Bài giảng Toán A2 - Chương 4: Trị riêng, vector riêng và dạng toán phương - Huỳnh Văn Kha

Chương 4
TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG &
DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
Toán A2 - MS: 501002
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 1 / 14
Nội dung
1 Chéo hóa ma trận
Đa thức đặc trưng
Trị riêng, vector riêng
Chéo hóa ma trận
2 Dạng toàn phương
Dạng toàn phương
Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 1 / 14
Đa thức đặc trưng
Cho A ∈Mn, ta gọi đa thức đặc trưng của A là đa thức:
pA(x) = det(xIn − A)
Ví dụ:
1. Xét A =
 3 1 −12 2 −1
2 2 0

Tìm đa thức đặc trưng của A
2. Cho P khả nghịch, chứng tỏ rằng: A và P−1AP có
cùng đa thức đặc trưng.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 2 / 14
Trị riêng, vector riêng
Cho A ∈Mn
Ký hiệu: [v ] là tọa độ của v ∈ Rn trong cơ sở chính tắc
Vector v ∈ Rn (v 6= 0) gọi là vector riêng của A nếu
tồn tại λ ∈ R sao cho: A[v ] = λ[v ]
Khi đó ta nói λ là một trị riêng của A. Và v là
vector riêng ứng với trị riêng λ
λ là trị riêng của A khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa
thức đặc trưng pA(x)
Ví dụ: Tìm các trị riêng của ma trận A trong ví dụ trên.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 3 / 14
Không gian con riêng
Tập các vector v ∈ Rn thỏa: A[v ] = λ[v ] là một không
gian vector con của Rn. Ký hiệu: E (λ)
Nếu λ là trị riêng của A thì E (λ) được gọi là không gian
con riêng ứng với trị riêng λ
Ví dụ:
1. Tìm cơ sở, số chiều cho các không gian con riêng
của A trong ví dụ trên
2. Tìm cơ sở, số chiều cho các không gian con riêng
của B =
 2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 4 / 14
Chéo hóa ma trận vuông
Ma trận vuông A ∈Mn gọi là chéo hóa được nếu tồn tại
ma trận khả nghịch P ∈Mn sao cho P−1AP là ma trận
đường chéo.
P−1AP gọi là dạng chéo của ma trận A
A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại cơ sở của Rn gồm
toàn các vector riêng của A
Nếu λ là nghiệm bội m của pA(x) thì m ≥ n = dimE (λ)
Gọi λ1, λ2, . . . , λk là tất cả các trị riêng khác nhau của
A. Đặt ni = dimE (λi), khi đó:
A chéo hóa được khi và chỉ khi n1 + n2 + · · ·+ nk = n
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 5 / 14
Thuật toán chéo hóa ma trận
1. Tìm đa thức đặc trưng, xác định các trị riêng λi
→ Nếu tổng bậc của các trị riêng nhỏ hơn n thì không
chéo hóa được
2. Tìm các cơ sở Bi cho các không gian con riêng
E (λi) tương ứng
→ Nếu tổng số chiều các không gian con riêng nhỏ
hơn n thì không chéo hóa được
3. Đặt B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk , và đặt
P = P(B0 → B).
→ Thì: P−1AP là ma trận chéo, với các phần tử trên
đường chéo là các trị riêng của A
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 6 / 14
Ví dụ: Các ma trận sau có chéo được không? Nếu có,
hãy chéo hóa nó.
1. Các ma trận trong ví dụ trên.
2.
(
1 −1
1 3
)
,
(
2 1
2 3
)
3.
 4 2 −1−6 −4 3
−6 −6 5

4.
 −3 1 −1−7 5 −1
−6 6 −2

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 7 / 14
Dạng toàn phương
Một dạng toàn phương trên Rn là một ánh xạ
Q : Rn → R có dạng:
Q (x1, x2, ..., xn) = a11x
2
1 + 2a12x1x2 + ...+ 2a1nx1xn
+a22x
2
2 + 2a23x2x3 + ...+ annx
2
n
Đặt: X =

x1
x2
...
xn
, và A =

a11 a12 · · · a1n
a12 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
a1n a2n · · · ann

Thì Q (x1, x2, ..., xn) = X
>AX
Ta gọi A là ma trận của dạng toàn phương Q
Chú ý: A là ma trận đối xứng
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 8 / 14
Ví dụ: Cho dạng toàn phương
Q (x1, x2, x3) = 3x
2
1 + 4x
2
2 + 5x
2
3 + 4x1x2 − 4x2x3
Xác định ma trận của dạng toàn phương Q
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 9 / 14
Dạng chính tắc dạng toàn phương
Cho dạng toàn phương Q(X ) = [X ]>B0A[X ]B0
Nếu tồn tại cơ sở B của Rn sao cho:
Q(X ) = [X ]>BD[X ]B. Với D là ma trận chéo:
D =

a1 0 ... 0
0 a2 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... an

Thì Q (X ) = a1y
2
1 + a2y
2
2 + ...+ any
2
n , với
[X ]B =
(
y1 y2 ... yn
)>
.
Và ta gọi dạng này là dạng chính tắc của dạng toàn
phương Q
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 10 / 14
Đưa về dạng chính tắc
Dùng ma trận trực giao
Ma trận P gọi là ma trận trực giao nếu P−1 = P>
Nếu A đối xứng thì luôn tồn tại ma trận trực giao P
sao cho P−1AP là ma trận đường chéo
Đặt X = PY thì Q(X ) = Y >(P−1AP)Y
Chú ý: Để tìm P thỏa yêu cầu trên, ta tiến hành
chéo hóa A (như phần trên).
Sau khi có cơ sở B gồm toàn các vector riêng của
A, ta tiếp tục trực chuẩn hóa (bằng Gram-Schmidt)
để biến B thành cơ sở trực chuẩn C.
P = P(B0 → C)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 11 / 14
Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính
tắc.
1. Q = 3x21 + 4x
2
2 + 5x
2
3 + 4x1x2 − 4x2x3
2. Q = 2x2x3 + 2x3x1 + 2x1x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 12 / 14
Dùng phương pháp Lagrange
1. Gom các số hạng chứa x1 lại với nhau:
a11x
2
1 + 2a12x1x2 + ...+ 2a1nx1xn
= a11
[
x21 + 2
a12
a11
x1x2 + ...+ 2
a1n
a11
x1xn
]
= a11
[
x1 +
a12
a11
x2 + ...+
a1n
a11
xn
]2
−a11
(
a12
a11
x2 + ...+
a1n
a11
xn
)2
2. Đặt y1 = x1 +
a12
a11
x2 + ...+
a1n
a11
xn, thì
Q = a11y
2
1 + Q1 với Q1 chỉ có n − 1 biến
3. Và tiếp tục . . .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 13 / 14
Chú ý:
Nếu a11 = 0 thì ta xét x2 trước
Nếu a11 = a22 = · · · = 0 thì ta xét một tích chéo
nào đó.
Chẳng hạn xét a12, đặt:
{
x1 = y1 + y2
x2 = y1 − y2
Thì: x1x2 = y
2
1 − y 22
Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
1. Q = 2x21 + x
2
2 + 17x
2
3 − 4x1x2 + 12x1x3 − 16x2x3
2. Q = x1x2 − 2x1x3 + 2x1x4 − x2x4 − 4x3x4
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê) Chương 4: Trị riêng, vector riêng – DTP Toán A2 - MS: 501002 14 / 14