz.
 Trước biến dạng: ab//Oz; Ob = ρ
 Chịu xoắn: ab => ac
 d - góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt
ngang cách nhau dz
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 28/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
 ρ – góc trượt (biến dạng góc) của thớ cách
trục thanh khoảng ρ
d
dz

  - Góc xoắn tỉ đối
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 29/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 30/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
bc d
tg
ab dz
 
   
 Theo định luật Hooke
d
G G
dz


  
 Mặt khác
2
z
A A
d d
M dA G dA G I
dz dz
 
 
     
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 31/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 32/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
zMd
dz GI

  
zM
I


 
Mz – moment xoắn nội lực
Ip – moment quán tính
độc cực của mặt cắt
ngang
ρ – toạ độ điểm tính ứng
suất
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 33/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
 Biến thiên của ứng suất tiếp theo khoảng
cách ρ là bậc nhất => Biểu đồ ứng suất tiếp
 Những điểm nằm trên cùng đường tròn thì
có ứng suất tiếp như nhau.
 Ứng suất tiếp cực đại trên chu vi mặt cắt
ngang
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 34/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
max
z zM MR
I W 
   
 
4
3/ 2 0.2
32
D
W D D

  3 40.2 1W D 
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 35/6102/08/2015
7.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
 Wp=Ip/R là moment chống xoắn của mặt cắt
ngang
7.3. Biến dạng của thanh tròn
 Đã có: z
Md
dz GI

  
 Góc xoắn (góc xoay) tương đối giữa hai
mặt cắt ngang A và B 
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 36/6102/08/2015
 
0
A L
z z
AB
B
M dz M dz
rad
GI GI 
   
7.3. Biến dạng của thanh tròn
G – mô-đun đàn hồi khi trượt của vật liệu
GIp – là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 37/6102/08/2015
 Khi trên đoạn AB chiều dài L có
7.3. Biến dạng của thanh tròn
onsz
M
C t
GI
 zAB
M L
GI
 
 Khi đoạn AB gồm n đoạn, trên mỗi đoạn
thứ i có chiều dài li:
onsz
M
c t
GI
 
  
  1
n
z
AB i
i
i
M
l
GI


 
   
 

Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 38/6102/08/2015
Ví dụ 1
Cho trục tròn có diện tích mặt cắt ngang thay
đổi chịu tác dụng của moment xoắn ngoại lực
như hình vẽ
1.Vẽ biểu đồ moment xoắn nội lực
2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 39/6102/08/2015
3.Tính góc xoắn của mặt cắt ngang D
Biết M= 5kNm; a=1m; D=10cm; G=8.103 kN/cm2
Bài giải
1. Biểu đồ moment xoắn 
Ví dụ 1
 Đoạn CD  0 ≤ z ≤ a 
3CDzM M
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 40/6102/08/2015
Ví dụ 1
 Đoạn BC  0 ≤ z2 ≤ 2a 
2BCzM M
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 41/6102/08/2015
2. Trị số ứng suất tiếp lớn nhất 
 
2
2
3 3
15 10
7,5 /
0,2 0,2 10
CD
z
CD
M
kN cm
D


  

Ví dụ 1
 
 
2
2
3 3
10 10
0,625 /
0,2 200,2 2
BC
z
BC
M
kN cm
D


  

3. Góc xoắn tại D
D BC CD   
2CD BCz z
D CD BC
M a M a
GI GI 

 
 
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 42/6102/08/2015
2 2 2 2
3 4 3 4
15 10 10 10 10 2 10
0,02 ( )
8 10 0,1 10 8 10 0,1 10
D rad
    
  
     
Ví dụ 1
Phân tích trạng thái ứng suất
 Các phân tố với các mặt song song và
vuông góc trục chỉ chịu trượt thuần túy.
Ứng suất pháp và ứng suất tiếp hoặc đồng
thời cả hai có thể tồn tại trên các mặt.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 43/6102/08/2015
 Phân tố a chỉ chịu trượt
thuần túy. 
 Xét phân tố nghiêng 
góc 450 so với trục
Phân tích trạng thái ứng suất
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 44/6102/08/2015
Phân tích trạng thái ứng suất
  0ax 0 ax 02 os45 2m mF A c A  
0
ax 0
ax45
0
2
2
m
m
AF
A A

   
 Phân tố chịu ứng suất kéo trên hai mặt và
chịu ứng suất nén trên hai mặt.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 45/6102/08/2015
Phân tích trạng thái ứng suất
 Vật liệu dẻo, độ bền trượt kém thường bị
phá hủy do cắt. Vật liệu dòn chịu kéo kém
hơn chịu cắt.
 Khi chịu xoắn, mẫu vật liệu dẻo bị phá hủy
tại mặt cắt có ứng suất tiếp lớn nhất – mặt
cắt ngang.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 46/6102/08/2015
Phân tích trạng thái ứng suất
 Khi chịu xoắn, mẫu
vật liệu dòn bị phá
hủy theo phương có
biến dạng kéo lớn
nhất – phương xiên
góc 450 so với trục.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 47/6102/08/2015
7.4. Điều kiện bền - Điều kiện cứng
1. Điều kiện bền
 axax ax
W
z
m
M
m m

  
  0
n

  - nếu dùng thực nghiệm tìm 0
 
 
2

  - nếu dùng thuyết bền 3
 
 
3

  - nếu dùng thuyết bền 4
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 48/6102/08/2015
2. Điều kiện cứng
   ax
ax
 /zm
m
M
rad m
GI
 
 
   
 
 Nếu [θ] cho bằng độ/m => đổi ra rad/m
3. Ba bài toán cơ bản: 
a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền (hoặc
điều kiện cứng)
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 49/6102/08/2015
 ax
W
z
m
M

  
b) Bài toán 2: Chọn kích thước thanh theo điều
kiện bền (hoặc điều kiện cứng)
 
W
zM



Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 50/6102/08/2015
c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của
tải trọng tác dụng (là giá trị lớn nhất của tải
trọng đặt lên hệ mà thanh vẫn đảm bảo điều
kiện bền hoặc điều kiện cứng)
 WzM   
7.5. Bài toán siêu tĩnh
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 51/6102/08/2015
7.5. Bài toán siêu tĩnh
Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương
trình cân bằng tĩnh học thì ta không thể xác
định hết các phản lực, cũng như các thành
phần nội lực trong thanh.
Phương pháp giải: Viết thêm phương trình
bổ sung – phương trình biểu diễn điều kiện
biến dạng.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 52/6102/08/2015
Ví dụ: Vẽ biểu đồ moment xoắn nội lực
Ví dụ
 Giả sử phản lực tại ngàm MA, MD có
chiều như hình vẽ.
Bài giải
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 53/6102/08/2015
Ví dụ
 Ta có: MA+ MD= M (1)
 Điều kiện biến dạng
AD = 0 (2)
2AB BDz z
AD AB BD AB BD
M a M a
GI GI 
     
 
 
4 4
2
0
0,10,1 2
D D
AD
M M a M a
G dG d

 
  
  
1 32
; M
33 33
D AM M M 
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 54/6102/08/2015
7.6. Thế năng biến dạng đàn hồi
TNBD đàn hồi riêng do ứng suất tiếp:
2
21 1
2 2 2
u G
G

   
TNBD đàn hồi của thanh chịu
xoắn: 
22
2
0
2 2
L
zMU udV dV dz
G GI

    
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 55/6102/08/2015
Khi ons
zM c t
GI

2
2
zM LU
GI

7.6. Thế năng biến dạng đàn hồi
7.7. Xoắn thanh tiết diện chữ nhật
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 56/6102/08/2015
7.7. Xoắn thanh tiết diện chữ nhật
 Khi biến dạng, giả thiết
mặt cắt ngang phẳng
không còn đúng: bị vặn,
xoắn..
 Bài toán xoắn thanh tiết 
diện chữ nhật: giải theo 
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 57/6102/08/2015
 Ở tâm và ở các góc ứng
suất tiếp bằng 0, ở phía
ngoài ứng suất hướng theo
chu tuyến. Biểu đồ ứng
suất tiếp dọc theo chu
tuyến như hình vẽ. Ứng
suất tiếp lớn nhất tại điểm
giữa cạnh dài...
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 58/6102/08/2015
ax 2
0W
z z
m
x
M M
ab


 
1 axm 
 Góc xoắn 3
0
z z
x
M M
GI Gab


 
 Các hệ số , β,  phụ thuộc vào tỉ số a/b 
(a >>b) 
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 59/6102/08/2015
 Khi tỉ số a/b lớn thì các hệ số , β,  = 1/3 =
0,333
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 60/6102/08/2015
HỌC TẬP NGHIÊM TÚC LÀ
CHÌA KHOÁ CỦA THÀNH CÔNG
Serious learning is the key 
to success.
Ngô Văn Cường- Industrial University Of HCM City 61/6102/08/2015