Bài giảng Sức bền vật liệu - Trường Đại học Xây dựng

July 2010 tpnt2002@yahoo.com
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
®
¹
i
h
ä
c
July2010 Tran Minh Tu - University of Civil Engineering2
Chương 1
NỘI LỰC TRONG BÀI TOÁN THANH
3(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Chương 1. Nội lực trong bài toán thanh
NỘI DUNG
1.1. Các ứng lực trên mặt cắt ngang
1.2. Biểu đồ ứng lực – PP mặt cắt biến thiên
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và
tải trọng ngang phân bố
1.4. Phương pháp vẽ biểu đồ ứng lực theo điểm
đặc biệt
1.5.Biểu đồ ứng lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp
1.6. Biểu đồ ứng lực của khung phẳng
4(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.1. Các ứng lực trên mặt cắt ngang (1)
• Trong trường hợp tổng quát trên mặt
cắt ngang của thanh chịu tác dụng của
ngoại lực có 6 ứng lực:
y
z
xMx
My
Mz Qx
NZ
Qy
5(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.1. Các ứng lực trên mặt cắt ngang (2)
• Bài toán phẳng: Ngoại lực nằm trong mặt
phẳng đi qua trục z (yOz) => Chỉ tồn tại
các ứng lực trong mặt phẳng này: Nz, Mx, 
Qy
• Nz - lực dọc; Qy - lực cắt; Mx – mô men uốn
y
z
xMx
NZ
Qy
6(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.1. Các ứng lực trên mặt cắt ngang (3)
N
Q Q
M M
1
1
7(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.1. Các ứng lực trên mặt cắt ngang (4)
™Qui ước dấu các thành phần ứng lực
„ Lực dọc: N>0 khi có chiều đi ra khỏi mặt cắt
„ Lực cắt: Q>0 khi có chiều đi vòng quanh phần
thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ
„ Mô men uốn: M>0 khi làm căng các thớ dưới
N
N
8(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.1. Các ứng lực trên mặt cắt ngang (5)
™Cách xác định các thành phần ứng lực
„ Giả thiết chiều các thành phần M, N, Q theo chiều
dương qui ước
„ Thiết lập phương trình hình chiếu lên các trục z, y 
và phương trình cân bằng mô men với trọng tâm
O của mặt cắt ngang
0 => N= ...Z =∑
0 => Q= ...Y =∑
0 => M= ...OM =∑
9(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.1. Các ứng lực trên mặt cắt ngang (6)
™Biểu thức quan hệ ứng lực - ứng suất
„ Vì là bài toán phẳng nên chỉ tồn tại các thành phần
ứng suất trong mặt phẳng zOy => ký hiệu
„ Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang
„ dA(x,y) là phân tố diện tích của dt mặt cắt ngang A
,z zyσ τ ( , )σ τ⇒
( )A
N dAσ= ∫
( )A
Q dAτ= ∫
( )A
M y dAσ= ∫
ydA
x
y
zστ
x
10(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.2. Biểu đồ ứng lực (1)
™Khi tính toán => cần tìm vị trí mặt cắt
ngang có trị số ứng lực lớn nhất => 
biểu đồ
™Biểu đồ ứng lực - là đồ thị biểu diễn sự
biến thiên của các thành phần ứng lực
theo toạ độ mặt cắt ngang
™Các bước vẽ biểu đồ ứng lực
11(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.2. Biểu đồ ứng lực (3)
a. Xác định phản lực tại các liên kết
b. Phân đoạn thanh sao cho biểu thức của
các ứng lực trên từng đoạn là liên tục
c. Viết biểu thức xác định các ứng lực N, Q, M 
theo toạ độ mặt cắt ngang bằng phương
pháp mặt cắt
d. Vẽ biểu đồ cho từng đoạn căn cứ vào
phương trình nhận được từ bước (c)
e. Kiểm tra biểu đồ nhờ vào các nhận xét
mang tính trực quan
12(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.2. Biểu đồ ứng lực (4) 
™Biểu đồ lực dọc, lực cắt vẽ theo qui 
ước và mang dấu
™Biểu đồ mô men luôn vẽ về phía thớ
căng
N, Q
z
M
z
13(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.1 (1)
Vẽ biểu đồ các thành phần
ứng lực trên các mặt cắt
ngang của thanh chịu tải
trọng như hình vẽ
GIẢI:
1. Xác định phản lực
VA VB
F
a b
C
( ) 0A BM V a b Fa= + − =∑
( ) 0B AM V a b Fb= + − =∑
( )B
FaV
a b
⇒ = +
( )A
FbV
a b
⇒ = +
Thử lại: 0Y =∑
14(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.1 (2)
F
a b
VA VB
C
1
1
Mặt cắt 1 – 1:
VA
z1
Q
M
N
0N =
10 z a≤ ≤
( )0A A
FbY Q V Q V
a b
= − = ⇒ = = +∑
( )
Mặt cắt 2 – 2:
1
0 1 10A A
FbzM M V z M V z
a b
= − = ⇒ = = +∑
0N =
20 z b≤ ≤
( )0B B
FaY Q V Q V
a b
= + = ⇒ = − = − +∑
( )20 2 20B B
FazM M V z M V z
a b
= − = ⇒ = = +∑
2
2
VB
z2
Q
M
N
Đoạn AC
Đoạn BC
A B
15(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.1 (3)
Nhận xét 1
Tại mặt cắt có lực tập
trung => biểu đồ lực
cắt có bước nhảy, độ
lơn bước nhảy bằng
giá trị lực tập trung, xét
từ trái qua phải, chiều
bước nhảy cùng chiều
lực tập trung
F
a b
VA VB
Fb
a+b
a+b
Fa
+
N
M
Q
Fab
a+b
F
C
( ):
FbAC Q
a b
= +
( ):
FaBC Q
a b
= − +
( )1:
FbzAC M
a b
= +
( )2:
FazBC M
a b
= +
16(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.2 (1)
L
q
VA VB
Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực
trên các mặt cắt ngang của thanh
chịu tải trọng như hình vẽ
GIẢI
1. Xác định các phản lực liên kết
2
. 0
2A B
qlM V l= − =∑
.
2A
q lV⇒ =2. 0
2B A
qlM V l= − =∑
.
2B
q lV⇒ =
Bài toán đối xứng: .
2A B
q lV V⇒ = =
Hoặc:
2. Biểu thức nội lực
Xét mặt cắt 1-1 
(0 ≤ z ≤ L) .2
qlQ q z⇒ = −
2. .
2 2
ql qM z z⇒ = −
1
1
Q
zVA
M
Nq
0AY Q qz V= + − =∑
2
1
0 1 02A
qzM M V z= − + =∑
17(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.2 (2)
ƒ Nhận xét 2
Tại mặt cắt có lực cắt
bằng 0, biểu đồ mô
men đạt cực trị
L
q
VA VBqL/2
qL/2
+
Q
L/2
qL2/8
M
.
2
qlQ q z= −
2. .
2 2
ql qM z z= −
0
2A
qLz Q= => =
2B
qLz L Q= => = −
0 0Az M= => =
0Bz L M= => =
2
qLM ' qz= − 0
2
LM ' z= => =
( )0M '' q= − <
2
2 8max z L /
qLM M =⇒ = =
18(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.3 (1)
1. Xác định phản lực:
.( ) 0A BM V a b M= + − =∑
.( ) 0B AM V a b M= + − =∑
B
MV
a b
⇒ = +
A
MV
a b
⇒ = +
2. Lập các biểu thức ứng lực:
AC: Xét mặt cắt 1-1 ( 0 ≤ z1 ≤ a)
y A
MQ V
a b
= − = − +
VA VB
a b
C
M
.x AM V z= −
QVA
M
z1 VB
M
Q z2
1
1
2
2
Xét mặt cắt 2-2 ( 0 ≤ z2 ≤ b)
y A
MQ V
a b
= − = − +
2.x BM V z=
19(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.3 (2)
a b
VA VB
M
(a+b) M
(a+b)Ma
(a+b)
Mb
(a+b)
M
Q
M
C
M
y A
MQ V
a b
= − = − +
1.x AM V z= −
AC: ( 0 ≤ z1 ≤ a)
y A
MQ V
a b
= − = − +
BC: ( 0 ≤ z2 ≤ b)
2.x BM V z=
Nhận xét 3
Tại mặt cắt có mô men tập
trung, biểu đồ mô men có bước
nhảy, độ lớn bước nhảy bằng
giá trị mô men tập trung, xét từ
trái qua phải, mômen tập trung
quay thuận chiều kim đồng hồ
thì bước nhảy đi xuống
20(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men 
uốn, lực cắt và tải ngang phân bố (1)
• Xét dầm chịu tải phân bố
q(z)>0: hướng lên
Tách đoạn thanh có chiều
dài dz giới hạn bởi 2 mặt
cắt ngang 1-1 và 2-2
q(z)
1
1
2
2dz
Q Q+dQ
M M+dM
dz
Đạo hàm bậc hai của mô men uốn bằng đạo hàm bậc nhất của
lực cắt và bằng cường độ tải trọng phân bố
( ) 0Y Q dQ Q q z dz= + − − =∑
( )dQ q z
dz
⇒ =
( ) 0
2 2
dz dzM M dM M Q dQ Q= + − − + − =∑
dM Q
dz
⇒ =
2
2 ( )
d M dQ q z
dz dz
= =
21(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men 
uốn, lực cắt và tải ngang phân bố (2)
™Ứng dụng
„ Nhận dạng các biểu đồ Q, M khi biết qui luật
phân bố của tải trọng q(z). Nếu trên một đoạn
thanh biểu thức của q(z) bậc n thì biểu thức
lực cắt Q bậc (n+1), biểu thức mô men M bậc
(n+2)
„ Tại mặt cắt có Q=0 => M cực trị
„ Tính các thành phần Q, M tại mặt cắt bắt kỳ
khi biết giá trị của chúng tại mặt cắt xác định
• Qphải = Qtrái + Sq ( Sq – Dtích biểu đồ q)
• Mphải = Mtrái + SQ ( SQ – Dtích biểu đồ Q)
22(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
q
z
q(z)
A B
( )
B B
A A
dQ q z dz=∫ ∫
B A qQ Q S= +
Sq
Q
z
Q(z)
A B
SQ
( )
B B
A A
dM Q z dz=∫ ∫
B A QM M S= +
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men 
uốn, lực cắt và tải ngang phân bố (3)
23(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
" ( )M q z=
( ) 0q z > => M lõm =>
z
M
z
M
( ) 0q z M lõm =>
Nhận xét:
Biểu đồ mô men 
luôn có xu hướng
hứng lực
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men 
uốn, lực cắt và tải ngang phân bố (4)
24(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.4. Vẽ biểu đồ ứng lực theo điểm đặc biệt
™Cơ sở: Dựa vào mối liên hệ vi phân
giữa Q, M và q(z)
™Biết tải trọng phân bố =>nhận xét dạng
biểu đồ Q, M => xác định số điểm cần
thiết để vẽ được biểu đồ
„ q=0 => Q=const => QA=? (hoặc QB)
M bậc 1 => MA=? và MB=?
„ q=const => Q bậc 1 => QA=? QB=?
M bậc 2 => MA=?; MB=?; cực trị?
tính lồi, lõm,..?
25(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1.4. Vẽ biểu đồ ứng lực theo điểm đặc biệt (2)
™Các giá trị QA, QB, MA, MB, cực trị - là giá trị
các điểm đặc biệt. Được xác định bởi:
„Quan hệ bước nhảy của biểu đồ
„Phương pháp mặt cắt
„Qphải = Qtrái + Sq (Sq - Dtích biểu đồ q) 
„Mphải = Mtrái + SQ (SQ - Dtích biểu đồ Q)
™Ví dụ
26(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.4 (1)
™Xác định phản lực q
F=qa
VA VB
.3 2 .2 . 0B AM V a qa a F a= − − =∑
5
3A
V qa=> =
.3 2 . .2 0A BM V a qa a F a= − − =∑
4
3B
V qa=> =
Xét đoạn AC:
2a a
C
q=const Q bậc 1
QA=VA
QC=VA+Sq=5qa/3-2qa=-qa/3
M bậc 2: MA=0
MC=MA+SQ=4qa2/3; Mmax=25qa2/18 
5
3
qa
1
3
qa
+
5a/3
Mmax=25qa2/18 
4qa2/3 
27(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.4 (2)
2a a
VA VB
C
5
3
qa
4
3
qa
1
3
qa
+
5a/3
Mmax=25qa2/18 
4qa2/3 
Xét đoạn BC: q
F=qa
q= 0
Q = const
QB= - VB
M bậc 1:
MB=0
MC=MB-SQ=4qa2/3
Q
M
28(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Biểu đồ Q, M các trường hợp chịu
tải trọng đơn giản
29(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
4.5. Biểu đồ ứng lực dầm tĩnh định
nhiều nhịp
Định nghĩa: Là hệ tĩnh định gồm tập hợp các dầm, nối với nhau
bằng các liên kết khớp
Cách vẽ biểu đồ: 
- Phân biệt dầm chính và dầm phụ
- Dầm chính là dầm khi đứng độc lập vẫn chịu được tải trọng
- Dầm phụ là dầm khi đứng độc lập không chịu được tải
trọng, phải tựa lên dầm chính mới chịu được tải trọng
- Tải trọng đặt lên dầm chính không ảnh hưởng tới dầm phụ, 
tải trọng đặt trên dầm phụ sẽ truyền tới dầm chính thông
qua phản lực liên kết
- Vẽ biểu đồ cho dầm phụ trước rồi đến dầm chính, sau đó
ghép lại với nhau
30(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.5 (1)
Ví dụ 1.5: Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm
ghép tĩnh định sau: 
Bài giải:
Hệ dầm ABCD là hệ dầm ghép gồm:
+ Dầm phụ BCD
+ Dầm chính AB
1) Dầm phụ BCD:
- Xác định phản lực: 
F
a aa
A B
C
D
2D
FV R= =
a aa
A R
B
B
C
D
VD
F
R
31(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
0 ( )
2 2C B Q
F FaM M S a⇒ = + = + =
(Q)2
F
2
F
(M)
2
Fa
0 ( )
2 2C D Q
Fa FaM M S⇒ = − = − − =
F
a aa
A B
C
D
B
C
D
VD
F
R
a. Đoạn BC: q(z)=0
=> Q=const => QB= R = F/2
=> M bậc nhất 0BM⇒ =
b. Đoạn CD: q(z)=0
=> Q=const => QD= -VD = - F/2
=> M bậc nhất 0DM⇒ =
Ví dụ 1.5 (2)
32(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
2.) Dầm chính AB:
2
F
(Q)
2
Fa
(M)
F
a aa
A B
C
D
A R
B
Ví dụ 1.5 (3)
33(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
a aa
C
D
A B
2
F
2
F
2
F
2
Fa
2
Fa
(Q)
(M)
3.) Biểu đồ ứng lực toàn hệ dầm ghép
Ví dụ 1.5 (4)
34(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
4.6. Biểu đồ ứng lực khung phẳng
™Khung phẳng là hệ phẳng gồm những thanh nối
nhau bằng các liên kết cứng (là liên kết mà góc
giữa các thanh tại điểm liên kết không thay đổi
khi khung chịu lực)
™Đối với các đoạn khung nằm ngang, biểu đồ các
thành phần ứng lực vẽ như qui ước với thanh
thẳng
™Đối với các đoạn khung thẳng đứng, biểu đồ N, 
Q vẽ về phía tùy ý và mang dấu. Biểu đồ mô men 
vẽ về phía thớ căng
™Để kiểm tra biểu đồ ta cần kiểm tra điều kiện cân
bằng các mắt khung: Tại mắt khung, nội lực và
ngoại lực thoả mãn điều kiện cân bằng tĩnh học.
35(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.6 (1)
K
a
a a a
M F
q
A
D
B
C
Ví dụ 5: Vẽ biểu đồ ứng lực của khung phẳng sau:
Biết M=qa2, F=2qa
Bài giải:
1. Xác định các phản lực:
Từ điều kiện cân bằng của khung ta có
0AM =∑
2
0
2 2 2
1.2
2
1.2 2 0
2
K
K
V a Fa M qa
V a qa qa qa
= − − −
= − − − =
VK
VA
HA
7
4K
V qa⇒ =
0 AX H qa= ⇒ =∑
36(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.6 (2)
0
2 2 2 2
3.2 .2 .
2
3.2 2 2 0
2
A A
A
aV a H a qa M Fa
V a qa qa qa qa
= + − + −
= + − + − =
0KM =∑
A
1
4
V qa⇒ =
2. Nhận xét dạng biểu đồ các thành
phần ứng lực trên từng đoạn:
+ Biểu đồ lực dọc:
Bằng phương pháp mặt cắt dễ dàng xác định:
4
0
AB BC A
DK CD
qaN N V
N N
= = − = −
= =
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
1
4
qa
N
37(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.6 (3)
Đoạn AB: q=const
ÖBiểu đồ Q bậc nhất
ÖCần xác định: QA = HA = qa
ÖQB = QA+Sq = qa+(-q).a = 0
ÖBiểu đồ M bậc hai
ÖCần xác định: MA = 0
ÖMB = MA+SQ = 0 + qa.a/2 = qa2/2; 
Ötại B có Q = 0 => Mmax=qa2/2
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
qa
Q(kN) M(kNm)
2
2
qa
38(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.6 (4)
Đoạn BC: q=0
ÖBiểu đồ Q=const 
Ö Cần xác định QB=0 
( ) 2 / 2;ABB BM M qa= =
2 2/ 2 0 / 2C B QM M S qa qa= + = + =
ÖBiểu đồ M bậc nhất
Ö Cần xác định
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
qa
Q(kN)
M(kNm)
21
2
qa
2
2
qa
39(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.6 (5)
Trên đoạn CD: q=0
ÖBiểu đồ Q=const => Cần xác định
7 12
4 4D K
Q F V qa qa qa= − = − =
27
4D K
M V a qa= =
2 27 1 3
4 4 2C D Q
M M S qa qa a qa⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
ÖBiểu đồ M bậc nhất => Cần xác định
a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
1
4
qa
qa
Q(kN)
27
4
qa
M(kNm)
23
2
qa
2
2
qa
2
2
qa
40(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.6 (6)
Trên đoạn DK: q=0
ÖBiểu đồ Q=const => Cần xác định
7
4K K
Q V qa= − = −
0KM =
( ) 27
4
CD
D DM M qa= = a
a a a
M F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
ÖBiểu đồ M bậc nhất => Cần xác định
1
4
qa
7
4
qa
qa
Q(kN)
27
4
qa
M(kNm)
23
2
qa
2
2
qa
2
2
qa
41(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.6 (7)
4. Xét cân bằng các mắt khung
Tại mắt C, biểu diễn các ngoại lực, các ứng lực trên hai mặt cắt ngay sát
C thuộc đoạn BC và CD theo chiều thực (căn cứ vào các biểu đồ). Kiểm tra
điều kiện cân bằng: Tại mắt khung tổng nội lực và ngoại lực bằng không.
0
0
0C
X
Y
M
∑ =
∑ =
∑ =
1
4
qa
23
2
qa
1
4
qa
2
2
qa
2qa
42(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
1
4
qa
23
2
qa
1
4
qa
2
2
qa
2qa
Biểu đồ nội lực của khung
1
4
qa
N
kN
1
4
qa
7
4
qa
qa
Q
kN
27
4
qa
23
2
qa
2
2
qa
2
2
qa
M
kNm
Ví dụ 1.6 (8)
43(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
4.7. Biểu đồ ứng lực thanh cong
™Thanh cong: trục thanh là đường cong 
phẳng, ngoại lực nằm trong mặt phẳng
chứa trục thanh
™Dùng phương pháp mặt cắt để xác định
các thành phần ứng lực trên mặt cắt
ngang
44(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh cong
như hình bên.Biết: R=2m, M1=5kNm
M2=10kNm, P1=15kN.
Bài giải:
1) Tính phản lực tại gối A và E
Ta có: 
10 15AX H P kN= ⇒ = =∑ VEVA
HA
( )
1 2
1 2
.4 0
10 5 1,875
4 8
A E
E
M M M V R
M MV kN
R
= + − =
+ += = =
∑
1,875A EV V kN= =
M2
M1
2R
2R
D
B
E
C
1 2
P1A
1 2
3
34
4
Ví dụ 1.7 (1)
45(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.7 (2)
1ϕ
N
Q
M
VA
HA
1ϕ
2) Chia thanh thành 4 đoạn
a. Xét đoạn AB:
Dùng mặt cắt 1 – 1, ta có:
10 2
πϕ≤ ≤
1 1
1 1
. os .sin
 = 1,875 os 15sin
A AN V c H
c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= − +
− + VE
VA
HA
M2
M1
2R
2R
D
B
E
C
1 2
P1A
1 2
3
34
4
1 1 1 1.sin . os 1,875sin 15 osA AQ V H c cϕ ϕ ϕ ϕ= − − = − −
1 1
1 1
. .(1 os ) . .sin
3,75. os 30sin 3,75
A AM V R c R H
M c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= − − −
⇒ = − −
46(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.7 (3)
Bảng biến thiên:
1ϕ 6
π
4
π
3
π
2
π[rad] 0
N [kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15
Q[kN] -15 -13,98 -11,93 -9,12 -1,88
M[kNm] 0 -15,50 -22.31 -27,86 -33,75
b,Xét đoạn BC:
Ta có (mặt cắt 2-2):
20 2
πϕ≤ ≤
1ϕ
N
Q
M
VA
HA
1ϕ
1
1
VA
HA
2ϕ
2ϕ N
Q
M
M1
2
2
2 2 2 2.sin . os 1,875.sin 15. osA AN V H c cϕ ϕ ϕ ϕ= + = +
2 2 2 2os sin 1,875 os 15sinA AQ V c H cϕ ϕ ϕ ϕ= − + = − +
0
20 7,13Q ϕ= ⇒ = ( )2 1 2
2 2
1 sin os
3,75 3,75sin 30 os 5
A AM V R M H Rc
M c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= − + + −
= − − − +
( )02ax 7,13 29( )mM M kNmϕ == =
47(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.7 (4)
Bảng biến thiên:
2ϕ 6
π
4
π
3
π
2
π
[rad] 0
N [kN] 15,00 13,93 11,93 9,12 1,88
Q[kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15
M[kNm] -28,75 -26,61 -22,61 -17,00 -2,5
c,Xét đoạn ED:
Ta có:
30 2
πϕ≤ ≤
3 1 3 3 3. os .sin 1,875. os 15.sinEN V c P cϕ ϕ ϕ ϕ= − + = − +
E 3 1 3 3 3.sin . os 1,875.sin 15. osQ V P c cϕ ϕ ϕ ϕ= − − = − −
VA
HA
2ϕ
2ϕ N
Q
M
M1
2
2
3ϕ
M
Q
N
VE
P13ϕ
3
3
3 1 3
3 3
. .(1 os ) . .sin
 = 3,75. os 30.sin 3,75
EM V R c R P
c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= − − −
− − −
48(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.7 (5)
Bảng biến thiên:
3ϕ 6
π
4
π
3
π
2
π[rad] 0
N [kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15,00
Q[kN] 15,00 12,05 9,28 5,88 -1,88
M[kNm] 0 -15,5 -22,31 -27,86 -33,75
d,Xét đoạn CD:
Ta có:
40 2
πϕ≤ ≤
VE
P1
M2
M
Q
N
4ϕ
4ϕ
3ϕ
M
Q
N
VE
P13ϕ
3
3
4 1 4 4 4.sin . os 1.875.sin 15. osEN V P c cϕ ϕ ϕ ϕ= + = +
4 1 4 4 4. os .sin 1,875. os 15. osEQ V c P c cϕ ϕ ϕ ϕ= − + = − +
0
40 7,13Q ϕ= ⇒ =
49(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.7 (7)
4 2 1 4
4 4
. .(1 sin ) os
 3.75 3,75sin 30. os 10
EM V R M PRc
c
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= − + + −
= − − − +
( )04ax 7,13 24( )mM M kNmϕ == =
Bảng biến thiên:
4ϕ 6
π
4
π
3
π
2
π[rad] 0
N [kN] 15,00 13,93 11,93 9,12 1,88
Q[kN] -1,88 5,88 9,28 12,05 15,00
M[kNm] -23,75 -21,61 -17,61 -12,00 2,50
VE
P1
M2
M
Q
N
4ϕ
4ϕ
3, Biểu đồ nội lực:
50(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
Ví dụ 1.7 (8)
15
13,98
11,93
9,12 1,88
5,88
9,28
12,05
15
12,05
9,28
5,88 1,88
5,88
9,28
12,05
15
7,13o
13,93
1,88
5,88
9,28
12,05 15
13,93
1,88
5,88
9,28
12,05 15
11,93
9,12
1,88
9,12
11,93
7,13o
N
kN
Q
kN
51(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
ax 24mM =
2,5
12
17,61
21,61
23,75 33,75
27,86
22,31
15,5
15,05
23,31
27,86 26,61
33,75
28,75
ax 29mM =
22, 26
17
M
kNm
Ví dụ 1.7 (9)
52(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
4. Câu hỏi???
53(52)
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering 
E- mail:
tpnt2002@yahoo.com