Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự - Trần Quang Việt (Tiếp)

1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-7: Đáp ứng tần số của hệ thống LTI và thiết kế bộ lọc tương tự
Lecture-14 
7.3. Bộ lọc Butterworth
7.4. Bộ lọc Chebyshev
7.5. Các phép biến đổi tần số
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.2. Bộ lọc Butterworth
Trên thực tế người ta tìm được các phép biến đổi để thiết
kế bộ lọc thông cao, thông dãi, chắn dãi dựa vào bộ lọc
thông thấp 
 Tập trung khảo sát thiết kế bộ lọc thông
thấp (xem như bộ lọc mẫu – Prototype Filter)
2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Butterworth bậc n:
( )2
1| ( ) |
1
c
n
H j
ω
ω
ω =
+
 Tại tần số ωc, đáp ứng biên độ bằng 1/(2)1/2 hoặc -3dB 
 công
suất suy giảm ½ : gọi là tần số cắt, tần số 3dB hoặc tần số ½
công suất
 Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa (ωc=1) như sau:
2
1| ( ) |
1 n
jω
ω
=
+
H
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Đáp ứng biên độ của bộ lọc chuẩn hóa:
 Xác định hàm truyền của bộ lọc chuẩn hóa:
s jω=
Các poles của H(s)H(-s) phải thỏa: 2 2( )n ns j= −
(2 1)1 j ke pi −− =
/ 2jj e pi=
2 (2 1)n j k ns e pi + −=
2
1| ( ) |
1 n
jω
ω
=
+
H
2
1( ) ( )
1 n
j jω ω
ω
− =
+
H H 2
1( ) ( )
1 ( / ) ns s s j− = +H H
3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
Re
Im
-1
1
j
-j
( 2 1)
2 ; 1, 2, 3, ..., 2
j k n
n
ks e k n
pi
+ −
= =
Kết luận: n poles của H(s): 
Vậy các poles của H(s)H(-s) là:
( 2 1)
2 ; 1, 2, 3, ...,
j k n
n
ks e k n
pi
+ −
= =
Re
Im
-1
1
j
-j
H(-s)H(s) H(-s)H(s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
Vậy H(s) có dạng:
( 2 1)
2 ; 1, 2, 3, ...,
j k n
n
ks e k n
pi
+ −
= =
1 2 3
1( ) ( )( )( )...( )n
s
s s s s s s s s
=
− − − −
H
Ví dụ: xét trường hợp n=4
5 /8
1 0.3827 0.9239
js e jpi= = − +
7 /8
2 0.9239 0.3827
js e jpi= = − +
9 /8
2 0.9239 0.3827
js e jpi= = − −
11 /8
1 0.3827 0.9239
js e jpi= = − −
Re
Im
-1
j
-j
s1
s2
s3
s4
4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
1( ) ( 0.3827 0.9239)( 0.3827 0.9239)( 0.9239 0.3827)( 0.9239 0.3827)s s j s j s j s j= + − + + + − + +H
2 2
1( ) ( 0.7654 1)( 1.8478 1)s s s s s= + + + +H⇒
⇒
4 3 2
1( )
2.6131 3.4142 2.6131 1
s
s s s s
=
+ + + +
H
Làm tương tự ta có thể tính được cho trường hợp bậc n bất kỳ:
1
1 1
1 1( ) ( ) ... 1n n
n n
s
B s s a s a s−
−
= =
+ + + +
H
Bn(s): Gọi là đa thức Butterworth!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
Coefficients of Butterworth Polynominal Bn(s)=sn+an-1sn-1++a1s+1
n 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
Butterworth Polynominal in Factorized Form
n ( )nB s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc:
( )sH / cs s ω← ( )H s
Thiết kế bộ lọc Butterworth bậc 2 với ωc=10
2
1( )
2 1
s
s s
=
+ +
H ( ) ( )2s s10 10
1H(s)=
+ 2 +1
/ cs s ω←
2
100H(s)=
s +10 2s+100
⇒
6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Xác định bậc n của bộ lọc và ωc theo các yêu cầu thiết kế:
 Độ lợi (dB) tại tần số ωx: ( )21 010 log 1 xc nxG ωω = − +  
 Độ lợi (dB) tại tần số ωp: ( )21 01 0 log 1 0pc npG ωω ≤ − + ≤  
 Độ lợi (dB) tại tần số ωs: ( )2100 10 log 1 sc nsG ωω ≥ ≥ − +  
( )2 / 1 01 0 1s s
c
n Gω
ω
−≥ −
( )2 /1010 1p p
c
n Gω
ω
−≤ −
⇒ ( ) /102 /1010 110 1
s
s
p p
Gn
G
ω
ω
−
−
−≥
−
⇒
/10/10log (10 1) /(10 1)
2 log ( / )
ps GG
s p
n
ω ω
−
− 
− − ≥⇒
/10 1 / 2(10 1)p
p
c G n
ω
ω
−
≥
−
/10 1/ 2(10 1)s
s
c G n
ω
ω
−
≤
−
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth:
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi dãi thông (0≤ω<10) không nhỏ hơn -2dB; độ lợi dãi
chắn (ω≥20) không vượt quá -20dB
 Bước 1: Xác định
 Bước 2: Xác định ωc:
/10/10log (10 1) /(10 1)
2 log ( / )
ps GG
s p
n
ω ω
−
− 
− − ≥
/10 1 / 2(10 1)p
p
c G n
ω
ω
−
≥
−
/10 1/ 2(10 1)s
s
c G n
ω
ω
−
≤
−
và
 Bước 3: Xác định H(s): dùng n (bước 1) tra bảng (hoặc tính) 
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / cs s ω← ( )H s
7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.3. Bộ lọc Butterworth
 Bước 1:
 Bước 2:
2 0 .2lo g (1 0 1) / (1 0 1)
3 .7 0 1
2 lo g 2
n
 − − ≥ =
0 .2 1 / 8
1 0 1 0 .6 9 4(1 0 1)cω ≥ =−
 Bước 3:
 Bước 4:

 chọn n=4 
2 1 / 8
2 0 1 1 .2 6(1 0 1)cω ≤ =−

 chọn ωc=11
( ) ( )81010 1110 log 1 1 .66 2p designG dB dB = − + = − > − 
( ) ( )8201 0 1110 log 1 20 .8 20s d esignG dB dB = − + = − < − 
2 2
1( ) ( 0 .76536686 1)( 1.84775907 1)s s s s s= + + + +H
( ) ( ) ( ) ( )2 211 11 11 11
1( )
[ 0.76536686 1][ 1.84775907 1]s s s s
H s =
+ + + +
2 2
14641( ) ( 8.41903546 121)( 20.32534977 121)H s s s s s= + + + +⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp Chebyshev:
2 2
1| ( ) |
1 ( )
cn
H j
C ωω
ω
ε
=
+
 Trong thiết kế, ta dùng đáp ứng chuẩn hóa (ωc=1):
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
 Vậy khi có H(s) 
 H(s) bằng cách: 
( )sH / cs s ω← ( )H s
8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Xét đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp chuẩn hóa Chebyshev :
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
( )1( ) cos cosnC nω ω−= ; | | 1ω <
( )1( ) cosh coshnC nω ω−= ; | | 1ω >
Cn(ω) là một đa thức thỏa tính chất sau:
1 2( ) 2 ( ) ( ) ; 2n n nC C C nω ω ω ω− −= − ≥
0 ( ) 1C ω =Có: và 1 ( )C ω ω= 22 ( ) 2 1C ω ω⇒ = −
Một cách tương tự ta có thể tính được bảng Cn(ω)!!!
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
n ( )nC ω
Chebyshev Polyminals
9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Đáp ứng biên độ bộ lọc Chebyshev:
2 2
1| ( ) |
1 ( )n
j
C
ω
ε ω
=
+
H
2
1010 log (1 )r ε= +
-r ↔Gp (Butterworth)
p cω ω≡
Độ gợn r (Độ lơi max/Độ lơi min) trong dãi thông:
(dB)
(dB)
Pass-band Pass-band
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Xác định ε và bậc(n) của bộ lọc Chebyshev thỏa yêu cầu thiết kế:
 Độ lợi tại tần số ω: 2 2101 0 lo g [1 ( )]pnG C ωωε= − +
 Độ lợi tại tần số ωs:
2 2
1 01 0 lo g [1 ( )]spnC
ω
ωε− +
⇒ ( ) 1 / 2/ 1 01 / 1 01 0 1c o s h c o s h 1 0 1
s
s
p
G
r
n
ω
ω
−
−
 
−  ≥   
− 
( )
1 / 2/ 1 0
1
/ 1 01
1 1 0 1
c o s h
1 0 1c o s h /
sG
r
s p
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
⇒
( ) 21010 log (1 )designr rε= + ≤ ⇒ Xác định ε:
sG≤ 0≤
/1010 1rε ≤ −
/ 1 0
1
1 0 1
co sh [ co sh ( / )]
sG
s pn
ε
ω ω
−
−
−≥⇒
10
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
1
( 2 1) ( 2 1)
s in s in h c os c o sh
2 2
1, 2 , 3, ...,
1 1
s in h
k
k k
s x j x
n n
k n
x
n
pi pi
ε
−
− −
= − +
=
 
=  
 
 Xác định hàm truyền H(s) của bộ lọc:
Người ta tính được các poles của H(s) như sau: 
600
600
600
600
Re
Im
s in h ; c o sha x b x= =
H(s) H(-s)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
' 1
1 1 0
( ) ( ) ...
n n
n n
n n
K K
s
C s s a s a s a−
−
= =
+ + + +
H
1 2
( ) ( )( )...( )
n
n
K
s
s s s s s s
=
− − −
H⇒
⇒
Kn được lựa chọn để bảo đảm độ lợi DC: 
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
ε+

= 

Để việc thiết kế được đơn giản, người ta thành lập bảng C’n(s) 
hoặc giá trị của các poles với một số độ gợn r thường gặp 

Tra bảng!!!
11
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
0.5 dB ripple
0.5r dB=
1 dB ripple
1r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
2 dB ripple
2r dB=
3 dB ripple
3r dB=
Chebyshev Filter Coefficients of the Denominator Polynominal
' 1 2
1 2 1 0...
n n n
n n n
C s a s a s a s a− −
− −
= + + + + +
n 0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a
12
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
Chebyshev Filter Poles Locations 
n 0.5r dB= 1r dB= 2r dB= 3r dB=
13
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Các bước thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev:
Ví dụ: Thiết kế bộ lọc thông thấp Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (0≤ω≤10) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≥20) 
Gs≤ -20dB
 Bước 1: Xác định: 
 Bước 2: Chọn ε:
( )
1 / 2/10
1
/101
1 10 1
cosh
10 1cosh /
sG
r
s p
n
ω ω
−
−
−
 
−≥  
− 
/ 10
/ 10
1
10 1 10 1
cosh [ cosh ( / )]
sG
r
s pn
ε
ω ω
−
−
− ≤ ≤ −
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Bước 3: Xác định H(s):
 Bước 4: Xác định H(s): ( )sH / ps s ω← ( )H s
'
( ) ( )
n
n
K
s
C s
=H
0
2
0
1
an
a n odd
K
n even
ε+

= 

Nếu ε sao cho r=0.5dB, 1dB, 2dB hoặc 3dB 
 tra bảng C’n(s); 
nếu không thỏa 
 tính C’n(s):
( )
( 2 1) ( 2 1)
2 2
11 1
'
1 2
sin sinh cos cosh
1, 2, 3, ..., ; sinh
( ) ( )( )...( )
k k
k n n
n
n n
s x j x
k n x
C s s s s s s s
pi pi
ε
− −
−
= − +
= =
= − − −
14
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.4. Bộ lọc Chebyshev
 Bước 1:
 Bước 2:
1 / 22
1
1 0 .2
1 1 0 1
c o s h 2 .4 7 3
c o s h ( 2 ) 1 0 1n
−
−
 −≥ = 
− 
 Bước 3:
 Bước 4:

 chọn n=3 

 chọn ε=0.764 
 (r)design=2dB
2
0 .2
1
10 1 10 1
cosh [3 cosh (2 )] ε−
− ≤ ≤ −
0 .382 0 .764ε⇔ ≤ ≤
Tra bảng: ' 3 2( ) 0.7378 1.0222 0.3269
n
C s s s s= + + +
0 0 .3269nn odd K a⇒ = =
3 2
0.3269( )
0.7378 1.0222 0.3269
s
s s s
=
+ + +
H⇒
( ) ( )3 210 10 10
0.3269( )
0.7378 1.0222 0.3269s s s
H s =
+ + +
3 2
326.9( )
7 .378 102.22 326.9
H s
s s s
=
+ + +
⇒
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
 Bộ lọc thông cao (High-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-bandHigh-pass Filter
p ( )sH
( )s T s← ( )H s ( )
pT s
s
ω
=
Ví dụ 1: Thiết kế bộ lọc thông cao Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (ω≥200) ≤ 2dB; độ lợi dãi chắn (ω≤100) 
Gs≤ -20dB?
15
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
 Bộ lọc thông dãi (Band-pass Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-pass 
Filter
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
min ;p p s s p ps
s p p s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2
1 2
2 1
( ) ( )
p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
+
=
−
p ( )sH
( )s T s← ( )H s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 2: Thiết kế bộ lọc thông dãi Chebyshev thỏa mãn các yêu cầu
sau: r trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≤ 1dB; độ lợi dãi chắn
(ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
Ví dụ 3: Thiết kế bộ lọc thông dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi thông (1000≤ω≤2000) ≥ -1dB; độ lợi dãi chắn
(ω≤450 hoặc ω≥4000) Gs≤ -20dB?
16
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
 Bộ lọc chắn dãi (Band-stop Filter):
Prototype Filter
Pass-band Stop-band
Band-stop 
Filter
( ) ( )1 2 1 2 2 1
2 2
1 2 1 2 1 2
min ;s p p s p ps
p p s s p p
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω ω ω ω ω
 
− − 
=  
− −  
2 1
2
1 2
( )( ) p p
p p
s
T s
s
ω ω
ω ω
−
=
+p ( )sH
( )s T s← ( )H s
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7.5. Các phép biến đổi tần số
Ví dụ 4: Thiết kế bộ lọc chắn dãi Butterworth thỏa mãn các yêu cầu
sau: Độ lợi trong dãi chắn (100≤ω≤150) ≤ -20dB; độ lợi dãi thông
(ω≤60 hoặc ω≥260) ≥ -2.2dB?