Bài giảng Toán A2 - Chương 3: Không gian vector - Huỳnh Văn Kha

Chương 3
KHÔNG GIAN VECTOR
Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
Toán A2 - MS: C01002
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23
Nội dung
1 Một số khái niệm cơ bản
Khái niệm không gian vector, kg vector con
Không gian sinh bởi tập hợp
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector
3 Tọa độ
Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở
4 Tích vô hướng, cơ sở trực chuẩn
Tích vô hướng
Cơ sở trực chuẩn và trực giao hóa Gram-Schmidt
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23
Không gian vector, kg vector con
Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và
nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính
chất sau thì ta nói V là một không gian vector:
∀u, v ,w ∈ V ; ∀h, k ∈ R
1. Giao hoán: u + v = v + u
2. Kết hợp: (u + v) + w = u + (v + w)
3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V
4. ∀u ∈ V ,∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0
5. h(ku) = (hk)u
6. (h + k)u = hu + ku
7. h(u + v) = hu + hv
8. 1.u = u
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 2 / 23
Ví dụ:
Tập các ma trậnMm×n cùng với phép cộng ma
trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector
Tập Rn với phép cộng và nhân:
I (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn)
I k (x1, ..., xn) = (kx1, ..., kxn)
lập thành không gian vector
Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅
Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W .
Thì ta nói W là không gian vector con của V
Ký hiệu: W ≤ V
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 3 / 23
Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V
không?
1. V = R2, W = {(x , 0) : x ∈ R}
2. V = R2, W = {(x , 1) : x ∈ R}
3. V = R3, W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R}
4. V = Rn, W là tập nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với
A ∈Mm×n)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 4 / 23
Không gian sinh bởi tập hợp
Cho V là kgvt và S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V
Với mỗi bộ k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta gọi vector
v = k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun là một tổ hợp tuyến tính
của các vector u1, u2, . . . , un
Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , un thì
W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S
hay S sinh ra W
Ký hiệu: W = 〈S〉 = 〈u1, u2, ..., un〉
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 5 / 23
Ví dụ: Xét W = 〈u1, u2, u3〉 ≤ R4,
với u1 = (2, 0,−1, 3), u2 = (0, 1, 2,−1), u3 = (2, 2, 3, 1)
1. Các vector v1 = (−2, 3, 7,−6), v2 = (2, 1, 1, 1) có
thuộc W không?
2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c , d) ∈ W
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 6 / 23
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Cho V là kgvt, S = {u1, u2, . . . , un}
S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi
k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta có:
k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun = 0 kéo theo
k1 = k2 = · · · kn = 0
Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ
thuộc tuyến tính
Ví dụ: S = {u1, u2, u3} có độc lập tuyến tính không?
1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)
2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1,−3, 1), u3 = (−5, 6, 4)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 7 / 23
Cơ sở và số chiều
Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector
độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V
đều phụ thuộc tuyến tính.
n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dimV = n
Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n
chiều là một cơ sở của không gian đó
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 8 / 23
Ví dụ:
1. Không gian Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R} có
số chiều là n; có một cơ sở là B0 = {e1, e2, . . . , en},
với:

e1 = (1, 0, ..., 0)
e2 = (0, 1, ..., 0)
...
en = (0, 0, ..., 1)
Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn
2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của
R3 không?
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 9 / 23
Chú ý
Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi:
S sinh ra V , nghĩa là: 〈S〉 = V , và
S độc lập tuyến tính
Nếu S là cơ sở của V thì: dimV = số phần tử của S
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 10 / 23
Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của 〈S〉
Trong kgvt V , cho hệ S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V .
Khi đó, số chiều của 〈S〉 gọi là hạng của S , ký hiệu:
rank S
Nếu S ′ thu được bằng cách:
I Đổi chỗ 2 phần tử của S
I Nhân một vector của S với số khác 0
I Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một
vector khác trong S
Thì 〈S〉 = 〈S ′〉
Để tìm cơ sở, số chiều của 〈S〉, ta làm như sau:
I Sắp các vector của S thành hàng
I Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận
bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 11 / 23
Ví dụ:
1. Trong R4, xét S = {u1, u2, u3, u4}, với
u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0,−2, 0, 1),
u3 = (3,−1, 9, 2), u4 = (−1,−7,−3,−3).
Tìm cơ sở và số chiều cho 〈S〉
2. Trong R4, xét B = {v1, v2, v3, v4}, với
v1 = (2,−1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1,−1),
v3 = (−2,−2,−8, 3), v4 = (2,−7, 5, 1).
Tìm cơ sở và số chiều cho 〈B〉
Chú ý: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi:
rank(S) = số vector của S
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 12 / 23
Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất
Dùng pp Gauss giải hệ, suy ra cơ sở, số chiều
Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm hệ:
1.
 x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 02x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 0
2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 0
2.

x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0
2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 0
3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0
2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 13 / 23
Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự
do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm
Dùng 1 trong 2 cách sau:
1. Xem là kg sinh bởi các vector cột của ma trận hệ số
2. Dùng phương pháp Gauss
Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian
W = {(a, b, c , d , e) : hệ dưới đây có nghiệm}
x1 + x2 + 2x4 = a
2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b
x1 + 3x2 + 5x4 = c
3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d
2x1 + 8x2 − 4x3 + 2x4 = e
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 14 / 23
Tọa độ
Cho B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở được sắp của
kgvt V .
Khi đó, ∀u ∈ V ,∃!(k1, k2, . . . , kn) ∈ Rn sao cho:
u = k1e1 + k2e2 + · · ·+ knen
Tọa độ của u trong B là: [u]B =

k1
k2
...
kn

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 15 / 23
Ví dụ:
1. Tìm tọa độ của u = (x1, x2, . . . , xn) trong cơ sở
chính tắc của Rn
2. Chứng tỏ rằng B = {u1 = (2, 3, 3), u2 =
(−1,−1,−3), u3 = (1, 2, 3)} là sơ sở của R3. Tìm
tọa độ của u = (−1, 0, 0) trong B
3. a)Chứng tỏ rằng S = {v1 = (1,−1, 1, 1), v2 =
(2,−2, 3, 0), v3 = (3,−3, 4, 3)} là một cơ sở của
W = 〈S〉 ≤ R4.
b) Chứng tỏ rằng v = (−1, 1,−2, 3) ∈ W . Tìm [v ]S
c) Biết [w ]S =
 −11
0
. Xác định w .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 16 / 23
Ma trận chuyển cơ sở
Cho B, và B′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là các cơ sở của kgvt V .
Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′ được định
nghĩa là:
P(B → B′) = ([e ′1]B [e ′2]B · · · [e ′n]B)
Các tính chất:
P(B → B) = In
P(B → C) = P(B → B′)P(B′ → C)
P(B → B′) = [P(B′ → B)]−1
[v ]B = P(B → B′)[v ]B′
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 17 / 23
Ví dụ: Cho B0 là cơ sở chính tắc của R3
B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)},
C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2,−3)}.
1. Chứng tỏ rằng B, C đều là các cơ sở của R3.
2. Tìm P(B0 → B), P(B → B0), P(B → C),
P(C → B)
3. Cho u = (−2, 1, 3). Tìm [u]B
4. Cho [v ]C =
 −2−1
3
. Tìm [v ]B
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 18 / 23
Tích vô hướng
Tích vô hướng trên kgvt V là một ánh xạ:
V × V → R
(u, v) 7→ 〈u, v〉
thỏa: ∀u, u1, u2, v ∈ V , ∀k ∈ R
〈u1 + u2, v〉 = 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉
〈ku, v〉 = k〈u, v〉
〈u, v〉 = 〈v , u〉
〈u, u〉 > 0 nếu u 6= 0; và 〈u, u〉 = 0 khi u = 0
Chuẩn hay độ dài của vector u là: ‖u‖ =√〈u, u〉
Nếu ‖u‖ = 1, ta nói u là vector đơn vị
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 19 / 23
Ví dụ:
Không gian Rn là không gian có tích vô hướng, với
tích vô hướng được định nghĩa: u = (x1, x2, . . . , xn),
v = (y1, y2, . . . , yn)
〈u, v〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn
Chuẩn ứng với tích vô hướng nói trên:
‖u‖ =
√
〈u, u〉 =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n
BDT Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖
BDT tam giác: |‖u‖− ‖v‖| ≤ ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 20 / 23
Trực giao, trực chuẩn
Xét không gian có tích vô hướng V :
u, v ∈ V gọi là trực giao nếu: 〈u, v〉 = 0
Hệ vector u1, u2, . . . , un ∈ V gọi là trực giao nếu
〈ui , uj〉 = 0,∀i 6= j
Hệ vector u1, u2, . . . , un ∈ V gọi là trực chuẩn nếu
nó là hệ trực giao gồm toàn các vector đơn vị
Cơ sở trực giao (trực chuẩn) là cơ sở mà các vector
của nó tạo thành hệ trực giao (trực chuẩn)
Hệ trực giao không chứa vector 0 thì độc lập tuyến tính.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 21 / 23
Trực giao hóa Gram-Schmidt
Cho {u1, u2, . . . , un} là một cơ sở của kgvt V .
Ta có thể xây dựng cơ sở trực giao {v1, v2, . . . , vn} cho
V như sau:
v1 = u1;
v2 = u2 − 〈u2, v1〉〈v1, v1〉v1;
v3 = u3 − 〈u3, v1〉〈v1, v1〉v1 −
〈u3, v2〉
〈v2, v2〉v2;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vn = un −
n−1∑
i=1
〈un, vi〉
〈vi , vi〉 vi
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 22 / 23
Ví dụ:
1. Xét
S = {u1 = (2, 3, 6), u2 = (5,−3, 8), u3 = (8, 5, 3)}.
Chứng tỏ rằng S là cơ sở của R3.
Sử dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, từ
S , hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn cho R3.
2. Cho u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0),
u3 = (−1, 0, 0, 1), và S = {u1, u2, u3}.
Hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn cho kgvt W = 〈S〉
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 23 / 23