Bài giảng Toán 2 - Chương 3: Dãy số và chuỗi - Huỳnh Văn Kha

Chương 3
DÃY SỐ VÀ CHUỖI
ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Dãy số và sự hội tụ.
2. Chuỗi số.
3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số.
4. Chuỗi lũy thừa.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 2
1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ
• Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp 
theo một thứ tự nào đó
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,  , 𝑎𝑛, 
• Ví dụ, dãy
2,4,6,8,  , 2𝑛, 
có phần tử thứ nhất là 𝑎1 = 2, phần tử thứ hai là 
𝑎2 = 4,  phần tử thứ 𝑛 là 𝑎𝑛 = 2𝑛, 
• Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành 𝑎1, 
biến 2 thành 𝑎2,  biến 𝑛 thành 𝑎𝑛, 
• Dãy số được mô tả bằng công thức 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 .
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 3
Ví dụ dãy số
• Dãy số 𝑎𝑛 = 𝑛 có các phần tử là
𝑎𝑛 = 1, 2, 3, 4,  , 𝑛, 
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 4
• Dãy số 𝑎𝑛 =
1
𝑛
có các phần tử là
𝑎𝑛 = 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,  ,
1
𝑛
, 
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 5
• Dãy số 𝑎𝑛 =
−1 𝑛+1
𝑛
có các phần tử là
𝑎𝑛 = 1,−
1
2
,
1
3
, −
1
4
, ,
−1 𝑛+1
𝑛
,
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 6
Dãy số hội tụ
• Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực
nào đó khi 𝑛 lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge).
• Các phần tử của dãy 𝑎𝑛 =
1
𝑛
tiến về 0 khi 𝑛 lớn.
• Các phần tử của dãy 𝑎𝑛 =
𝑛−1
𝑛
tiến về 1 khi 𝑛 lớn.
• Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị 
thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy 
số là phân kỳ (diverge).
• Các phần tử của dãy số 𝑎𝑛 = 𝑛 có thể lớn tùy ý khi 
𝑛 đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 7
• Các phần tử của dãy số 𝑎𝑛 = −1
𝑛+1 nhận giá trị 
xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số 
thực nào cả. Dãy này phân kỳ.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 8
Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ
Dãy số 𝑎𝑛 được nói là hội tụ (converge) về 𝐿 nếu
∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 > 𝑁, 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀
Nếu không số 𝐿 nào như vậy, ta nói dãy 𝑎𝑛 phân kỳ
(diverge).
Nếu 𝑎𝑛 hội tụ về 𝐿 ta viết lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 hay 𝑎𝑛 → 𝐿. Và
khi đó ta nói 𝐿 là giới hạn (limit) của dãy số 𝑎𝑛 .
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 9
Một số tính chất
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 10
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 11
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 12
Một số giới hạn cơ bản
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 13
Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây.
1. lim
𝑛→∞
ln 𝑛2
𝑛
2. lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛2
3. lim
𝑛→∞
𝑛
3𝑛 4. lim
𝑛→∞
−
1
2
𝑛
5. lim
𝑛→∞
𝑛 − 2
𝑛
𝑛
6. lim
𝑛→∞
100𝑛
𝑛!
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 14
2. CHUỖI SỐ
• Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy 
số, tổng đó có dạng
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
• Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó?
• Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng 
phần (partial sum) thứ 𝑛
𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛
và sau đó cho 𝑛 → ∞.
• Ví dụ, tính tổng của chuỗi số
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+⋯+
1
2𝑛−1
+⋯
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 15
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 16
Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 17
Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ.
Cho chuỗi số 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
Dãy 𝑠𝑛 được định nghĩa bởi
𝑠1 = 𝑎1
𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 = 
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial 
sums) của chuỗi số.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 18
Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ.
Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về 𝐿 thì ta nói 
chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng 𝐿, ta viết
𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ = 
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 = 𝐿
Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi 
số là phân kỳ.
Chuỗi hình học
• Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 +⋯ = 
𝑛=1
∞
𝑎𝑟𝑛−1 ≡ 
𝑛=0
∞
𝑎𝑟𝑛
trong đó 𝑎 và 𝑟 là các số thực cho trước (𝑎 ≠ 0). 
• Các chuỗi sau là chuỗi hình học
1 +
1
2
+
1
4
+⋯+
1
2𝑛−1
+⋯ = 
𝑛=1
∞
1
2𝑛−1
2 −
2
3
+
2
9
−⋯+ 2 −
1
3
𝑛−1
+⋯ = 
𝑛=0
∞
2 −
1
3
𝑛
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 19
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 20
Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học.
Xét chuỗi hình học
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 +⋯ = 
𝑛=1
∞
𝑎𝑟𝑛−1 ≡ 
𝑛=0
∞
𝑎𝑟𝑛
Nếu 𝑟 < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và
𝑛=0
∞
𝑎𝑟𝑛 = 
𝑛=1
∞
𝑎𝑟𝑛−1 =
𝑎
1 − 𝑟
, 𝑟 < 1
Nếu 𝑟 ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ.
Ví dụ 2.
1. Các chuỗi hình học sau có hội tụ không? Nếu có hãy 
tính tổng của chúng.
𝑎) 
𝑛=1
∞
1
3𝑛+1
𝑏) 
𝑛=0
∞
5 −1 𝑛
4𝑛
2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau 
dưới dạng phân số
𝑎) 5.232323 𝑏) 0.999999 .
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 21
Một số tính chất
• Các chuỗi số sau có hội tụ không?
𝑛=1
∞
1 
𝑛=1
∞
𝑛 + 1
𝑛
• Nếu chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ thì 𝑎𝑛 → 0.
• Nhưng ngược lại không đúng, có những chuỗi phân 
kỳ nhưng dãy số tương ứng hội tụ về 0.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 22
Kiểm tra chuỗi số phân kỳ dựa vào dãy
Nếu dãy 𝑎𝑛 không có giới hạn hoặc lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0 thì
chuỗi 𝑎𝑛 phân kỳ.
Ví dụ 3. Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ?
1. 
𝑛=1
∞
𝑛2 2. 
𝑛=1
∞
−𝑛
2𝑛 + 5
3. 
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 4. 
𝑛=1
∞
1
𝑛
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 23
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 24
Ví dụ 4. Tính tổng các chuỗi số sau đây
1. 
𝑛=1
∞
3𝑛−1 − 1
6𝑛
2. 
𝑛=0
∞
4 − 2𝑛
3𝑛+1
Chú ý
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑘−1 + 
𝑛=𝑘
∞
𝑎𝑛
Nên nếu 𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 hội tụ thì 𝑛=𝑘
∞ 𝑎𝑛 cũng hội tụ với mọi 
𝑘 ≥ 1 và ngược lại.
Ví dụ 5. Tính tổng chuỗi số
1. 
𝑛=4
∞
1
5𝑛
2. 
𝑛=2
∞
2 + 3𝑛
7𝑛+1
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 25
3. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA 
CHUỖI SỐ
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 26
Tiêu chuẩn tích phân (integral test).
Cho 𝑎𝑛 là dãy số dương (nghĩa là 𝑎𝑛 > 0, ∀𝑛). Giả sử 
𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 với 𝑓 là hàm số liên tục, dương, giảm với 
mọi 𝑥 ≥ 𝑁 (𝑁 là số nguyên dương). Thì chuỗi 𝑛=𝑁
∞ 𝑎𝑛
và tích phân 𝑁
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Chuỗi 
1
𝑛𝑝
(𝑝 – series)
Ví dụ 6. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
1. 
𝑛=1
∞
1
𝑛
2. 
𝑛=0
∞
1
1 + 𝑛2
3. 
𝑛=3
∞
1
𝑛 ln2 𝑛
Ví dụ 7. Với giá trị nào của 𝑝 thì chuỗi sau hội tụ?
𝑛=1
∞
1
𝑛𝑝
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 27
𝒑 – series
Chuỗi 𝑛=1
∞ 1
𝑛𝑝
hội tụ khi 𝑝 > 1 và phân kỳ khi 𝑝 ≤ 1.
Tiêu chuẩn so sánh 1
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 28
Tiêu chuẩn so sánh 1 (comparison test)
Cho các chuỗi số không âm 𝑎𝑛, 𝑐𝑛, 𝑑𝑛. Giả sử có 
số nguyên dương 𝑁 sao cho
𝑑𝑛 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑛, ∀𝑛 > 𝑁
Nếu 𝑐𝑛 hội tụ thì 𝑎𝑛 hội tụ.
Nếu 𝑑𝑛 phân kỳ thì 𝑎𝑛 phân kỳ.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 29
Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của các chuỗi số.
1. 
𝑛=1
∞
5
5𝑛 − 1
2. 
𝑛=1
∞
1
𝑛3 + 1
3. 
𝑛=0
∞
1
2𝑛 + 𝑛
4. 
𝑛=1
∞
ln 𝑛
𝑛
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 30
Tiêu chuẩn so sánh 2
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 31
Tiêu chuẩn so sánh 2 (limit comparison test)
Giả sử 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑏𝑛 > 0, ∀𝑛 ≥ 𝑁 (với 𝑁 là số nguyên 
dương).
1. Nếu lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑐 ∈ 0,∞ thì chuỗi 𝑎𝑛 và chuỗi 
 𝑏𝑛 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
2. Nếu lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 0 và 𝑏𝑛 hội tụ thì 𝑎𝑛 hội tụ.
3. Nếu lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= ∞ và 𝑏𝑛 phân kỳ thì 𝑎𝑛 phân kỳ.
Ví dụ 9. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1. 
𝑛=1
∞
2𝑛 + 1
𝑛 + 1 2
2. 
𝑛=1
∞
2𝑛 − 1
3𝑛 + 1
3. 
𝑛=1
∞
𝑛 + 1
𝑛 𝑛2 + 1
4. 
𝑛=1
∞
32𝑛 + 2𝑛
22𝑛 + 3𝑛
5. 
𝑛=1
∞
𝑛 ln 𝑛
𝑛2 + 5
6. 
𝑛=1
∞
ln 𝑛
𝑛3/2
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 32
Chuỗi đan dấu (Alternating series)
• Chuỗi đan dấu là chuỗi mà các hạng tử mang dấu 
dương và âm xen kẽ, ví dụ
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+⋯+
−1 𝑛+1
𝑛
+⋯
−2 + 1 −
1
2
+
1
4
−
1
8
+⋯+
−1 𝑛4
2𝑛
+⋯
1 − 2 + 3 − 4 + 5 −⋯+ −1 𝑛+1𝑛 +⋯
• Tổng quát, chuỗi đan dấu là chuỗi 𝑎𝑛, trong đó
𝑎𝑛 = −1
𝑛𝑢𝑛 hoặc 𝑎𝑛 = −1
𝑛+1𝑢𝑛
với 𝑢𝑛 ≥ 0, ∀𝑛.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 33
Tiêu chuẩn Leibniz
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 34
Tiêu chuẩn Leibniz (Leibniz’s test)
Chuỗi đan dấu
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1𝑢𝑛 = 𝑢1 − 𝑢2 + 𝑢3 − 𝑢4 + 𝑢5 −⋯
hội tụ nếu có 𝑁 ∈ ℕ để các điều kiện sau đây là đúng
1. 𝑢𝑛 > 0, ∀𝑛 > 𝑁
2. 𝑢𝑛 𝑛≥𝑁 là dãy giảm, nghĩa là 𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑛+1, ∀𝑛 ≥ 𝑁
3. 𝑢𝑛 → 0.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 35
Ví dụ 10. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số.
1. 
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1
𝑛
2. 
𝑛=0
∞
−1 𝑛
𝑛2 + 1
3. 
𝑛=0
∞
−1 𝑛𝑛
2𝑛 + 1
Hội tụ tuyệt đối
• Chuỗi 𝑎𝑛 được nói là hội tụ tuyệt đối (absolutely 
convergent) nếu chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ.
• Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối được gọi 
là hội tụ có điều kiện (conditionally convergent).
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 36
Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối (The absolute convergence 
test)
Nếu chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ thì chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ.
Ví dụ 11. Các chuỗi số sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối 
không?
1. 
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1
𝑛
2. 
𝑛=1
∞
−1 𝑛
𝑛2
3. 
𝑛=1
∞
1
𝑛
• Nếu ta sắp xếp lại thứ tự lấy tổng cho một chuỗi hội 
tụ có điều kiện thì tổng thu được có thể khác nhau.
• Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, mọi cách sắp xếp lại thứ tự 
lấy tổng đều cho kết quả như nhau.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 37
Tiêu chuẩn tỉ số (của d’Alembert)
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 38
Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test)
Xét chuỗi số 𝑎𝑛, giả sử rằng
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝜌
Nếu 𝜌 < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Nếu 𝜌 > 1 hoặc 𝜌 = ∞ thì chuỗi phân kỳ.
(Nếu 𝜌 = 1 thì không có kết luận tổng quát.)
Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1. 
𝑛=1
∞
2𝑛 + 5
3𝑛
2. 
𝑛=1
∞
𝑛!
𝑛𝑛
3. 
𝑛=1
∞
2𝑛 !
𝑛! 2
4. 
𝑛=1
∞
𝑛2𝑛
2𝑛 !
5. 
𝑛=1
∞
4𝑛 𝑛! 2
2𝑛 !
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 39
Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy)
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 40
Tiêu chuẩn căn số (root test)
Xét chuỗi số 𝑎𝑛, giả sử rằng
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑎𝑛 = 𝜌
Nếu 𝜌 < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Nếu 𝜌 > 1 hoặc 𝜌 = ∞ thì chuỗi phân kỳ.
(Nếu 𝜌 = 1 thì không có kết luận tổng quát.)
Ví dụ 13. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1. 
𝑛=1
∞
𝑛2
2𝑛
2. 
𝑛=1
∞
1
1 + 𝑛
𝑛
3. 
𝑛=1
∞
2𝑛2 + 3
3𝑛2 + 2
𝑛
4. 
𝑛=1
∞
𝑛
𝑛 + 1
𝑛2
5. 
𝑛=1
∞
10𝑛 1 −
2
𝑛
𝑛2
6. 
𝑛=1
∞
15𝑛𝑛𝑛
2
𝑛 + 3 𝑛
2
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 41
Tóm tắt các tiêu chuẩn hội tụ
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 42
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 43
Bài tập
Ví dụ 14. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.
1. 
𝑛=1
∞
𝑛 − 1
2𝑛 + 1
2. 
𝑛=1
∞
𝑛3 + 1
3𝑛3 + 4𝑛2 + 2
3. 
𝑛=1
∞
𝑛𝑒−𝑛
2
4. 
𝑛=1
∞
−1 𝑛
𝑛3
𝑛4 + 1
5. 
𝑘=1
∞
2𝑘
𝑘!
6. 
𝑛=1
∞
1
2 + 3𝑛
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 44
4. CHUỖI LŨY THỪA
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 45
Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa (power series)
Chuỗi lũy thừa tâm tại 𝑎 là chuỗi có dạng
𝑛=0
∞
𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎
𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎
2 +⋯
trong đó tâm 𝑎 và các hệ số 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2,  là các hằng số 
cho trước.
Có thể coi chuỗi lũy thừa là đa thức có bậc vô cùng.
Ví dụ 15. Với giá trị nào của 𝑥 thì các chuỗi lũy thừa sau 
hội tụ? Tính tổng của chúng.
1. 
𝑛=0
∞
𝑥𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯
2. 
𝑛=0
∞
−1 𝑛
2𝑛
𝑥 − 2 𝑛
= 1 −
1
2
𝑥 − 2 +
1
4
𝑥 − 2 2 −
1
8
𝑥 − 2 3 +⋯
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 46
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 47
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 48
Ví dụ 16. Với giá trị nào của 𝑥 thì các chuỗi lũy thừa sau 
đây hội tụ?
1. 
𝑛=0
∞
𝑛! 𝑥𝑛 2. 
𝑛=1
∞
𝑥 − 3 𝑛
𝑛
3. 
𝑛=0
∞
−1 𝑛𝑥2𝑛
22𝑛 𝑛! 2
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 49
Định lý về sự hội tụ
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 50
Định lý 2. Về sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Xét chuỗi lũy thừa 𝑛=0
∞ 𝑐𝑛𝑥
𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 +
𝑐3𝑥
3 +⋯
1. Nếu nó hội tụ tại 𝑥 = 𝑐 ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi 𝑥
thỏa 𝑥 < 𝑐 .
2. Nếu nó phân kỳ tại 𝑥 = 𝑑 thì nó phân kỳ tại mọi 𝑥
thỏa 𝑥 > 𝑑 .
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
The Radius of Convergence of a Power Series
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 51
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Chuỗi lũy thừa 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎
𝑛 chỉ có thể xảy ra một 
trong ba trường hợp sau.
1. Có số 𝑅 > 0 sao cho chuỗi phân kỳ với 𝑥 − 𝑎 > 𝑅
và hội tụ (tuyệt đối) với 𝑥 − 𝑎 < 𝑅. Còn tại các đầu 
mút 𝑥 = 𝑎 − 𝑅, 𝑥 = 𝑎 + 𝑅 chuỗi có thể hội tụ, có thể 
phân kỳ.
2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi 𝑥 (𝑅 = ∞).
3. Chuỗi chỉ hội tụ tại 𝑥 = 𝑎 và phân kỳ tại mọi 𝑥 ≠ 𝑎
(𝑅 = 0).
• Giá trị 𝑅 nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy 
thừa.
• Khoảng hội tụ (hay miền hội tụ) là khoảng chứa tất 
cả các giá trị của 𝑥 để chuỗi lũy thừa hội tụ.
• Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ cho các chuỗi 
lũy thừa trong Ví dụ 14.
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 52
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 53
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 54
Bài tập
Ví dụ 17. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ.
1. 
𝑛=0
∞
−3 𝑛𝑥𝑛
𝑛 + 1
2. 
𝑛=0
∞
𝑛 𝑥 + 2 𝑛
3𝑛+1
3. 
𝑛=1
∞
𝑛𝑛 2𝑥 − 1 𝑛 4. 
𝑛=0
∞
3𝑥 + 2 𝑛
𝑛 + 1
5. 
𝑛=0
∞
1 − 2𝑥
5
𝑛
6. 
𝑛=0
∞
−1 𝑛𝑥𝑛
𝑛!
7. 
𝑛=1
∞
−1 𝑛𝑥𝑛
𝑛2 + 𝑛
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 55
Vi phân chuỗi lũy thừa
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 56
Tích phân chuỗi lũy thừa
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 57
Chuỗi Taylor
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 58
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 59
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 60
Đa thức Taylor
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 61
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 62
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 63
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 64
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 65
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 66
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 67
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 68
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 69
Sự hội tụ của chuỗi Taylor
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 70
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 71
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 72
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 73
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 74
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 75
24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 76