Bài giảng Toán C1 - Chương 2:Vi phân hàm hai biến - Huỳnh Văn Kha

Chương 2
VI PHÂN HÀM HAI BIẾN
Huỳnh Văn Kha
Khoa Toán – Thống Kê
Toán C1 - MS: C01009
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
Nội dung
1 Hàm nhiều biến
2 Giới hạn và liên tục
3 Đạo hàm riêng - Gradient
4 Tính khả vi - Vi phân
5 Cực trị địa phương
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 1 / 32
Hàm hai biến
Định nghĩa
Một hàm hai biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi
cặp có thứ tự các số thực (x , y) trong tập D ⊂ R2 với
duy nhất một số thực được ký hiệu là f (x , y).
Tập D gọi là tập xác định của f . Miền giá trị của f là
tập: V = {f (x , y)|(x , y) ∈ D}
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 2 / 32
Ví dụ
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 3 / 32
Đồ thị
Định nghĩa
Nếu f là hàm hai biến xác định trên miền D thì đồ thị
của f được định nghĩa là tập hợp các điểm (x , y , z)
trong R3 sao cho z = f (x , y) và (x , y) ∈ D
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 4 / 32
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 5 / 32
Hàm nhiều biến
Một hàm ba biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi
bộ ba (x , y , z) trong miền D ⊂ R3 với duy nhất một số
thực, ký hiệu là f (x , y , z)
Ví dụ: f (x , y , z) = ln(z − y) + xy sin z
Một hàm n biến là một quy tắc cho tương ứng mỗi bộ n
số thực (x1, x2, . . . , xn) với duy nhất một số thực, ký hiệu
là f (x1, x2, . . . , xn)
Thỉnh thoảng ta ký hiệu x = (x1, x2, . . . , xn) và ký hiệu
f (x) thay cho f (x1, x2, . . . , xn)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 6 / 32
Giới hạn hàm hai biến
Điểm (a, b) gọi là điểm tụ của D nếu mọi đĩa tròn tâm
(a, b) đều có chung với D ít nhất là một điểm khác (a, b)
Định nghĩa
Cho f là hàm hai biến với tập xác định D, và (a, b) là
điểm tụ của D. Ta nói giới hạn của f (x , y) khi (x , y)
tiến về (a, b) là L nếu với mọi ε > 0 đều có tương ứng
một số δ > 0 sao cho:
Nếu (x , y) ∈ D và 0 <√(x − a)2 + (y − b)2 < δ thì
|f (x , y)− L| < ε
Ký hiệu: lim
(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = L hoặc lim
x→a
y→b
f (x , y) = L
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 7 / 32
Chú ý:
|f (x , y)− L| là khoảng cách từ số f (x , y) tới số L√
(x − a)2 + (y − b)2 là khoảng cách từ điểm
(x , y) tới điểm (a, b)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 8 / 32
Dãy điểm (xn, yn) gọi là hội tụ về (a, b) nếu xn → a và
yn → b. Lúc đó ký hiệu: (xn, yn)→ (a, b)
Định lý
lim
(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = L khi và chỉ khi với mọi dãy (xn, yn)
hội tụ về (a, b) ta luôn có f (xn, yn)→ L
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 9 / 32
Ví dụ
Xét hàm f (x , y) =
xy
x2 + y 2
Trên đường y = 0 thì f (x , 0) = 0.
Trên đường x = y thì f (x , x) = 1/2.
Hàm số không có giới hạn khi (x , y)→ (0, 0)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 10 / 32
Sự liên tục của hàm hai biến
Định nghĩa
Hàm hai biến f được nói là liên tục tại điểm (a, b) nếu
lim
(x ,y)→(a,b)
f (x , y) = f (a, b)
f được nói là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi
(a, b) thuộc D
Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm số
f (x , y) =
 3x
2y
x2 + y 2
, (x , y) 6= (0, 0)
0, (x , y) = (0, 0)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 11 / 32
Giới hạn và liên tục của hàm ba biến
Định nghĩa
Hàm ba biến f được nói là có giới hạn bằng L khi
(x , y , z) tiến về (a, b, c) nếu: Với mọi số ε > 0 cho
trước, tồn tại tương ứng một δ > 0 sao cho:
Nếu (x , y , z) thuộc tập xác định của f và
0 <
√
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < δ thì
|f (x , y , z)− L| < ε
Lúc đó ta ký hiệu lim
(x ,y ,z)→(a,b,c)
f (x , y , z) = L
Hàm ba biến f được nói là liên tục tại điểm (a, b, c) nếu:
lim
(x ,y ,z)→(a,b,c)
f (x , y , z) = f (a, b, c)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 12 / 32
Giới hạn và liên tục hàm nhiều biến
Ký hiệu: x = (x1, x2, . . . , xn), a = (a1, a2, . . . , an) và
|x− a| = √(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · ·+ (xn − an)2
Định nghĩa
Nếu hàm f xác định trên tập D ⊂ Rn thì giới hạn của f
khi x tiến về a bằng L, có nghĩa là: Với mọi ε > 0 có
tương ứng số δ > 0 sao cho:
Nếu x ∈ D và 0 < |x− a| < δ thì |f (x)− L| < ε
Ký hiệu: lim
x→a f (x) = L
Hàm f được nói là liên tục tại a nếu:
lim
x→a f (x) = f (a)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 13 / 32
Đạo hàm riêng - Gradient
Định nghĩa
Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các
hàm hai biến fx và fy được định nghĩa như sau:
fx(x , y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y)− f (x , y)
∆x
fy(x , y) = lim
∆y→0
f (x , y + ∆y)− f (x , y)
∆y
Nếu cả hai đạo hàm riêng đều tồn tại thì gradient của f
là hàm vector ∇f (hoặc gradf ) được định nghĩa:
gradf (x , y) = ∇f (x , y) = (fx(x , y), fy(x , y))
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 14 / 32
Để tìm fx , xem y là hằng số và lấy đạo hàm theo x
Để tìm fy , xem x là hằng số và lấy đạo hàm theo y
Ví dụ:
1. f (x , y) = x3 − sin(x + y 2) + xy 5. Tìm fx , fy
2. f (x , y) = x sin
x
1 + y 2
+
y
x
. Tìm ∇f (pi, 1).
Chú ý: Đạo hàm riêng của z = f (x , y) có thể ký hiệu:
fx(x , y) = fx =
∂f
∂x
=
∂
∂x
f (x , y) =
∂z
∂x
= Dx f
fy(x , y) = fy =
∂f
∂y
=
∂
∂y
f (x , y) =
∂z
∂y
= Dy f
Ví dụ:
3. f (x , y) =
∫ 2x+y2
x
e−t
2
dt. Tính
∂f
∂x
,
∂f
∂y
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 15 / 32
Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 16 / 32
Đạo hàm riêng hàm nhiều biến
Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến hơn được định nghĩa
tương tự. Ví dụ nếu f là hàm theo ba biến x , y , z, thì
đạo hàm riêng theo biến x được định nghĩa là:
fx(x , y , z) = lim
∆x→0
f (x + ∆x , y , z)− f (x , y , z)
∆x
Tương tự cho các đạo hàm riêng theo y và z . Để tính
các đạo hàm riêng này, ta làm như sau. Để tính:
fx , ta coi y , z như hằng số và lấy đạo hàm theo x
fy , ta coi x , z như hằng số và lấy đạo hàm theo y
fz , ta coi x , y như hằng số và lấy đạo hàm theo z
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 17 / 32
Với hàm n biến, ta có n đạo riêng. Đạo hàm riêng theo
biến thứ i của hàm u = f (x1, x2, . . . , xn) định nghĩa là:
∂f
∂xi
= lim
∆xi→0
f (x1, . . . , xi + ∆xi , . . . , xn)− f (x1, . . . , xi , . . . , xn)
∆xi
Đạo hàm riêng theo biến thứ i cũng được ký hiệu là:
∂u
∂xi
=
∂f
∂xi
= fxi = Dxi f
Nếu tất cả các đạo hàm riêng đều tồn tại thì vector
gradient được định nghĩa là: ∇f = (fx1, fx2, · · · , fxn)
Trong trường hợp 3 biến thì: ∇f = (fx , fy , fz)
Ví dụ: Cho f (x , y , z) = ex sin y ln(x2 + z)
Tìm ∇f (1, 0, 0)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 18 / 32
Đạo hàm riêng cấp cao
Với hàm hai biến f , các đạo hàm riêng fx và fy đều là
những hàm hai biến. Do đó ta hoàn toàn có thể xét các
đạo hàm riêng của các hàm số này:
Với fx ta có các đạo hàm riêng (fx)x và (fx)y
Với fy ta có các đạo hàm riêng (fy)x và (fy)y
Các đạo hàm riêng này được gọi là các đạo hàm riêng
cấp hai của f . Chúng được ký hiệu theo nhiều cách
(fx)x = fxx =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
; (fx)y = fxy =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
(fy )x = fyx =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x∂y
; (fy )y = fyy =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y 2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 19 / 32
Các đạo hàm riêng cấp hai này cũng là các hàm hai biến
do đó cũng có thể xét các đạo hàm riêng của chúng. Các
đạo hàm riêng đó gọi là đạo hàm riêng cấp ba của f . Cứ
như vậy ta được các đạo hàm riêng cấp cao hơn.
Các đạo hàm riêng cấp cao cũng được ký hiệu tương tự
Với hàm ba biến, ta có 3 đạo hàm riêng cấp một, 9 đạo
hàm riêng cấp hai, 27 đạo hàm riêng cấp ba, . . .
Ví dụ
1. Tìm tất cả các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số
a) f (x , y) = x3 + x2y 3 − 2y 2
b) g(x , y) = xy
2. Cho f (x , y , z) = sin(x2 + 3yz). Tìm
∂3f
∂x∂z∂y
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 20 / 32
Trong ví dụ trên ta thấy fxy = fyx . Trong trường hợp
tổng quát thì điều này chưa chắc đúng. Nhưng ta có
định lý sau
Định lý
Giả sử f là hàm số xác định trên một đĩa tròn D chứa
điểm (a, b). Nếu các hàm số fxy và fyx đều liên tục trên
D thì khi đó:
fxy(a, b) = fyx(a, b)
Suy ra: nếu tất cả các đạo hàm riêng đều liên tục thì thứ
tự lấy đạo hàm không quan trọng.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 21 / 32
Tính khả vi - Vi phân
Định nghĩa
Hàm hai biến z = f (x , y) gọi là khả vi tại (a, b) nếu
∆z = f (a + ∆x , b + ∆y)− f (a, b) có thể viết dưới dạng
∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε
√
(∆x)2 + (∆y)2
Trong đó ε→ 0 khi (∆x ,∆y)→ (0, 0)
Để kiểm tra tính khả vi, ta dùng định lý sau:
Định lý
Nếu các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại quanh điểm (a, b)
và liên tục tại (a, b) thì f khả vi tại (a, b)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 22 / 32
Nếu f khả vi tại (a, b) thì f liên tục tại (a, b)
Nếu f khả vi, ta có định nghĩa vi phân như sau:
Vi phân (hay vi phân toàn phần) của z = f (x , y) là:
dz = df = fx(x , y)dx + fy(x , y)dy =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
Khi f khả vi thì dz là một xấp xỉ tốt cho ∆z , do đó:
Ta có thể xấp xỉ tuyến tính cho f tại (a, b) như sau:
f (x , y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y
Trong đó ∆x = x − a, ∆y = y − b
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 23 / 32
Ví dụ:
1. Cho f (x , y) =
∫ yex
y
sin t
t
dt. Tìm df .
2. Dùng vi phân tính xấp xỉ giá trị sau:
1.97e−0.08, 1.020.95 + 0.951.02
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 24 / 32
Vi phân hàm nhiều biến
Tính khả vi và vi phân hàm nhiều biến hơn được định
nghĩa tương tự
Vi phân hàm ba biến được định nghĩa là:
dw = df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
Xấp xỉ tuyến tính sau là tốt khi f khả vi tại (a, b, c)
f (x , y , z) ≈
f (a, b, c) + fx(a, b, c)∆x + fy(a, b, c)∆y + fz(a, b, c)∆z
Với ∆x = x − a, ∆y = y − b, ∆z = z − c
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 25 / 32
Ví dụ:
1. Cho f (x , y , z) = z arctan
x
y
. Tìm df (2, 2, 1)
2. Tính gần đúng giá trị sau
a)
√
(1.98)3 + (0.91)e0.06
b) ln
[
(−0.96)3 + (2.03)2e−0.12]
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 26 / 32
Định nghĩa cực trị
Một lân cận của điểm (a, b) là một đĩa tròn tâm (a, b)
Định nghĩa
Cho f xác định trên một lân cận của (a, b)
Điểm (a, b) được gọi là điểm cực đại (địa phương) của f
nếu f (x , y) ≤ f (a, b) với mọi (x , y) trong một lân cận
nào đó của (a, b). Khi đó số f (a, b) được gọi là một giá
trị cực đại (địa phương) của f .
Tương tự cho khái niệm cực tiểu (địa phương)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 27 / 32
Nếu (a, b) là điểm cực đại hoặc cực tiểu của f , thì
ta nói (a, b) là một cực trị của f
Nếu f (x , y) ≤ f (a, b) (hay f (x , y) ≥ f (a, b)),
∀(x , y) ∈ D (D là tập xác định của f ), thì ta nói f
đạt giá trị lớn nhất (hay giá trị nhỏ nhất) tại (a, b)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 28 / 32
Điều kiện cần
Định lý
Nếu f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại (a, b) và
các đạo hàm riêng cấp một đều tồn tại, khi đó
fx(a, b) = 0 và fy(a, b) = 0
Điểm (a, b) được gọi là điểm dừng của f nếu
fx(a, b) = 0 và fy(a, b) = 0. Điểm (a, b) gọi là điểm
tới hạn nếu nó là điểm dừng hoặc một trong hai đạo
hàm riêng tại (a, b) không tồn tại.
Định lý này nói rằng nếu f có cực đại hoặc cực tiểu
tại (a, b) thì (a, b) là điểm tới hạn của f . Tuy nhiên,
không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 29 / 32
Điều kiện đủ
Định lý
Giả sử các đạo hàm riêng cấp hai của f đều tồn tại và
liên tục trên một đĩa tròn tâm (a, b) và giả sử rằng
fx(a, b) = 0, fy(a, b) = 0 (tức là (a, b) là điểm dừng của
f ). Đặt:
D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2
a. Nếu D > 0 và fxx(a, b) > 0 thì (a, b) là cực tiểu
b. Nếu D > 0 và fxx(a, b) < 0 thì (a, b) là cực đại
c. Nếu D < 0 thì (a, b) không là điểm cực đại, cũng
không là điểm cực tiểu
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 30 / 32
Chú ý
Nếu trường hợp (c) xảy ra thì điểm (a, b) gọi là
điểm yên ngựa
Nếu D(a, b) = 0 thì (a, b) có thể là cực đại, có thể
là cực tiểu, cũng có thể là điểm yên ngựa
D =
∣∣∣∣ fxx fxyfyx fyy
∣∣∣∣ = fxx fyy − (fxy)2
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 31 / 32
Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của hàm số f (x , y)
1. f (x , y) = 9− 2x + 4y − x2 − 4y 2
2. f (x , y) = x3y + 12x2 − 8y
3. f (x , y) = x4 + y 4 − 4xy + 1
4. f (x , y) = (1 + xy)(x + y)
5. f (x , y) = xy +
1
x
+
1
y
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Vi phân hàm hai biến Toán C1 - MS: C01009 32 / 32