Bài giảng Toán C1 - Chương 1:Vi phân hàm một biến - Huỳnh Văn Kha

 =
1
3
, x = 0.1, x = 0.01, x = 0.001
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 16 / 64
Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa
Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số
Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở chứa a (có
thể ngoại trừ tại a). Ta nói giới hạn của f (x) khi x tiến
về a là bằng L nếu:
Với mọi ε > 0 cho trước, đều có số δ > 0 để cho:
nếu 0 < |x − a| < δ thì |f (x)− L| < ε
Tương tự, ta có các khái niệm giới hạn một phía:
Giới hạn trái của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá
trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là
x đủ gần a và x < a.
Ký hiệu giới hạn trái: lim
x→a−
f (x).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 17 / 64
Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về
bên trái a là bằng L nếu:
∀ε > 0,∃δ > 0 : a − δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε
Giới hạn phải của f khi x tiến về a là bằng L nếu
giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được,
miễn là x đủ gần a và x > a.
Ký hiệu giới hạn phải: lim
x→a+
f (x).
Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về
bên phải a là bằng L nếu:
∀ε > 0,∃δ > 0 : a < x < a + δ ⇒ |f (x)− L| < ε
Định lý: lim
x→a f (x) = L⇔ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 18 / 64
Ví dụ 1: Xác định các giá trị sau:
Ví dụ 2: Tính (a) lim
x→0+
|x |
x
(b) lim
x→0−
|x |
x
(c) lim
x→0
|x |
x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 19 / 64
Giới hạn hàm số (tt) - vô cùng
lim
x→a f (x) =∞ nếu: ∀M ∈ R,∃δ > 0 :
0 M.
lim
x→a f (x) = −∞ nếu: ∀N ∈ R,∃δ > 0 :
0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < N.
lim
x→∞ f (x) = L nếu: ∀ε > 0,∃M ∈ R :
x > M ⇒ |f (x)− L| < ε.
lim
x→−∞ f (x) = L nếu: ∀ε > 0,∃N ∈ R :
x < N ⇒ |f (x)− L| < ε.
Tương tự cho các giới hạn:
lim
x→±∞ f (x) = ±∞ và limx→a± f (x) = ±∞
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 20 / 64
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 21 / 64
Tính chất giới hạn hàm số
lim
x→a f (x) = L
⇔ ∀{xn} nếu xn 6= a và lim xn = a thì lim f (xn) = L.
Cho c là hằng số. Nếu lim
x→a f (x) ∈ R và limx→a g(x) ∈ R thì:
1. lim
x→a[f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x)
2. lim
x→a[c f (x)] = c limx→a f (x)
3. lim
x→a[f (x) · g(x)] = limx→a f (x) · limx→a g(x)
4. lim
x→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a f (x)
lim
x→a g(x)
với lim
x→a g(x) 6= 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 22 / 64
Với n là số nguyên dương, ta có:
5. lim
x→a [f (x)]
n =
[
lim
x→a f (x)
]n
6. lim
x→a c = c và limx→a x = a
7. lim
x→a x
n = an
8. lim
x→a
n
√
x = n
√
a (a > 0 nếu n chẵn)
9. lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
lim
x→a f (x) ( limx→a f (x) > 0 nếu n
chẵn)
Như vậy nếu f là một đa thức hay hàm hữu tỉ và a nằm
trong miền xác định của nó thì:
lim
x→a f (x) = f (a)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 23 / 64
Ví dụ: Tính các giới hạn
1. lim
x→−2
(x2 − x − 2) (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 6
2. lim
x→4
x2 +
√
x − 1
x2 − 1 (a)
17
15 (b)
16
15 (c)
15
17 (d)
15
16
• Nếu f (x) = g(x),∀x 6= a thì lim
x→a f (x) = limx→a g(x).
3. lim
x→1
x2 − 1
x − 1 (a)
1
2 (b) 2 (c)
1
3 (d) 3
4. lim
t→0
√
t2 + 9− 3
t2
(a) 16 (b) 1 (c) 6 (d) −6
5. Cho g(x) =
{
x + pi, nếu x 6= 1
2, nếu x = 1
. Tính lim
x→1
g(x).
(a) pi (b) pi + 1 (c) 2 (d) pi + 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 24 / 64
• Nếu giá trị của f ở bên trái và bên phải a khác nhau
thì ta tính lim
x→a+
f (x) và lim
x→a−
f (x).
Ví dụ:
6. Cho f (x) =
{ √
1 + x , nếu x > −1
1, nếu x < −1
lim
x→−1
f (x) = (a) 1 (b) 0 (c) −1 (d) Không tồn tại.
7. Cho g(x) =

√
x + 1− 1
x
, nếu x > 0√
x2 +
1
4
, nếu x ≤ 0
lim
x→0
g(x) = (a)
1
2
(b)
1
4
(c) 1 (d) Không tồn tại.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 25 / 64
Trong một số trường hợp ta cần dùng giới hạn kẹp.
Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ở xung quanh a (có thể ngoại
trừ tại a) và lim
x→a f (x) = limx→a h(x) = L
thì khi đó: lim
x→a g(x) = L
Chú ý: lim
x→a f (x) = 0⇔ limx→a |f (x)| = 0.
Ví dụ:
8. lim
x→0
x sin
pi
x
(a) 0 (b) 1 (c) pi (d) Không tồn tại
9. lim
x→0+
√
xesin
pi
x
(a) e (b) pi (c) 0 (d) Không tồn tại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 26 / 64
Giới hạn các hàm sơ cấp
Các hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác, lượng
giác ngược được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản.
Tổng, hiệu, tích, thương, hợp nối các hàm sơ cấp cơ
bản được gọi là các hàm sơ cấp.
Người ta chứng minh được kết quả sau.
Nếu a thuộc tập xác định của hàm sơ cấp f thì:
lim
x→a f (x) = f (a)
Như vậy nếu f là hàm sơ cấp thì khi tính giới hạn x → a
với a thuộc tập xác định thì chỉ cần thay a vào biểu thức
của f .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 27 / 64
Tính toán với ±∞ – dạng vô định
Khi gặp giới hạn có ±∞, ta tính như sau (∀a ∈ R)
1. a + (±∞) = ±∞, (±∞) + (±∞) = (±∞)
2. a · (±∞) =
{ ±∞, nếu a > 0 hoặc a = +∞
∓∞, nếu a < 0 hoặc a = −∞
3.
a
±∞ = 0,
1
0
=
{
+∞, nếu mẫu dương
−∞, nếu mẫu âm
4. Các biểu thức có dạng:
∞−∞, 0 · ∞, 0
0
,
∞
∞
là các dạng vô định.
Sẽ nói về cách khử dạng vô định ở phần sau.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 28 / 64
Ví dụ:
1. lim
x→∞(x
2 − x) (a) 0 (b) 1 (c) −∞ (d) +∞
2. lim
x→0
1
x2
(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không tồn tại
3. lim
x→0
1
x
(a) −∞ (b) 1 (c) +∞ (d) không tồn tại
4. lim
x→1+
1
1− x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃
5. lim
x→1−
1
1− x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃
6. lim
x→∞(
√
x − 3√x −√x)
(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1
2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 29 / 64
Tính toán với ±∞ – dạng vô định (tt)
5. Với α > 0: (+∞)α = +∞.
6. Với a > 1: a+∞ = +∞ và a−∞ = 0.
7. Với a > 1: loga(+∞) = +∞ và loga(0+) = −∞.
8. sin(±∞), cos(±∞), tan(±∞), cot(±∞) đều không
tồn tại.
tan
(
pi
2
−) = +∞, tan (−pi2+) = −∞
cot (0+) = +∞, cot (pi−) = −∞
9. arctan(+∞) = pi2 , arctan(−∞) = −pi2
10. Các biểu thức có dạng:
∞0, 00, 1∞
là các dạng vô định.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 30 / 64
Một số giới hạn quan trọng
1. lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
1− cos x
x2
=
1
2
2. lim
x→0
ex − 1
x
= 1, lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
Ví dụ:
1. lim
x→0
ln
sin x
x
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) không ∃
2. lim
x→∞ cos e
−x2 (a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) không ∃
3. lim
x→1−
[
sin
(
e
1
1−x
)]
(a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 31 / 64
4. lim
x→1+
[
sin
(
e
1
1−x
)]
(a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃
5. lim
x→0
(1 + x)1/x
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) ∞
6. lim
x→0
(cos x)1/x
2
(a) 1 (b) 1√
e
(c) 1e (d)
1
e2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 32 / 64
Hàm số liên tục
Hàm số f được nói là liên tục tại a nếu f xác định tại a,
giới hạn khi x → a của f tồn tại, và lim
x→a f (x) = f (a).
Nếu f không liên tục tại a ta nói f gián đoạn tại a.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 33 / 64
Liên tục một phía
f được nói là liên tục trái tại a nếu lim
x→a−
f (x) = f (a).
f được nói là liên tục phải tại a nếu lim
x→a+
f (x) = f (a).
Ví dụ: Xét sự liên tục, liên tục trái, liên tục phải của
1. f (x) =
{
ex , nếu x > 0
x2, nếu x ≤ 0 tại x = 0
2. f (x) =
 x
2 − x − 2
x − 2 , nếu x 6= 2
3, nếu x = 2
tại x = 2
3. f (x) =
{ 1
x2
, nếu x 6= 0
1, nếu x = 0
tại x = 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 34 / 64
Hàm số f gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục
tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm sơ cấp thì liên tục trên các khoảng xác định của nó.
Ví dụ: Tìm a để hàm số
1. f (x) =
 x
2 − x
x2 − 1 , nếu x 6= 1
a, nếu x = 1
liên tục tại x = 1
(a) 1 (b)
1
2
(c)
1
3
(d) không tồn tại
2. f (x) =
{
ln |x − 2|, nếu x 6= 2
a, nếu x = 2
liên tục tại x = 2
(a) 1 (b) 0 (c) −1 (d) không tồn tại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 35 / 64
3. f (x) =
 arcsin
(
1−√x
1− x
)
, nếu x > 0 và x 6= 1
a
3
+ 1, nếu x = 1
liên tục trên (0,∞)
(a) pi − 3 (b) pi + 3 (c) pi
3
− 2 (d) pi
2
− 3
4. f (x) =
{
ax2 + 2x , nếu x < 2
x3 − ax , nếu x ≥ 2 liên tục trên R
(a)
1
2
(b)
2
3
(c)
3
2
(d) không tồn tại
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 36 / 64
Tìm a, b để các hàm số sau liên tục trên R
5. f (x) =

x2 − 4
x − 2 , nếu x < 2
ax2 − bx + 3, nếu 2 ≤ x < 3
2x − a − b, nếu x ≥ 3
(a) (a, b) = (
1
3
,
1
6
) (b) (a, b) = (
1
6
,
1
3
)
(c) (a, b) = (
1
2
,
1
6
) (d) (a, b) = (
1
6
,
1
2
)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 37 / 64
Một số tính chất
1. Nếu f và g đều liên tục tại a thì các hàm sau cũng
liên tục tại a:
f ± g , c f , f g , f
g
(với g(a) 6= 0).
2. Nếu f liên tục tại b và lim
x→a g(x) = b thì:
lim
x→a f (g(x)) = f (b).
3. Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g(a) thì hàm hợp
nối (f ◦ g)(x) = f (g(x)) liên tục tại a.
(sinh viên tự đọc thêm)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 38 / 64
Hàm liên tục trên khoảng đóng
Định lý giá trị trung gian
Giả sử f liên tục trên khoảng [a, b], lấy N là con số bất
kỳ nằm giữa f (a) và f (b) (ở đây giả sử f (a) 6= f (b)).
Khi đó tồn tại số c ∈ (a, b) sao cho f (c) = N.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 39 / 64
Đạo hàm
Định nghĩa
Cho f : (a, b)→ R và x0 ∈ (a, b), giới hạn
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
(nếu có) được gọi là đạo hàm
của f tại x0. Ký hiệu: f
′(x0).
f ′+(x0) = lim
∆x→0+
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
được gọi là đạo
hàm phải của f tại x0.
f ′−(x0) = lim
∆x→0−
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
được gọi là đạo
hàm trái của f tại x0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 40 / 64
Nếu f có đạo hàm tại mọi x0 ∈ (a, b) thì f ′ là một
hàm số
f ′ : (a, b) → R
x 7→ f ′(x)
Nếu hàm số này có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) thì ta
nói f có đạo hàm cấp hai tại x0. Ký hiệu:
f ′′(x0) = (f ′)′(x0)
Nếu f có đạo hàm cấp n là f (n) thì đạo hàm cấp
n + 1 được định nghĩa là: f (n+1)(x) = (f (n))′(x)
Các đạo hàm của y = f (x) còn được ký hiệu:
f ′(x) =
df
dx
(x) =
dy
dx
, f ′′(x) =
d2f
dx2
(x) =
d2y
dx2
, · · ·
Nếu f có đạo hàm tại x thì f liên tục tại x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 41 / 64
Các tính chất của đạo hàm
Nếu f , g có đạo hàm tại x ∈ (a, b) thì:
1. (f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x)
2. (αf )′(x) = αf ′(x), với α ∈ R
3. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
4.
(
f
g
)′
(x) =
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g 2(x)
5. (g ◦ f )′(x) = g ′(f (x))f ′(x)
6. Nếu f đơn ánh và f ′(x) 6= 0 thì f −1 cũng có đạo
hàm tại y = f (x) và:
(f −1)′(y) =
1
f ′(x)
=
1
f ′(f −1(y))
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 42 / 64
Đạo hàm các hàm sơ cấp
f (x) f ′(x) f (x) f ′(x)
ex ex ln x
1
x
ax ax ln a loga x
1
x ln a
xα αxα−1
sin x cos x tan x
1
cos2 x
= 1 + tan2 x
cos x − sin x cot x −1
sin2 x
= −(1 + cot2 x)
arcsin x
1√
1− x2 arccos x
−1√
1− x2
arctan x
1
1 + x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 43 / 64
Ví dụ
1. f (x) =
cos x
2 + sin(x)
. Tính f ′(x).
2. f (x) = arctan
(
1
x
)
. Tính f ′(x).
3. f (x) =
1
1 + x
. Tính f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f (n)(x).
4. f (x) =
1
1− x2 . Tính f
′(x), f ′′(x), f ′′′(x), f (n)(x),
và f (20)
(
1
2
)
.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 44 / 64
Khả vi – Vi phân
Hàm số y = f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu số gia
hàm số tại điểm x0 có thể viết dưới dạng:
∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) = A∆x + o(∆x).
Trong đó A là hằng số và o(∆x) là một vô cùng bé so
với ∆x khi ∆x → 0.
Khi đó đại lượng A∆x được gọi là vi phân của f tại x0
và được ký hiệu là df hay dy .
f khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x .
Và khi đó: df = f ′(x)dx
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 45 / 64
Ví dụ:
1. Tìm df , biết f (x) = e
√
x .
2. Cho f (x) = sin(2x + 1). Tính df (0).
Vi phân cấp 2 của f là: d 2f = f ′′(x)dx2
Tương tự, vi phân cấp n của f là: dnf = f (n)(x)dxn
Ví dụ:
3. Tìm d 2y , biết y = arcsin
√
x .
4. Cho y =
√
2x + 1. Tính dny và dny(0).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 46 / 64
Tính gần đúng (xấp xỉ tuyến tính)
Khi f khả vi tại x0 thì:
f (x0 + ∆x)− f (x0) = f ′(x0)∆x + o(∆x).
Cho nên ta có thể xấp xỉ:
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f ′(x0)∆x
Vế phải được gọi là xấp xỉ tuyến tính của f tại x0. Ký
hiệu: L(x) = f (x0) + f
′(x0)(x − x0).
Ví dụ: Dùng vi phân tính xấp xỉ các giá trị sau
1. 3
√
28.
2. tan 44o.
3. arctan(0.97).
4.
√
(0.1)2 + 4e0.1.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 47 / 64
Định lý giá trị trung bình
Định lý Fermat
Nếu f đạt cực trị tại c , và nếu f ′(c) tồn tại thì f ′(c) = 0.
Định lý Rolle
Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).
Khi đó nếu f (a) = f (b) thì sẽ có c ∈ (a, b) sao cho:
f ′(c) = 0.
Tổng quát, ta có định lý giá trị trung bình sau đây.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 48 / 64
Định lý GTTB (Lagrange)
Cho f là hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b).
Khi đó có c ∈ (a, b) sao cho: f ′(c) = f (b)− f (a)
b − a .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 49 / 64
Đơn điệu và cực trị
1. Nếu f ′(x) > 0 trên [a, b] thì f tăng trên [a, b].
2. Nếu f ′(x) < 0 trên [a, b] thì f giảm trên [a, b].
3. Nếu f ′(x) = 0 trên [a, b] thì f là hằng số trên [a, b].
Giả sử f ′(c) = 0, ta có:
1. Nếu f ′ đổi dấu từ dương sang âm tại c thì f đạt cực
đại (địa phương) tại c .
2. Nếu f ′ đổi dấu từ âm sang dương tại c thì f đạt cực
tiểu (địa phương) tại c .
3. Nếu f ′ không đổi dấu tại c thì f không đạt cực trị
tại c .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 50 / 64
Ngoài ra, có thể xét cực trị bằng đạo hàm cấp 2.
1. Nếu f ′(c) = 0 và f ′′(c) > 0 thì f đạt cực tiểu tại c .
2. Nếu f ′(c) = 0 và f ′′(c) < 0 thì f đạt cực đại tại c .
Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số
f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 51 / 64
Tiếp tuyến
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x0 có
phương trình là: y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).
Ví dụ:
1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số
f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5 tại điểm x0 = 1.
2. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số
f (x) = x ln x tại điểm x0 = e.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 52 / 64
Lồi, lõm
Nếu đồ thị của f (x) nằm trên tất cả các tiếp tuyến
của nó trên khoảng I thì ta nói f lồi trên I .
Nếu đồ thị của f (x) nằm dưới tất cả các tiếp tuyến
của nó trên khoảng I thì ta nói f lõm trên I .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 53 / 64
Nếu f ′′(x) > 0 trên I thì f lồi trên I .
Nếu f ′′(x) < 0 trên I thì f lõm trên I .
Điểm P được gọi là điểm uốn của đường cong y = f (x)
nếu f liên tục tại đó và đường cong thay đổi từ lồi sang
lõm hoặc từ lõm sang lồi khi đi qua P .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 54 / 64
Ví dụ:
1. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm
uốn của các hàm số f (x) = x4 − 4x3.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 55 / 64
2. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm
uốn của các hàm số f (x) = e1/x .
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 56 / 64
3. Tìm các khoảng đơn điệu, lồi, lõm, cực trị, điểm
uốn của các hàm số f (x) = 3
√
x2(6− x).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 57 / 64
Quy tắc L’Hospital
Quy tắc L’Hospital
Giả sử các hàm f , g khả vi và g ′(x) 6= 0 trên một
khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Và giả sử
một trong hai điều sau là đúng:
lim
x→a f (x) = limx→a g(x) = 0, hoặc
lim
x→a f (x) = limx→a g(x) = ±∞.
Thì khi đó: lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
, miễn là giới hạn vế
phải tồn tại (hoặc bằng ±∞).
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 58 / 64
Chú ý: Nếu thay “x → a” bằng x → a+, x → a−,
x → +∞, hoặc x → −∞ thì vẫn đúng.
Ví dụ:
1. lim
x→1
ln x
1− x = (a) 1 (b) −1 (c) 0 (d) +∞
2. lim
x→+∞
ex
x2
= (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1
3. lim
x→pi−
sin x
1− cos x =
(a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃
4. lim
x→+∞
[
x
(
e1/x − 1)] =
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 59 / 64
5. lim
x→1
(
x
x − 1 −
1
ln x
)
=
(a) 0 (b) 1/2 (c) 1 (d) 2
6. lim
x→0+
(1 + sin 2x)cot x =
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2
7. lim
x→+∞ (e
x + x)1/x =
(a) 0 (b) 1 (c) e (d) e2
8. lim
x→+∞
(
2x − 3
2x + 5
)2x+1
=
(a) 1 (b) e−3 (c) e5 (d) e−8
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 60 / 64
9. lim
x→0
cosmx − cos nx
x2
=
(a) m (b) n −m (c) m2 − n2 (d) (n2 −m2)/2
10. lim
x→a+
cos x ln(x − a)
ln (ex − ea) =
(a) cos a (b) a cos a (c) e sin a (d) a sin a
11. lim
x→0
√
4 + 5x − 2
e3x − 1
12. lim
x→1
ex − e2−x
x3 − 3x2 + 2
13. lim
x→0+
ln x
1 + 2 ln sin x
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 61 / 64
14. lim
x→1−
ln(1− x) + tan
(pix
2
)
cot(pix)
15. lim
x→+∞[(pi − 2 arctan x) ln x ]
16. lim
x→0
(
tan x
x
)1/x2
17. lim
x→+∞
(
tan
pix
2x + 1
)1/x
18. lim
x→0
(
ax − x ln a
bx − x ln b
)1/x2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 62 / 64
Khai triển Taylor
Công thức Taylor
Cho f : (a, b)→ R là có đạo hàm đến cấp n trên (a, b)
và x0 ∈ (a, b). Khi đó, với mọi x ∈ (a, b), ta có:
f (x) = f (x0) +
f ′(x0)
1!
(x − x0) + f
′′(x0)
2!
(x − x0)2 +
· · ·+ f
(n)(x0)
n!
(x − x0)n + Rn(x)
=
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x − x0)k + Rn(x)
Trong đó Rn(x) = o
(
(x − x0)n
)
là phần dư dạng Peano.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 63 / 64
Khai triển Mac Laurin
Khai triển Taylor với x0 = 0 gọi là khai triển Mac Laurin
f (x) =
n∑
k=0
f (k)(0)
k!
xk + o(xn).
Ví dụ:
1. Viết kt Taylor tới cấp 4 của: f (x) = 3
√
2x − 1, tại
x0 = 1.
2. Viết kt Mac Laurin tới cấp 3 của: f (x) = arcsin x .
3. Viết kt Mac Laurin tới cấp 4 của: f (x) = e−x
2
.
4. Viết khai triển Mac Laurin tới bậc n (tổng quát) của
các hàm số sau: ex , sin x , cos x , arctan x , ln(1 + x).
Chú ý: Khai triển Taylor tại x = x0 là khai triển theo lũy
thừa của x − x0.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Vi phân hàm một biến Toán C1 - MS: C01009 64 / 64